资源简介

(共5张PPT)
人教版2024 八年级下册
第二十三章 一次函数
单元测试·培优卷分析
三、知识点分布
一、单选题 1 0.95 正比例函数的定义
2 0.85 正比例函数的性质；根据一次函数解析式判断其经过的象限
3 0.85 不等式的性质；根据一次函数的定义求参数
4 0.85 识别一次函数
5 0.65 行程问题(一次函数的实际应用)；从函数的图象获取信息
6 0.65 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集；根据两条直线的交点求不等式的解集
7 0.65 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点；根据两条直线的交点求不等式的解集；求一次函数解析式
8 0.65 点坐标规律探索；等腰三角形的性质和判定；一次函数的规律探究问题
9 0.65 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况
10 0.65 正比例函数的图象；根据一次函数解析式判断其经过的象限
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 根据一次函数的定义求参数
12 0.5 其他问题(一次函数的实际应用)；从函数的图象获取信息
13 0.65 两直线的交点与二元一次方程组的解；根据一次函数解析式判断其经过的象限；判断一次函数的增减性
14 0.75 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集；求一次函数解析式；求一元一次不等式的解集
15 0.6 坐标与图形变化——轴对称；一次函数图象与坐标轴的交点问题
16 0.65 由平移方式确定点的坐标；正比例函数的性质；化为最简二次根式；用勾股定理解三角形
三、知识点分布
三、解答题 17 0.68 已知函数经过的象限求参数范围；一次函数图象与坐标轴的交点问题；求不等式组的解集；根据一次函数增减性求参数
18 0.57 最大利润问题(一次函数的实际应用)；销售、利润问题(二元一次方程组的应用)；一元一次不等式组的其他应用
19 0.65 根据两条直线的交点求不等式的解集；两直线的交点与二元一次方程组的解；求直线围成的图形面积
20 0.65 求一次函数解析式；根据一次函数解析式判断其经过的象限；一次函数图象与坐标轴的交点问题
21 0.74 一次函数图象与坐标轴的交点问题；用勾股定理解三角形
22 0.53 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集；根据两条直线的交点求不等式的解集；求直线围成的图形面积；求一次函数解析式；已知直线与坐标轴交点求方程的解
23 0.65 用SAS间接证明三角形全等（SAS）；一次函数与几何综合；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用算术平方根的非负性解题；等腰三角形的性质和判定；根据正方形的性质证明
24 0.65 求一次函数解析式；一次函数的规律探究问题2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第二十三章 一次函数 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列y关于x的函数中，是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3．若函数是正比例函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．下列函数：①：②；③：④，其中是一次函数的是（ ）
A．只有④ B．①② C．①④ D．②④
5．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人聪聪和慧慧，它们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，关于的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．聪聪的速度为 B．慧慧比聪聪晚出发
C．客人距离厨房门口 D．从聪聪出发直至送餐结束，共需
6．如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，直线与直线相交于点，与轴交于点，则关于的不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．或
8．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，直线与轴交于点，，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是（ ）
A．2024 B．4048 C． D．
9．已知为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．函数与函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．若函数是关于的一次函数，那么的取值范围是______．
12．如图，反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利．该产品的销售量超过______吨时，生产该产品才能盈利．
13．一次函数与的图象如图所示，下列结论：①对于函数来说，y随x的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③；④．其中正确的有______．
14．如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________．
15．如图所示，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，直线过原点且与直线相交于点C，点P为y轴上一动点，当的值最小时，此时点P的坐标为 _______ ．
16．在平面直角坐标系中，正三角形的顶点的坐标为，点在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的横坐标为5，则点的坐标为__________．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．已知函数
(1)若函数图象经过原点，求的值；
(2)若这个函数是一次函数，且随着的增大而减小，求的取值范围；
(3)若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求的取值范围．
18．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元．
(1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求，的值．
(2)在（1）的条件下，该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克（为正整数），求超市在不同购买方案下哪种方案可获得的利润最大？最大利润值是多少？
19．已知：如图一次函数与的图象相交于点．
(1)求点的坐标．
(2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积．
(3)结合图象，直接写出时的取值范围．
20．已知将二元一次方程化为一次函数后，经过画图发现，其图象与x轴的交点的横坐标为．
(1)请将二元一次方程化为一次函数的形式．
(2)这个函数的图象不经过第几象限？
(3)求这个一次函数的图象与y轴的交点坐标．
21．如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点和点．
(1)求点，的坐标．
(2)求的面积．
(3)点为轴上一动点，当时，直接写出点的坐标．
22．如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题：
(1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ．
(2)若点C坐标为，关于x的不等式的解集是 ．
(3)在（2）的条件下，求四边形的面积．
23．在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，，其中，满足．
(1)直接写出点的坐标；
(2)如图，在线段上有一动点（点不与、重合），连接，在下方以为直角顶点作等腰直角．
①若点恰好落在直线上，求点的坐标；
②连结、，当线段取最小值时，求证：．
24．数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则．
(1)已知直线经过，两点，请直接写出______．
(2)如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A D C D C D D D
1．B
【分析】本题考查正比例函数的定义，根据正比例函数的定义判断各选项的函数形式即可得到答案．
【详解】解： 选项A：的常数项为，属于一次函数，不是正比例函数， A不符合题意；
选项B：符合的形式，， B是正比例函数；
选项C：，不符合正比例函数的形式， C不符合题意；
选项D：，不符合正比例函数的形式， D不符合题意．
2．B
【分析】根据正比例函数的性质判断出k的符号，再根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限即可．
【详解】解：∵正比例函数的函数值y随x的增大而减小，
∴，
∴一次函数中，，，
∴该函数图象经过第一、三、四象限，观察选项，只有B选项符合题意．
3．A
【分析】根据正比例函数的定义，列出关于的方程和不等式，求解并排除使一次项系数为的情况，得到的值．
【详解】解：∵函数是正比例函数，
∴常数项，且一次项系数．
由，得
∴，
由，得
∴．
4．D
【分析】根据一次函数的定义，逐一判断各函数是否符合要求，即可得到答案，一次函数定义为形如（，为常数，）的整式函数．
【详解】解：① 中，自变量的次数为，不符合一次函数定义，不是一次函数；
② 可整理为 ，其中 ，，符合一次函数定义，是一次函数；
③ ，分母含自变量，不是整式，不符合一次函数定义，不是一次函数；
④ 中，，，符合一次函数定义，是一次函数．
综上，一次函数为②④．
5．C
【分析】运用路程除以时间等于速度，得出聪聪的速度为；根据图象信息，得出慧慧比聪聪晚出发，结合速度、路程、时间之间的关系，求出慧慧一开始的速度，再结合速度变化，；列式计算得出客人距离厨房门口，结合速度、路程、时间之间的关系求出从聪聪出发直至送餐结束，共需，即可求解．
【详解】解： A、聪聪的速度为，故A选项不符合题意；
B、由图象可得，慧慧比聪聪晚出发，故B选项不符合题意；
C、慧慧一开始的速度为：，当速度提高到原来的2倍时，为，则后一段行走了，则客人距离厨房门口为，故C选项符合题意，
D、由C选项得出，则，即从聪聪出发直至送餐结束，共需，故D选项不符合题意．
6．D
【分析】找到直线在直线上方且在轴下方，所对应的的范围即可．
【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集为．
7．C
【分析】先把代入求出k的值，再求出点B的坐标，然后结合图象求解即可．
【详解】解：把代入，得
，
解得，
∴，
当时，，
解得，
∴，
∴由图象可知，关于的不等式组的解集是．
8．D
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标规律，罗列纵坐标得出一般规律，再按照规律求出的纵坐标即可得到答案．罗列纵坐标得出一般规律是解决问题的关键．
【详解】解：∵直线过点，
∴，解得，
∴直线解析式为，
作轴，轴，轴，，如图所示：
∵，
∴，的纵坐标为，
∵，…都是等腰直角三角形，
设，
∴，
将坐标代入直线解析式得，解得，
∴，的纵坐标为，
设，
∴，
将代入直线解析式得，解得，
，
∴综上所述，猜想的纵坐标规律为，
∴的纵坐标为，
故选：D．
9．D
【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，掌握一次函数的增减性成为解题的关键．
根据一次函数的增减性，逐项分析判断即可解答．
【详解】解：在直线中，，故随增大而减小．由，得．
A．若，则、同号．当两者均为正时，，此时可能为负，导致，故A错误，不符合题意；
B．若，则，．若，则可能为负，导致，故B错误，不符合题意；
C．若，则、同号．当两者均为正时，可能为负，此时而，导致，故C错误，不符合题意；
D．若，则，．由，得，故，，因此，D正确，符合题意．
故选D．
10．D
【分析】根据正比例函数和一次函数的图象性质，分和两种情况讨论，判断图象所在的象限及交点位置．
【详解】解：由题意，函数为正比例函数，图象必过原点；函数为一次函数，分两种情况讨论：
（1）当时：的图象过第一、三象限；的，图象过第二、三、四象限，此时两直线交点在第三象限．没有选项符合题意；
（2）当时：的图象过第二、四象限；的，图象过第一、二、三象限，选项D正确．
11．
【分析】先将给定函数整理为一次函数的一般形式，再根据一次函数的定义，要求一次项系数不为，列不等式求出的取值范围即可．
【详解】解： ，
∵函数是关于的一次函数，
∴，
∴．
12．4
【分析】本题考查了一次函数的实际应用；解题的关键是理解两直线交点的实际意义，交点处销售收入等于销售成本，超过该点则开始盈利．
先找到直线与的交点，交点的横坐标即为盈亏平衡点，当销售量超过该值时，销售收入大于销售成本，开始盈利．
【详解】解：由图可知，直线与的交点坐标为，
即当销售量为吨时，销售收入等于销售成本；
当销售量吨时，在上方，即销售收入大于销售成本，产品开始盈利．
故答案为：．
13．①②③④
【分析】根据一次函数的图象与性质逐项分析判断即可．
【详解】解：①由图象可知：函数中，随的增大而减小；故①正确；
②由图象可知：，
∴函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限；故②正确；
③由图象可知：两直线交点横坐标为，则，整理得；故③正确；
④由可得，，
∵，
∴，即，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④．
14．
【分析】将点，代入一次函数，可求得的值为，将的值代入不等式即可求出解集．
【详解】解：已知一次函数过点，
将点坐标代入解析式：，
解得：，
∴一次函数解析式为，
直线上函数值满足时，对应横坐标的取值范围：
当时，代入，得
解得：，即直线与轴交点为，
当时，对应已知点
最终解集为：．
15．
【分析】联立两直线解析式组成方程组，可得点C的坐标，确定出点A关于y轴的对称点，即可求出的最小值，再用待定系数法求出直线的解析式即可得出点P坐标．
【详解】解：直线①与直线②相交于点，
联立①②解得，，，
；
在中，当时，，
，
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时最小，如图：
设直线的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
令时，
点．
16．
【分析】先利用等边三角形的性质求出顶点A的坐标，再通过直线的解析式确定平移后点的坐标，将点B按照该平移方式平移，即可求出点的坐标．
【详解】解：过点A作于点D，
是等边三角形，B的坐标是，
、，
，
的坐标是，
设直线的解析式为，
把代入得：，
解得，
直线的解析式为，
点在直线上，且横坐标为5，
将代入得：，
的坐标为，
点A向右平移3个单位，向上平移个单位得到，
的坐标为，
即的坐标为．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把代入解析式即可求解；
（2）根据题意，此函数为一次函数，则，又随着的增大而减小，则，综上可得，解不等式即可求解；
（3）根据题意得出，解不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：把代入，
得，
解得；
（2）解：∵ 这个函数是一次函数，
∴ ，
又∵随的增大而减小，
∴一次项系数，
解得：；
（3）解：函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，
∴ ，
解得：．
18．(1)
(2)购进60千克甲种蔬菜、40千克乙种蔬菜时利润最大，最大利润为520元
【分析】（1）根据购买甲、乙两种蔬菜的金额列出二元一次方程组，求解m和n的值即可．
（2）设购买甲种蔬菜x千克，则乙种蔬菜为千克，根据投入资金范围列出不等式组，求解x的取值范围，得到购买方案；利润函数为一次函数，根据系数判断增减性，从而找到最大利润即可．
【详解】（1）解：根据题意，得方程组：
，
解得；
∴．
（2）解：设购买甲种蔬菜x千克，则乙种蔬菜千克，
投入资金为：，
∵投入资金不少于1160元又不多于1168元，
∴，即，
解得，
x为正整数，即，
购买方案：
方案1：甲58千克，乙42千克；
方案2：甲59千克，乙41千克；
方案3：甲60千克，乙40千克；
设利润y元，
则利润，
∵，即y随x增大而增大，
当时，利润y最大为．
答：方案3可让超市获得最大利润，最大利润是520元．
19．(1)
(2)9
(3)
【分析】（1）将两个函数表达式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A的坐标；
（2）先根据两个函数表达式求出点B、C的坐标，从而得到的长，再利用三角形的面积公式可得结果；
（3）根据函数图象和点A的坐标即可得到结果．
【详解】（1）解：由题意可得：
，解得，
所以点A坐标为．
（2）解：当时，，即，则B点坐标为；
当时，，即，则C点坐标为；
，
的面积为：．
（3）解：根据图象可知，时，x的取值范围是．
20．(1)
(2)这个函数的图象不经过第四象限
(3)
【分析】（1）把时的函数值为代入二元一次方程即可求出的值，从而求出其解析式；
（2）根据，，可知该一次函数的图象所经过的象限，就可判断这个函数的图象不经过第几象限；
（3）令，代入函数解析式．就可得到函数与轴的交点的纵坐标，而横坐标是，由此可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，一次函数的图象过点，
将，代入二元一次方程，得，
解得．
故化为一次函数的形式为．
（2）解：在中，
，，
∴这个函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
（3）解：当时，．
故一次函数的图象与轴的交点坐标为．
【点睛】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
21．(1)，；
(2)6
(3)点C的坐标为或．
【分析】（1）分别令x、y为0，代入解析式求出对应的y、x值即可得到点A、B坐标；
（2）根据三角形面积公式代入数据计算即可；
（3）设点C的坐标为，先求出长，再解得m值即可．
【详解】（1）解：在中，当时，；当时，，
∴，；
（2）解：；
（3）解：设点C的坐标为，
由勾股定理得，
∵，
∴或．
∴点C的坐标为或．
22．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用一次函数上的点，其纵坐标为值，横坐标为值得到答案．
（2）根据一次函数图象的所求图象在某点的左侧，则小于该点的横坐标，在某点的右侧，则大于该点的横坐标得到答案．
（3）根据点的左边，得出对应线段的长度，用割补法求出答案．
【详解】（1）解：∵一次函数过点，
∴当时，；
∵一次函数过点，
∴当时，，
根据图象可知，当时，一次函数的图象在点的右侧，
∴．
（2）解：由图象可知当时，一次函数在点的右侧，
∴，
∵点时一次函数和的交点，
∴当时，两个一次函数的函数值相等，
当时，图象在点的左侧，
∴，
综上所述，．
（3）解：∵一次函数过点和点，
∴将两点代入到一次函数中，
，
解得，一次函数表达式为：，
令，解得，即点，
如图所示，过点作垂直于轴交轴于点，
由题意知：，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的综合问题，解题关键是能将点的坐标与一次函数的关系理清楚．
23．(1)
(2)① ②见解析
【分析】本题为一次函数综合题，涉及到三角形全等、一次函数的图象和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）根据算术平方根和完全平方的非负性求出，的值，得到点的坐标即可；
（2）①作轴于，即可得到，进而得到，然后得到点的坐标，代入解析式即可；
②连接，则点F在过点O，与x轴夹角为的射线上，当垂直时，最小，证明即可得到结论．
【详解】（1）解：，满足，即
则， 即点；
（2）①解：作轴于，
∵四边形是正方形，三角形是等腰直角三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴， 即，
∴，
设， 则，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴；
②证明：连接，
由①得，
∴，
即点F在过点O，与x轴夹角为的射线上，
当垂直时，最小，
又∵，
∴，
同理，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．(1)
(2)
【分析】（1）直接根据求解即可；
（2）根据，分别求出k1，k2的值，再代入计算即可
【详解】（1）解：∵A(2,3)，B(4,-2)，
∴k=，
故答案为：；
（2）解：∵y1=k1x+b1经过A(2,0)，B(0,4)，
∴k1=，
∵y2=k2x+b2经过A(2,0)，C(0,-1)，
∴k1=，
∴k1k2=-2×=-1．
【点睛】本题考查求一次函数解析式，本题属阅读材料题，理解题目中介绍的解题方法并能灵活运用是解题的关键．

展开更多......

收起↑