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湖南省岳阳市第二中学2025年2月九年级下学期入学考试数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分)
1．若x的相反数是3，则x的值是（ )
A．±3 B． C．3 D．-3
【答案】D
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：-3的相反数是3，
∴x= 3.
故答案为：D.
【分析】根据相反数的定义，求与3互为相反数的数。
2．湖南省2024年地区生产总值突破五万亿元，同比增长4.6%，其中数据50000用科学记数法可表示为（　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：50000=5×104
故答案为：B.
【分析】确定科学记数法中a和n的值，a满足1≤a<10， n为整数。
3．下列图标是第十九届杭州亚运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【分析】
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
4．下列计算正确的是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.a2+a2=2a2，A不符合题意；
B. (ab3)2 = a2b6，B不符合题意；
C.a5÷a2=a3，C符合题意；
D.(x-2)2=x2-4x+4，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】分别根据合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方法则、同底数幂的除法法则、完全平方公式，对各选项的计算过程及结果进行判断。
5．在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇7个村的得分如下：98，90，88，96，92，96，86，这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．90，96 B．92，96 C．92，98 D．91，92
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】将数据从小到大排列：86，88，90，92，96，96，98；
可得中位数为92，众数为96，
故答案为：B．
【分析】 由于这组数据有7个，将这组数据从小到大排列后排在第四位的数就是中位数；这组数据中出现次数最多的数据就是众数，根据定义即可得出答案。
6．已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D.若∠2=78°，则∠1的度数为（ )
A．30° B．33° C．35° D．22°
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图
∵ m∥n
∴∠3=∠2=78°
∵∠3=∠B+∠1
∴∠1=∠3-∠B=33°
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质求出∠3，再结合三角形外角定理即可求解。
7．直线不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由于，，
故函数过一、二、四象限，不过第三象限．
直线不经过第三象限，
故选C.
【分析】
对于一次函数，当时直线过一、二、四象限．
8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解①，得x≤2，
解②，得x＞-1．
所以原不等式组的解集为：-1＜x≤2．
故答案为：C．
【分析】先求出不等式①、 ② 的解集，再求不等组的解集，最后确定符合条件的选项。
9．已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时的电流I（单位：A)、电阻R（单位：Ω)与电压U （单位：V)的关系式：U=IR，它的图象如图所示.下列说法正确的是（ )
A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是18V
C．当I≤10A时， R≥3.6Ω D．当R=6Ω时， I=4A
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设
∵图象过(4，9)，
∴U=36
∴，A不符合题意；
当I≤10A时，R≥3.6Ω，C符合题意；
当R=6Ω时，I=6A，D不符合题意；
蓄电池的电压不一定是18V，B不符合题意。
故答案为：C.
【分析】利用图象经过点(4，9)可求出反比例函数解析式，再结合图象性质可判断其余各项。
10．若x， y满足 且x≠y（t为常数) ，则称点M （x， y)为“美好点”.下列三个结论：
①点C （-1， 4)是“美好点”；
② 若点D （2， a)是“美好点”，则a=1；
③ 若双曲线 上存在“美好点”，则k的取值范围为
其中正确结论的个数是（　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：①∵x2=-3y+t，y2=-3x+t，两者作差得x2-y2=3x-3y，∵x≠y，∴x+y=3，又∵-1+4=3，∴点C(-1，4)是“美好点”，故该结论正确；
②若点D(2，a)是“美好点”，则2+a=(1<<2)上存3，∴a=1，故该结论正确；
③若双曲线+=-.K=(3-)=x2+3x=-3)+在“美好点”，则1<≤2，∵k的取值范围为2<9故该结论错误.
故答案为：C.
【分析】先通过两方程作差得出x+y=3，再结合“美好点”定义及各结论条件判断正确性。
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分)
11．因式分解： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
12．函数 中自变量x的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：依题意
解得
故答案为：.
【分析】根据二次根式有意义的条件，列出关于x的不等式并求解。
13．在平面直角坐标系中，点P （5，-3)关于x轴对称的点P1的坐标是　 　.
【答案】(5，3)
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：关于x轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，故P1的坐标是(5，3).
故答案为：(5，3).
【分析】根据关于x轴对称的点坐标关系求解。
14．分式方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解．
故答案为：．
【分析】
解分式方程的一般步骤是，先去分母转化分式方程为整式方程，再解整式方程，再检验，最后再根据验根的结果写分式方程的解．
15．关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 m的值是　 　.
【答案】0或8
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：依题意△=（m-2）2-4（m+1）=0，
即m2-8m=0，
解得m=0或m=8.
故答案为：0或8.
【分析】先根据一元二次方程有两个相等实数根得出判别式等于0，再代入系数计算并求解关于m的方程。
16．一个对角线长分别为和的菱形，这个菱形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：菱形的面积为，
故答案为：．
【分析】根据菱形的面积计算公式结合题意即可求解。
17．如图， △ABC的边AC与⊙O相交于C， D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为点B.如果∠A= 38°，那么∠C等于　 　.
【答案】26°
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB与⊙O相切，切点为点B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
∴∠AOB=90°-∠A=90°-38°=52°，
∠C=∠AOB=26°
故答案为：26°.
【分析】构造直角三角形，求出∠AOB的度数，再利用圆周角定理可求∠C的度数。
18．如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， ∠ABC=30°， AC=4，按下列步骤作图： ①在AC和AB上分别截取AD、AE，使AD=AE.②分别以点D和点E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点 M.③作射线AM交BC于点 F.若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则 的最小值是　 　.
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：由作图步骤可知，射线AM为∠CAB的角平分线，
∵∠ABC=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AM平分∠CAB，
∴∠CAF=∠BAF=∠CAB=30°
过点C作CN⊥AB于N，交AF于P，
在Rt△APN中，∠BAF=30°，
∴PN=AP
∴CP+AP=CP+PN=CN
根据垂线段最短可知此时CP+PN值最小
在Rt△ACN中，∠CAN=60°，AC=4，
∴sin60°=
∴CN=sin60°×AC=
∴CP+AP=CP+PN=CN
故答案为：.
【分析】根据尺规作图步骤即可判断AM为∠CAB的角平分线，从而求出∠BAF=30°，在Rt△APN中可证明CP+AP=CN，解Rt△ACN可求出CN的长度，利用垂线段最短的性质可知CP+AP的最小值即为。
三、解答题（本题共 8 小题，共 66分)
19．计算：
【答案】解：原式=
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】利用负整数指数幂公式、特殊锐角三角函数值、二次根式、零指数幂公式分别计算即可。
20．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值；分母有理化
【解析】【解答】解：原式
，
当时，原式．
【分析】
本题考查的是分式的化简求值，二次根式的化简等知识点， 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，化简过程还用到了完全平方公式、平方差公式以及提公因式法，最后把x的值代入进行计算即可，
21．某校利用课后延时服务时间，开设“阳光球类系列课程”，有足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球五大球类课程，为了解学生对课程的喜爱情况，随机调查了m名学生（每名学生必选且只选其中一门课程)，根据以下统计图提供的信息，解答下列问题：
（1） m=　 　， n=　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）“足球”课程在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角度数为　 　；
（4）若全校共有3000名学生，请估计该校约有多少名学生喜爱打乒乓球.
【答案】（1）100；5
（2）解：100-30-20-10-5=35 (名)
如图所示：
（3）126°
（4）解： (名)
∴学校约有600名学生喜爱打乒乓球
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：(1)解： m=30÷30%=100 (名)；
故答案为： 100， 5；
(3)解：
“足球”课程在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角度数为126°；
【分析】(1)利用两个统计图中“篮球”这一项的信息即可求出m，再结合排球这一项的人数可求出n；
(2)根据前面的信息求出喜爱足球的人数，即可补全图形；
(3)用足球这一项的百分比乘样本容量即可；
(4)先求出样本中喜爱乒乓球的人数所占比例，再用这个比例乘全校人数即可求解。
22．3月12日，某校开展植树活动，准备购买桂花树和香樟树，已知购买1棵香樟树和2棵桂花树共需240元，购买2棵香樟树和3棵桂花树共需390元．
（1）求香樟树和桂花树的单价；
（2）现需一次性购买香樟树和桂花树共40棵，要求总费用不超过3300元，学校最多可以购买多少棵桂花树？
【答案】（1）解：设香樟树和桂花树单价分别为元，y元
根据题意得，，
解方程得，，
答．香樟树和桂花树单价分别为60元，90元．
（2）解： 设学校购买桂花树棵，则购买香樟树棵，
根据题意得，，
解不等式得，，
答：最多可以购买桂花树30棵．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】
（1）设香樟树和桂花树单价分别为元，y元，由相等关系“购买1棵香樟树和2棵桂花树共需240元，购买2棵香樟树和3棵桂花树共需390元”列关于x、y的二元一次方程组并求解即可；
（2）设购买桂花树棵，则购买香樟树棵，由总费用不超过3300元列关于m的一元一次不等式并求出最大整数解即可．
23．如图，在矩形ABCD中， O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC分别交BC， AD边于点E， F，连接AE，CF.
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB=6， BC=8，求菱形AECF的边长.
【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠FAO=∠ECO
∵点O是AC的中点
∴OA=OC
在△AOF 和△COE中
∴△AOF≌△COE(ASA)
∴OE=OF
∵OA=OC
∴四边形AECF 是平行四边形
∵EF⊥AC
∴四边形AECF 是菱形
（2）解：∵四边形ABCD是矩形
∴DB=90°
∵四边形AECF 是菱形
∴AE=CE
设菱形的边长为x，
则AE=CE=x， BE=8-x
在Rt△ABE中
即
解得
∴菱形的边长为
【知识点】勾股定理；菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)首先利用矩形的性质和中点的定义证明△AOF≌△COE，从而得到OE=OF，进一步可证明四边形AECF 是平行四边形，结合对角线互相垂直得证结论；
(2)首先证明四边形AECF 是菱形，设未知数表示它的边长，利用勾股定理建立方程即可求出该边长。
24．综合实践活动：
项目 测量古塔的高度及古塔底面圆的半径
测量工具 测角仪、卷尺等
测量 说明：点H为古塔底面圆圆心，测角仪高度AB=CD=1m，在B，D处分别测得古塔顶端G的仰角 为α和45°，AC=9m.在与古塔底部边缘E水平距离5m的点F处测得古塔顶端G的仰角为β （∠GFE=β).点A，C，H，E，F在同一水平直线上
参考数据
项目任务 （1） 设CH=x（单位：m)， ①用含有x的式子表示古塔的高度GH； ②求出古塔的高度GH（结果取整数)
（2） 求出古塔底面圆的半径HE（结果取整数)
【答案】解：(1) ①延长BD交GH于点M，
由题意可知 且四边形BACD，BAHM 均为矩形
∴AB=CD=HM=1， BD=AC=9
又∵CH=x，
∴DM=CH=x，
在Rt△GDM中，
∴GH=GM+HM =x+1.
②在Rt△GBM 中，
∴GM =BM·tanα， 即
解得
答：古塔的高度GH约为16m.
(2) 在Rt△GHF中，
∴HE=FH-FE=8-5=3(m)，
答：古塔底面圆的半径HE约为3m
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】(1)①构造Rt△GDM，解该直角三角形即可用含x的式子表示GH；
②解Rt△GBM得到利用题中所给参考值解次方程即可求出x，进而可求GH；
(2)解Rt△GHF可求出FH，再减去EF即得。
25．如图，正方形ABCD边长为6cm，点 E为对角线AC上一点，（CE=2AE，点 P在 AB边上以1cm/s的速度由点A向点 B运动，同时点Q在BC边上以2cm/s的速度由点 C向点 B运动，设运动时间为 t秒
（1）求证： △AEP∽△CEQ
（2）当 是直角三角形时，求 t 的值.
（3）连接AQ，当 时，求 的面积.
【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PAE=∠QCE=45°.
∵CE=2AE，AP=t，CQ=2t，
∴△AEP∽△CEQ
（2）解：过点E作EM⊥AB于点 M，过点E作EN⊥BC于点 N.
由题意知
∵CE=2AE
∵∠PAE=45°
∴AM =ME=2，EN=CN=4
∵AP=t ，CQ=2t，
∴BQ=6-2t，MP=|t-2|，BP=6-t，QN=|BN-BQ|=|2t-4|.
在Rt△EMP中，由勾股定理得
即
同理可求
①当∠EPQ=90°时，有
即
整理得
解得 (不合题意，舍去).
②当∠PEQ=90°时，有
即
整理得t-2=0，
解得t=2.
③当∠PQE=90°时，有
即
整理得
该方程无实数解.
综上所述，当△EPO是直角三角形时，t的值为( ）秒或2秒
（3）解：过点A作AF⊥AC，交CB的延长线于点F，连接FE交AQ于点G.
∵AF⊥AC， ∠ACF=45°，
∴AF=AC.
又∵CE=2AE，
∴∠AFE=∠AQE
∵∠AGF=∠EGQ，
∴△AGF∽△EGQ
∵∠AGE=∠FGQ，
∴△AGE∽△FGQ，
∴∠AEG=∠FQG
∵∠AFE+∠AEF=90°，
∴∠FQG+∠EQG=90°，
即∠FQE=90°，
∴△EQC 是等腰直角三角形.
∴QC=4，
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用两组对应边成比例，且其夹角相等可判定△AEP∽△CEQ；
(2)构造等腰直角三角形△AME与△ENC，用含t的式子表示出AP，CQ，BQ，MP，BP，QN的长度，利用勾股定理表示出EP2，PQ2，EQ2，再分三种情况结合勾股定理建立方程求解；
(3)构造等腰直角三角形△AFC，利用相等的角的同种三角函数值相等可证明∠AFE=∠AQE，进而得出△AGF∽△EGQ，推出△EQC 是等腰直角三角形，由图形可知△AQE的面积等于△AQC与△EQC的面积差，从而求解。
26．已知抛物线 与x轴交于点A（-1，0)， B（3，0).
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线与y轴交于点C，点P为线段OC上一点（不与端点重合)，直线PA，PB分别交抛物线于点 E，D，设 面积为 面积为 求 的值；
（3）如图2，点K是抛物线对称轴与x轴的交点，过点K的直线（不与对称轴重合)与抛物线交于点M，N，过抛物线顶点G作直线l∥x轴，点Q是直线 l上一动点.求QM+QN的最小值.
【答案】（1）解：∵抛物线. 与x轴交于点 A(-1，0)， B(3，0)，
∴
解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：设P(0，p)， 直线AP为 据题意得，
解得
∴y= px+p，
联立直线AP与抛物线得
解得 或
设P(0，p)， 直线BD为 据题意得，
解得
联立得
解得 或
∵
（3）解：设直线MN为y= kx+d(k≠0)，由K(1，0)得k+d=0，
∴d=-k，
∴y= kx-k，
设
联立直线MN与抛物线
得
根据根与系数的关系可得： m+n=2-k， mn=-k-3，
作点N关于直线l的对称点 N'，连接MN'，
由题意得直线l：y=4，则
∴QM+QN=QM+QN'≥MN'，
过M 点作MF⊥NN'于 F，则
则
在Rt△MFN'中，
即当k=0时， 此时
故QM+QN的最小值为
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)将A，B坐标代入解析式，解方程题组求出b，c即可；
(2)设P(0，p)，分别用含p的式子表示出直线AP，BD的解析式，进而写出E，D坐标，利用，分别表示出S1，S2，从而可求比值；
(3)用参数k表示直线MN的解析式，设参数表示M，N的坐标，联立直线MN与抛物线得到关于k的一元二次方程，根据韦达定理可得m，n，k之间的关系，作点N关于直线l的对称点 N'，利用将军饮马模型知QM+QN的最小值为MN'，构造Rt△MFN'，结合勾股定理表示出再根据参数k的取值可判断的最小值。
1 / 1湖南省岳阳市第二中学2025年2月九年级下学期入学考试数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分)
1．若x的相反数是3，则x的值是（ )
A．±3 B． C．3 D．-3
2．湖南省2024年地区生产总值突破五万亿元，同比增长4.6%，其中数据50000用科学记数法可表示为（　　)
A． B． C． D．
3．下列图标是第十九届杭州亚运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（　　)
A． B．
C． D．
5．在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇7个村的得分如下：98，90，88，96，92，96，86，这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．90，96 B．92，96 C．92，98 D．91，92
6．已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D.若∠2=78°，则∠1的度数为（ )
A．30° B．33° C．35° D．22°
7．直线不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时的电流I（单位：A)、电阻R（单位：Ω)与电压U （单位：V)的关系式：U=IR，它的图象如图所示.下列说法正确的是（ )
A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是18V
C．当I≤10A时， R≥3.6Ω D．当R=6Ω时， I=4A
10．若x， y满足 且x≠y（t为常数) ，则称点M （x， y)为“美好点”.下列三个结论：
①点C （-1， 4)是“美好点”；
② 若点D （2， a)是“美好点”，则a=1；
③ 若双曲线 上存在“美好点”，则k的取值范围为
其中正确结论的个数是（　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分)
11．因式分解： 　 　.
12．函数 中自变量x的取值范围是　 　.
13．在平面直角坐标系中，点P （5，-3)关于x轴对称的点P1的坐标是　 　.
14．分式方程的解为　 　．
15．关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 m的值是　 　.
16．一个对角线长分别为和的菱形，这个菱形的面积为　 　．
17．如图， △ABC的边AC与⊙O相交于C， D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为点B.如果∠A= 38°，那么∠C等于　 　.
18．如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， ∠ABC=30°， AC=4，按下列步骤作图： ①在AC和AB上分别截取AD、AE，使AD=AE.②分别以点D和点E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点 M.③作射线AM交BC于点 F.若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则 的最小值是　 　.
三、解答题（本题共 8 小题，共 66分)
19．计算：
20．先化简，再求值：，其中．
21．某校利用课后延时服务时间，开设“阳光球类系列课程”，有足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球五大球类课程，为了解学生对课程的喜爱情况，随机调查了m名学生（每名学生必选且只选其中一门课程)，根据以下统计图提供的信息，解答下列问题：
（1） m=　 　， n=　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）“足球”课程在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角度数为　 　；
（4）若全校共有3000名学生，请估计该校约有多少名学生喜爱打乒乓球.
22．3月12日，某校开展植树活动，准备购买桂花树和香樟树，已知购买1棵香樟树和2棵桂花树共需240元，购买2棵香樟树和3棵桂花树共需390元．
（1）求香樟树和桂花树的单价；
（2）现需一次性购买香樟树和桂花树共40棵，要求总费用不超过3300元，学校最多可以购买多少棵桂花树？
23．如图，在矩形ABCD中， O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC分别交BC， AD边于点E， F，连接AE，CF.
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB=6， BC=8，求菱形AECF的边长.
24．综合实践活动：
项目 测量古塔的高度及古塔底面圆的半径
测量工具 测角仪、卷尺等
测量 说明：点H为古塔底面圆圆心，测角仪高度AB=CD=1m，在B，D处分别测得古塔顶端G的仰角 为α和45°，AC=9m.在与古塔底部边缘E水平距离5m的点F处测得古塔顶端G的仰角为β （∠GFE=β).点A，C，H，E，F在同一水平直线上
参考数据
项目任务 （1） 设CH=x（单位：m)， ①用含有x的式子表示古塔的高度GH； ②求出古塔的高度GH（结果取整数)
（2） 求出古塔底面圆的半径HE（结果取整数)
25．如图，正方形ABCD边长为6cm，点 E为对角线AC上一点，（CE=2AE，点 P在 AB边上以1cm/s的速度由点A向点 B运动，同时点Q在BC边上以2cm/s的速度由点 C向点 B运动，设运动时间为 t秒
（1）求证： △AEP∽△CEQ
（2）当 是直角三角形时，求 t 的值.
（3）连接AQ，当 时，求 的面积.
26．已知抛物线 与x轴交于点A（-1，0)， B（3，0).
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线与y轴交于点C，点P为线段OC上一点（不与端点重合)，直线PA，PB分别交抛物线于点 E，D，设 面积为 面积为 求 的值；
（3）如图2，点K是抛物线对称轴与x轴的交点，过点K的直线（不与对称轴重合)与抛物线交于点M，N，过抛物线顶点G作直线l∥x轴，点Q是直线 l上一动点.求QM+QN的最小值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：-3的相反数是3，
∴x= 3.
故答案为：D.
【分析】根据相反数的定义，求与3互为相反数的数。
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：50000=5×104
故答案为：B.
【分析】确定科学记数法中a和n的值，a满足1≤a<10， n为整数。
3．【答案】A
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【分析】
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.a2+a2=2a2，A不符合题意；
B. (ab3)2 = a2b6，B不符合题意；
C.a5÷a2=a3，C符合题意；
D.(x-2)2=x2-4x+4，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】分别根据合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方法则、同底数幂的除法法则、完全平方公式，对各选项的计算过程及结果进行判断。
5．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】将数据从小到大排列：86，88，90，92，96，96，98；
可得中位数为92，众数为96，
故答案为：B．
【分析】 由于这组数据有7个，将这组数据从小到大排列后排在第四位的数就是中位数；这组数据中出现次数最多的数据就是众数，根据定义即可得出答案。
6．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图
∵ m∥n
∴∠3=∠2=78°
∵∠3=∠B+∠1
∴∠1=∠3-∠B=33°
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质求出∠3，再结合三角形外角定理即可求解。
7．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由于，，
故函数过一、二、四象限，不过第三象限．
直线不经过第三象限，
故选C.
【分析】
对于一次函数，当时直线过一、二、四象限．
8．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解①，得x≤2，
解②，得x＞-1．
所以原不等式组的解集为：-1＜x≤2．
故答案为：C．
【分析】先求出不等式①、 ② 的解集，再求不等组的解集，最后确定符合条件的选项。
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设
∵图象过(4，9)，
∴U=36
∴，A不符合题意；
当I≤10A时，R≥3.6Ω，C符合题意；
当R=6Ω时，I=6A，D不符合题意；
蓄电池的电压不一定是18V，B不符合题意。
故答案为：C.
【分析】利用图象经过点(4，9)可求出反比例函数解析式，再结合图象性质可判断其余各项。
10．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：①∵x2=-3y+t，y2=-3x+t，两者作差得x2-y2=3x-3y，∵x≠y，∴x+y=3，又∵-1+4=3，∴点C(-1，4)是“美好点”，故该结论正确；
②若点D(2，a)是“美好点”，则2+a=(1<<2)上存3，∴a=1，故该结论正确；
③若双曲线+=-.K=(3-)=x2+3x=-3)+在“美好点”，则1<≤2，∵k的取值范围为2<9故该结论错误.
故答案为：C.
【分析】先通过两方程作差得出x+y=3，再结合“美好点”定义及各结论条件判断正确性。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
12．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：依题意
解得
故答案为：.
【分析】根据二次根式有意义的条件，列出关于x的不等式并求解。
13．【答案】(5，3)
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：关于x轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，故P1的坐标是(5，3).
故答案为：(5，3).
【分析】根据关于x轴对称的点坐标关系求解。
14．【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解．
故答案为：．
【分析】
解分式方程的一般步骤是，先去分母转化分式方程为整式方程，再解整式方程，再检验，最后再根据验根的结果写分式方程的解．
15．【答案】0或8
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：依题意△=（m-2）2-4（m+1）=0，
即m2-8m=0，
解得m=0或m=8.
故答案为：0或8.
【分析】先根据一元二次方程有两个相等实数根得出判别式等于0，再代入系数计算并求解关于m的方程。
16．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：菱形的面积为，
故答案为：．
【分析】根据菱形的面积计算公式结合题意即可求解。
17．【答案】26°
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB与⊙O相切，切点为点B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
∴∠AOB=90°-∠A=90°-38°=52°，
∠C=∠AOB=26°
故答案为：26°.
【分析】构造直角三角形，求出∠AOB的度数，再利用圆周角定理可求∠C的度数。
18．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：由作图步骤可知，射线AM为∠CAB的角平分线，
∵∠ABC=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AM平分∠CAB，
∴∠CAF=∠BAF=∠CAB=30°
过点C作CN⊥AB于N，交AF于P，
在Rt△APN中，∠BAF=30°，
∴PN=AP
∴CP+AP=CP+PN=CN
根据垂线段最短可知此时CP+PN值最小
在Rt△ACN中，∠CAN=60°，AC=4，
∴sin60°=
∴CN=sin60°×AC=
∴CP+AP=CP+PN=CN
故答案为：.
【分析】根据尺规作图步骤即可判断AM为∠CAB的角平分线，从而求出∠BAF=30°，在Rt△APN中可证明CP+AP=CN，解Rt△ACN可求出CN的长度，利用垂线段最短的性质可知CP+AP的最小值即为。
19．【答案】解：原式=
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】利用负整数指数幂公式、特殊锐角三角函数值、二次根式、零指数幂公式分别计算即可。
20．【答案】解：原式
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值；分母有理化
【解析】【解答】解：原式
，
当时，原式．
【分析】
本题考查的是分式的化简求值，二次根式的化简等知识点， 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，化简过程还用到了完全平方公式、平方差公式以及提公因式法，最后把x的值代入进行计算即可，
21．【答案】（1）100；5
（2）解：100-30-20-10-5=35 (名)
如图所示：
（3）126°
（4）解： (名)
∴学校约有600名学生喜爱打乒乓球
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：(1)解： m=30÷30%=100 (名)；
故答案为： 100， 5；
(3)解：
“足球”课程在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角度数为126°；
【分析】(1)利用两个统计图中“篮球”这一项的信息即可求出m，再结合排球这一项的人数可求出n；
(2)根据前面的信息求出喜爱足球的人数，即可补全图形；
(3)用足球这一项的百分比乘样本容量即可；
(4)先求出样本中喜爱乒乓球的人数所占比例，再用这个比例乘全校人数即可求解。
22．【答案】（1）解：设香樟树和桂花树单价分别为元，y元
根据题意得，，
解方程得，，
答．香樟树和桂花树单价分别为60元，90元．
（2）解： 设学校购买桂花树棵，则购买香樟树棵，
根据题意得，，
解不等式得，，
答：最多可以购买桂花树30棵．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】
（1）设香樟树和桂花树单价分别为元，y元，由相等关系“购买1棵香樟树和2棵桂花树共需240元，购买2棵香樟树和3棵桂花树共需390元”列关于x、y的二元一次方程组并求解即可；
（2）设购买桂花树棵，则购买香樟树棵，由总费用不超过3300元列关于m的一元一次不等式并求出最大整数解即可．
23．【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠FAO=∠ECO
∵点O是AC的中点
∴OA=OC
在△AOF 和△COE中
∴△AOF≌△COE(ASA)
∴OE=OF
∵OA=OC
∴四边形AECF 是平行四边形
∵EF⊥AC
∴四边形AECF 是菱形
（2）解：∵四边形ABCD是矩形
∴DB=90°
∵四边形AECF 是菱形
∴AE=CE
设菱形的边长为x，
则AE=CE=x， BE=8-x
在Rt△ABE中
即
解得
∴菱形的边长为
【知识点】勾股定理；菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)首先利用矩形的性质和中点的定义证明△AOF≌△COE，从而得到OE=OF，进一步可证明四边形AECF 是平行四边形，结合对角线互相垂直得证结论；
(2)首先证明四边形AECF 是菱形，设未知数表示它的边长，利用勾股定理建立方程即可求出该边长。
24．【答案】解：(1) ①延长BD交GH于点M，
由题意可知 且四边形BACD，BAHM 均为矩形
∴AB=CD=HM=1， BD=AC=9
又∵CH=x，
∴DM=CH=x，
在Rt△GDM中，
∴GH=GM+HM =x+1.
②在Rt△GBM 中，
∴GM =BM·tanα， 即
解得
答：古塔的高度GH约为16m.
(2) 在Rt△GHF中，
∴HE=FH-FE=8-5=3(m)，
答：古塔底面圆的半径HE约为3m
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】(1)①构造Rt△GDM，解该直角三角形即可用含x的式子表示GH；
②解Rt△GBM得到利用题中所给参考值解次方程即可求出x，进而可求GH；
(2)解Rt△GHF可求出FH，再减去EF即得。
25．【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PAE=∠QCE=45°.
∵CE=2AE，AP=t，CQ=2t，
∴△AEP∽△CEQ
（2）解：过点E作EM⊥AB于点 M，过点E作EN⊥BC于点 N.
由题意知
∵CE=2AE
∵∠PAE=45°
∴AM =ME=2，EN=CN=4
∵AP=t ，CQ=2t，
∴BQ=6-2t，MP=|t-2|，BP=6-t，QN=|BN-BQ|=|2t-4|.
在Rt△EMP中，由勾股定理得
即
同理可求
①当∠EPQ=90°时，有
即
整理得
解得 (不合题意，舍去).
②当∠PEQ=90°时，有
即
整理得t-2=0，
解得t=2.
③当∠PQE=90°时，有
即
整理得
该方程无实数解.
综上所述，当△EPO是直角三角形时，t的值为( ）秒或2秒
（3）解：过点A作AF⊥AC，交CB的延长线于点F，连接FE交AQ于点G.
∵AF⊥AC， ∠ACF=45°，
∴AF=AC.
又∵CE=2AE，
∴∠AFE=∠AQE
∵∠AGF=∠EGQ，
∴△AGF∽△EGQ
∵∠AGE=∠FGQ，
∴△AGE∽△FGQ，
∴∠AEG=∠FQG
∵∠AFE+∠AEF=90°，
∴∠FQG+∠EQG=90°，
即∠FQE=90°，
∴△EQC 是等腰直角三角形.
∴QC=4，
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用两组对应边成比例，且其夹角相等可判定△AEP∽△CEQ；
(2)构造等腰直角三角形△AME与△ENC，用含t的式子表示出AP，CQ，BQ，MP，BP，QN的长度，利用勾股定理表示出EP2，PQ2，EQ2，再分三种情况结合勾股定理建立方程求解；
(3)构造等腰直角三角形△AFC，利用相等的角的同种三角函数值相等可证明∠AFE=∠AQE，进而得出△AGF∽△EGQ，推出△EQC 是等腰直角三角形，由图形可知△AQE的面积等于△AQC与△EQC的面积差，从而求解。
26．【答案】（1）解：∵抛物线. 与x轴交于点 A(-1，0)， B(3，0)，
∴
解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：设P(0，p)， 直线AP为 据题意得，
解得
∴y= px+p，
联立直线AP与抛物线得
解得 或
设P(0，p)， 直线BD为 据题意得，
解得
联立得
解得 或
∵
（3）解：设直线MN为y= kx+d(k≠0)，由K(1，0)得k+d=0，
∴d=-k，
∴y= kx-k，
设
联立直线MN与抛物线
得
根据根与系数的关系可得： m+n=2-k， mn=-k-3，
作点N关于直线l的对称点 N'，连接MN'，
由题意得直线l：y=4，则
∴QM+QN=QM+QN'≥MN'，
过M 点作MF⊥NN'于 F，则
则
在Rt△MFN'中，
即当k=0时， 此时
故QM+QN的最小值为
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)将A，B坐标代入解析式，解方程题组求出b，c即可；
(2)设P(0，p)，分别用含p的式子表示出直线AP，BD的解析式，进而写出E，D坐标，利用，分别表示出S1，S2，从而可求比值；
(3)用参数k表示直线MN的解析式，设参数表示M，N的坐标，联立直线MN与抛物线得到关于k的一元二次方程，根据韦达定理可得m，n，k之间的关系，作点N关于直线l的对称点 N'，利用将军饮马模型知QM+QN的最小值为MN'，构造Rt△MFN'，结合勾股定理表示出再根据参数k的取值可判断的最小值。
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