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课时规范练5　一元二次方程、不等式
(分值:78分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2025·广东东莞模拟)已知集合A={x||x-1|≤1},B={x|x2-x-2<0},则A∩B=(　　)
A.{x|0C.{x|0≤x<2} D.{x|-1≤x<2}
2.(2025·辽宁辽阳期末)函数f(x)=log2(ax2-ax+2)的定义域为R,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,8)
B.(-∞,0]∪(8,+∞)
C.[0,8)
D.(8,+∞)
3.(2025·江苏徐州模拟)已知不等式ax2+bx-3>0的解集为{x|x>1或x<-3},则不等式≥0的解集为(　　)
A.{x|-1B.{x|-2C.{x|-1≤x≤2}
D.{x|x>1或x<-2}
4.(2026·山东青岛高三模拟)若集合A={x∈N*|x2+x+a≤0}≠ ,则实数a的取值范围是(　　)
A. B.(-∞,0]
C.(-∞,-1] D.(-∞,-2]
5.(多选题)(2026·河南周口高三检测)下列叙述中正确的是(　　)
A.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),则a>0
B.不等式≤0的解集是[-1,3]
C.不等式2x2-5x-3<0的解集是(-,3)
D.不等式|x-1|≥1的解集是(-∞,0]∪[2,+∞)
6.(多选题)(2025·广东广州期末)如图,二次曲线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,且与x轴交于点A(-1,0),则(　　)
A.a>0
B. m∈R,a+b≥am2+bm
C.ax+c>0的解集为{x|x<3}
D.cx2+bx+a<0的解集为
7.(2025·北京朝阳期末)若存在实数x使得kx2-2x+1<0成立,则实数k的取值范围是　　　　　.
8.(15分)(2025·四川绵阳模拟)设函数f(x)=ax2+(1-a)x+a-2(a∈R).
(1)若a=-2,求f(x)<0的解集;
(2)若不等式f(x)≥2x-3对一切实数x>1恒成立,求a的取值范围;
(3)解关于x的不等式:f(x)综 合 提升练
9.(2025·江苏宿迁模拟)若当0≤p≤4时,不等式x2+px>4x+p-3恒成立,则实数x的取值范围是(　　)
A.[-1,3]
B.(-∞,-1]
C.[3,+∞)
D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
10.(2025·江苏镇江模拟)当x∈(-1,1)时,不等式2kx2-kx-<0恒成立,则实数k的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
11.(多选题)(2025·广东汕头模拟)已知不等式f(x)=kx2+(2k-1)x-2,下列说法正确的有(　　)
A.若k=-,则不等式f(x)>0的解集为
B.若k>0,则不等式f(x)<0的解集为
C.若 x∈R,f(x)+x<0恒成立,则整数k的取值集合为{-1}
D.若恰有两个整数x使得不等式f(x)<0成立,则实数k的取值范围是{k|k≥1}
12.(2025·天津,15)已知a,b∈R,若对任意的x∈[-2,2],(2a+b)x2+bx-a-1≤0恒成立,则2a+b的最小值为　　　　.
创 新 应用练
13.若关于x的不等式(m-3)x2-2mx-8>0的解集是一个开区间,且区间的长度L满足L∈[1,2],则实数m的取值范围是　　　　　.(注:开区间(a,b)的长度L=b-a)
参考答案
1.C　解析 根据题意|x-1|≤1 -1≤x-1≤1 0≤x≤2,则A={x|0≤x≤2},x2-x-2=(x+1)(x-2)<0 -12.C　解析 由条件知ax2-ax+2>0恒成立.当a=0时,符合题意;
当a≠0时,需满足解得0综上,a∈[0,8).故选C.
3.A　解析 由题意知a>0,且-3,1为方程ax2+bx-3=0的两根,
所以解得则不等式0可化为
解得-14.D　解析 因为集合A={x∈N*|x2+x+a≤0}≠ ,所以x2+x+a≤0在x∈N*时有解,则a≤-x2-x在x∈N*时有解,令f(x)=-x2-x,由二次函数性质得f(x)在[1,+∞)上单调递减,
可得f(x)max=-1-1=-2,所以a∈(-∞,-2].故选D.
5.ACD　解析 若不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),说明二次函数y=ax2+bx+c开口向上,即a>0,故A正确;
不等式0等价于(x-3)(x+1)≤0且x+1≠0,解得-1解不等式2x2-5x-3<0,令2x2-5x-3=0,得x=-或x=3;函数y=2x2-5x-3的图象开口向上,故解集为(-,3),故C正确;
不等式|x-1|≥1等价于x-1≥1或x-1≤-1,解得x≥2或x≤0,故解集为(-∞,0]∪[2,+∞),故D正确.
故选ACD.
6.BCD　解析 由图象开口向下,得a<0,故A不正确;
因为对称轴为直线x=1,故对 m∈R,ymax=a+b+c≥am2+bm+c,即a+b≥am2+bm,故B正确;
因为图象过点A(-1,0),由对称性得y=ax2+bx+c有两个零点-1,3,所以-=2,=-3,
故b=-2a,c=-3a,由a<0,ax+c=ax-3a>0,得x<3,故ax+c>0的解集为{x|x<3},故C正确;
由cx2+bx+a<0,得-3ax2-2ax+a<0,又a<0,所以3x2+2x-1<0,解得-1所以cx2+bx+a<0的解集为,故D正确.故选BCD.
7.(-∞,1)　解析 当k=0时,由-2x+1<0,解得x>,故k=0符合题意;
当k<0时,此时一定存在实数x使得kx2-2x+1<0成立,故k<0符合题意;
当k>0时,若存在实数x使得kx2-2x+1<0成立,则Δ=4-4k>0,解得0综上可得k的取值范围是(-∞,1).
8.解 (1)由a=-2,可得f(x)=-2x2+3x-4.
又由f(x)=-2x2+3x-4<0,得2x2-3x+4>0.
又Δ=9-4×2×4<0,所以不等式2x2-3x+4>0的解集为R,即f(x)<0的解集为R.
(2)由f(x)=ax2+(1-a)x+a-2≥2x-3对一切实数x>1恒成立,
得(x2-x+1)a≥x-1对 x∈(1,+∞)恒成立.
因为x2-x+1=>0,
所以a
又x>1,
所以,当且仅当x-1=,即x=2时等号成立,所以a的取值范围是
(3)依题意,f(x)当a=0时,不等式可化为x<1,所以不等式的解集为{x|x<1}.当a>0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,此时-<1,
所以不等式的解集为
当a<0时,不等式化为(ax+1)(x-1)<0,
①当a=-1时,-=1,不等式的解集为{x|x≠1};
②当-11,不等式的解集为;
③当a<-1时,-<1,不等式的解集为
综上,当a<-1时,原不等式的解集为;
当a=-1时,原不等式的解集为{x|x≠1};
当-1当a=0时,原不等式的解集为{x|x<1};
当a>0时,原不等式的解集为
9.D　解析 不等式x2+px>4x+p-3可化为(x-1)p+x2-4x+3>0,
由已知可得当0≤p≤4时,[(x-1)p+x2-4x+3]min>0,
令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3,可得
解得x<-1或x>3.故选D.
10.A　解析 ①当k=0时,不等式化为-<0,显然恒成立,满足题意;
②当k≠0时,令f(x)=2kx2-kx-,则f(x)<0在(-1,1)上恒成立,函数f(x)图象的对称轴为直线x=,
当k>0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,
则有解得0当k<0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,
则有f<0,解得-3综上可知,k的取值范围是
11.ABD　解析 当k≠0时,f(x)=kx2+(2k-1)x-2=(kx-1)(x+2).
若k=-,则f(x)=(-x-1)·(x+2)=-(x+2)2≤0,所以f(x)>0的解集为 ,故A正确;
若k>0,则>-2,f(x)<0的解集为,故B正确;
由f(x)+x<0恒成立,得kx2+2kx-2<0恒成立.
当k≠0时,可得
解得-2所以k=-1,
当k=0时,kx2+2kx-2<0恒成立,满足题意.
综上所述,整数k的取值集合为{-1,0},故C错误;
易知k<0不符合题意,当k>0时,x,若该解集中恰有两个整数解,
则0<1,解得k∈[1,+∞).
综上,实数k的取值范围是[1,+∞),故D正确.
故选ABD.
12.-4　解析 令t=2a+b,则b=t-2a,所以tx2+(t-2a)x-a-1≤0在区间[-2,2]上恒成立,即t(x2+x)≤2ax+a+1在区间[-2,2]上恒成立,所以对 x∈[-2,2],函数y=t(x2+x)的图象总在直线y=2ax+a+1的下方或与直线相切.
函数y=t(x2+x)的图象过点(-1,0)和点(0,0),直线y=2ax+a+1=a(2x+1)+1过定点A(-,1).
讨论t<0时的情况,
当t=-1时,如图1,二次函数y=t(x2+x)=-(x2+x)图象的顶点坐标为(-),存在a对 x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1恒成立.
当t∈(-1,0)时,随着t逐渐增大,总存在a对 x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1恒成立.
图1
图2
图3
当t∈(-∞,-1)时,若t逐渐减小,如图2,取临界位置,即二次函数图象与直线相切时,二次函数y=t(x2+x)的图象过点(-,1),此时t=-4,存在a对 x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1恒成立;若t继续减小,如图3,则定点(-,1)在二次函数图象开口的内部,则不存在a对 x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1恒成立.
综上,tmin=(2a+b)min=-4.
13.(-∞,-15]　解析 据题意得m-3<0,
且Δ=4(m2+8m-24)>0,得3>m>-4+2或m<-4-2,
设(m-3)x2-2mx-8>0等价于(x-x1)(x-x2)<0,
则x1+x2=,x1x2=-,
由1≤|x1-x2|≤2,得12,
即12,化简得12,所以(m-3)2≤4(m2+8m-24)≤4(m-3)2,即解得m≤-15或m
综上,m的取值范围是(-∞,-15]
5(共33张PPT)
第5节　一元二次方程、不等式
课标解读　1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.2.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式不等式、绝对值不等式的解法.
强基础 固本增分
1.二次函数与一元二次方程、不等式解集的对应关系
　　　　　　　　 当a<0时,可利用不等式性质转化为系数为正的情况
设y=ax2+bx+c(a>0),方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac.
判别式 Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c(a>0)的图象
ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1判别式 Δ>0 Δ=0 Δ<0
ax2+bx+c>0(a>0)的解集 　　 　　 {x|x≠-} 　　　　
ax2+bx+c<0(a>0)的解集 　 　　　 　　　　
{x|xx2}
R
{x|x1
微提醒 分式不等式转化为整式不等式求解,一定要注意原分式的分母不能为0.
2.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f(x)·g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0) f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
常用结论
1.不等式|x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞),不等式|x|0)的解集为
(-a,a).
2.不等式ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件是
[自主诊断]
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.(　)
(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(x1,x2),则a<0.(　　)
(3)若ax2+bx+c>0恒成立,则a>0且Δ<0.(　　)
(4)不等式≥0等价于(x-a)(x-b)≥0.(　　)
×
解析 当a<0时,不等式无解.
√
×
解析 当a=b=0,c>0时,ax2+bx+c>0恒成立.
×
解析 0 (x-a)(x-b)≥0且x≠b.
2.(2025·全国2,4)不等式≥2的解集是(　　)
A.{x|-2≤x≤1}
B.{x|x≤-2}
C.{x|-2≤x<1}
D.{x|x>1}
C
解析 原不等式等价于-2≥0,即0,即0,即(x+2)(x-1)≤0(x≠1),解得-2≤x<1.故选C.
3.(2024·上海,3)设x∈R,则不等式x2-2x-3<0的解集为　　　　　.
(-1,3)
解析 对于方程x2-2x-3=0,可解得其根为x1=-1,x2=3.
∵x2-2x-3<0,∴可作图如下:
由图象可知原不等式的解集为(-1,3).
4.(人B必修一教材习题改编)已知f(x)=x2+ax+b,且f(x)<0的解集是(-3,-1),则实数a=　　　　　,b=　　　　　.
4
3
解析 因为f(x)<0的解集是(-3,-1),所以f(x)=0的两根是-3,-1,
因此-3-1=-a,-3×(-1)=b,从而a=4,b=3.
5.(湘教必修一教材习题)设二次函数y=kx2-kx+.
(1)若方程y=0有实根,则实数k的取值范围是　　　 　　.
(2)若不等式y>0的解集为 ,则实数k的取值范围是　　　　　.
(3)若不等式y>0的解集为R,则实数k的取值范围是　　　　　.
(-∞,0)∪[3,+∞)

[0,3)
解析 (1)因为方程y=0有实根,故解得k<0或k≥3.
(2)因为不等式y>0的解集为 ,所以解得k∈ .
(3)因为不等式y>0的解集为R,所以k=0,或故0≤k<3.
研考点 精准突破
考点一　求解一元二次不等式
考向1　不含参数的一元二次不等式
例1　解下列不等式:
(1)2x2+5x-3<0;
(2)-3x2+6x≤2;
(3)4x2+4x+1>0;
(4)-x2+6x-10>0.
解 (1)Δ=49>0,方程2x2+5x-3=0的两根为x1=-3,x2=,作出函数y=2x2+5x-3的图象,如图1所示.由图可得原不等式的解集为{x|-3(2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0,Δ=12>0,解方程3x2-6x+2=0,得x1=,x2=,作出函数y=3x2-6x+2的图象,如图2所示,
由图可得原不等式的解集为{x|x或x}.
图1
图2
(3)因为Δ=0,所以方程4x2+4x+1=0有两个相等的实数根x1=x2=-作出函数y=4x2+4x+1的图象如图3所示.由图可得原不等式的解集为{x|x≠-}.
(4)原不等式可化为x2-6x+10<0,因为Δ=-4<0,所以方程x2-6x+10=0无实数根,所以原不等式的解集为 .
图3
规律方法　解一元二次不等式的一般步骤
考向2　含参的一元二次不等式
例2　(2025·江西临川模拟)解关于x的不等式(a-1)x2+(2a-1)x+2>0.
解 ①若a=1,不等式为x+2>0,解得x>-2.
②若a>1,由不等式(a-1)x2+(2a-1)x+2>0,可得[(a-1)x+1](x+2)>0,所以(x+2)>0,
当->-2,即a>时,解不等式得x<-2或x>;
当-=-2,即a=时,不等式的解集为{x|x≠-2};
当-<-2,即1-2.
③若a<1,由不等式(a-1)x2+(2a-1)x+2>0,可得[(a-1)x+1](x+2)>0,
所以(x+2)<0,解得-2综上所述,当a<1时,不等式的解集为;当a=1时,不等式的解集为
(-2,+∞);当1时,不等式的解集为(-∞,-2)
规律方法　含参一元二次不等式的解法
[对点训练1](原创题)设函数g(x)=kx2+(1-k)x+k-2(k∈R).
(1)若k=2,求g(x)<0的解集;
(2)解关于x的不等式g(x)解 (1)当k=2时,g(x)=2x2-x.
由g(x)=2x2-x<0,得0(2)由g(x)当k=0时,不等式化为x-1<0,解集为{x|x<1}.
当k>0时,不等式化为(kx+1)(x-1)<0,-<1,则解集为{x|-当k<0时,不等式化为(kx+1)(x-1)<0.
若-11,解集为{x|x<1或x>-};
若k=-1,则-=1,解集为{x|x≠1};
若k<-1,则0<-<1,解集为{x|x<-或x>1}.
综上,当k>0时,解集为{x|-当k=0时,解集为{x|x<1};
当-1-};
当k=-1时,解集为{x|x≠1};
当k<-1时,解集为{x|x<-或x>1}.
考点二　三个“二次”之间的关系
例3　(多选题)(2026·河北NT20高三联考)已知关于x的不等式ax2-bx+c<0的解集为{x|x>3,或x<-2},则(　　)
A.a<0
B.2a+3b+c>0
C.不等式bx2+cx+5a<0的解集为{x| x<-,或x>}
D.不等式cx2-bx+a<0的解集为{x|-ABD
解析 已知关于x的不等式ax2-bx+c<0的解集为{x|x>3,或x<-2},则a<0,
b2-4ac>0,=3+(-2)=1,=3×(-2)=-6,解得a<0,b=a,c=-6a,故A正确;
2a+3b+c=2a+3a-6a=-a>0,故B正确;
bx2+cx+5a<0 ax2-6ax+5a<0 x2-6x+5>0 x>5或x<1,故C错误;
cx2-bx+a<0 -6ax2-ax+a<0 6x2+x-1<0 -故选ABD.
规律方法　已知一元二次不等式的解集,就能够得到相应的一元二次方程的根,由根与系数的关系,可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
[对点训练2](多选题)(2025·福建南平期中)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的部分图象如图所示,则(　　)
A.a+b>0
B.abc>0
C.a-b+c=0
D.不等式bx2-ax-c>0的解集为{x|-2BCD
解析 由题设及函数图象知y=a(x+1)(x-2)=a(x2-x-2),且a>0,所以b=-a,c=-2a,则a+b=0,abc=2a3>0,a-b+c=0,故A错误,B,C正确;
因为bx2-ax-c=-ax2-ax+2a>0,所以x2+x-2=(x+2)(x-1)<0,解得-2考点三　一元二次不等式恒成立问题
例4　已知函数f(x)=mx2-(m-1)x+m-1.
(1)若不等式f(x)<1的解集为R,求m的取值范围;
(2)若不等式f(x)≥0对 x∈[-]恒成立,求m的取值范围;
(3)若不等式f(x)>2对 m∈(0,2)恒成立,求x的取值范围.
解 (1)不等式f(x)<1,即mx2-(m-1)x+m-2<0,当m=0时,x-2<0,解得x<2,不符合题意;当m≠0时,有
解得m<,
综上所述,m的取值范围为(-∞,).
(2)不等式f(x)≥0对 x∈[-]恒成立,即m(x2-x+1)≥1-x对 x∈[-]恒成立,
因为x2-x+1=(x-)2+>0,
则不等式等价于m对 x∈[-]恒成立,由x∈[-],得1-x>0,所以=1,当且仅当
1-x=,即x=0时等号成立,所以m≥1,即m的取值范围是[1,+∞).
(3)不等式f(x)>2对 m∈(0,2)恒成立,即(x2-x+1)m+x-3>0对 m∈(0,2)恒成立,令h(m)=(x2-x+1)m+x-3,因为x2-x+1>0,所以函数h(m)=(x2-x+1)m+x-3在(0,2)上单调递增,则h(0)=x-3≥0,解得x≥3,所以x的取值范围为[3,+∞).
规律方法　恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下,求谁的范围,谁就是参数.
(2)一元二次不等式在R上恒成立,可用判别式Δ;一元二次不等式在给定区间上恒成立,不能用判别式Δ,一般分离参数求最值或分类讨论.
[对点训练3](1)(2025·山东临沂期末)若关于x的不等式mx2-5x+m≤0的解集为R,则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
A
解析 当m=0时,不等式-5x≤0,解得x≥0,不符合题意;当m≠0时,由不等式的解集为R,得m<0,且Δ=(-5)2-4m2≤0,解得m≤-,即m的取值范围为故选A.
(2)若命题“ a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题,则实数x的取值范围
为(　　)
A.[-1,4] B. C.[-1,0]∪ D.[-1,0)∪
C
解析 因为命题“ a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题,所以其否定为真命题,即“ a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a≥0”为真命题.
令g(a)=ax2-2ax+x+3-a=(x2-2x-1)a+x+3≥0,
则
解得x∈[-1,0]故选C.
(3)(2026·江西丰城模拟)已知函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围为(　　)
A.(0,2) B.[0,2] C.(0,2] D.[0,2)
B
解析 因为函数f(x)的定义域为R,
所以ax2-ax+0对 x∈R恒成立,
当a=0时,满足题意;
当a≠0时,得解得0综上所述,a∈[0,2].故选B.

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