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人教版2024 八年级下册
第二十三章 一次函数
单元测试·提高卷分析
三、知识点分布
一、单选题 1 0.95 正比例函数的定义
2 0.85 根据一次函数的定义求参数
3 0.76 其他问题(一次函数的实际应用)；从函数的图象获取信息
4 0.7 根据两条直线的交点求不等式的解集；两直线的交点与二元一次方程组的解；已知函数经过的象限求参数范围；比较一次函数值的大小
5 0.75 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集；根据两条直线的交点求不等式的解集
6 0.65 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点；根据正方形的性质证明；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；坐标与图形综合
7 0.7 已知函数经过的象限求参数范围；根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况
8 0.65 求一次函数解析式；根据一次函数解析式判断其经过的象限；一次函数图象与坐标轴的交点问题；判断一次函数的增减性
9 0.65 正比例函数的图象；正比例函数的性质；根据一次函数解析式判断其经过的象限
10 0.65 求一元一次不等式的解集；列一次函数解析式并求值
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 已知字母的值 ，求代数式的值；求一次函数自变量或函数值
12 0.65 其他问题(一次函数的实际应用)
13 0.65 根据两条直线的交点求不等式的解集；求自变量的值或函数值
14 0.65 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点；根据两条直线的交点求不等式的解集；画一次函数图象
15 0.64 一次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数的规律探究问题
16 0.5 根据一次函数解析式判断其经过的象限；由不等式组解集的情况求参数
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 已知点所在的象限求参数；求一次函数自变量或函数值
18 0.72 其他问题(一次函数的实际应用)；用一元一次不等式解决实际问题
19 0.65 根据两条直线的交点求不等式的解集；求一次函数解析式；求一次函数自变量或函数值；根据一次函数增减性求参数
20 0.59 根据两条直线的交点求不等式的解集；求直线围成的图形面积；一次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象平移问题
21 0.65 写出直角坐标系中点的坐标；根据成轴对称图形的特征进行求解；含30度角的直角三角形；求一次函数解析式；二次根式的除法；等边三角形的判定和性质；证明四边形是平行四边形；用勾股定理解三角形
22 0.62 求一次函数解析式；求一次函数自变量或函数值；一次函数图象与坐标轴的交点问题
23 0.53 行程问题(一次函数的实际应用)；行程问题(一元一次方程的应用)；从函数的图象获取信息；求一次函数解析式
24 0.56 根据两条直线的交点求不等式的解集；两直线的交点与二元一次方程组的解；求直线围成的图形面积；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等腰三角形的性质和判定；求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴的交点问题；已知两点坐标求两点距离2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第二十三章 一次函数 单元测试·提高卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列函数中，为正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数是一次函数．则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
3．为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了相关实验．如图1，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数（单位：N）与铁块下降的高度x（单位：）之间的关系如图2所示．下列说法正确的是（ ）
A．铁块入水之前，烧杯内水的高度为
B．铁块的高度为
C．当弹簧测力计的示数为时，此时铁块距离烧杯底
D．当铁块下降的高度为时，该铁块所受到的浮力为
4．如图，直线与直线交于点P，下列结论错误的是（ ）
A．，
B．关于x的方程的解为
C．直线上有两点，，若时，则
D．关于x的不等式的解集为
5．一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线与轴，轴的交点分别为点，以为边，在第二象限内作正方形，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．一次函数的图象如图所示，则下列说法：①；②若点与都在直线上，则；③函数图象不经过第四象限．其中正确的说法是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．对于一次函数，下列说法：①当时，随的增大而减小；②当时，函数图象一定交于轴的负半轴；③当时，函数图象经过原点；④函数图象一定经过点，其中正确的个数有（ ）．
A．个 B．个 C．个 D．个
9．已知一次函数的图象和正比例函数的图象在同一个坐标系内，那么可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知直线经过，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．点在直线上，则代数式的值是______．
12．小王在学习了摩擦力的相关知识后，在斜面拉动木块实验：如图用弹簧测力计拉着重为的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力近似是高度的一次函数．当斜面水平放置在地面上时，弹簧测力计的读数为，高度h每增加，弹簧测力计的读数增加，若弹簧测力计的最大量程是，则装置高度h的最大值为________．
13．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，直线和相交于点．则不等式的解集为____．
14．直线 （k、b是常数，）经过两点，其中，下列四个结论：
①方程的解在和0之间；
②关于x的不等式的解集为；
③；
④关于x的不等式的解集为时，．
其中正确的结论有_________．（只需填写序号）
15．如图，直线与直线分别与轴交于点．一动点从点出发，先沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处；再沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处…照此规律运动，动点依次经过点…则的长度为______．
16．若关于的不等式组无解，则一次函数的图象一定不经过第______象限．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．已知点．
(1)若点在第一象限，求，的取值范围；
(2)若点在一次函数的图象上，求的值．
18．某学校为打造“书香校园”，准备购买一批图书．甲书店的付款方式为：花元办一张会员卡，所购图书总价可打八折．乙书店的付款方式为：花元办一张会员卡，所购图书总价可打七折．
(1)请直接写出甲、乙两家书店付款金额y(元)与购买金额x(元)之间的关系式；
(2)如果只能在甲、乙两种付款方式中选择一种，选择哪个书店更合算？
19．已知y关于x的一次函数的图象为直线．
(1)试说明：无论k为何值，直线总经过点；
(2)当时，函数最大值与最小值的差为4，求的解析式；
(3)已知y关于x的一次函数图象为直线，点E为上任意一点，过点E作y轴的平行线交于点F．若点E始终在点F的上方，试探究k与m的数量关系，并求出k的取值范围．
20．如图，在直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与直线交于，直线分别与x轴、y轴交于C、D，连接．
(1)求出m、n的值；
(2)直接根据图象写出关于x的不等式的解集；
(3)将直线沿y轴向上平移后与直线交于点E，若的面积为6，求平移后的直线表达式．
21．如图1，在中，边在x轴上，已知，，，点C坐标为．D是的中点，，连接并延长交于E．
(1)求点B的坐标；
(2)求证：四边形是平行四边形；
(3)如图2，将图1中的四边形折叠，使点C与点A重合，折痕为，求直线的解析式．
22．已知一次函数的图象经过，两点．
(1)求，的值；
(2)若一次函数的图象与轴的交点为，求一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积；
(3)当时，求的取值范围．
23．甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)甲货车到达配货站之前的速度是 ，乙货车的速度是 ；
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式；
(3)直接写出乙货车在到达配货站前，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．
24．如图，直线与轴交于点，与轴交于点；直线经过点和点，且与相交于点，连接．
(1)填空：______，点的坐标为______；
(2)根据图象写出的解集；
(3)求的面积；
(4)已知点为轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点的坐标．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C D A A B B B D
1．C
【分析】本题根据正比例函数的定义判断选项，正比例函数定义为：形如 （ 是不为 的常数）的函数为正比例函数．
【详解】解：A选项含有常数项，属于一次函数，不符合正比例函数定义；
B选项中的次数为，属于二次函数，不符合定义；
C选项，满足，其中，符合正比例函数定义；
D选项属于反比例函数，不符合定义．
2．B
【分析】一次函数需满足两个条件：自变量的次数为，且的系数不为，据此列方程计算即可得到的值．
【详解】解：∵函数是一次函数，
∴，
解，得或，即或，
∵，即，
∴．
3．C
【分析】由图象即可判断A，B；利用待定系数法求出段的解析式为，然后判断C，D选项．
【详解】解：∵烧杯高度为，铁块从烧杯口到下表面接触水时移动了，
∴烧杯内水的高度为，故A错误，不符合题意；
∵烧杯有出水口，
∴水平面在铁块下移过程中保持不变．
∴铁块的高度为段铁块移动的距离，为，故B错误，不符合题意；
设段的解析式为
将，代入得，
解得
∴段的解析式为
∴当时，
解得
∴
∴此时铁块距离烧杯底，故C正确；
∵当铁块下降高度为时，
∴拉力的大小为，
∵铁块的重力为，
∴铁块所受到的浮力为，故D错误，符合题意．
4．D
【详解】解：A、∵直线经过一、二、四象限，
∴，，故正确，不符合题意；
B、∵直线与直线交于点P，点P的横坐标为3，
∴关于x的方程的解为，故正确，不符合题意；
C、根据函数图像得到：直线上，y随x的增大而增大，
∵直线上有两点，，，
∴．故正确，不符合题意；
D、根据函数图像得到：关于x的不等式的解集为，即不等式的解集为，故选项错误，符合题意．
5．A
【分析】依据题意，由不等式组，结合图象可得其解集为满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值，进而可以判断得解．
【详解】解：由图象可知满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值，
，故正确．
6．A
【分析】根据直线的关系式可求出点A、点B的坐标，即可得的长，证明得，，可得出点C的坐标．
【详解】解：如图，过点C作轴，垂足为N．
∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴，，
即，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点．
故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质，一次函数图象与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，证明是解答本题的关键．．
7．B
【详解】解：图象经过第一、二、三象限，
，，
，故①③正确；
②由图象知，y随x增大而增大．点与都在直线上，
，
∴，故②错误；
综上，正确的说法是①③．
8．B
【分析】根据一次函数的增减性、图象与坐标轴交点的特点，逐个判断四个说法的正误，统计正确个数即可得到答案。
【详解】①当时，根据一次函数性质，随的增大而减小，故①正确，符合题意；
②一次函数与轴的交点为，当时，，即函数图象与轴交于正半轴，故②错误，不符合题意；
③当时，即，函数图象经过原点，故③正确，符合题意；
④，当时，即，，函数图象一定经过点，不是，故④错误，不符合题意；
综上，符合题意的是①和③，一共个．
9．B
【分析】本题考查了一次函数与正比例函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质．
根据一次函数和正比例函数的图象分别判断出每个选项中，的符号，即可判断．
【详解】解：A、由图象可得，正比例函数经过二、四象限，则，，
一次函数经过二、三、四象限，则，，矛盾，不符合题意；
B、由图象可得，正比例函数经过二、四象限，则，，
一次函数经过一、二、三象限，则，，符合题意；
C、由图象可得，正比例函数经过二、四象限，则，，
一次函数经过一、三、四象限，则，，矛盾，不符合题意；
D、由图象可得，正比例函数经过一、三象限，则，，
一次函数经过一、二、四象限，则，，矛盾，不符合题意；
10．D
【分析】由直线经过得到，则，由可化为，得到，由得到，即可得到答案．
【详解】解：∵直线经过，
∴，
∴，
∴可化为，
整理得，，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是得到关于x的不等式．
11．
【分析】将点的坐标代入直线解析式得到与的关系式． 再整体代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵点在直线上，
∴，
∴，
∴．
12．0.875
【分析】根据题意利用待定系数法求出与的函数关系式，根据弹簧测力计的最大量程列出一元一次方程，解方程即可求出装置高度的最大值．
【详解】解：设拉力与高度的函数关系式为
由题意可知，当时，，则
∵高度每增加，拉力增加
∴
∴函数关系式为
当时，
解得
∴装置高度的最大值为
13．
【分析】先求出两条直线的交点坐标为，再结合函数图象即可解答．
【详解】解∶∵点在直线上，
∴，解得，
∴直线和的交点为，
由图象可得，不等式的解集为．
14．①②④
【分析】本题考查了一次函数的图象性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，画出图象，利用数形结合思想解答是解题的关键．
根据图象可对①②③进行判断；把，代入，得，解得：，则不等式化为，即可得，再根据不等式的解集为，可得，求解，即可对④进行判断．
【详解】解：如图，
直线、是常数，经过、两点，其中，
直线与轴的交点横坐标在和0之间，故①正确；
由图象可得关于x的不等式的解集为，故②正确；
由图象可知：的图象比的图象平缓，
∴，故③错误；
把，代入，得
，解得：，
不等式化为，
∵的解集为
∴
∴，故④正确．
故答案为：①②④．
15．
【分析】先根据题意求出，，根据平行于轴的直线上点的纵坐标相等，垂直于轴的直线上点的横坐标相等及直线的函数表达式可知，，，，求出，；；…，可得规律，即可解答
【详解】解：在直线中，令，则，故，
在直线中，令，则，故，
根据题意将代入直线中得，故，
将代入直线中得，故，
∴，
同理可得，，
∴；；…，
由此可得，，
∴的长度为．
16．二
【分析】先解不等式组中的两个不等式，根据不等式组无解的条件求出的取值范围，再结合一次函数的性质判断函数图象经过的象限，即可得到答案．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得．
不等式组无解，
，
解得，
，
即一次函数 中，，，
函数图象经过第一、三、四象限，
一次函数的图象一定不经过第二象限．
17．(1)，
(2)
【分析】本题考查平面直角坐标系中第一象限点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征．
（1）根据第一象限内点的横、纵坐标均为正数的性质列不等式求解、的取值范围．
（2）将点的坐标代入一次函数解析式，通过变形计算得到的值 ．
【详解】（1）解：点在第一象限
，
（2）解：点在一次函数的图象上
．
18．(1)；
(2)当购买图书总价不足1800元选甲书店，等于1800元两家一样，超过1800元选乙书店
【分析】（1）根据题意列出甲和乙的函数关系式，即可求解；
（2）分情况讨论，列出不等式和方程，即可求解．
【详解】（1）解：甲书店：办卡费元，图书总价打八折，因此付款金额为： ．
乙书店：办卡费元，图书总价打七折，因此付款金额为： ．
（2）当 时：
解得，此时两家付款相同，一样合算．
当时：，
解得，此时选择甲书店更合算．
当时：，
解得，此时选择乙书店更合算．
综上所述，当购买图书总价不足1800元选甲书店，等于1800元两家一样，超过1800元选乙书店
19．(1)见解析
(2)或
(3)且
【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数的性质，不等式等知识点，理解题意，列出方程及不等式是解决问题的关键．
（1）根据当时，，即可求解；
（2）分两种情况：当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，根据增减性求得最大值与最小值，即可求解；
（3）设点的坐标为，根据题意可知，即恒成立，即，对于任意都成立，可得，即，此时，即，可求得的取值范围．
【详解】（1）证明：∵，
∴当时，，
∴无论为何值，直线总经过点；
（2）解：，
当时，随增大而增大，
则当时，当时，函数有最小值，最小值为
当时，函数有最大值，最大值为
∵函数最大值与最小值的差为4 ，
∴，
解得：，
∴此时的解析式为；
当时，随增大而减小，
则当时，当时，函数有最大值，最大值为，
时，函数有最小值，最小值为
∵函数最大值与最小值的差为 4 ，
∴，解得：，
此时，的解析式为；
综上，的解析式为或；
（3）解：设点的坐标为，
∵过点作轴的平行线，交于点，
∴点的坐标为，
∵点始终在点的上方，
∴，
∴恒成立，
∴，对于任意都成立，
，即，
此时，即，
解得：，
综上，且．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将代入直线，得一元一次方程，解方程即可求出的值，于是可得点，将代入直线，得一元一次方程，解方程即可求出的值；
（2）根据函数图象即可直接得出答案；
（3）设点E坐标为，先求出直线与轴的交点，再求出直线与轴的交点、与轴的交点，进而可求出、的长，然后求出，判断出点在第二象限，根据列出方程求解即可得到点的坐标，即可解答．
【详解】（1）解：∵直线：经过 ，
∴，
解得，
，
将代入直线，得：，
解得，
，；
（2）解：根据图象可以看出，关于x的不等式的解集为；
（3）解：由（1）得直线的解析式为，
设点E坐标为，
令，解得，
∴，
令 ，解得，
∴，
∴，
将代入，则，
∴，
∴，
∴
，
∵的面积为6，且 ，
∴点E在第二象限，
∴
∴ ．
∴，
则 ，
∴点E坐标为，
设直线平移后的解析式为，则 ，
解得，
∴平移后的直线表达式为．
21．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由在中，，，，根据勾股定理即可求得与的长，即可求得点B的坐标；
（2）首先可得，D是的中点，，可证得为等边三角形，进一步证明是等边三角形，可得，继而可得四边形是平行四边形；
（3）首先设的长为x，由折叠的性质可得：，然后根据勾股定理可得方程，解此方程即可求得的长，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴点B的坐标为；
（2）证明：∵，
∴轴，
∵y轴轴，
∴轴，即，
∵，
∴，
∵D是的中点，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：设的长为x，
∵，
∴，
由折叠的性质可得：，
在中，，
即，
解得：，
即，
设直线为，而，
∴，
解得：，
∴直线为．
【点睛】此题考查了折叠的性质，平行四边形的判定，等边三角形的性质，求解一次函数的解析式，二次根式的除法运算，以及勾股定理等知识．解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意折叠中的对应关系．
22．(1)，；
(2)；
(3)．
【分析】（）利用待定系数法即可求解；
（）由（）得，，即，然后求出，则，同理，再根据面积为即可求解；
（）由（）知一次函数表达式为，由，则随的增大而增大，所以通过当时，，当时，，即可求出的取值范围．
【详解】（1）解：把，两点坐标代入，
得，
解得；
（2）解：由（）得，，即，
把代入，得，
解得；
∴，
∴，
∵，
∴，
∴图象与坐标轴围成的面积为；
（3）解：由（）知，一次函数表达式为：，
∵，
∴随的增大而增大，
当时，，当时，，
∴当时，，
∴的取值范围为．
23．(1)30；40
(2)
(3)
【分析】（1）由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为，乙货车到达配货站路程为，到达后返回，所用时间为，根据速度距离时间即可得；
（2）由图象可知和，再利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案；
（3）设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等，根据甲、乙两货车与配货站的距离相等，列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为，
∴甲货车到达配货站之前的速度是，乙货车到达配货站路程为，
∵到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，
∴总路程为，
∴乙货车的速度为．
（2）解：∵甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，比甲货车晚半小时到达B地．
∴和，
设的解析式为，
把，代入得，
解得，
∴的解析式为．
（3）解：设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等，由题意可得，甲货车与配货站的距离为，乙货车与配货站的距离为，
∴，
解得：，
答：乙货车在到达配货站前，出发甲、乙两货车与配货站的距离相等．
24．(1)；
(2)
(3)
(4)或
【分析】（1）将点代入直线的表达式求出的值，再联立直线与直线求出点的坐标；
（2）结合图象判断解集即可；
（3）先求出点和点的坐标，利用割补法求出的面积；
（4）分两类讨论，当点在的左侧时，由，可得，则，求出直线的表达式，再求出点的坐标；当点在的右侧时，由勾股定理可计算出，，则，进而可得，容易证明，则，最后求出点的坐标．
【详解】（1）解：将点代入，得，
∴直线的解析式为，
联立直线与直线，得，
，
解得，
∴点的坐标为；
（2）解：由图象可知，在点以及点的右侧部分，直线不高于直线，
∴的解集为；
（3）解：将代入，得，
∴点的坐标为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
∴，
∴，
，
，
，
；
（4）解：①当点在的左侧时，如图，
∵，
∴，
∴，
设直线的表达式为，
将点代入，得，
∴直线的表达式为，
将点代入，得，
∴点的坐标为；
②当点在的右侧时，如图，
由勾股定理可得，，，
由（3）可知，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．

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