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第2节　常用逻辑用语
课标解读　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.3.理解全称量词和存在量词的意义,能正确对两种命题进行否定.
强基础 固本增分
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
微点拨 若p,q中所涉及的问题与变量有关,记p,q成立时相应变量的取值集合分别为A,B,那么有以下结论:
集合关系 结论
A B p是q的充分不必要条件
A B p是q的充分条件
A B p是q的必要不充分条件
A B p是q的必要条件
A=B p是q的充要条件
2.全称量词命题与存在量词命题
(1)全称量词与存在量词
量词 常见量词 表示符号
全称量词 任意、所有、　　　 　
存在量词 存在、有、　　　　　 　
(2)全称量词命题与存在量词命题及其否定
命题类型 全称量词命题 存在量词命题
形式 x∈M,p(x) x∈M,p(x)
否定 　　　　　 　　　　　
结论 全称量词命题的否定是 　　　　　　命题 存在量词命题的否定是
　　　　　　命题
每一个
　
至少有一个

x∈M, p(x)　
x∈M, p(x)　
存在量词　
全称量词
微点拨 含有一个量词的命题与它的否定真假性相反.
常用结论
p是q的充分不必要条件 p是 q的必要不充分条件;p是q的必要不充分条件 p是 q的充分不必要条件;p是q的充要条件 p是 q的充要条件.
[自主诊断]
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当p是q的充分条件时,q是p的必要条件.(　　)
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.(　　)
(3)命题“ x∈R,sin2+cos2”是真命题.(　　)
(4)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则r是p的必要不充分条件.(　　)
√
√
×
解析 “ x∈R,sin2+cos2的否定为“ x∈R,sin2+cos2,为真命题,故原命题为假命题.
√
2.(人A必修一教材例题改编)命题“ x∈R,x2-x+2≥0”的否定为(　　)
A. x∈R,x2-x+2<0
B. x∈R,x2-x+2≤0
C. x∈R,x2-x+2≤0
D. x∈R,x2-x+2<0
A
解析 命题“ x∈R,x2-x+2≥0”的否定为命题“ x∈R,x2-x+2<0”.故选A.
3.(2024·天津,2)设a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
C
解析 由题意,知a3=b3 a=b,3a=3b a=b,则a3=b3 3a=3b,即二者互为充要条件.故选C.
4.(2024·新高考Ⅱ,2)已知命题p: x∈R,|x+1|>1,命题q: x>0,x3=x,则(　　)
A.p和q都是真命题
B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题
D. p和 q都是真命题
B
解析 当x=0时,p不成立,当x=1时,q成立,故p假q真,故选B.
5.(人B必修一教材习题改编)已知A=(-∞,a],B=(-∞,3),且x∈A是x∈B的充分不必要条件,则实数a的取值范围是　　　　　.
(-∞,3)
解析 由题意,集合A是集合B的真子集,所以a的取值范围为(-∞,3).
研考点 精准突破
考点一　充分条件、必要条件的判定与探求
考向1　充分条件、必要条件的判定
例1　(1)(2025·天津,2)已知x∈R,则“x=0”是“sin 2x=0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A
解析 当x=0时,sin 2x=0,而当sin 2x=0时,2x=kπ,x=,k∈Z.故选A.
(2)设集合A={x|x-2>0},B={x|x<0},C={x|x2-2x>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”
的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
C
解析 因为A={x|x-2>0}={x|x>2},B={x|x<0},所以A∪B={x|x>2或x<0}.因为C={x|x2-2x>0}={x|x>2或x<0},显然C=A∪B,所以“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.故选C.
(3)(2025·四川南充模拟)对于实数x,y,p:x+y≠6,q:x≠2或y≠4,那么p是q的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A
解析 问题等价于判断 q:“x=2且y=4”是 p:“x+y=6”的什么条件,当x=2且y=4时,显然有x+y=6,反之不一定成立,如当x=3,y=3时,x+y=6.所以 q是 p的充分不必要条件,所以p是q的充分不必要条件.故选A.
规律方法　
[对点训练1](1)(2026·江苏南通高三检测)已知x∈R,则“x2-3x+2≤0”是“≤1”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
B
解析 由x2-3x+2≤0,可得1≤x≤2.
由1,可得-1≤0,即0,即解得1又{x|1所以“x2-3x+2≤0”是1”的必要不充分条件.故选B.
(2)(2025·安徽合肥三模)已知空间中两条直线a,b无公共点,则“直线a,b与平面α所成的角相等”是“a∥b”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
B
解析 如图所示,在正方体中,令直线AB为直线a,直线CD为直线b,下底面为平面α,
显然“直线a,b与平面α所成的角相等”,但是“a∥b”不成立;
由线面角的定义可知,若“a∥b”,则“直线a,b与平面α所成的角相等”成立.
综上,“直线a,b与平面α所成的角相等”是“a∥b”的必要不充分条件.故选B.
考向2　充分条件、必要条件的探求
例2　(1)(2025·山东济宁模拟)已知f(x)=()x-3,则f(x)<5的一个充分不必要条件是(　　)
A.x>-4 B.x>-3
C.x>-2 D.x<-3
C
解析 由不等式f(x)<5,可得()x-3<5,即()x<8,解得x>-3.所以使f(x)<5成立的充分不必要条件对应的范围即为集合(-3,+∞)的真子集,结合选项,可得f(x)<5的一个充分不必要条件为x>-2.故选C.
(2)(2025·浙江宁波模拟)已知两个不同的直线a,b与两个不同的平面α,β,则能使α⊥β的充分条件是(　　)
A.a⊥α,b⊥β,a∥b
B.a α,b β,a⊥b
C.a∥b,a⊥β,b α
D.α∩β=a,b⊥a,b β
C
解析 由a⊥α,a∥b,得b⊥α,而b⊥β,则α∥β,故A错误;当α∥β时,也存在满足a α,b β,a⊥b的直线a,b,故B错误;由a∥b,a⊥β,得b⊥β,又b α,则α⊥β,故C正确;由α∩β=a,b⊥a,不能得到b⊥α,故不能得到β⊥α,故D错误.
故选C.
规律方法　探求充分条件、必要条件的两种方法
(1)直接根据充分条件、必要条件的定义判断;
(2)先求出结论成立的充要条件,再将充要条件对应的范围缩小即得该结论成立的一个充分不必要条件;将充要条件对应的范围扩大即得该结论成立的一个必要不充分条件.
[对点训练2](2025·江苏无锡模拟)“x>y”成立的充分不必要条件是(　　)
A.x2>y2 B.log2x>log2y
C.2x>2y D.
B
解析 由(-2)2>(-1)2,可知“x2>y2”不是“x>y”成立的充分条件;
由log2x>log2y,得x>y>0,所以“log2x>log2y”是“x>y”成立的充分不必要条件;因为2x>2y x>y,所以“2x>2y”是“x>y”成立的充要条件;
由,得-2<2,可知是“x>y”成立的既不充分也不必要条件.故选B.
考点二　充分条件、必要条件的应用
例3　[一题多变](2025·江苏常州模拟)已知集合A={x|a-1≤x≤3-2a},
B={x|-2(-,+∞)
解析 因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件,所以A B.
①当A= 时,a-1>3-2a,解得a>,满足题意;
②当A≠ 时,则需解得-综上,a>-,故实数a的取值范围为(-,+∞).
AI变式
[变式](改变命题的顺序)本例把“p是q成立的充分不必要条件”改为“必要不充分条件”,其余不变,则实数a的取值范围是　　　　　.
　(-∞,-1]
解析 由题意可得,“x∈B”是“x∈A”成立的充分不必要条件,故B A.所以解得a≤-1,故实数a的取值范围是(-∞,-1].
规律方法　根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤
(1)记集合M={x|p(x)},N={x|q(x)}(M,N非空);
(2)根据题意转化为集合M与N的关系;
(3)根据集合M与N的关系建立关于参数的方程(组)或不等式(组);
(4)解方程(组)或不等式(组),求出参数的取值(取值范围).
[对点训练3]已知p:x≤1,q:x≤a,若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是　　　　　;若p是q的必要条件,则实数a的取值范围是　　　　　.
(-∞,1)　
(-∞,1]
解析 因为p:x≤1,q:x≤a,所以若p是q的必要不充分条件,则(-∞,a] (-∞,1],因此a<1,即实数a的取值范围是(-∞,1).若p是q的必要条件,则(-∞,a] (-∞,1],因此a≤1,即实数a的取值范围是(-∞,1].
考点三　全称量词与存在量词
考向1　含有一个量词的命题的否定
例4　(1)(2025·山东青岛、淄博二模)命题“ x>y,x2>y2”的否定为(　　)
A. x>y,x2≤y2 B. x≤y,x2≤y2
C. x≤y,x2≤y2 D. x>y,x2≤y2
D
解析 命题“ x>y,x2>y2”的否定为“ x>y,x2≤y2”.故选D.
(2)(2025·河南周口模拟)命题“存在偶数a,使数据3,4,1,a,5,7的中位数是偶数”的否定为(　　)
A.对任意的偶数a,数据3,4,1,a,5,7的中位数是偶数
B.对任意的偶数a,数据3,4,1,a,5,7的中位数不是偶数
C.存在奇数a,使数据3,4,1,a,5,7的中位数是偶数
D.不存在偶数a,使数据3,4,1,a,5,7的中位数不是偶数
B
解析 改变量词,否定结论,得否定为“对任意的偶数a,数据3,4,1,a,5,7的中位数不是偶数”.故选B.
考向2　全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例5　(2025·浙江温州模拟)已知命题p: x∈{x|x是无理数},x3是无理数;命题q: n∈Z,使得n2+n是奇数,则(　　)
A.p和q都是真命题
B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题
D. p和 q都是真命题
D
解析 因为x=是无理数,但是x3=()3=2是有理数,所以命题p是假命题,则 p是真命题;由n2+n=n(n+1),因为n和n+1是两个连续的整数,所以n(n+1)必是偶数,故命题q是假命题,则 q为真命题.故选D.
规律方法　判断全称命题为真需全部验证,判断存在命题为真只需一例.若命题真假难辨,可先考察其否定的真假.
[对点训练4](多选题)(2025·河北沧州检测)下列命题是真命题的是(　　)
A. x∈R,sin 2x=2sin x
B. x∈{x|x=7k,k∈Z},使得x+1为质数
C. x∈R,2x+21-x≥2
D.存在奇函数f(x),使得f(-2)=f(2)
BCD
解析 因为对 x∈R,sin 2x=2sin xcos x,所以A是假命题;
因为28∈{x|x=7k,k∈Z},且29为质数,所以B为真命题;
因为2x+21-x≥2=2,当且仅当2x=21-x,即x=时,等号成立,所以C为真命题;
对于分段函数f(x)=它是奇函数,且满足f(-2)=f(2)=0,即D为真命题,故选BCD.
考向3　根据命题真假求参数的取值范围
例6　(2025·江苏苏州模拟)若命题“ x∈R,x2-2ax+6a>0”是假命题,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,6)
B.(-∞,0)∪(6,+∞)
C.[0,6]
D.(-∞,0]∪[6,+∞)
D
解析 因为命题“ x∈R,x2-2ax+6a>0”是假命题,所以它的否定“ x∈R,
x2-2ax+6a≤0”是真命题,
所以Δ=4a2-24a≥0,解得a≥6或a≤0,即a的取值范围是(-∞,0]∪[6,+∞).故选D.
规律方法　根据命题真假求参数取值范围的策略
(1)善于转化:全称量词命题为真可转化为恒成立问题;存在量词命题为真可转化为存在性问题;命题为真可转化为其否定为假;命题为假可转化为其否定为真.
(2)建立关系:根据题意建立方程或不等式(组),求解即得参数的取值范围.
[对点训练5](2026·北京海淀模拟)已知命题p:“ x∈[1,2],x-a≥0”,命题q:“ x∈R,x2+2ax+4=0”.若两个命题中全称量词命题是真命题,另一个命题是假命题,则实数a的取值范围是(　　)
A.{a|-2C.{a|-2A
解析 由题意知命题p:“ x∈[1,2],x-a≥0”为真命题,故a≤1;
由题意知命题q:“ x∈R,x2+2ax+4=0”为假命题,则方程x2+2ax+4=0无实根,
则Δ=4a2-16<0,解得-2综上可知实数a的取值范围是{a|-2(分值:83分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2026·山东潍坊高三期中)命题“ x∈R,x2-2x+1≥0”的否定是(　　)
A. x∈R,x2-2x+1<0
B. x∈R,x2-2x+1≤0
C. x∈R,x2-2x+1≤0
D. x∈R,x2-2x+1<0
2.(2026·江苏连云港高三期中)“x≠0”是“xy≠0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.(2025·湖南怀化模拟)已知x∈R,则“x>2”是“ln x>0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2025·湖北宜昌二模)已知命题p: x∈R,|1-x|≤1,命题q: x>0,x2>2x,则(　　)
A.p和q都是真命题
B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题
D. p和 q都是真命题
5.(2026·广东揭阳模拟)在△ABC中,∠ABC=3∠ACB,则“0°<∠ACB<30°”是“△ABC为锐角三角形”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(2025·江苏泰州模拟)《墨经》上说:“小故,有之不必然,无之必不然.体也,若有端.大故,有之必然,若见之成见也.”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是(　　)
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.(2025·浙江绍兴二模)已知集合A,B,C均为非空集合.若“a∈B”是“a∈A”的充分不必要条件,“a∈A”是“a∈C”的充分不必要条件,则“a∈B”是“a∈C”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.(2025·山西忻州模拟)命题“ x∈[-3,-1],x2-a>7”为假命题的一个必要不充分条件是 (　　)
A.a≥1 B.a≥0
C.a≥-7 D.a≤0
9.(多选题)(2025·湖北黄石模拟)下列说法正确的有(　　)
A.“ x∈R,x-2>”是真命题
B.“ x∈R,x2>0”的否定是真命题
C.“至少有一个x使x2+2x+1=0成立”是全称量词命题
D.命题“ x∈R,12”
10.(2025·江苏盐城期末)集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|x综 合 提升练
11.(2023·北京,8)若xy≠0,则“x+y=0”是“=-2”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.(多选题)(2025·河南洛阳模拟)若x,y∈R,则“x3A.x0
C.>0 D.|x|13.(2025·河南开封模拟)已知p:|2-3x|≤7,q:x2-4x+4-9m2≤0(m>0),若q是p的充分不必要条件,则实数m的取值范围是　　　　　.
14.(2026·山东济宁模拟)已知命题p: x∈{x|x≤},-2x+a≥0,命题q:x2+x+2a-1=0有实数根,若p为真命题,q为假命题,则实数a的取值范围是　　　　　.
创 新 应用练
15.(2026·福建莆田模拟)如果对于任意实数x,[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[0.6]=0,[-1.6]=-2,那么“|x-y|<1”是“[x]=[y]”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
16.(多选题)十七世纪法国数学家费马提出猜想:“对任意正整数n>2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn没有正整数解”.经历三百多年,于二十世纪九十年代中期由美国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想,使它终成为费马大定理.根据前面叙述,下列说法正确的为 (　　)
A.存在至少一组正整数组(x,y,z)是关于x,y,z的方程x3+y3=z3的解
B.关于x,y的方程x3+y3=1没有正有理数解
C.关于x,y的方程x3+y3=1有正有理数解
D.当整数n>3时,关于x,y,z的方程xn+yn=zn有正实数解
参考答案
1.D　解析 命题“ x∈R,x2-2x+1≥0”的否定是“ x∈R,x2-2x+1<0”.故选D.
2.B　解析 假设x=1≠0,y=0,有xy=0,即充分性不成立;
若xy≠0,则有x≠0且y≠0,即必要性成立.
综上,“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分条件.故选B.
3.A　解析 当x>2时,ln x>ln 2>0,故充分性成立;
当ln x>0时,x>1,故必要性不成立.
所以“x>2”是“ln x>0”的充分不必要条件.故选A.
4.B　解析 对于命题p,当x=3时,|1-3|>1,则命题p为假命题,则命题 p为真命题;
对于命题q,当x=3时,32>23,则命题q为真命题,则命题 q为假命题.故选B.
5.B　解析 在△ABC中,∠ABC=3∠ACB,
若△ABC为锐角三角形,则解得22.5°<∠ACB<30°,
所以“0°<∠ACB<30°”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件.故选B.
6.B　解析 由“小故,有之不必然,无之必不然”,知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件,故“小故”是逻辑中的必要不充分条件,所以“无之必不然”所表述的逻辑关系一定是必要条件.故选B.
7.A　解析 由“a∈B”是“a∈A”的充分不必要条件,得B A,由“a∈A”是“a∈C”的充分不必要条件,得A C,所以B C,即“a∈B”是“a∈C”的充分不必要条件.故选A.
8.C　解析 命题的否定为“ x∈[-3,-1],x2-a≤7”,若该命题为真命题,则a≥(x2-7)min=-6,所以a≥-6,
所以“a≥-7”为该命题的一个必要不充分条件.故选C.
9.ABD　解析 当x=9时,x-2=7>=3,故A正确;
显然“ x∈R,x2>0”是假命题,所以其否定是真命题,故B正确;
“至少有一个”是存在量词,故该命题为存在量词命题,故C错误;
命题“ x∈R,12”,故D正确.故选ABD.
10.[3,+∞)　解析 A={x|x2-2x-3<0}={x|-111.C　解析 因为xy≠0,且x+y=0,所以x=-y,所以=-1-1=-2,所以充分性成立;
因为xy≠0,且=-2,所以x2+y2=-2xy,即x2+y2+2xy=0,即(x+y)2=0,所以x+y=0,所以必要性成立.
综上,“x+y=0”是=-2”的充要条件.故选C.
12.BCD　解析 x3由lg(y-x)>0,得y>x+1>x,能推出x0”是“x3由>0,可得00”是“x3由|x|故选BCD.
13.(0,]　解析 由|2-3x|≤7,可得-7≤2-3x≤7,即-x≤3,
由x2-4x+4-9m2≤0(m>0),可得(x-2)2≤9m2(m>0),
即-3m+2≤x≤3m+2(m>0),
又因为q是p的充分不必要条件,所以[-3m+2,3m+2] [-,3](m>0),所以(等号不同时成立),解得m∈(0,].
14.[1,+∞)　解析 由命题p: x∈{x|x},-2x+a≥0为真命题可得,-1+a≥0,故a≥1;
由命题q:x2+x+2a-1=0有实数根为真命题可得12-4×1×(2a-1)≥0,即a
而q为假命题,则a>
综上,a≥1,故实数a的取值范围是[1,+∞).
15.B　解析 若|x-y|<1,则取x=0.5,y=1.2,满足|x-y|<1,此时[x]=0,[y]=1,
所以“|x-y|<1”不是“[x]=[y]”的充分条件;
若[x]=[y],设[x]=[y]=a,a∈N,则a≤x所以-a-1<-y≤-a,所以-1所以“|x-y|<1”是“[x]=[y]”的必要条件,
所以“|x-y|<1”是“[x]=[y]”的必要不充分条件.故选B.
16.BD　解析 当整数n>2时,关于x,y,z的方程xn+yn=zn没有正整数解,故方程x3+y3=z3没有正整数解,故A错误;
x3+y3=z3没有正整数解,即()3+()3=1(z≠0)没有正整数解,即x3+y3=1没有正有理数解,故B正确,C错误;
当x=y=1,z=,整数n>3时满足条件,故当整数n>3时,xn+yn=zn有正实数解,故D正确.故选BD.
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