资源简介

2025 年普通 等学校招 全国统 考试
数学
注意事项：
1. 答卷前，考 务必将 的姓名、考 号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时，选出每 题答案后， 铅笔把答题卡上对应题 的答案标号
涂 。如需改动， 橡 擦 净后，再选涂其他答案标号。回答 选择题时，将
答案写在答题卡上。写在本试卷上 效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡 并交回。
、单项选择题：本题共 8 题，每 题 5 分，共 40 分。在
每 题给出的四个选项中，只有 项是符合题 要求的。
1.已知集合 A={x∣2x≥4}，B={x∣log2 <2}，则 A∩B=（ ）
A. (0,2) B. (0,4) C. [2,4) D. (2,4)
2.2025 年 1 月，我国科研团队宣布在量子计算原型机“九章
三号”上取得重大突破。其关键技术之一涉及对光子态的概
率分布进行分析。若某个量子态下，光子数 n 出现的概率 P(n)
n
满足 P(n)=kλ (n=0,1,2,...)，且已知∞ =0 P(n)=1，λ>0。则常数 !
k=（ ）
A. λ B. eλ C. e λ D. 1
λ

3.已知向量 a (1 , 2 ) ，b (m,3) 。若 (a 2b ) a ，
则实数 m=（ ）
A. 4 B. 27 C. 2 D. 23
4.2025 年是内蒙古自治区推动“风光氢储”一体化发展的加速
年。某新建风电场计划安装一批大型风机，风机叶片旋转时
形成一个圆面。在安装校准过程中，工程师需要计算叶片尖
端在旋转时距地面高度的变化规律。若将风机塔筒视为垂直
于地面的直线，建立坐标系后，叶片尖端 P 的运动可近似用
函数 h(t)=65+40sin( π t π )描述，其中 h(t)表示 P 点距地
6 2
面的高度（米），t 为时间（秒）。则 P 点从最低处旋转到
最高处所需的时间为（ ）
A. 3 秒 B. 6 秒 C. 12 秒 D. 24 秒
5.已知 (x 2－ )n的展开式中，第 4 项与第 6项的二项式系数

相等，则展开式中常数项为（ ）
A. 60 B. -60 C. 120 D. -120
6.已知函数 f(x)=ln(e2x + 1) x，则不等式 f(2m 1)+f(m+2)>0
的解集为（ ）
A. ( ∞, 1) B. ( 1,+∞) C. ( ∞, 1) D.
3
( 1,+∞)
3
7.已知抛物线 C: 2 = 4 的焦点为 F，过点 F 的直线 l 与 C
交于 A,B 两点，与 C 的准线交于点 P。若 =2 ，

∣FB∣=λ∣BP∣，则 λ=（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
2 3 2
8.在 2025 年巴黎奥运会的备赛训练中，运动员的运动数据分
析广泛使用了人工智能模型。某模型在分析篮球运动员投篮
轨迹时，将篮球出手后的运动抽象为在重力作用下的曲线。
该曲线弧上任意一点处的曲率半径 r 与该点速率 v、重力加
速度 g 和速度方向与水平夹角θ满足一定关系。已知曲线
∣y′′∣
y=f(x)在点 (x,y)处的曲率公式为 K= 3 ，曲率半径
(1+(y′)2)2
r=1 。若某次投篮的轨迹方程可近似为 y= (0≤x≤4)（单

位：米），则篮球运动到点(1,1)时，其轨迹的曲率半径为（ ）
A. 2 2 B. 5 5 C.5 5 D. 10 5
2
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每
小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6
分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
3
9.已知复数 1, 2满足 ∣ 1∣=∣ 2∣=1， 1+ 2= +
4 i，则
5 5
（ ）
A. 1
3
2 的实部为 5
B.∣ 1
7
2∣= 5
C. 12 + 22
24
的虚部为
25
D. 1, 2在复平面内对应的点关于虚轴对称
10.如图，在直三棱柱 ABC 1 1 1中，∠ABC=90°，
AB=BC= 1=2，M,N,P 分别是棱 AB,C 1, 1 1 的中点，则
（ ）
A. 直线 MN 与直线 BP 是异面直线
B. 2三棱锥 P MNB 的体积为
3
C. 过点 M,N,P 的平面截该三棱柱所得截面面积为 2 2
D. MNP 2 6点 1到平面 的距离为 3
11.定义在 R上的函数 f(x)及其导函数 f′(x)满足：f(x)+f( x)=2 2，
f′(x) 2x 为奇函数。g(x)=f(x) 2，则（ ）
A. f(0)=0 B. g(x)是偶函数
C. f′(1)=3 D.2025 f′( =1 ) =20252025
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.内蒙古某乳业集团为检测 2025 年新投产的自动化生产线
的稳定性，连续抽取了 10 批次产品测量其蛋白质含量（单
位：g/100g），数据如下：3.1, 3.2, 3.1, 3.0, 3.2, 3.3,
3.2, 3.1, 3.0, 3.2。其中第三个“3.2”为模糊数据，记
为 a。已知该组数据的平均数为 3.14，则这组数据的方差
为 。
+ 2, n 为奇数
13.已知数列{ }满足 1=1， +1= 。记{ }
2 , n 为偶数
的前 n 项和为 。则 10= 。
2 2
14.在平面直角坐标系xOy中，双曲线 C: 2 2 = 1(a>0,b>0)
的右焦点为 F，以 OF 为直径的圆与 C 的一条渐近线交于点 A
（异于点 O），与 C 交于点 B。若 = 3，则双曲线 C 的
AF FB
离心率为 。
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤。
15.（13 分）2025 年，我国载人月球探测工程“嫦娥七号”任
务全面启动，计划开展月球南极环境探测。其中一项地面模
拟实验，需要研究密闭容器内气体压强 P（单位：kPa）与温
度 T（单位：K）、体积 V（单位：L）的关系，满足克拉珀
龙方程 PV=nRT（n,R 为常数）。实验过程中，体积 V 的控制
精度至关重要。
（Ⅰ）若体积V在[2,5] V=2+3内按 arccosx变化，其中 x是[ 1,1]

内的均匀随机变量，求 V的概率密度函数；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当温度 T 恒为 300K 时，压强 P
是体积 V 的函数 P(V)= （C 为正常数）。求 P 的数学期望 E(P)。

16.（15 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，
PA⊥平面 ABCD，PA=AD=2，AB= 3。点 E,F 分别在棱 PB,PC
1
上，且满足 = ， =2 。
3 3
（Ⅰ）证明：A,D,E,F 四点共面；
（Ⅱ）求平面 ADFE 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）若点 M 是线段 PA 上一点，且 AM=λAP(0<λ<1)，是否
存在实数λ，使得直线 BM 与平面 ADFE 平行？若存在，求出
λ的值；若不存在，请说明理由。
17.（15 分）记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c。已
知 acosC+ 3asinC=b+c。
（Ⅰ）求 A；
（Ⅱ）若 D 是边 BC 上一点，满足 =2 ，且 AD=2，求△ABC

面积的最小值。
18.（17 分）2025 年，人工智能大模型在科学研究中的应用
成为热点。某数学研究团队利用 AI 工具探索代数曲线的性质。
已知在平面直角坐标系 xoy 中，动点 P(x,y)到定点 F(1,0)的距
离与到定直线 x=4 1的距离之比为 。
2
（Ⅰ）求动点 P 的轨迹 E 的方程；
（Ⅱ）设 Q 是 E 上的一个动点，过点 Q 作两条直线 1, 2，其
中 1与 E 有唯一的公共点 Q， 2过点 F 且与 E 交于不同于 Q
的M,N两点。探究：直线 QM与 QN的斜率之和是否为定值？
若是，求出该定值；若不是，请说明理由。
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记△QMN 的面积为 S ，试求

的取值范围。
19.（17 分）对于给定的正整数 n，记集合 ={1,2,...,n}。若集
合 A ，且 A 中任意两个不同元素的和不是 2 的整数幂（即
形如2 ，k∈N 的数），则称 A 具有性质 P。
（Ⅰ）当 n=8 时，判断集合{1,3,6,8}是否具有性质 P，并写出
一个含有 4个元素且具有性质 P 的集合；
（Ⅱ）当 n=15 时，求具有性质 P 的集合 A 中元素个数的最
大值，并给出一个取到该最大值的集合 A；
（Ⅲ）设 f(n)表示 中具有性质 P 的集合 A 所含元素个数的
最大值。求证：对任意正整数 m，有 f(2 +1)≤2 +f(2 )，并
估计 f(2025)的大小范围。2025 年普通高等学校招生全国统一考试
数学答案
一、选择题：
1.【答案】C
【解析】
A={x∣2 ≥4}={x∣x≥2}，B={x∣log2 <2}={x∣0A∩B=[2,4)。
2.【答案】 C
【解析】
λn
由概率归一性：∞ =0 P(n)=k
∞
=0 =1。根据指数级数展n!
λn
开： =∞ =0 。n!
所以 k =1，得 k= 。
3.【答案】B
【解析】
=(1,2)，=(m,3)，则+2=(1+2m,8)。由 (+2)⊥
b b
得 (1+2m,8) (1,2)=0，
17
即 (1+2m)+16=0，解得 m=
2
4.【答案】B
【解析】
2
函数 h(t)=65+40sin( t )为正弦型函数。其周期 T= =126 2 6
（秒）。

从最低点到最高点需半个周期，即 =6 秒。
2
5.【答案】A
【解析】
由题意 3 = 5 ，根据组合数性质得 n=3+5=8。
3
通项 = 8 ( 2－ ) = ( 2) 8 +1 8 8 2。
3 16
令 8 =0，得 r= 非整数，说明直接求常数项无解。
2 3
6.【答案】D
【解析】
2 +1
f(x)=ln( 2 +1) x=ln( 2 +1) ln =ln( )=ln( + )。
易知 f(x)为偶函数，且在 [0,+∞)上单调递增。
故不等式 f(2m 1)+f(m+2)>0 可化为 f(2m 1)>
f(m+2)=f( m 2)。
1
由单调性得 ∣2m 1∣>∣m+2∣，两边平方解得 m> 。
3
7.【答案】C
【解析】
抛物线 C:y2=4x，焦点 F(1,0)，准线 x= 1。
设 A( 1, 1),B( 2, 2)。由 =2 及 A,F,P 共线，利用相似 AP
三角形或向量坐标运算可得 1=2。
设直线 l:x=my+1，与抛物线联立得 y2 4my 4=0。
则 1 2= 4。结合 1=2 得 1=±2 2 ，进而 2= 2。
由抛物线定义，∣FB∣= 2+1，∣BP∣= 2 ，其中 P(
1, )在准线上。
∣FB∣ +1 3
计算得 λ= = 1 = 。
∣BP∣ 1+2+1 2
8.【答案】B
【解析】
1 1
轨迹方程 y= x，则 y′= ，y′′= 3。在点 (1,1)处，2 x 4 2
1 1
y′(1)= ，y′′(1)= 。
2 4
1
∣y′′∣ ∣ ∣
1 1
2
代入曲率公式：K= = 4 = 4 = 43 = 。
(1+(y )2)2 (1+(1
3 3
′ )2
5 5
2
2 ) (
5
4)2
5 5
8
1
曲率半径 r = = 5 5。
2
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9.【答案】AC
【解析】
3 4设 1=cosα+ sinα， 2=cosβ+ sinβ。由 1+ 2= + ，利5 5
用复数相等得：
3 4
cosα+cosβ= ，sinα+sinβ= 。两式平方相加得 2+2cos(α
5 5
1
-β)=1 cos(α-β)= 。z ·z =cos(α-β)+ sin(α
2
1 24
-β)，实部为 ，故 A 错。z +z = ，C 正确；|z -z
2 25
| =2-2cos(α-β)=3，故|z -z |= 3，B 错；由对称性
可知 D 不一定成立.
10.【答案】BCD
【解析】
以 B 为原点建系，BA,BC,BB1为坐标轴。
A 项：MN 与 BP 可能相交（通过计算可得），故不一定异面，
A 错。
2
B 项：三棱锥 P MNB 体积，可用等积转化或坐标法，求得 ，
3
正确。
C 项：截面为五边形 1 （其中 1为 1 1中点），计算
面积得 2 2，正确。
2 6
D 项：点 1到平面 MNP 距离，用向量法或等体积法求得 ，3
正确。
11.【答案】ABD
【解析】
由 f(x) + f( - x) = 2x ，令 x = 0得 f(0) = 0，A对。由
f'(x) - 2x为奇函数，得 f'( - x) - 2( - x) = - [f'(x) - 2x]
f'( - x) = - f'(x) + 4x。又对 f(x) + f( - x) = 2x 求导得
f'(x) - f'( - x) = 4x，联立可得 f'( - x) =- f'(x)，即
f'(x)为奇函数，且 f'(x) = 2x + g'(x)，其中 g(x) = f(x) -
x ，g'(x) 为奇函数，故 g(x) 为偶函数，B 对。f'(1) 无法
由条件唯一确定，C 错。由 f'(x) 的结构及奇函数性质，可
k
推导 Σ f'( )=2025，D 对。
2025
三、填空题
12.【答案】 0.0124
【解析】
由平均数 3.14 先求出模糊数据 a=3.2。计算方差：s =
[(3.1-3.14) ×3 + (3.2-3.14) ×4 + (3.0-3.14) ×2 +
(3.3-3.14) ] / 10 = 0.0124。
13.【答案】 280
【解析】
由递推式写出前 10 项： 1=1, 2=3, 3=6, 4=8,
5=16, 6=18, 7=36, 8=38, 9=76, 10=78。分组求和：
(1+3)+(6+8)+(16+18)+(36+38)+(76+78) = 4+14+34+74+154
= 280。
10
14.【答案】 5或
2
【解析】

设 F(c,0)，则圆方程为 (x )2+y2=( )2。
2 2

渐近线 y= x，联立圆得 A 点坐标（非原点）。

联立圆与双曲线得 B 点坐标。
由 = 3知 A,F,B 共线，且 F 内分 AB 为 3:1。
AF FB
利用坐标关系或焦半径公式，可建立关于 a,b,c 的方程。
10
解得离心率 e= = 5（对应 B 在右支）或 e= （对应 B
2
在左支）
四、解答题
15. （13 分）
3
解：（Ⅰ）由 V=2+ arccosx，x∈[ 1,1]，得 V∈[2,5]。……

(1 分)
π
由 arccosx 单调递减，其反函数为 x=cos[ (V 2)]。(3 分)
3
1
x 的概率密度函数为 (x)= ,x∈[ 1,1]。2
则 V 的概率密度函数 (v)= ( 1(v)) ∣( 1)′(v)∣，
π
其中 x=g(v)=cos[ (v 2)]。 ………… (5 分)
3
1 π π π π
计算得 (v)= ∣ sin[ (v 2)]∣= sin[ (v 2)],v∈2 3 3 6 3
[2,5]。 ………… (7 分)
C
（Ⅱ）由 P(V)= ，V 的概率密度函数为 (v)，则V
5 C π
E(P)=2 sin[ (v 2)]dv。 ……………… (9 分)V 6 3
π 3 3令 t= (v 2)，则 v=2+ ，dv= dt，t∈[0,π]。
3
C 3 C sintE(P)= 0 3 sint dt= 2+ 6 2 0 2+
3

dt。 ……………………………… (12 分)
C sint
E(P)= 0 dt。 ……………………………… (13 分)2 2π+3t
16. （15 分）
（Ⅰ）证明：以 A 为原点， , , 方向分别为 x,y,z 轴正
AB AD AP
方向，建立空间直角坐标系。则
A(0,0,0),B( 3,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C( 3,2,0)。 …
……… (1 分) =( 3,0, 2),=( 3,2, 2)。
PB PC
1 3 2 2 2 3 4 4= =( ,0, ), = =( , , )。 ………… (2 分)
PE 3 PB 3 3 PF 3 PC 3 3 3
3 2 3 4= + =(0,0,2)+( ,0, )=( ,0, )。
AE AP PE 3 3 3 3
= 2 3 4 2+ =( , , )。 ………… (3 分)
AF AP PF 3 3 3
=(0,2,0)。设 =x +y，则有：
AD AD AE AF
3 + 2 3 = 0
3 3
0x + 4 = 2 ………… (4 分)
3
4 + 2 = 0
3 3
3
由第二式得 y= ，代入第一式得 x= 2，代入第三式验证成
2
立。 ………… (5 分)
3= 2 + ，故 可由 ,线性表示，所以 A,D,E,F 四点共
AD AE 2 AF AD AE AF
面。 ………… (6 分)
（Ⅱ）由（Ⅰ），设平面 ADFE 的法向量=(x,y,z)，
n1
3 4=(0,2,0)在平面内， =( ,0, )。设= =(0,2,0)×
AD AE 3 3 n1 AD AE
3 4 8 2 3
( ,0, )=( ,0,- )，取=(4,0, 3)。 ………… (7 分)
3 3 3 3 n1
平面PBC， =( 3,0, 2)， =(0,2,0)。设其法向量=(x,y,z)，
PB BC n2
3 + 0 2 = 0
则 取 x=2, 则 z= 3, y=0，故
0 + 2 + 0 = 0
=(2,0, 3)。 ………… (9 分)
n2

cos , n n= 1 2 5 5 133= = 。 ………… (10 分)
n1 n2 133 133n1 n2
5 133
平面ADFE与平面PBC所成锐二面角的余弦值为 . (11分)
133
（Ⅲ）假设存在λ，使得BM∥平面ADFE。M(0,0,2 2λ)。 =(
BM
3,0,2 2λ)。 ………… (12 分)
若 BM∥平面 ADFE，则 ⊥，即 =0。 …… (13 分)
BM n1 BM n1
=( 3)×4+0×0+(2 2λ)×( 3)= 3(6 2λ)=0。
BM n1
(14 分)
解得λ=3，但 0<λ<1，故不存在这样的实数λ。 …(15 分)
17. （15 分）
解：（Ⅰ）由正弦定理，acosC+ 3asinC=b+c 可化为：
sinAcosC+ 3sinAsinC=sinB+sinC。 ………… (1 分)
又 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，代入得：
sinAcosC+ 3sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC。 (3 分)
化简得： 3sinAsinC=cosAsinC+sinC。 ………… (4 分)
在△ABC 中，sinC>0，两边同除以 sinC 得：
3sinA=cosA+1。 …… (5 分)
即 2sin(A π)=1，或化为 3sinA cosA=1，即 2sin(A
6
π
)=1。 …… (6 分)
6
π 1sin(A )= 。 …… (7 分)
6 2
π π 5π π π π 5π
A∈(0,π)，A ∈( , )，故 A = 或 A = （舍，
6 6 6 6 6 6 6
π
因为此时 A=π）。 …… (8 分) A= 。 ……… (9 分)
3
1 2
（Ⅱ）由 =2 ，得 = + 。 ………… (10 分)
BD DC AD 3 AB 3 AC
两边平方：∣ ∣2 1 ∣ ∣2 4= + ∣ ∣2 4+ 。
AD 9 AB 9 AC 9 AB AC
化简得： 2+4 2+2bc=36。 ………… (12 分)
由余弦定理， 2= 2+ 2 2bccosA= 2+ 2 bc。 … (13 分)
1 3
△ABC 面积 S= bcsinA= bc。 ………… (14 分)
2 4
由 2+4 2+2bc=36≥2 2 2+2bc=4bc+2bc=6bc（当且仅当
2=4 2即 c=2b 时取等）。得 bc≤6。 ………… (15 分)
3 3 3 3
S= bc≤ ×6= 。
4 4 2
当 c=2b 时，代入 2+4 2+2bc=12 2=36，b= 3，c=2 3，满足
2=( 3)2+(2 3)2 3 2 3=3+12 6=9，a=3，可构成三角形。
3 3
故△ABC 面积的最小值为 。 ………… (16 分)
2
18. （17 分）
( 1)2+ 2 1
解：（Ⅰ）设动点 P(x,y)，由题意得： = (x≠4)。
∣x 4∣ 2
两边平方，得：4 ( 1)2 + 2 =( 4)2。展开并整理：4( 2
2x+1+ 2)= 2 8x+16,
4 2 8x+4+4 2= 2 8x+16,3 2+4 2=12。故动点 P 的轨迹 E
2 2
的方程为： + =1。
4 3
即轨迹 E 为焦点在 x 轴上的椭圆。 ……（5 分）
2 2
（Ⅱ）设 Q( 0, 0)为椭圆 E 上任意一点，则满足：0 + 0 =1。4 3
①

过点 Q 的切线 1的方程为： 0 + 0 =1。②4 3
设过焦点 F(1,0)的直线 1的方程为：x=my+1(m∈R)。③
将③代入椭圆 E 的方程：3(my + 1)2+4 2=12,
整理得：(3 2+4) 2+6my 9=0。④
设 M( 1, 1)，N( 2, 2)，则 1, 2是方程④的两根，由韦达
定理得： 6 91+ 2= 2 , 3 +4 1 2= 。⑤3 2+4

则直线 QM 与 QN 的斜率之和为：kQM+kQN= 1 0+ 2 0。⑥ 1 0 2 0
将⑤式代入，得：
9分子=2m( 2 ) m 0(
6
2 )
6
+(1 0)( ) 2 (1 3 +4 3 +4 3 2+4 0
0)。
18m+6 2 0 6m(1 化简：分子= 0
)
3 2
2
+4 0
(1 0)。
由于 Q 是椭圆上的动点，m 是 2的斜率参数，分子表达式依
赖于 0, 0,m 三个变量，无法恒为常数。取 Q(0, 3)，m=0，
计算得 kQM+kQN ≠0。因此，直线 QM 与 QN 的斜率之和不是
定值。 …………………………………（12 分）
（Ⅲ）由④式及弦长公式，得：
36 2+36（3 2+4）
∣MN∣= 1 + m2∣ 1 2∣= 1 + m2 2 3 +4
12 1+m2
=
3 2
。⑦
+4
点 Q( 0, 0)到直线 2：x my

1=0 的距离为：d= 0
0 1。
1+m2
⑧
故 △QMN 的面积为：
1 1 12 1+m2 0 0 1 6 0 1S= ∣MN∣d= 2 =
0 。⑨
2 2 3 +4 1+m2 3 2+4

为求 的取值范围，需固定一个变量。考虑 Q 为椭圆上任
∣QN∣

意点， 2过定点 F，比值 与 Q 的位置和 2的斜率均有关。∣QN∣
不妨先固定 Q，考察当 2绕点 F 旋转时比值的变化。
由于 ∣QN∣是∣MN∣的一部分，且 N 是 M，N 中离 Q 较近
1
的点（不妨设 ∣QN∣≤∣QM∣），则有 ∣QN∣≤ ∣MN∣。
2
1
∣MN∣ d
1∣MN∣ d 1
结合⑦⑧式，得： =2 ≥2 =d= 0 0 。
∣QN∣ ∣QN∣ 1∣MN∣ 1+m22

又 ∣QN∣≥d（直角三角形斜边大于直角边），故 ≤
∣QN∣
1
2∣MN∣ d 1 6 1+m2= ∣MN∣= 2 。 2 3 +4
对固定的 Q，当 2⊥x 轴（即 m=0）时，d=∣ 0 1∣，∣MN

∣=3，此时 取得一个具体值。当 2趋近于切线位置时，∣QN∣

∣MN∣→0， →0。经过分析，无论 Q 在椭圆上如何运动，
∣QN∣
32如何绕 F 旋转，比值 始终满足：0< ≤ 。∣QN∣ ∣QN∣ 2
当 Q 为右顶点 (2,0)，且 2垂直于 x 轴（即 MN 为通径）时，
3
可求得 = 。当 2无限接近切线，或 Q 无限接近 F 时，∣QN∣ 2
3
比值趋近于 0。因此， 的取值范围是 (0, ]。 …（17 分）
∣QN∣ 2
19. （17分）
解：（Ⅰ）对于集合 A={1,3,6,8}，1+3=4=22是 2的幂，
故 A不具有性质 P。
示例：{2,3,4,7}（或 {1,4,6,7}，需验证无两数和为 2的幂）
具有性质 P。 …（4分）
（Ⅱ） 15中，可能的 2的幂和为 2,4,8,16。
将和为 16的数配对：
(1,15),(2,14),(3,13),(4,12),(5,11),(6,10),(7,9)，剩余 8。
由性质 P，每对至多选一个数，故至多可选 7（来自配对）
+ 1（元素 8） =8个。
取 A={8,9,10,11,12,13,14,15}，任意两数和最小为 17>16，
满足性质 P。∴最大值为 8。 ………………（9分）
（Ⅲ）证明：将 2m+1 分为 X={1,…,2 }与 Y={2 +1,…,2m+1}。
设 A为具有性质 P的最大集合， =A∩X， =A∩Y。
1.Y中任意两数和在 (2m+1,2m+2)之间，不可能为 2的幂，
故 可为 Y的任意子集。
2.考虑 x∈ 与 y∈ 的和。需避免 x+y=2m+1。对每个 y
∈ m+1 ，p(y)=2 y∈X不能属于 。映射 p:Y→X是双射，
故 ∣ ∣≤∣X∣ ∣ ∣=2 ∣ ∣。
3.显然 也是 X= 2m中具有性质 P的集合，故 ∣ ∣≤
f(2 )。
4.由 2 和 3 得 f(2m+1)=∣ ∣+∣ ∣≤min{2 ∣
∣, f(2 )}+∣ ∣。
该式在 ∣ ∣=2 f(2 )时取最大值2 ，但无论如何有
f(2m+1)≤2 f(2 )。 ………………（15分）
估计 f(2025)：
取 A={1025,1026,…,2025}（所有大于 1024的数），共
1001个元素，任意两数和 >2048，满足性质 P，故 f(2025)
≥1001。
由递推 f(2m+1)≤2 f(2 )及 f(210)=1024可估上界。综合
得 f(2025)约在 1300到 1500之间。 ………（17分）

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