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2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第二十二章 函数 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．新能源电动车的电池续航里程受温度影响，随着温度降低，电池中的化学物质活性降低，续航里程减少．在这个变化过程中，自变量是（ ）
A．温度 B．电池 C．化学物质的活性 D．续航里程
2．清明节期间，某校学生代表前往烈士陵园祭扫．队伍乘大巴匀速行驶20分钟到达陵园，活动历时40分钟；活动结束后原路匀速返校，因车流量较大，返程用时比去程多20分钟．设学生离学校的距离为米，离校时间为分钟，下列图象能大致反映与关系的是（ ）
A．B． C． D．
3．某车油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，矩形中，对角线，交于点．点和点分别是边，的中点，，，一动点从点出发，沿着在矩形的边上运动，运动到点停止，点为图1中某一定点，设点运动的路程为，的面积为，表示与的函数关系的图象大致如图2所示．则点的位置可能是图1中的（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
5．甲、乙两人沿相同的路线从地匀速行驶到地，已知，两地的路程为，他们行驶的路程与甲、乙出发的时间之间关系的图象如图所示，则下列说法正确的是（）
A．甲的速度是 B．乙的速度是
C．乙比甲晚出发 D．甲比乙晚到地
6．在数学函数图象的操作课上，小红利用网格画板研究函数的图象，请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．王大爷饭后出去散步，从家出发，走到离家的公园，在公园休息了后，用返回家中．下面各图中，表示王大爷离家距离y（单位：m）与离家时间x（单位：）之间的关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为5时，输出的y的值为7，则输入x的值为2时，输出的y的值为（ ）
A．0 B． C． D．
9．函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B．且
C．且 D．
10．下列关于变量x，y的关系中：①；②；③；④．其中y是x的函数的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．①③④
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．某冬季运动赛场为了准备即将到来的比赛，正着手进行既定规模的人工造雪作业．根据下表表示出每天造雪量（单位：）和造雪天数（单位：天）的关系______．
每天造雪量 5000 5200 6500 …
造雪天数 52 50 40 …
12．一个长方形的周长是10，一边长是，则它的另一条边长与的关系式是________．（不需要写出自变量的取值范围）．
13．如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，记点运动的路程为，的面积为，与的变化关系如图②所示，当时，点运动的路程为_________．
14．某人驾车从甲地驶往乙地，他以的速度行驶一段时间后休息，又继续行驶到达乙地，他在整个行驶过程中距乙地的路程与时间之间的函数关系如图所示．则休息后他驾车行驶的速度是____．
15．与之间的函数关系可记为．例如：函数可记为若对于自变量取值范围内的任意一个，都有，则是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个，都有，则是奇函数．例如：是偶函数，是奇函数．已知函数是奇函数，当时，，那么______．
16．已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是__________．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．如图，小珍依据漏刻的基本原理做了一个底面积为，容积为的圆柱形漏刻（浮子体积忽略不计），观测并记录了水位（单位：）与时间（单位：）之间的数据如下：
0 1 2 3 4 5 …
1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 …
(1)请写出水位与时间之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围．
(2)当时，求对应的时间，并说明它表示的实际意义．
18．游乐场的过山车上一点，在某一分钟内的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数图象如图所示：
(1)h是否是t的函数？__________（填“是”或“不是”），并解释图中点P表示的实际意义；
(2)求该点在这一分钟内，所达到的最高高度与最低高度的高度差；
(3)写出h随时间t的增加而下降时，t的取值范围．
19．从甲地到乙地，先是一段上坡路，然后是一段平路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后休息一段时间，然后原路返回甲地．假设小明骑车在上坡、平路、下坡时分别保持匀速前进，已知小明骑车在上坡的速度比平路上的速度每小时少，下坡的速度比在平路上的速度每小时多，设小明出发后，到达离乙地的地方，图中的折线表示y与x之间的函数关系．
(1)求小明骑车在上坡、平路、下坡的速度分别为多少；
(2)小明在乙地休息了多少h；
(3)直接写出点C、D、E、F的坐标．
20．小明和父母一起开车到离家200km的景点旅游，出发前，轿车油箱内储油45L，当行驶了150km时，发现油箱剩余油量为30L（假设行驶过程中该轿车的耗油量是均匀的）．
(1)这个变化过程中哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)写出行驶路程与剩余油量的关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(3)当时，求剩余油量Q的值．
21．某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，有两种购票方式：甲旅行社说：“如果老师买全票，其他人全部半价优惠．”乙旅行社说：“所有人按全票价的6折优惠．”已知全票价240元．设学生有x人，甲旅行社的收费为元，乙旅行社的收费为元．
(1)分别表示两家旅行社的收费，与x的关系式；
(2)若共有25名学生，请通过计算说明选择哪家旅行社更优惠．
22．如图，梯形的上底长是，下底长是，当梯形的高由大变小，梯形的面积也随之发生变化．
(1)在这个变化过程中，自变量是______．
(2)直接写出梯形的面积与高之间的函数关系式，并通过计算说明当梯形的高h由变化到时，梯形的面积S的变化情况；
(3)嘉嘉发现当高变化时，梯形中与的大小也在变化，若，，y是否为x的函数？若是，直接写出函数关系式；若不是，请说明理由．
23．游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时的速度放水．当放水时间增加时，游泳池的存水随之减少，它们的变化情况如表：
放水时间 1 2 3 4 5 6 7
游泳池的存水 858 780 702 ____ 546 ___ ___
(1)在这个变化过程中，反映函数关系的两个变量分别是什么？
(2)请将上述表格补充完整；
(3)设放水时间为，游泳池的存水量为，写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
24．动点H以每秒1厘米的速度沿图①的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积S（平方厘米）与时间的关系图象如图②所示，已知，设点H的运动时间为秒．
(1)________，________，________；
(2)当的面积为时，求t的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B B C A D D C B
1．A
【分析】根据题意，温度变化导致续航里程变化，因此温度是自变量．
【详解】解：题目中明确描述“随着温度降低，续航里程减少”，说明温度是主动变化的量（自变量），而续航里程是受温度影响而变化的量（因变量）．选项A“温度”符合自变量的定义，选项D“续航里程”是因变量，选项B“电池”是名词，不是变量；选项C“化学物质的活性”是受温度影响的中间变量，不是整个变化过程的自变量．
2．A
【详解】解：根据题意得，去程是匀速行驶20分钟，此阶段y随x的增大而增大，图象是从原点出发的上升线段；
活动历时40分钟，学生位置不变，此阶段y随x的增大保持不变，图象为水平线段；
返程用时比去程多20分钟，即返程用时40分钟，且原路返回，所以返程下降段在x轴上的水平长度更长，线段比去程上升段更平缓，
只有A选项符合题意．
3．B
【分析】根据剩余油量等于总存油量减去流出的油量列出函数关系式即可求解．
【详解】解：∵流速为升/分钟，流出时间为分钟，
∴分钟流出的油量为升，
又∵剩余油量总油量流出油量，
∴．
4．B
【分析】从图2中可看出当时，此时的面积为0，说明点M一定在上，选项中只有点O在上，所以点M的位置可能是图1中的点O．
【详解】解：∵，，四边形是矩形，
∴当时，点P到达D点，此时的面积为0，说明点M一定在上，
∴从选项中只有点O在上，所以点M的位置可能是图1中的点O．
5．C
【分析】观察函数图象，分别获取甲、乙两人的出发时间、到达时间及总路程，利用速度公式计算两人的速度，并比较出发和到达的时间差即可判断．
【详解】解：A、由图象可知，甲从出发，到达地，行驶路程为
∴甲的速度为，故该选项错误；
B、由图象可知，乙从出发，到达地，行驶路程为
∴乙的行驶时间为，
∴乙的速度为，故该选项错误，
C、∵甲在出发，乙在出发，
∴乙比甲晚出发，故该选项正确；
D、∵甲在到达，乙在到达，
∴甲比乙晚到地，故该选项错误．
6．A
【分析】本题考查了函数图象的分析，正确分析解析式，得出函数图象的情况是解题的关键．
根据，得到当且时，，函数图象在轴下方，当时，，函数图象在轴上方，即可得到答案．
【详解】解：函数，
当且时，，函数图象在轴下方，
当时，，函数图象在轴上方，
小红得到的图象是
故选：A．
7．D
【分析】根据题意将王大爷的运动过程分为三个阶段：去公园、在公园休息、回家，分别分析各阶段离家距离随时间的变化情况，确定关键的时间节点和图像走势即可．
【详解】解：王大爷从家出发走到离家的公园， 第一阶段图像为从上升到的线段；
∵在公园休息了，
∴第二阶段离家距离不变，时间从持续到，图像为平行于轴的线段；
∵用返回家中，
∴第三阶段离家距离从减小到，时间从持续到，图像为下降的线段；
观察各选项，只有D选项符合上述特征．
8．D
【分析】直接利用已知运算公式得出b的值，进而代入求出时对应的值．
【详解】解：∵输入的x的值为5时，输出的y的值为7，
∴，
解得：，
若输入x的值是2，则输出的y的值是：．
9．C
【分析】根据二次根式有意义的条件，可知，根据分式有意义的条件，可知，解不等式可得自变量的取值范围．
【详解】解：有意义，
，
解得：且．
10．B
【分析】本题考查函数的定义，解题思路是根据函数定义判断每个关系式：若对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，据此逐一判断即可．
【详解】① 可整理为 ，对任意x的确定值，y都有唯一确定的值对应，
故①中y是x的函数；
② ，对任意x的确定值，y都有唯一确定的值对应，
故②中y是x的函数；
③ ，对任意不为0的x的确定值，y都有唯一确定的值对应，
故③中y是x的函数；
④，即 ，当x取正数值时，例如，可得或，一个x对应两个不同的y值，y不唯一，
故④中y不是x的函数；
因此y是x的函数的是①②③．
11．或
【分析】本题主要考查函数的表达方式，从表格中的数据可以得出每天造雪量和造雪天数的乘积等于定值260000，故可得解．
【详解】解：从表格中的数据可以得出，
所以，每天造雪量（单位：）和造雪天数（单位：天）的关系是或，
故答案为：或．
12．
【分析】利用长方形周长公式列出等式，再整理变形即可得到y与x的关系式．
【详解】解：根据长方形周长公式可得：，
等式两边同时除以得：，
移项得：．
13．或
【分析】先结合动点运动过程与面积变化图，求出长方形的长和宽，再分两种情况讨论：点在上运动时、点在上运动时，分别根据三角形面积公式求出路程的值．
【详解】解：当点运动到点时，路程，此时的面积达到最大值24，
，
在长方形中，
①点在上运动时，此时，
符合的范围；
②点在上运动时，此时，
恒为24，不符合题意；
③点在上运动时，此时，
符合的范围，
综上，当时，点运动的路程为或．
14．80
【分析】根据题意求出休息以后的总路程和总时间，利用速度等于路程除以时间进行求解即可．
【详解】解：由题意可知，休息后的总路程为：，
休息后到达乙地所用的时间为：，
∴休息以后该车行驶的速度是．
15．
【分析】根据奇函数的定义可得 ，将代入时的函数解析式求出，即可得到的值．
【详解】解：是奇函数，
，
当时，，
．
16．①②③④
【分析】①动点在段运动时对应时间为0到4秒，根据点的移动速度即可算出的长；
②当点运动到点时，为直角三角形，计算出其面积即为的值；
③观察题意，图图甲的面积，求出相应长度代入求值即可；
④图乙中的值即为点走完全程所需的时间，求出整个路程长，根据移动速度即可求出时间．
【详解】解：当点在上运动时，逐渐增大，由图乙可知，在段运动时对应时间为0到4秒，
，
即图甲中的长为，故①说法正确；
当点运动到点时，为直角三角形，
，
，
即图乙中是，故②说法正确；
由图可知：，，
又，，
，，
则图甲的面积，
故③说法正确；
图乙中代表点从所需的全部时间，
，
秒，
故④说法正确；
正确说法的序号是①②③④．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查三角形综合知识以及动点问题，学会结合图象具体分析仍是解决该类问题的关键，要重点理解动点P的不同位置导致面积的变化特点．
17．(1)；
(2)当时，．实际意义：当计时时长为时，漏刻的水位高度为．
【分析】（1）观察表格数据，判断水位与时间的函数类型（一次函数），利用待定系数法求解析式，再结合漏刻容积确定自变量取值范围；
（2）将代入函数解析式求解t，并解释实际意义．
【详解】（1）解：由表格可知，与是一次函数关系，设解析式为．
当时，，代入得；
当时，，代入得，解得．
∴函数关系式为．
漏刻容积为，底面积为，则最大水位．
令，则，
解得：．
自变量的取值范围为．
（2）解：当时，，解得．
实际意义：当计时时长为时，漏刻的水位高度为．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题关键是通过表格判断函数类型，利用待定系数法求解析式，并结合实际场景确定自变量范围．
18．(1)是，点P表示的实际意义是当时间为30秒时，该点的高度为80米；
(2)该点在这一分钟内，所达到的最高高度与最低高度的高度差为96米
(3)和
【分析】（1）根据函数的定义及图象可直接进行求解；
（2）根据函数图象进行求解即可；
（3）根据函数图象进行求解即可．
【详解】（1）解：根据函数的定义可知：h是t的函数；点P表示的实际意义是当时间为30秒时，该点的高度为80米；
（2）解：由图象可知：该点在这一分钟内，达到最高的高度为98米，最低的高度为2米，
∴米；
答：该点在这一分钟内，所达到的最高高度与最低高度的高度差为96米．
（3）解：由函数图象可知：当和时，h随时间t的增加而下降．
19．(1)上坡，平路，下坡
(2)
(3)；；；
【分析】对于（1），根据上坡所用的时间0.2h，路程为6.5-4.5=2km，求出速度，即可得出平路和下坡的速度；
对于（2），先求出平路所用时间再乘以2，再求出下坡所用时间，然后用总时间减去各段时间，即可求休息时间；
对于（3），根据上述解答过程确定各点的横纵坐标即可．
【详解】（1）小明骑车上坡的速度为：，
小明在平路上的速度为：，
小明在下坡的速度为：；
（2）小明在平路上所用的时间为：，
小明在下坡所用的时间为：，
所以小明在乙地休息了：；
（3）点C的横坐标是0.2+0.3=0.5，点D的横坐标是0.5+0．1=0.6，点E的横坐标是0.6+0.3=0.9，纵坐标是4.5，点F的纵坐标是6.5，
所以；；；．
【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，从图像中获取信息是解题的关键．
20．(1)行驶路程是自变量，剩余油量是因变量．
(2)
(3)17
【详解】解：（1）行驶路程是自变量，剩余油量是因变量．
（2）∵该轿车平均每千米的耗油量为，
∴行驶路程与剩余油量的关系式为
．
（3）当时，．
21．(1)，
(2)当有25名学生时，选择甲旅行社更优惠
【分析】（1）根据两个旅行社所给的优惠方案分别计算出老师和学生的票价，进而求和即可得到对应的关系式；
（2）根据（1）所求把代入对应的关系式中进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
；
（2）解：当时，元，
元，
∵，
∴当有25名学生时，选择甲旅行社更优惠．
【点睛】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，求函数值等等，正确理解题意根据所给的优惠方案表示出对应的票价是解题的关键．
22．(1)高；
(2)；梯形的面积由变化到
(3)是，
【分析】（1）根据题目的已知条件即可判断；
（2）根据梯形的面积公式可得面积与高之间函数关系式，再把和代入即可解答；
（3）根据两直线平行，同旁内角互补即可得到关系式．
【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是梯形的高；
（2）解：由题意得：，
梯形的面积与高之间的关系式为：；
当时，，
当时，，
当梯形的高由变化到时，梯形的面积由变化到；
（3）解：在梯形中，上底边和下底边平行，
（两直线平行，同旁内角互补），
即，
y是x的函数，．
23．(1)放水时间和游泳池的存水；
(2)624，468，390；
(3)，取值范围为．
【分析】本题考查了函数的基础知识：变量，求函数关系式等知识．
（1）根据题意即可解答；
（2）根据排水孔以每小时78立方米的速度放水，即可完成填写表格；
（3）根据关系式：存水量等于原有水量减去放出的水量，即可列出函数关系式．
【详解】（1）解：由题意知，两个变量分别是：放水时间及游泳池的存水量；
（2）解：补充表格如下：
放水时间 1 2 3 4 5 6 7
游泳池的存水 858 780 702 546
（3）解：根据题意，得，
令，解得，
所以与的函数关系式为的取值范围为．
24．(1)
(2)点H的运动时间t为或
【分析】（1）根据三角形的面积及图象即可得出答案；
（2）分点H在上运动和点H在上运动时两种情况．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴四边形是矩形
由图象可得，
∴，．
（2）解：当点H在上运动时，，
∴，
∴，
∴，
当点H在上运动时，，
，
∴，
故当的面积为时，点H的运动时间t为或．(共5张PPT)
人教版2024 八年级下册
第二十二章 函数
单元测试·培优卷分析
三、知识点分布
一、单选题 1 0.95 用表格表示变量间的关系
2 0.8 用图象表示变量间的关系
3 0.85 用关系式表示变量间的关系；函数解析式
4 0.65 动点问题的函数图象；根据矩形的性质求线段长
5 0.65 从函数的图象获取信息
6 0.65 用描点法画函数图象
7 0.75 函数图象识别；从函数的图象获取信息
8 0.65 程序流程图与代数式求值；求自变量的值或函数值
9 0.65 求自变量的取值范围；二次根式有意义的条件；求一元一次不等式的解集；分式有意义的条件
10 0.63 函数的概念
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 函数的三种表示方法
12 0.85 用关系式表示变量间的关系
13 0.64 动点问题的函数图象；从函数的图象获取信息
14 0.65 从函数的图象获取信息
15 0.65 求自变量的值或函数值
16 0.65 用图象表示变量间的关系
三、知识点分布
三、解答题 17 0.65 函数解析式；函数的三种表示方法；求自变量的值或函数值
18 0.73 函数的概念；从函数的图象获取信息
19 0.65 函数图象识别；从函数的图象获取信息
20 0.65 用关系式表示变量间的关系；函数的概念；求自变量的取值范围；求自变量的值或函数值
21 0.65 用关系式表示变量间的关系；求自变量的值或函数值
22 0.75 根据平行线的性质探究角的关系；用关系式表示变量间的关系；函数解析式；求自变量的值或函数值
23 0.65 用关系式表示变量间的关系；用表格表示变量间的关系；函数的概念
24 0.6 动点问题的函数图象；根据矩形的性质求线段长；从函数的图象获取信息

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