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湖南省长沙市一中东山学校2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题
1．下列各数中：0， ，0.3， ，无理数是（　　）
A．0 B． C．0.3 D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：0是整数，属于有理数；
是无理数；
0.3是有限小数，属于有理数；
是分数，属于有理数．
故答案为：B．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
2．下列调查中，最适合采用抽样调查的是（　　）
A．在“新冠状肺炎”疫情期间，对出入某小区的人员进行体温检测
B．了解全班同学每周体育锻炼的时间
C．企业招聘，对应聘人员的面试
D．了解某批次灯泡的使用寿命情况
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、在“新冠状肺炎”疫情期间，对出入某小区的人员进行体温检测，应采用全面调查；
B、了解全班同学每周体育锻炼的时间，应采用全面调查；
C、企业招聘，对应聘人员的面试，应采用全面调查；
D、了解某批次灯泡的使用寿命情况，具有破坏性，应采用抽样调查；
故答案为：D．
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
3．在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度，得到点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：将点P（1，-2）向上平移3个单位长度，得到点P'的坐标是（1，-2+3），即（1，1）．故答案选：C．
【分析】熟记平移中点的变化规律：上加下减纵坐标，上加下减横坐标．
4．下列方程组是二元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：A、是三元一次方程组，故本选项错误；
B、 是分式，不是二元一次方程组，故本选项错误；
C、是二元二次方程组，故本选项错误；
D、是二元一次方程组，故本选项正确．
故选D．
【分析】根据二元一次方程组的定义：组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，对各选项进行逐一分析即可．
5．如图，直线l1∥l2，∠1＝35°，∠2＝80°，则∠3等于（　　）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠4＝35°．
∵∠2＝∠5＝80°，
又∵∠3+∠5+∠4＝180°，
∴∠3＝180°-∠5-∠4
＝180°-80°-35°
＝65°．
故选：C．
【分析】 根据 “两直线平行，同位角相等”，就能得到 ∠4=∠1=35°， 根据 “对顶角相等”，就能得到 ∠5=∠2=80 ， 根据 “三角形的内角和是 180 ，计算出∠3.
6．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．＜
C．2－a＞2－b D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
A、，原选项错误，不符合题意；
B、，原选项错误，不符合题意；
C、，原选项错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】本题考查了不等式的性质，要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以(或除以)同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变.．
7．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式4x+2＞6，得：x＞1，
解不等式7-3x≥1，得：x≤2，
则不等式组的解集为1＜x≤2，
在数轴上表示为 ，
故答案选：C．
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集。空心圆圈表示不含该点，对应 > 或 <；实心黑点表示包含该点，对应≥或≤；大于向右画，小于向左画。
8．今年某市有 万名学生参加了关于“你喜爱的一项体育运动”的问卷调查，从中抽取 名学生的调查结果进行统计分析，以下说法错误的是（　　）
A． 万名学生的问卷调查结果是总体
B． 名学生的问卷调查结果是样本
C．每一名学生的问卷调查结果是个体
D． 名学生是样本容量
【答案】D
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：A、 万名学生的问卷调查结果是总体，说法正确，不符合题意；
B、 名学生的问卷调查结果是样本，说法正确，不符合题意；
C、 每一名学生的问卷调查结果是个体，说法正确，不符合题意；
D、 是样本容量，原说法错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目；我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
9．某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或粗加工16吨．现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？设安排天精加工，天粗加工．为解决这个问题，所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设安排天精加工，天粗加工，根据题意得：
故选：D
【分析】
本题考查工程问题依据 工作总量 = 工作效率 × 工作时间。本题中，“每天加工吨数” 是效率，“天数” 是时间，“总吨数” 是总量。 所以精加工的天数+粗加工的天数=15，精加工的蔬菜吨数+粗加工的蔬菜吨数=140，列方程组，即可求解．
10．已知，规定“先作点关于轴对称，再将对称点向左平移个单位”为一次变换．那么连续经过次变换后，点的坐标变为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；用坐标表示平移；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵，
∴第一次变换后点的坐标变为；
第二次变换后点的坐标变为；
第三次变换后点的坐标变为；
第四次变换后点的坐标变为；
；
∴奇数次变换点在轴下方纵坐标为，横坐标为“减去次数”，偶数次变换点在轴上方，纵坐标为，横坐标为“减去次数”，
∴第次变换后的点在轴下方，点的纵坐标为，横坐标为，
∴点的坐标变为，
故选：．
【分析】
本题考查了坐标系中点的对称变换和平移变换，由，根据题意得第一次变换后点的坐标变为；第二次变换后点的坐标变为；第三次变换后点的坐标变为；第四次变换后点的坐标变为.......，最后会发现奇数次变换后，点在 x 轴下方，纵坐标恒为 - 2；偶数次变换后，点在 x 轴上方，纵坐标恒为 2；横坐标每次都会减 1，也就是初始横坐标 “2” 减去变换次数。而2025 是奇数，所以纵坐标为 - 2，横坐标为 2-2025=-2023。
11．的算术平方根是　 　
【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵=4，
∴的算术平方根是=2．
故答案为：2．
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果．
12．已知二元一次方程组，则的值为　 　．
【答案】3
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：原方程组为，
由得即．
故答案为：3．
【分析】
把这两个方程左边加左边，右边加右边：x+2y+2x+y=3x+3y以及4+5=9所以3x+3y=9，两边同时除以 3，就能直接得到x+y=3
13．点到轴的距离为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：点到轴的距离为，
故答案为：．
【分析】本题考查了坐标与距离，点到轴的距离等于该点的纵坐标的绝对值，到轴的距离等于该点的横坐标的绝对值，据此求解即可．
14．如图，点，，在直线上，，，，，则点到直线的距离是　 　cm．
【答案】5
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵，，
∴P到l的距离是垂线段的长度，
故答案为：5．
【分析】本题考查了点到直线的距离，根据连接直线外一点与直线上所有点的连线中垂线段最短以及点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案．
15．不等式2x+3<-1的解集是：　 　．
【答案】x<-2
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：解不等式2x+3<-1，
移项得：2x<-1-3，
合并得：2x<-4，
系数化成1得：x<-2，
故答案为：x<-2．
【分析】解一元一次不等式，按照去分母 、去括号、 移项、合并同类项、 系数化为 1的步骤进行，注意去括（括号前有负号）、移项，需要变号，最后一步注意乘以负数要变方向。
16．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=35°，则∠2的度数为　 　．
【答案】125°
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图：
∵∠1=35°，∠A=90°，
∴∠BCQ=∠A+∠1=90°+35°=125°，
∵EF∥MN，
∴∠2=∠BCQ=125°，
故答案为：125°．
【分析】
本题考查平行线的性质：“两直线平行，同位角相等 ”和三角形外角的性质 ：”三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和“ 。先利用三角形外角性质，求出与∠2 相等的同位角，再通过平行线的性质得到∠2 的度数。
17．计算：
【答案】解：原式=
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先进行平方、开平方和开立方的运算、同时去绝对值，然后合并同类根式和进行有理数的加减运算，即得结果.
18．解二元一次方程组：
【答案】解：将得：，
解得
将代入得：，
解得
∴该方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查解二元一次方程组， 观察一下这两个方程，第一个方程里有 y，第二个方程里有+y，它们是互为相反数的，这时候我们就可以用加减消元法，把两个方程直接相加，消去y。
19．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来
【答案】解：
由①得：x≥3，
由②得：x<4，
∴不等式的解集为3≤x<4.
不等式组的解集在数轴上表示为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，先分别解出每个不等式的解集，再找它们的公共部分，最后在数轴上表示出来。分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集。空心圆圈表示不含该点，对应 > 或 <；实心黑点表示包含该点，对应≥或≤；大于向右画，小于向左画
20．根据题意结合图形填空：
已知：如图，DEBC，∠ADE＝∠EFC，试说明：∠1＝∠2．
解：∵DEBC　 　
∴∠ADE＝　 　
∵∠ADE＝∠EFC　 　
∴　 　＝　 　
∴DBEF　 　
∴∠1＝∠2　 　．
【答案】解：∵DE∥BC（已知），
∴∠ADE＝∠ABC（两直线平行，同位角相等），
∵∠ADE＝∠EFC（已知），
∴∠ABC＝∠EFC，
∴DB∥EF （同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：已知；∠ABC；已知；∠ABC，∠EFC；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【知识点】同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】本题考查了平行线的判定与性质． 由，根据平行线的性质得，再由得到，根据平行线的判定得，然后根据平行线的性质即可得到．
21．某市一研究机构为了了解岁年龄段市民对创建文明城市的关注程度，随机选取了名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：
组别 年龄段 频数(人数)
第组
第组
第组
第组
第组
（1）请直接写出 ，第组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是 度；
（2）请补全上面的频数分布直方图：
（3）假设该市现有岁的市民万人，问岁年龄段的关注创建文明城市的人数约有多少？
【答案】（1）20，；
解：（2）a=100-5-35-20-15=25（人），补全频数分布直方图如图：
万万．
答：岁年龄段的关注创建文明城市的人数约万.
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵20÷100=20%，
∴m=20，
=126°，
故答案为：20，；
【分析】
（1）第 4 组频数是 20，总人数是 100，依据频率 = 频数 ÷ 总数 ，可求出第4组人数所占的百分比，确定m的值；第3组占总数的，依据 圆心角 = 频率 × 360° 进而求出对应的圆心角的度数；
（2）求出a的值，即可补全频数分布直方图；
（3）样本中岁年龄段的关注创建文明城市的人数占20%，用样本估计总体，用总体中某部分的数量 = 总体数量 × 样本中该部分的频率 ，因此估计总体180万人的20%即为所求.
22．如图，在边长为的正方形网格中，三角形中任意一点经平移后对应点为，已知，，，将三角形作同样的平移得到三角形．
（1）画出平移后的图形，并直接写出坐标；（___________，___________），
（2）三角形的面积为___________；
（3）已知点在轴上，且三角形的面积等于三角形面积的一半，求点坐标．
【答案】（1），
（2）
（3）解：设，则，
解得：或，
∴点P的坐标为或．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（1）解：如图，即为所作；
由图可知Ａ1坐标（－4，5）
故答案为：，；
（2）
解：，
故答案为：；
【分析】
本题主要考查作图—平移变换，解题的关键是根据对应点的坐标得出平移的方向和距离，并掌握平移变换的定义及其性质，据此得到变换后的对应点．
（1）由点经平移后对应点为知，向左平移个单位、向上平移个单位即可得到，那么剩下的无论是点也会按照向左平移个单位、向上平移个单位进行平移得到对应点，再首尾顺次连接即可，最后找到Ａ1的坐标。
（2） 用割补法来算，把三角形放在一个3×5的矩形里，先算矩形的面积是3×5=15，再减去周围三个直角三角形的面积： ×1×3、 ×4×2、 ×1×5，算出来三个面积分别是 1.5、4、2.5，用 15 减去这三个数，结果就是 7。
（3）根据三角形面积公式可得S△PAC =×∣t 2∣×1，所以我们可以列出方程： ×∣t 2∣=3.5，得解这个绝对值方程。
（1）解：如图，即为所作；
，，
则，
故答案为：，；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：设，
则，
解得：或，
∴点P的坐标为或．
23．今年6月，国务院总理李克强表示：“地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，是中国的生机”，一时间，地摊兴起．小王决定采购甲、乙两种文具到学校附近开摊经营，若采购甲种文具8件，乙种文具3件，需要95元；若采购甲种文具5件，乙种文具6件，需要80元．
（1）求甲、乙两种文具每件各多少元？
（2）小王想采购两种文具共100件，考虑到市场需求和资金周转，用于采购这100件文具的资金多于750元，但不超过765元，那么小王共有哪几种进货方案？请列举出来．
【答案】解：（1）设甲种文具每件x元，乙种文具每件y元，根据题意，得，解得．
答：甲种文具每件10元，乙种文具每件5元．
（2）设小王采购甲种文具t件，则采购乙种文具（100﹣t）件，根据题意，
得：750＜10t+5(100－t)≤765，解得50＜t≤53，
∵t为正整数，
∴t＝51，52，53，
即有三种方案．
第一种方案：购A种纪念品51件，B种纪念品49件；
第二种方案：购A种纪念品52件，B种纪念品48件；
第三种方案：购A种纪念品53件，B种纪念品47件．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 题目给了两种采购方案，我们可以设甲种文具每件x元，乙种文具每件y元，根据总价 = 单价 × 数量，列出方程组 ；
（2） 设采购甲种文具t件，那么乙种文具就是(100 t)件。根据资金要求，总费用要多于 750 元，不超过 765 元，所以列出不等式，化简后得到5024．对于x，y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．
（1）已知 ，，
①求a、b的值；
②若关于m的不等式组恰好有4个整数解，求有理数p的取值范围；
（2）若对任意有理数x，y都成立，则a、b应满足怎样的关系式？
【答案】（1）解：①根据题意得：；，
∴，
解得：，
②根据题意得：
由①得：，
由②得：，
∵关于m的不等式组恰好有4个整数解
∴，
∴；
（2）解：∵对任意有理数x，y都成立，
∴
∴
∴，即．
【知识点】公因式的概念；解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解和因式分解的应用，解题的关键是正确理解新定义运算法则以及整式的加减运算与乘除运算法则．
（1）①根据新定义得到；，建立二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
②根据新定义得到，求出不等式组的解集，再由不等式组恰好有4个整数解得出不等式组，求解不等式组即可；
（2）根据新定义得到，移项后进行因式分解得到，据此可得答案．
（1）解：①根据题意得：；，
解得：，
②根据题意得：
由①得：，
由②得：，
∵关于m的不等式组恰好有4个整数解
∴，
∴；
（2）解：∵对任意有理数x，y都成立
∴
∴
∴，即．
25．汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，且a、b满足，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且．
（1） ， ；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，求A灯转动几秒时，两灯的光束第一次互相平行？
（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，
①用含t的代数式表示
②过C作交PQ于点D，则在转动过程中，探究与有怎样的数量关系．
【答案】（1）3，1
（2）解：由（1）可知，灯A转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，设灯A转动秒时，两灯光第一次互相平行，由平行线性质，
可知，
解得；
∴A灯转动15秒时，两灯的光束第一次互相平行；
（3）①；
②，理由如下：
由题意可知，点一定在的右侧，，即，
，
，
．
【知识点】绝对值的非负性；一元一次方程的实际应用-几何问题；平行线的应用-求角度；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，
∴；
故答案为：3，1；
（3）①过点C作，
则
∵，
∴，
∴
∴，
即，
经过秒，，
故答案为：；
【分析】
（1） 绝对值和平方数都是非负数，两个非负数相加等于 0，只能是它们各自都等于 0，可得两个方程：a 3b=0和a+b 4=0，解方程即可。
（2）设灯 A 转x秒，那么灯 B 就转了(x+30)秒。灯 A 每秒转 3 °，所以转过的角度是3x°；灯 B 每秒转 1 °，转过的角度是(x+30)°。因为两岸河堤是平行的，当两束光平行时，它们形成的内错角相等，所以3x=x+30，解得x=15，也就是灯 A 转动 15 秒时，两束光第一次平行。”
（3）①过点C作，依据两直线平行内错角相等，则由得到（依据平行公理），则（依据同上），可得，经过秒，，得到；
②由题意可知，，即，得到，再得到，即可得到结论．
（1）解：∵，，
∴，
∴；
故答案为：3，1；
（2）解：由（1）可知，灯A转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，
设灯A转动秒时，两灯光第一次互相平行，由平行线性质，
可知，
解得；
∴A灯转动15秒时，两灯的光束第一次互相平行；
（3）解：①过点C作，
则
∵，
∴，
∴
∴，
即，
经过秒，，
故答案为：；
②，理由如下：
由题意可知，点一定在的右侧，，即，
，
，
．
1 / 1湖南省长沙市一中东山学校2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题
1．下列各数中：0， ，0.3， ，无理数是（　　）
A．0 B． C．0.3 D．
2．下列调查中，最适合采用抽样调查的是（　　）
A．在“新冠状肺炎”疫情期间，对出入某小区的人员进行体温检测
B．了解全班同学每周体育锻炼的时间
C．企业招聘，对应聘人员的面试
D．了解某批次灯泡的使用寿命情况
3．在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度，得到点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．下列方程组是二元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，直线l1∥l2，∠1＝35°，∠2＝80°，则∠3等于（　　）
A．55° B．60° C．65° D．70°
6．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．＜
C．2－a＞2－b D．
7．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
8．今年某市有 万名学生参加了关于“你喜爱的一项体育运动”的问卷调查，从中抽取 名学生的调查结果进行统计分析，以下说法错误的是（　　）
A． 万名学生的问卷调查结果是总体
B． 名学生的问卷调查结果是样本
C．每一名学生的问卷调查结果是个体
D． 名学生是样本容量
9．某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或粗加工16吨．现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？设安排天精加工，天粗加工．为解决这个问题，所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．已知，规定“先作点关于轴对称，再将对称点向左平移个单位”为一次变换．那么连续经过次变换后，点的坐标变为（　　）
A． B． C． D．
11．的算术平方根是　 　
12．已知二元一次方程组，则的值为　 　．
13．点到轴的距离为　 　．
14．如图，点，，在直线上，，，，，则点到直线的距离是　 　cm．
15．不等式2x+3<-1的解集是：　 　．
16．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=35°，则∠2的度数为　 　．
17．计算：
18．解二元一次方程组：
19．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来
20．根据题意结合图形填空：
已知：如图，DEBC，∠ADE＝∠EFC，试说明：∠1＝∠2．
解：∵DEBC　 　
∴∠ADE＝　 　
∵∠ADE＝∠EFC　 　
∴　 　＝　 　
∴DBEF　 　
∴∠1＝∠2　 　．
21．某市一研究机构为了了解岁年龄段市民对创建文明城市的关注程度，随机选取了名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：
组别 年龄段 频数(人数)
第组
第组
第组
第组
第组
（1）请直接写出 ，第组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是 度；
（2）请补全上面的频数分布直方图：
（3）假设该市现有岁的市民万人，问岁年龄段的关注创建文明城市的人数约有多少？
22．如图，在边长为的正方形网格中，三角形中任意一点经平移后对应点为，已知，，，将三角形作同样的平移得到三角形．
（1）画出平移后的图形，并直接写出坐标；（___________，___________），
（2）三角形的面积为___________；
（3）已知点在轴上，且三角形的面积等于三角形面积的一半，求点坐标．
23．今年6月，国务院总理李克强表示：“地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，是中国的生机”，一时间，地摊兴起．小王决定采购甲、乙两种文具到学校附近开摊经营，若采购甲种文具8件，乙种文具3件，需要95元；若采购甲种文具5件，乙种文具6件，需要80元．
（1）求甲、乙两种文具每件各多少元？
（2）小王想采购两种文具共100件，考虑到市场需求和资金周转，用于采购这100件文具的资金多于750元，但不超过765元，那么小王共有哪几种进货方案？请列举出来．
24．对于x，y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．
（1）已知 ，，
①求a、b的值；
②若关于m的不等式组恰好有4个整数解，求有理数p的取值范围；
（2）若对任意有理数x，y都成立，则a、b应满足怎样的关系式？
25．汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，且a、b满足，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且．
（1） ， ；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，求A灯转动几秒时，两灯的光束第一次互相平行？
（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，
①用含t的代数式表示
②过C作交PQ于点D，则在转动过程中，探究与有怎样的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：0是整数，属于有理数；
是无理数；
0.3是有限小数，属于有理数；
是分数，属于有理数．
故答案为：B．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
2．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、在“新冠状肺炎”疫情期间，对出入某小区的人员进行体温检测，应采用全面调查；
B、了解全班同学每周体育锻炼的时间，应采用全面调查；
C、企业招聘，对应聘人员的面试，应采用全面调查；
D、了解某批次灯泡的使用寿命情况，具有破坏性，应采用抽样调查；
故答案为：D．
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
3．【答案】C
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：将点P（1，-2）向上平移3个单位长度，得到点P'的坐标是（1，-2+3），即（1，1）．故答案选：C．
【分析】熟记平移中点的变化规律：上加下减纵坐标，上加下减横坐标．
4．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：A、是三元一次方程组，故本选项错误；
B、 是分式，不是二元一次方程组，故本选项错误；
C、是二元二次方程组，故本选项错误；
D、是二元一次方程组，故本选项正确．
故选D．
【分析】根据二元一次方程组的定义：组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，对各选项进行逐一分析即可．
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠4＝35°．
∵∠2＝∠5＝80°，
又∵∠3+∠5+∠4＝180°，
∴∠3＝180°-∠5-∠4
＝180°-80°-35°
＝65°．
故选：C．
【分析】 根据 “两直线平行，同位角相等”，就能得到 ∠4=∠1=35°， 根据 “对顶角相等”，就能得到 ∠5=∠2=80 ， 根据 “三角形的内角和是 180 ，计算出∠3.
6．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
A、，原选项错误，不符合题意；
B、，原选项错误，不符合题意；
C、，原选项错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】本题考查了不等式的性质，要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以(或除以)同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变.．
7．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式4x+2＞6，得：x＞1，
解不等式7-3x≥1，得：x≤2，
则不等式组的解集为1＜x≤2，
在数轴上表示为 ，
故答案选：C．
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集。空心圆圈表示不含该点，对应 > 或 <；实心黑点表示包含该点，对应≥或≤；大于向右画，小于向左画。
8．【答案】D
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：A、 万名学生的问卷调查结果是总体，说法正确，不符合题意；
B、 名学生的问卷调查结果是样本，说法正确，不符合题意；
C、 每一名学生的问卷调查结果是个体，说法正确，不符合题意；
D、 是样本容量，原说法错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目；我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
9．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设安排天精加工，天粗加工，根据题意得：
故选：D
【分析】
本题考查工程问题依据 工作总量 = 工作效率 × 工作时间。本题中，“每天加工吨数” 是效率，“天数” 是时间，“总吨数” 是总量。 所以精加工的天数+粗加工的天数=15，精加工的蔬菜吨数+粗加工的蔬菜吨数=140，列方程组，即可求解．
10．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；用坐标表示平移；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵，
∴第一次变换后点的坐标变为；
第二次变换后点的坐标变为；
第三次变换后点的坐标变为；
第四次变换后点的坐标变为；
；
∴奇数次变换点在轴下方纵坐标为，横坐标为“减去次数”，偶数次变换点在轴上方，纵坐标为，横坐标为“减去次数”，
∴第次变换后的点在轴下方，点的纵坐标为，横坐标为，
∴点的坐标变为，
故选：．
【分析】
本题考查了坐标系中点的对称变换和平移变换，由，根据题意得第一次变换后点的坐标变为；第二次变换后点的坐标变为；第三次变换后点的坐标变为；第四次变换后点的坐标变为.......，最后会发现奇数次变换后，点在 x 轴下方，纵坐标恒为 - 2；偶数次变换后，点在 x 轴上方，纵坐标恒为 2；横坐标每次都会减 1，也就是初始横坐标 “2” 减去变换次数。而2025 是奇数，所以纵坐标为 - 2，横坐标为 2-2025=-2023。
11．【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵=4，
∴的算术平方根是=2．
故答案为：2．
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果．
12．【答案】3
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：原方程组为，
由得即．
故答案为：3．
【分析】
把这两个方程左边加左边，右边加右边：x+2y+2x+y=3x+3y以及4+5=9所以3x+3y=9，两边同时除以 3，就能直接得到x+y=3
13．【答案】
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：点到轴的距离为，
故答案为：．
【分析】本题考查了坐标与距离，点到轴的距离等于该点的纵坐标的绝对值，到轴的距离等于该点的横坐标的绝对值，据此求解即可．
14．【答案】5
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵，，
∴P到l的距离是垂线段的长度，
故答案为：5．
【分析】本题考查了点到直线的距离，根据连接直线外一点与直线上所有点的连线中垂线段最短以及点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案．
15．【答案】x<-2
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：解不等式2x+3<-1，
移项得：2x<-1-3，
合并得：2x<-4，
系数化成1得：x<-2，
故答案为：x<-2．
【分析】解一元一次不等式，按照去分母 、去括号、 移项、合并同类项、 系数化为 1的步骤进行，注意去括（括号前有负号）、移项，需要变号，最后一步注意乘以负数要变方向。
16．【答案】125°
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图：
∵∠1=35°，∠A=90°，
∴∠BCQ=∠A+∠1=90°+35°=125°，
∵EF∥MN，
∴∠2=∠BCQ=125°，
故答案为：125°．
【分析】
本题考查平行线的性质：“两直线平行，同位角相等 ”和三角形外角的性质 ：”三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和“ 。先利用三角形外角性质，求出与∠2 相等的同位角，再通过平行线的性质得到∠2 的度数。
17．【答案】解：原式=
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先进行平方、开平方和开立方的运算、同时去绝对值，然后合并同类根式和进行有理数的加减运算，即得结果.
18．【答案】解：将得：，
解得
将代入得：，
解得
∴该方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查解二元一次方程组， 观察一下这两个方程，第一个方程里有 y，第二个方程里有+y，它们是互为相反数的，这时候我们就可以用加减消元法，把两个方程直接相加，消去y。
19．【答案】解：
由①得：x≥3，
由②得：x<4，
∴不等式的解集为3≤x<4.
不等式组的解集在数轴上表示为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，先分别解出每个不等式的解集，再找它们的公共部分，最后在数轴上表示出来。分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集。空心圆圈表示不含该点，对应 > 或 <；实心黑点表示包含该点，对应≥或≤；大于向右画，小于向左画
20．【答案】解：∵DE∥BC（已知），
∴∠ADE＝∠ABC（两直线平行，同位角相等），
∵∠ADE＝∠EFC（已知），
∴∠ABC＝∠EFC，
∴DB∥EF （同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：已知；∠ABC；已知；∠ABC，∠EFC；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【知识点】同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】本题考查了平行线的判定与性质． 由，根据平行线的性质得，再由得到，根据平行线的判定得，然后根据平行线的性质即可得到．
21．【答案】（1）20，；
解：（2）a=100-5-35-20-15=25（人），补全频数分布直方图如图：
万万．
答：岁年龄段的关注创建文明城市的人数约万.
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵20÷100=20%，
∴m=20，
=126°，
故答案为：20，；
【分析】
（1）第 4 组频数是 20，总人数是 100，依据频率 = 频数 ÷ 总数 ，可求出第4组人数所占的百分比，确定m的值；第3组占总数的，依据 圆心角 = 频率 × 360° 进而求出对应的圆心角的度数；
（2）求出a的值，即可补全频数分布直方图；
（3）样本中岁年龄段的关注创建文明城市的人数占20%，用样本估计总体，用总体中某部分的数量 = 总体数量 × 样本中该部分的频率 ，因此估计总体180万人的20%即为所求.
22．【答案】（1），
（2）
（3）解：设，则，
解得：或，
∴点P的坐标为或．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（1）解：如图，即为所作；
由图可知Ａ1坐标（－4，5）
故答案为：，；
（2）
解：，
故答案为：；
【分析】
本题主要考查作图—平移变换，解题的关键是根据对应点的坐标得出平移的方向和距离，并掌握平移变换的定义及其性质，据此得到变换后的对应点．
（1）由点经平移后对应点为知，向左平移个单位、向上平移个单位即可得到，那么剩下的无论是点也会按照向左平移个单位、向上平移个单位进行平移得到对应点，再首尾顺次连接即可，最后找到Ａ1的坐标。
（2） 用割补法来算，把三角形放在一个3×5的矩形里，先算矩形的面积是3×5=15，再减去周围三个直角三角形的面积： ×1×3、 ×4×2、 ×1×5，算出来三个面积分别是 1.5、4、2.5，用 15 减去这三个数，结果就是 7。
（3）根据三角形面积公式可得S△PAC =×∣t 2∣×1，所以我们可以列出方程： ×∣t 2∣=3.5，得解这个绝对值方程。
（1）解：如图，即为所作；
，，
则，
故答案为：，；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：设，
则，
解得：或，
∴点P的坐标为或．
23．【答案】解：（1）设甲种文具每件x元，乙种文具每件y元，根据题意，得，解得．
答：甲种文具每件10元，乙种文具每件5元．
（2）设小王采购甲种文具t件，则采购乙种文具（100﹣t）件，根据题意，
得：750＜10t+5(100－t)≤765，解得50＜t≤53，
∵t为正整数，
∴t＝51，52，53，
即有三种方案．
第一种方案：购A种纪念品51件，B种纪念品49件；
第二种方案：购A种纪念品52件，B种纪念品48件；
第三种方案：购A种纪念品53件，B种纪念品47件．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 题目给了两种采购方案，我们可以设甲种文具每件x元，乙种文具每件y元，根据总价 = 单价 × 数量，列出方程组 ；
（2） 设采购甲种文具t件，那么乙种文具就是(100 t)件。根据资金要求，总费用要多于 750 元，不超过 765 元，所以列出不等式，化简后得到5024．【答案】（1）解：①根据题意得：；，
∴，
解得：，
②根据题意得：
由①得：，
由②得：，
∵关于m的不等式组恰好有4个整数解
∴，
∴；
（2）解：∵对任意有理数x，y都成立，
∴
∴
∴，即．
【知识点】公因式的概念；解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解和因式分解的应用，解题的关键是正确理解新定义运算法则以及整式的加减运算与乘除运算法则．
（1）①根据新定义得到；，建立二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
②根据新定义得到，求出不等式组的解集，再由不等式组恰好有4个整数解得出不等式组，求解不等式组即可；
（2）根据新定义得到，移项后进行因式分解得到，据此可得答案．
（1）解：①根据题意得：；，
解得：，
②根据题意得：
由①得：，
由②得：，
∵关于m的不等式组恰好有4个整数解
∴，
∴；
（2）解：∵对任意有理数x，y都成立
∴
∴
∴，即．
25．【答案】（1）3，1
（2）解：由（1）可知，灯A转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，设灯A转动秒时，两灯光第一次互相平行，由平行线性质，
可知，
解得；
∴A灯转动15秒时，两灯的光束第一次互相平行；
（3）①；
②，理由如下：
由题意可知，点一定在的右侧，，即，
，
，
．
【知识点】绝对值的非负性；一元一次方程的实际应用-几何问题；平行线的应用-求角度；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，
∴；
故答案为：3，1；
（3）①过点C作，
则
∵，
∴，
∴
∴，
即，
经过秒，，
故答案为：；
【分析】
（1） 绝对值和平方数都是非负数，两个非负数相加等于 0，只能是它们各自都等于 0，可得两个方程：a 3b=0和a+b 4=0，解方程即可。
（2）设灯 A 转x秒，那么灯 B 就转了(x+30)秒。灯 A 每秒转 3 °，所以转过的角度是3x°；灯 B 每秒转 1 °，转过的角度是(x+30)°。因为两岸河堤是平行的，当两束光平行时，它们形成的内错角相等，所以3x=x+30，解得x=15，也就是灯 A 转动 15 秒时，两束光第一次平行。”
（3）①过点C作，依据两直线平行内错角相等，则由得到（依据平行公理），则（依据同上），可得，经过秒，，得到；
②由题意可知，，即，得到，再得到，即可得到结论．
（1）解：∵，，
∴，
∴；
故答案为：3，1；
（2）解：由（1）可知，灯A转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，
设灯A转动秒时，两灯光第一次互相平行，由平行线性质，
可知，
解得；
∴A灯转动15秒时，两灯的光束第一次互相平行；
（3）解：①过点C作，
则
∵，
∴，
∴
∴，
即，
经过秒，，
故答案为：；
②，理由如下：
由题意可知，点一定在的右侧，，即，
，
，
．
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