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湖南省湘潭市2024-2025学年九年级下学期初中学业水平模拟数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1． 的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．我国有56个民族，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．小明和小强同学分别统计了自己最近10次“一分钟跳绳”的成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
5．榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“ 中华民族千年非遗瑰宝 ”． 如下右图是其中一种卯，其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
6．2025年2月28日“七星连珠”发生时，火星与地球的距离约为126000000千米，126000000这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
7．已知反比例函数的图象上有两点，，则m与n的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
8．如图，是的直径，位于两侧的点均在上，若，则度数为（　　）
A． B． C． D．
9．下列说法正确的是（　　）
A．任意画一个三角形，其内角和为是必然事件
B．计算的结果是
C．已知5个实数分别为：．其中无理数出现的频率是
D．当时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
10．设都是不为0的实数，且，，定义一种新运算：，则下面四个等式：
①；②；③；④；成立的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案写在答题卡相应的位置上）
11．写出一个绝对值比3小的实数　 　．
12．分解因式： =　 　.
13．方程组的解为　 　．
14．马扎是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，方便携带，如图，已知，，则的度数为　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象在第一象限交于点C，若，则k的值为　 　．
16．3月14日是国际数学节．我校在今年国际数学节策划了“数字华容道”、“汉诺塔”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小明和小红每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是　 　．
17．如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交、于、，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，与交于点，若，，则的长为　 　．
18．我国是最早了解勾股定理的国家之一，“赵爽弦图”运用面积关系证明了勾股定理，它是中国古代数学的骄傲，如图所示弦图由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为，则　 　．
三、解答题（本大题8个小题，共66分．19、20题各6分；21、22题各8分；23、24题各9分；25、26题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
20．先化简：，再选取一个你喜欢的值代入求值．
21．如图，四边形中，，点在上，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，求的面积．
22．“中国非遗”代表人物李子柒停更三年，2024年11月12日回归依旧“顶流”．某校兴趣小组为了了解本校学生对李子柒的喜爱程度，在初三（1）和（2）班各随机抽取了10位同学展开问卷调查，并形成了如下的调查报告（不完整）
调查目的 了解本校学生对李子柒的喜爱程度
调查方式 随机抽样问卷调查
调查内容 对“中国非遗”代表人物李子柒的喜爱程度评分（评分分数用表示，其中为不喜欢，为比较喜欢，为喜欢，为非常喜欢）
调查结果 初三（1）班的评分数据：50，68，80，85，86，88，95，98，100，100初三（2）班评分数据中“喜欢”包含的所有数据：82，84，86，86 图1初三（1），（2）班评分统计表 班级平均数中位数众数满分率初三（1）班8587100初三（2）班85a100b
图2初三（2）班评分扇形统计图
根据以上信息，解决下列问题：
（1）填空：___________，___________；
（2）根据以上数据，你认为哪一个班级的同学更喜欢李子柒，请说明理由（写出一条理由即可）
（3）该校初三年级共800人，试用所学统计的知识估计该校初三年级对李子柒“非常喜欢”的人数是多少？
23．2024年11月12日，第15届中国国际航空航天博览会在珠海盛大开幕．在博览会的热烈氛围中，某航模小组对其中两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息：
①型无人机模型的单价比型贵800元；
②用12000元购买型无人机模型的数量与用8000元购买型无人机模型的数量相同．
（1）求型和型无人机模型的单价各是多少元？
（2）若航模小组现有资金20000元，他们决定购买10台无人机模型，同时要求购买型的数量不超过型的2倍．请求出航模小组所有可能的购买方案．
24．“板车”具有悠久的历史，是上世纪90年代以前农村主要运输及交通工具．如图是板车侧面的部分示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接．
（1）求证：；
（2）若测得，求的长．
25．如图1，直线与、轴分别相交于、两点，抛物线的图象经过点，与轴交于两点（点在点左侧），且顶点也在直线上，为抛物线上第四象限内一动点且不与点重合．
（1）求该抛物线的关系式；
（2）如图2，连接、，直线与相交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，请求出点的坐标；
（3）如图3，点也为抛物线一动点，连接交抛物线对称轴于点．若，点是否是一定点？若是，请直接写出点坐标；若不是，请说明理由．
26．如图1，四边形中，，为的中点，为边上一动点，连接并延长至点，使得，连接．
（1）四边形一定是___________（填特殊四边形的名称）；
（2）若当运动到的中点时，四边形是矩形．设，试求的值；
（3）若，，，是否存在这样的点，使得四边形为矩形，若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解： 的相反数是 ；
故答案为：B．
【分析】直接根据相反数的定义进行求解即可．
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，结果错误；
B、，结果正确；
C、，结果错误；
D、，结果错误；
故答案为：B.
【分析】同底数的乘除法运算法则，底数不变，指数相加减，即、；幂的乘方运算法则，底数不变，指数相乘，即；同底数幂的指数相同时是同类项，可以合并，但指数不同时，既不能合并，更不能对指数进行加减。
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，不符合题意；
B、有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，符合题意；
C、没有对称轴，不是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意；
D、没有对称轴，不是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B ．
【分析】根据轴对称图形（沿某直线折叠后重合）与中心对称图形（绕某点旋转 180后重合）的定义，结合各选项图形特征逐一判断，综合得出符合题意的选项。本题旨在考查对两种对称图形的识别能力。
4．【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】方差反应的是一组数据的稳定程度
故答案为：C.
【分析】根据方差是表示数据稳定程度的数可求解。
5．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有2条纵向的实线和2条纵向的虚线.2条实线在2条虚线之间，即
故答案为：D．
【分析】俯视图从几何体的上面往下看得到的平面图形，据此可得答案.
6．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：；
故选：C．
【分析】
常用科学记数法把绝对值大于1的数表示为的形式，其中，为这个数字整数部分数位个数与1的差．
7．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数，，
反比例函数中，在每个象限内y随x的增大而减小，
反比例函数的图象上有两点，，
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的增减性，当时，在每个象限内y随ェ的增大而减小，从而便可判断出m与n的大小关系．
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，位于两侧的点均在上，，
∴，
故选：B．
【分析】
圆周角定理，即同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
9．【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；一元二次方程根的判别式及应用；三角形内角和定理；频数与频率
【解析】【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和为是不可能事件，原说法错误，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，则计算的结果不是，原说法错误，不符合题意；
C、在中，无理数有，则无理数出现的频率是，原说法错误，不符合题意；
D、当时，关于的一元二次方程的判别式为，则原方程有两个不相等的实数根，原说法正确，符合题意；
故选：D．
【分析】 必然事件指在既定条件下必定发生的事件 ，结合三角形内角和定理可判断A；根据二次根式的计算法则可判断B；根据无理数的定义： 无限不循环小数叫做无理数，得到无理数的个数，进而求出无理数出现的频率即可判断C；根据根的判别式，代入即可判断D．
10．【答案】A
【知识点】分式的加减法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：①根据新定义得，，，
∵，
∴，
即，
故①不成立；
②，，
∵，
∴，
故②不成立；
③，，
∴，
故③成立；
④，，
∵，
∴．
综上，成立的有③．
故选：A．
【分析】
A、由于，则由新定义得；
B、由于，则；
C、由于，则；
D、由于，则，则．
11．【答案】1（答案不唯一）
【知识点】绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：绝对值小于4的有理数可以是3，2，1等，
故答案为：1（答案不唯一）．
【分析】
由绝对值的概念知该实数介于和之间，则取任意一个满足条件的实数即可．
12．【答案】x(x+3)(x-3)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】
=x(x+3)(x-3)
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，先提取公因式 后继续应用平方差公式分解即可.
13．【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴方程组的解为：．
【分析】
由于二元一次方程组中未知数x的系数互为相反数，则利用加减消元法求解即可．
14．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵是的外角，
∴；
故答案为：．
【分析】
先由等边对等角可得，再利用三角形外角的性质计算即可．
15．【答案】2
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：如图，过点C作CH⊥x轴，垂足为H，
∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴将y=0代入，得，将x=0代入，得y=1，
∴A（，0），B（0，1），
∴OA=，OB=1，
∵∠AOB=∠AHC=90°，∠BAO=∠CAH，
∴△OAB∽△HAC，
∴
∵OA=，OB=1，，
∴
∴AH=，CH=2，
∴OH=1，
∵点C在第一象限，
∴C（1，2），
∵点C在上，
∴．
故答案为：2．
【分析】过点C作CH⊥x轴，垂足为H，根据三角形两角分别相等，两三角形相似证明△OAB∽△HAC，得对应边成比例，再求出AH=，CH=2，OH=1，再求出点C坐标即可解决问题．
16．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为1、2、3；画树状图如下：
，
共有9种等可能的结果，小明和小红恰好选到同一个活动的结果有3种，小红和小丽恰好选到同一个活动的概率为，
故答案为：．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，小明和小红每人随机选择参加其中一个活动的结果有3种，再由概率公式 P(事件)=， 求解即可
17．【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图过程可知，平分，
，
四边形为平行四边形，，，
，，，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】
由基本尺规作图可知平分，则由角平分线的概念结合平行四边形的性质可得，再由等角对等边，再由线段的和差关系即可．
18．【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵，
∴解得：，
由题可得：，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：；
【分析】
由割补法可知小正方形的面积为，即；再由“赵爽弦图”知，再解关于m、n的二元方程组可得m和n的值即可.
19．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
实数的混合运算，先分别乘方和开方，再计算特殊角的三角函数值，最后再进行加减运算．
20．【答案】解：原式
，
∵，，
∴且，
∴当时，．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先进行分式的乘法运算，并对分子分母分别分解因式再约分，最后再进行同分母分式的减法运算，最后再取一个合适的a的值代入计算即可．
21．【答案】（1）证明：，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：过点作，垂足为，如图：
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】
（1）先利用内错角相等两直线平行可证，再由即可得出结论；
（2）由于角平分线上的点到角两边距离相等，可先过点E作AB的垂线段EF，则由平行四边形的性质结合角平分线的性质可得，最后利用三角形面积公式即可求解．
（1）证明：，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：过点作，垂足为，如图：
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
．
22．【答案】（1）85；
（2）解：我认为初三班更喜欢李子柒，
理由如下：初三班和初三班的平均数相同，但是初三班的中位数较高，说明初三班学生一半以上同学喜欢李子柒；
（3）解：初三班非常喜欢李子柒的人数有人，初三班非常喜欢李子柒的人数有人，
被抽查的人中非常喜欢李子柒的人数占的百分比为：，
该校初三年级共人，估计初三年级对李子柒“非常喜欢”的人数为：(人)，
答：估计初三年级对李子柒“非常喜欢”的人数为人．
【知识点】扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）解：初三班评分数据中“喜欢”占抽查人数的百分比为：，
“比较喜欢”占抽查人数的百分比为：，
“非常喜欢”占抽查人数的百分比为：，
初三班“比较喜欢”的人数为：(人)，
“非常喜欢”的人数为：(人)，
这个数据的中位数应是第个和第个的平均数，
个数据中按照从小到大排列第个和第个数据分别为：、，
；
初三班中得分的有人，众数是，
初三中得分的人数应为人，
满分率为：(人)，
故答案为：，；
【分析】
（1）观察扇形统计图，可根据初三（2）班评分数据中“喜欢”包含的数据的个数求出数据中“喜欢”的人数占抽查人数的百分比，再利用“比较喜欢”所占的圆心角的度数求出“比较喜欢”的人数，再根据中位数的定义求出的值；利用单位减去“喜欢”占的百分比再减去“比较喜欢”占的百分比，就得到“非常喜欢”占的百分比；初三（2）班中得分的有人，众数是，所以初三（2）班中得分的人数应为人，所以满分率应为；注意中位数是把一组数据按照从小到大的顺序排列后中间一个（数据个数为奇数）或中间两个数据（数据个数为偶数）的平均值；众数是一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个也可能是多个；
（2）初三（1）班和初三（2）班的平均数相同，但是初三（1）班的中位数较高，说明初三（1）班学生一半以上同学喜欢李子柒；
（3）利用样本估计总体，即用全年级总人数乘以初三1、2班中“非常喜欢”的占比即可．
（1）解：初三班评分数据中“喜欢”占抽查人数的百分比为：，
“比较喜欢”占抽查人数的百分比为：，
“非常喜欢”占抽查人数的百分比为：，
初三班“比较喜欢”的人数为：(人)，
“非常喜欢”的人数为：(人)，
这个数据的中位数应是第个和第个的平均数，
个数据中按照从小到大排列第个和第个数据分别为：、，
；
初三班中得分的有人，众数是，
初三中得分的人数应为人，
满分率为：(人)，
故答案为：，；
（2）解：我认为初三班更喜欢李子柒，
理由如下：初三班和初三班的平均数相同，但是初三班的中位数较高，说明初三班学生一半以上同学喜欢李子柒；
（3）解：初三班非常喜欢李子柒的人数有人，初三班非常喜欢李子柒的人数有人，
被抽查的人中非常喜欢李子柒的人数占的百分比为：，
该校初三年级共人，估计初三年级对李子柒“非常喜欢”的人数为：(人)，
答：估计初三年级对李子柒“非常喜欢”的人数为人．
23．【答案】（1）解：设型无人机的单价为元，则型无人机的单价为元，由题意得：
，
解得：．
经检验是原方程得解且符合题意，，
答：A型无人机的单价为2400元，B型无人机的单价为1600元．
（2）解：设购买型无人机台，则购买型无人机台，由条件得：
，
解得：，且为整数．
或5，
所以，由两种购买方案，
第一种购买A型无人机4台，B型无人机6台；
第二种购买A型无人机5台，B型无人机5台．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设型无人机的单价为元，则型无人机的单价为元，根据“12000元购买型无人机模型的数量与用8000元购买型无人机模型的数量相同”列出分式方程，求解即可得型无人机的单价为元，并检验即可解答；
（2）设购买型无人机台，则购买型无人机台，根据“用20000元购买无人机模型，决定购买10台无人机模型，同时要求购买型的数量不超过型的2倍”列不等式组，根据题意求出其正整数解4或5，即可知两种购买方案．
（1）解：设型无人机的单价为元，则型无人机的单价为元，由题意得：
，
解得：．
经检验是原方程得解且符合题意，，
答：A型无人机的单价为2400元，B型无人机的单价为1600元．
（2）解：设购买型无人机台，则购买型无人机台，由条件得：
，
解得：，且为整数．
或5，
所以，由两种购买方案，
第一种购买A型无人机4台，B型无人机6台；
第二种购买A型无人机5台，B型无人机5台．
24．【答案】（1）解：连接，
∵是的切线，
∴，
∵是的直径，
∴．
∵
∴
∵．
又∵，
∴，
（2）解：由（1）可知，在Rt中，，
在中，由勾股定理得，
∴．
又，
，
，即，
，
在中，设，则，
又，
，
解得：（负值已舍去）．
的长为

【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定；解直角三角形
【解析】【分析】本题综合考查了圆周角定理及其推论、切线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的应用。题目具有较强的综合性，解题关键在于熟练掌握相关定理并灵活运用。
（1）连接，根据圆周角定理及其推论和切线的性质可得：，。再结合的条件即可得出结论。
（2）因为，所以，结合（1）的结论，证明，列比例式，得，在中，设，则，利用勾股定理列方程计算，即可作答．
（1）解：连接，
∵是的切线，
∴，
∵是的直径，
∴．
∵
∴
∵．
又∵，
∴，
（2）解：由（1）可知，
在Rt中，，
在中，由勾股定理得，
∴．
又，
，
，即，
，
在中，设，则，
又，
，
解得：（负值已舍去）．
的长为
25．【答案】（1）解：当时，，令，则，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
当时，，
∴点C的坐标为，
把和代入得：
，解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：令，则，解得或，
∴点D的坐标为，点E的坐标为，
∴，，
∴，即，
∴，
当时，，即，
解得：，
过点F作轴于点G，则，
∴，
∴点F的坐标为；
当时，，即，
解得：，不符合题意舍去；
综上，点F的坐标为；
（3）存在，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】
（3）
解：∵点C的坐标为，
设直线的解析式为，
联立解得：
或，
∴点P的坐标为，
设直线的解析式为，
同理可得点Q的坐标为，
再过点Q作轴，点P作轴交过点C与x轴平行的直线于点H，N，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得或（舍去），
设直线的解析式为，
把点P和Q的坐标代入得：
，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴与对称轴的交点M是定点，为．
【分析】
（1）先由直线上点的坐标特征分别求出点和的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先利用抛物线上点的坐标特征分别求出点和的坐标，再利用两点距离公式可得AB、AD和OE的长，由于可证，则需要进行分类讨论，即或两种情况，再分别利用相似比求出EF即可；
（3）由于，则可过点C作y轴的垂线CN，再分别过点P、Q作CN的垂线段QH、PN，则由一线三垂直相似模型可得，此时可分别设直线CP和CQ的解析式为和，则分别联立直线CP、CQ和抛物线解析式可得点P、Q的坐标，再由相似比可得直线PQ的解析式为，显然直线PQ过定点，即点M是定点．
（1）解：当时，，令，则，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
当时，，
∴点C的坐标为，
把和代入得：
，解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：令，则，
解得或，
∴点D的坐标为，点E的坐标为，
∴，，
∴，即，
∴，
当时，，即，
解得：，
过点F作轴于点G，则，
∴，
∴点F的坐标为；
当时，，即，
解得：，不符合题意舍去；
综上，点F的坐标为；
（3）解：∵点C的坐标为，
设直线的解析式为，
联立解得：
或，
∴点P的坐标为，
设直线的解析式为，
同理可得点Q的坐标为，
再过点Q作轴，点P作轴交过点C与x轴平行的直线于点H，N，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得或（舍去），
设直线的解析式为，
把点P和Q的坐标代入得：
，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴与对称轴的交点M是定点，为．
26．【答案】（1）平行四边形
（2）解：如图所示：
∵F是的中点，四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
即，
∴，
∴k为定值4；
（3）解：存在点F，使得四边形为矩形．理由如下：
如图，∵四边形是平行四边形，
∴当时，四边形是矩形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∵m与x满足二次函数关系，且，
∴当时，m有最大值为，
如图，过点D作，垂足为M．
则四边形是矩形，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴当m取最大值时，，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴的最大值为．
【知识点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的实际应用-几何问题；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】
（1）
解：∵E为边的中点，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形；
【分析】
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（2）由矩形的性质可得，又，则由一线三垂直相似模型可得，由相似比可得，再由中点的概念知，即；
（3）如图，设，由（2）知，由相似比可得，再由二次函数的性质可得当时有最大值为，此时再过点D作BC的垂线段DM，由矩形的判定和性质结合勾股定理可得DC的长，则EF等于DC的一半．
（1）解：∵E为边的中点，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵F是的中点，四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
即，
∴，
∴k为定值4；
（3）解：存在点F，使得四边形为矩形．理由如下：
如图，∵四边形是平行四边形，
∴当时，四边形是矩形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∵m与x满足二次函数关系，且，
∴当时，m有最大值为，
如图，过点D作，垂足为M．
则四边形是矩形，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴当m取最大值时，，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴的最大值为．
1 / 1湖南省湘潭市2024-2025学年九年级下学期初中学业水平模拟数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1． 的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解： 的相反数是 ；
故答案为：B．
【分析】直接根据相反数的定义进行求解即可．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，结果错误；
B、，结果正确；
C、，结果错误；
D、，结果错误；
故答案为：B.
【分析】同底数的乘除法运算法则，底数不变，指数相加减，即、；幂的乘方运算法则，底数不变，指数相乘，即；同底数幂的指数相同时是同类项，可以合并，但指数不同时，既不能合并，更不能对指数进行加减。
3．我国有56个民族，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，不符合题意；
B、有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，符合题意；
C、没有对称轴，不是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意；
D、没有对称轴，不是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B ．
【分析】根据轴对称图形（沿某直线折叠后重合）与中心对称图形（绕某点旋转 180后重合）的定义，结合各选项图形特征逐一判断，综合得出符合题意的选项。本题旨在考查对两种对称图形的识别能力。
4．小明和小强同学分别统计了自己最近10次“一分钟跳绳”的成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】方差反应的是一组数据的稳定程度
故答案为：C.
【分析】根据方差是表示数据稳定程度的数可求解。
5．榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“ 中华民族千年非遗瑰宝 ”． 如下右图是其中一种卯，其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有2条纵向的实线和2条纵向的虚线.2条实线在2条虚线之间，即
故答案为：D．
【分析】俯视图从几何体的上面往下看得到的平面图形，据此可得答案.
6．2025年2月28日“七星连珠”发生时，火星与地球的距离约为126000000千米，126000000这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：；
故选：C．
【分析】
常用科学记数法把绝对值大于1的数表示为的形式，其中，为这个数字整数部分数位个数与1的差．
7．已知反比例函数的图象上有两点，，则m与n的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数，，
反比例函数中，在每个象限内y随x的增大而减小，
反比例函数的图象上有两点，，
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的增减性，当时，在每个象限内y随ェ的增大而减小，从而便可判断出m与n的大小关系．
8．如图，是的直径，位于两侧的点均在上，若，则度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，位于两侧的点均在上，，
∴，
故选：B．
【分析】
圆周角定理，即同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
9．下列说法正确的是（　　）
A．任意画一个三角形，其内角和为是必然事件
B．计算的结果是
C．已知5个实数分别为：．其中无理数出现的频率是
D．当时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；一元二次方程根的判别式及应用；三角形内角和定理；频数与频率
【解析】【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和为是不可能事件，原说法错误，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，则计算的结果不是，原说法错误，不符合题意；
C、在中，无理数有，则无理数出现的频率是，原说法错误，不符合题意；
D、当时，关于的一元二次方程的判别式为，则原方程有两个不相等的实数根，原说法正确，符合题意；
故选：D．
【分析】 必然事件指在既定条件下必定发生的事件 ，结合三角形内角和定理可判断A；根据二次根式的计算法则可判断B；根据无理数的定义： 无限不循环小数叫做无理数，得到无理数的个数，进而求出无理数出现的频率即可判断C；根据根的判别式，代入即可判断D．
10．设都是不为0的实数，且，，定义一种新运算：，则下面四个等式：
①；②；③；④；成立的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】分式的加减法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：①根据新定义得，，，
∵，
∴，
即，
故①不成立；
②，，
∵，
∴，
故②不成立；
③，，
∴，
故③成立；
④，，
∵，
∴．
综上，成立的有③．
故选：A．
【分析】
A、由于，则由新定义得；
B、由于，则；
C、由于，则；
D、由于，则，则．
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案写在答题卡相应的位置上）
11．写出一个绝对值比3小的实数　 　．
【答案】1（答案不唯一）
【知识点】绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：绝对值小于4的有理数可以是3，2，1等，
故答案为：1（答案不唯一）．
【分析】
由绝对值的概念知该实数介于和之间，则取任意一个满足条件的实数即可．
12．分解因式： =　 　.
【答案】x(x+3)(x-3)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】
=x(x+3)(x-3)
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，先提取公因式 后继续应用平方差公式分解即可.
13．方程组的解为　 　．
【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴方程组的解为：．
【分析】
由于二元一次方程组中未知数x的系数互为相反数，则利用加减消元法求解即可．
14．马扎是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，方便携带，如图，已知，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵是的外角，
∴；
故答案为：．
【分析】
先由等边对等角可得，再利用三角形外角的性质计算即可．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象在第一象限交于点C，若，则k的值为　 　．
【答案】2
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：如图，过点C作CH⊥x轴，垂足为H，
∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴将y=0代入，得，将x=0代入，得y=1，
∴A（，0），B（0，1），
∴OA=，OB=1，
∵∠AOB=∠AHC=90°，∠BAO=∠CAH，
∴△OAB∽△HAC，
∴
∵OA=，OB=1，，
∴
∴AH=，CH=2，
∴OH=1，
∵点C在第一象限，
∴C（1，2），
∵点C在上，
∴．
故答案为：2．
【分析】过点C作CH⊥x轴，垂足为H，根据三角形两角分别相等，两三角形相似证明△OAB∽△HAC，得对应边成比例，再求出AH=，CH=2，OH=1，再求出点C坐标即可解决问题．
16．3月14日是国际数学节．我校在今年国际数学节策划了“数字华容道”、“汉诺塔”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小明和小红每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为1、2、3；画树状图如下：
，
共有9种等可能的结果，小明和小红恰好选到同一个活动的结果有3种，小红和小丽恰好选到同一个活动的概率为，
故答案为：．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，小明和小红每人随机选择参加其中一个活动的结果有3种，再由概率公式 P(事件)=， 求解即可
17．如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交、于、，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，与交于点，若，，则的长为　 　．
【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图过程可知，平分，
，
四边形为平行四边形，，，
，，，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】
由基本尺规作图可知平分，则由角平分线的概念结合平行四边形的性质可得，再由等角对等边，再由线段的和差关系即可．
18．我国是最早了解勾股定理的国家之一，“赵爽弦图”运用面积关系证明了勾股定理，它是中国古代数学的骄傲，如图所示弦图由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为，则　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵，
∴解得：，
由题可得：，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：；
【分析】
由割补法可知小正方形的面积为，即；再由“赵爽弦图”知，再解关于m、n的二元方程组可得m和n的值即可.
三、解答题（本大题8个小题，共66分．19、20题各6分；21、22题各8分；23、24题各9分；25、26题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
实数的混合运算，先分别乘方和开方，再计算特殊角的三角函数值，最后再进行加减运算．
20．先化简：，再选取一个你喜欢的值代入求值．
【答案】解：原式
，
∵，，
∴且，
∴当时，．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先进行分式的乘法运算，并对分子分母分别分解因式再约分，最后再进行同分母分式的减法运算，最后再取一个合适的a的值代入计算即可．
21．如图，四边形中，，点在上，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，求的面积．
【答案】（1）证明：，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：过点作，垂足为，如图：
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】
（1）先利用内错角相等两直线平行可证，再由即可得出结论；
（2）由于角平分线上的点到角两边距离相等，可先过点E作AB的垂线段EF，则由平行四边形的性质结合角平分线的性质可得，最后利用三角形面积公式即可求解．
（1）证明：，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：过点作，垂足为，如图：
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
．
22．“中国非遗”代表人物李子柒停更三年，2024年11月12日回归依旧“顶流”．某校兴趣小组为了了解本校学生对李子柒的喜爱程度，在初三（1）和（2）班各随机抽取了10位同学展开问卷调查，并形成了如下的调查报告（不完整）
调查目的 了解本校学生对李子柒的喜爱程度
调查方式 随机抽样问卷调查
调查内容 对“中国非遗”代表人物李子柒的喜爱程度评分（评分分数用表示，其中为不喜欢，为比较喜欢，为喜欢，为非常喜欢）
调查结果 初三（1）班的评分数据：50，68，80，85，86，88，95，98，100，100初三（2）班评分数据中“喜欢”包含的所有数据：82，84，86，86 图1初三（1），（2）班评分统计表 班级平均数中位数众数满分率初三（1）班8587100初三（2）班85a100b
图2初三（2）班评分扇形统计图
根据以上信息，解决下列问题：
（1）填空：___________，___________；
（2）根据以上数据，你认为哪一个班级的同学更喜欢李子柒，请说明理由（写出一条理由即可）
（3）该校初三年级共800人，试用所学统计的知识估计该校初三年级对李子柒“非常喜欢”的人数是多少？
【答案】（1）85；
（2）解：我认为初三班更喜欢李子柒，
理由如下：初三班和初三班的平均数相同，但是初三班的中位数较高，说明初三班学生一半以上同学喜欢李子柒；
（3）解：初三班非常喜欢李子柒的人数有人，初三班非常喜欢李子柒的人数有人，
被抽查的人中非常喜欢李子柒的人数占的百分比为：，
该校初三年级共人，估计初三年级对李子柒“非常喜欢”的人数为：(人)，
答：估计初三年级对李子柒“非常喜欢”的人数为人．
【知识点】扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）解：初三班评分数据中“喜欢”占抽查人数的百分比为：，
“比较喜欢”占抽查人数的百分比为：，
“非常喜欢”占抽查人数的百分比为：，
初三班“比较喜欢”的人数为：(人)，
“非常喜欢”的人数为：(人)，
这个数据的中位数应是第个和第个的平均数，
个数据中按照从小到大排列第个和第个数据分别为：、，
；
初三班中得分的有人，众数是，
初三中得分的人数应为人，
满分率为：(人)，
故答案为：，；
【分析】
（1）观察扇形统计图，可根据初三（2）班评分数据中“喜欢”包含的数据的个数求出数据中“喜欢”的人数占抽查人数的百分比，再利用“比较喜欢”所占的圆心角的度数求出“比较喜欢”的人数，再根据中位数的定义求出的值；利用单位减去“喜欢”占的百分比再减去“比较喜欢”占的百分比，就得到“非常喜欢”占的百分比；初三（2）班中得分的有人，众数是，所以初三（2）班中得分的人数应为人，所以满分率应为；注意中位数是把一组数据按照从小到大的顺序排列后中间一个（数据个数为奇数）或中间两个数据（数据个数为偶数）的平均值；众数是一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个也可能是多个；
（2）初三（1）班和初三（2）班的平均数相同，但是初三（1）班的中位数较高，说明初三（1）班学生一半以上同学喜欢李子柒；
（3）利用样本估计总体，即用全年级总人数乘以初三1、2班中“非常喜欢”的占比即可．
（1）解：初三班评分数据中“喜欢”占抽查人数的百分比为：，
“比较喜欢”占抽查人数的百分比为：，
“非常喜欢”占抽查人数的百分比为：，
初三班“比较喜欢”的人数为：(人)，
“非常喜欢”的人数为：(人)，
这个数据的中位数应是第个和第个的平均数，
个数据中按照从小到大排列第个和第个数据分别为：、，
；
初三班中得分的有人，众数是，
初三中得分的人数应为人，
满分率为：(人)，
故答案为：，；
（2）解：我认为初三班更喜欢李子柒，
理由如下：初三班和初三班的平均数相同，但是初三班的中位数较高，说明初三班学生一半以上同学喜欢李子柒；
（3）解：初三班非常喜欢李子柒的人数有人，初三班非常喜欢李子柒的人数有人，
被抽查的人中非常喜欢李子柒的人数占的百分比为：，
该校初三年级共人，估计初三年级对李子柒“非常喜欢”的人数为：(人)，
答：估计初三年级对李子柒“非常喜欢”的人数为人．
23．2024年11月12日，第15届中国国际航空航天博览会在珠海盛大开幕．在博览会的热烈氛围中，某航模小组对其中两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息：
①型无人机模型的单价比型贵800元；
②用12000元购买型无人机模型的数量与用8000元购买型无人机模型的数量相同．
（1）求型和型无人机模型的单价各是多少元？
（2）若航模小组现有资金20000元，他们决定购买10台无人机模型，同时要求购买型的数量不超过型的2倍．请求出航模小组所有可能的购买方案．
【答案】（1）解：设型无人机的单价为元，则型无人机的单价为元，由题意得：
，
解得：．
经检验是原方程得解且符合题意，，
答：A型无人机的单价为2400元，B型无人机的单价为1600元．
（2）解：设购买型无人机台，则购买型无人机台，由条件得：
，
解得：，且为整数．
或5，
所以，由两种购买方案，
第一种购买A型无人机4台，B型无人机6台；
第二种购买A型无人机5台，B型无人机5台．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设型无人机的单价为元，则型无人机的单价为元，根据“12000元购买型无人机模型的数量与用8000元购买型无人机模型的数量相同”列出分式方程，求解即可得型无人机的单价为元，并检验即可解答；
（2）设购买型无人机台，则购买型无人机台，根据“用20000元购买无人机模型，决定购买10台无人机模型，同时要求购买型的数量不超过型的2倍”列不等式组，根据题意求出其正整数解4或5，即可知两种购买方案．
（1）解：设型无人机的单价为元，则型无人机的单价为元，由题意得：
，
解得：．
经检验是原方程得解且符合题意，，
答：A型无人机的单价为2400元，B型无人机的单价为1600元．
（2）解：设购买型无人机台，则购买型无人机台，由条件得：
，
解得：，且为整数．
或5，
所以，由两种购买方案，
第一种购买A型无人机4台，B型无人机6台；
第二种购买A型无人机5台，B型无人机5台．
24．“板车”具有悠久的历史，是上世纪90年代以前农村主要运输及交通工具．如图是板车侧面的部分示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接．
（1）求证：；
（2）若测得，求的长．
【答案】（1）解：连接，
∵是的切线，
∴，
∵是的直径，
∴．
∵
∴
∵．
又∵，
∴，
（2）解：由（1）可知，在Rt中，，
在中，由勾股定理得，
∴．
又，
，
，即，
，
在中，设，则，
又，
，
解得：（负值已舍去）．
的长为

【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定；解直角三角形
【解析】【分析】本题综合考查了圆周角定理及其推论、切线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的应用。题目具有较强的综合性，解题关键在于熟练掌握相关定理并灵活运用。
（1）连接，根据圆周角定理及其推论和切线的性质可得：，。再结合的条件即可得出结论。
（2）因为，所以，结合（1）的结论，证明，列比例式，得，在中，设，则，利用勾股定理列方程计算，即可作答．
（1）解：连接，
∵是的切线，
∴，
∵是的直径，
∴．
∵
∴
∵．
又∵，
∴，
（2）解：由（1）可知，
在Rt中，，
在中，由勾股定理得，
∴．
又，
，
，即，
，
在中，设，则，
又，
，
解得：（负值已舍去）．
的长为
25．如图1，直线与、轴分别相交于、两点，抛物线的图象经过点，与轴交于两点（点在点左侧），且顶点也在直线上，为抛物线上第四象限内一动点且不与点重合．
（1）求该抛物线的关系式；
（2）如图2，连接、，直线与相交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，请求出点的坐标；
（3）如图3，点也为抛物线一动点，连接交抛物线对称轴于点．若，点是否是一定点？若是，请直接写出点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：当时，，令，则，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
当时，，
∴点C的坐标为，
把和代入得：
，解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：令，则，解得或，
∴点D的坐标为，点E的坐标为，
∴，，
∴，即，
∴，
当时，，即，
解得：，
过点F作轴于点G，则，
∴，
∴点F的坐标为；
当时，，即，
解得：，不符合题意舍去；
综上，点F的坐标为；
（3）存在，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】
（3）
解：∵点C的坐标为，
设直线的解析式为，
联立解得：
或，
∴点P的坐标为，
设直线的解析式为，
同理可得点Q的坐标为，
再过点Q作轴，点P作轴交过点C与x轴平行的直线于点H，N，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得或（舍去），
设直线的解析式为，
把点P和Q的坐标代入得：
，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴与对称轴的交点M是定点，为．
【分析】
（1）先由直线上点的坐标特征分别求出点和的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先利用抛物线上点的坐标特征分别求出点和的坐标，再利用两点距离公式可得AB、AD和OE的长，由于可证，则需要进行分类讨论，即或两种情况，再分别利用相似比求出EF即可；
（3）由于，则可过点C作y轴的垂线CN，再分别过点P、Q作CN的垂线段QH、PN，则由一线三垂直相似模型可得，此时可分别设直线CP和CQ的解析式为和，则分别联立直线CP、CQ和抛物线解析式可得点P、Q的坐标，再由相似比可得直线PQ的解析式为，显然直线PQ过定点，即点M是定点．
（1）解：当时，，令，则，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
当时，，
∴点C的坐标为，
把和代入得：
，解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：令，则，
解得或，
∴点D的坐标为，点E的坐标为，
∴，，
∴，即，
∴，
当时，，即，
解得：，
过点F作轴于点G，则，
∴，
∴点F的坐标为；
当时，，即，
解得：，不符合题意舍去；
综上，点F的坐标为；
（3）解：∵点C的坐标为，
设直线的解析式为，
联立解得：
或，
∴点P的坐标为，
设直线的解析式为，
同理可得点Q的坐标为，
再过点Q作轴，点P作轴交过点C与x轴平行的直线于点H，N，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得或（舍去），
设直线的解析式为，
把点P和Q的坐标代入得：
，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴与对称轴的交点M是定点，为．
26．如图1，四边形中，，为的中点，为边上一动点，连接并延长至点，使得，连接．
（1）四边形一定是___________（填特殊四边形的名称）；
（2）若当运动到的中点时，四边形是矩形．设，试求的值；
（3）若，，，是否存在这样的点，使得四边形为矩形，若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）平行四边形
（2）解：如图所示：
∵F是的中点，四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
即，
∴，
∴k为定值4；
（3）解：存在点F，使得四边形为矩形．理由如下：
如图，∵四边形是平行四边形，
∴当时，四边形是矩形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∵m与x满足二次函数关系，且，
∴当时，m有最大值为，
如图，过点D作，垂足为M．
则四边形是矩形，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴当m取最大值时，，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴的最大值为．
【知识点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的实际应用-几何问题；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】
（1）
解：∵E为边的中点，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形；
【分析】
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（2）由矩形的性质可得，又，则由一线三垂直相似模型可得，由相似比可得，再由中点的概念知，即；
（3）如图，设，由（2）知，由相似比可得，再由二次函数的性质可得当时有最大值为，此时再过点D作BC的垂线段DM，由矩形的判定和性质结合勾股定理可得DC的长，则EF等于DC的一半．
（1）解：∵E为边的中点，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵F是的中点，四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
即，
∴，
∴k为定值4；
（3）解：存在点F，使得四边形为矩形．理由如下：
如图，∵四边形是平行四边形，
∴当时，四边形是矩形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∵m与x满足二次函数关系，且，
∴当时，m有最大值为，
如图，过点D作，垂足为M．
则四边形是矩形，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴当m取最大值时，，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴的最大值为．
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