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四川省峨眉山市初中2024- 2025学年九年级下学期第二次调研监测数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．2024年我国粮食产量首次跃上万亿斤新台阶．用科学记数法表示数据万亿为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万亿用科学记数法表示为．
故选：B．
【分析】
将万亿用科学记数法一般形式表示，其中，n可以用整数位数减去1来确定．
2．如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看该几何体，下面是一个大长方形，上面叠着一个小长方形，主视图大概如图所示：
故答案为：B．
【分析】按照主视图的定义，从正面观察图形，即可得到答案．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故此选项正确；
B．，故此选项错误；
C．，故此选项错误；
D．，故此选项错误；
故选：A．
【分析】
分别根据同底数幂的乘法、除法运算法则，幂的乘方运算，合并同类项进行计算即可．
4．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；求正弦值
【解析】【解答】解：连接BC，
由题意可得：OB=OC=BC，
则△OBC是等边三角形，
故sin∠AOC=sin60°=．
故选D．
【分析】连接BC，由题意可得：OB=OC=BC，根据等边三角形判定定理可得△OBC是等边三角形，再根据特殊角三角形三角函数值即可求出答案.
5．下列说法正确的是(　　)
A．随机事件发生的可能性是50%
B．一组数据2，2，3，6的众数和中位数都是2
C．为了了解岳阳5万名学生中考数学成绩，可以从中抽取10名学生作为样本
D．若甲组数据的方差S甲2=0.31，乙组数据的方差S乙2=0.02，则乙组数据比甲组数据稳定
【答案】D
【知识点】可能性的大小；方差
【解析】【分析】根据事件发生可能性的大小和概率的值的大小的关系以及中位数、众数、方差的定义分别进行判断即可．
【解答】A、随机事件发生的可能性是大于0，小于1，故本选项错误；
B、一组数据2，2，3，6的众数是2，中位数是2.5，故本选项错误；
C、为了了解岳阳5万名学生中考数学成绩，可以从中抽取10名学生的中考数学成绩作为样本，容量太小，故本选项错误；
D、若甲组数据的方差S甲2=0.31，乙组数据的方差S乙2=0.02，则乙组数据比甲组数据稳定，故本选项正确；
故选D．
【点评】此题考查了可能性大小，用到的知识点是可能性的大小、中位数、众数、方差等，解题的关键是根据有关定义判断出每一项的正误．
6．如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴选项A中不一定正确，故不符合题意；
选项B中不一定正确，故不符合题意；
选项C中一定正确，故符合题意；
选项D中不一定正确，故不符合题意，
故选：C．
【分析】
根据矩形的性质和定义逐一分析选项即可．
7．我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（　　）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得
故选A．
【分析】
设绳长x尺，竿长y尺， 根据相等关系“若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺”列方程组即可．
8．如图，四边形内接于，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，
∵，，
∴，，
∴和都是等边三角形，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
连接辅助线，利用半径相等和已知条件证明和都是等边三角形，求得，进而利用圆周角定理求解即可．
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（-2，3），AD=5，若反比例函数 （k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　）
A． B．8 C．10 D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过D作DH垂直x轴于H，设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F，
∵点D（-2，3），AD=5，
∴DH=3，
∴，
∴A（2，0），即AO=2，
∵D（-2，3），A（2，0），
∴AD所在直线方程为：，
∴E（0，1.5），即EO=1.5，
∴，
∴ED=AD- AE=5-=，
∵∠AOE=∠CDE，∠AEO=∠CED，
∴△AOE ∽△CDE，
∴，
∴，
∴在矩形ABCD中，，
∵∠EAO+∠BAF=90°，
又∠EAO+∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠BAF，
又∵∠AOE=∠BFA，
∴△BFA∽△AOE，
∴，
∴代入数值，可得AF=2，BF=，
∴OF=AF+AO=4，
∴B（4，），
∴将B（4，）代入反比例函数，得，
故选：D．
【分析】过D作DH垂直x轴于H，设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F，根据两点间距离可得DH，根据勾股定理可得AH，再根据点的坐标可得A（2，0），即AO=2，求出AD所在直线方程为：，根据勾股定理可得AE，根据边之间的关系可得ED，再根据相似三角形判定定理可得△AOE ∽△CDE，则，代值计算可得CD，根据矩形性质可得，根据角之间的关系可得∠AEO=∠BAF，再根据相似三角形判定定理可得△BFA∽△AOE，则，代值计算可得AF=2，BF=，根据边之间的关系可得OF，再根据点的坐标可得B（4，），再根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
10．在平面直角坐标系中，与的函数关系如图所示，图像与轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论：
①当时，；
②当时，随的增大而增大；
③若点在此函数图象上，则符合要求的点只有一个；
④将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①②④ B．②④ C．②③④ D．③④
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由图像可得，
当时，或，故①错误；
当时，随的增大而增大；故②正确；
∵，
∴点在一次函数的图像上，
如图：
由图像可得，有3个交点，
∴点在此函数图象上，则符合要求的点有3个，故③错误；
∵函数经过点，
∴将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点，故④正确．
综上所述，上述结论中，所有正确结论的序号是②④．
故选：B．
【分析】
通过观察图象在xz轴后上方，确定y0时x的取值范围，再根据函数的增减性和函数图象上点的坐标特征判断，最后根据函数图象平移规律即可解答.
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11． 的绝对值是　 　．
【答案】
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点 到原点的距离是 ，所以 的绝对值是 。
【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数，进行解答即可.
12．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：；
故答案为：.
【分析】先提公式法，然后根据平方差公式分解因式解题．
13．在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，摸出的小球标号大于等于3的概率为　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：共有5中等可能结果，其中小球标号大于等于3的情况有3种，则从中随机摸出一个小球，其标号大于等于3的概率为
故答案为：
【分析】
先确定总共有多少种可能结果，再找出标号大于等于3的小球个数，最后用标号大于等于3的小球个数除以总个数得到概率即可．
14．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为　 　．
【答案】20
【知识点】相似三角形的实际应用；8字型相似模型
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
如图，过作于点，交于点，
∴，，
∴，即，
∴（），
即小孔到的距离为，
故答案为：．
【分析】由题可得，过作于点，交于点，利根据相似三角形的对应边上高的比等于相似比解题即可.
15．有一直径是的圆形铁皮，要从中剪出圆心角是的扇形（如图），用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是　 　m．
【答案】
【知识点】圆周角定理；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：连接，由题意，得：，，
∴为的直径，
∴，
∴，
∴的长为：，
∴圆锥的底面圆的半径为：；
故答案为：．
【分析】
根据圆周角定理的推论，得出BC是圆形铁皮的直径，利用三角形性质求解，最后利用勾股定理计算扇形半径即可.
16．将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图所示．
（1）当直线过点时，则的值为　 　；
（2）当直线与新图象有四个公共点时，则的取值范围是　 　．
【答案】；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）令，
解得，
∴抛物线与x轴的交点坐标分别为，，
将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的解析式为．
当直线过点B时，，
解得，；
故答案为：；
（2）当直线过点A时，直线与新函数的图象恰有三个公共点，
将代入，
得，
解得．
当直线与抛物线只有一个交点时，直线与新函数的图象恰有三个公共点，
即方程有两个相等的实数根，
整理得，
∴，
解得．
∴当直线与新图象恰有四个公共点时，a的取值范围为．
故答案为：．
【分析】
（1）由题意得，抛物线与x轴的交点坐标分别为，，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的解析式为，将点B代入解析式中求解，即可解题．
（2）当直线过点A时，直线与新函数的图象恰有三个公共点，将代入，可求出a的值；当直线与抛物线相切时，直线与新函数的图象恰有三个公共点，结合图象，求出b的取值范围，进而可得答案
三、本大题共3小题，每小题9分，共27分．
17．计算：．
【答案】解：原式

【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】分别计算零指数幂、绝对值、二次根式的性质、特殊角的三角函数值，最后进行相加减即可．
18．解不等式组
【答案】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
所以不等式组的解集为：．

【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求出每个不等式的解集，然后取公共部分解集即可解答．
19．先化简，再求值：的值，其中．
【答案】解：
，
原式
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先将括号里的分式减法通分计算，同时将分式除法转化为乘法运算，约分化简，然后整体代入求值.
四、本大题共3小题，每小题10分，共30分．
20．如图，线段相交于点，且，于点．
（1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点，连接，；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）
（2）若，请证明四边形是平行四边形．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）证明：，
，
又，
，
，
，
，，
又，
，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）根据题目要求使用尺规作图的方法即可；
（2）首先根据已知条件，利用平行线的性质得到内错角相等，然后结合已知条件AB=CD，利用“ASA”判定证明，再由全等三角形的性质可得对应边相等，最后根据平行四边形的判定定理证明即可.
（1）解：如图所示，即为所求．
（2）证明：，
，
又，
，
，
，
，，
又，
，
四边形是平行四边形．
21．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别 成绩x（分） 百分比
A组
B组
C组 a
D组
E组
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中 ，并补全条形统计图；
（2）这200名学生成绩的中位数会落在 组（填A、B、C、D或E）；
（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．
【答案】（1）20，
C组人数为：，
补全条形统计图如图所示：
（2）D
（3）解：（人）
估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）有300人
【知识点】条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：20
（2），
，
∴200名学生成绩的中位数会落在D组．
故答案为：D.
【分析】（1）用1减去其余各组人数所占的百分数即可得a的值，再列式计算求出C组人数，补全条形统计图即可．
（2）利用中位数的定义解答即可．
（3）用总人数乘以D组人数所占百分比，列式计算即可．
（1），
C组人数为：，
补全条形统计图如图所示：
（2），
，
∴200名学生成绩的中位数会落在D组．
（3）（人）
估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人．
22．综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为．
（1）求线段的长（结果取整数）；
（2）求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：．
【答案】（1）解：设，由，得．
，垂足为，
．
在中，，
．
在中，，
．
．
得．
答：线段的长约为．
（2）解： 在中，，
．
．
答：桥塔的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】本题以测量桥塔高度的实际情境为背景，考查了解直角三角形的应用、仰角与俯角的概念及正切函数的运用。
（1）设CD=x，分别在Rt△BCD和Rt△BCE中利用正切表示BC，列方程求解CD。
（2）在Rt△ACD中利用正切求AC，再由AB=AC+BC得塔高。
（1）解：设，由，得．
，垂足为，
．
在中，，
．
在中，，
．
．
得．
答：线段的长约为．
（2）在中，，
．
．
答：桥塔的高度约为．
五、本大题共2小题，每小题10分，共20分．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（）的图象交于点，，与x轴，y轴分别交于C，D两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点P在y轴上，当的周长最小时，求出点P的坐标．
【答案】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，，
，
，
反比例函数的表达式为，
把代入得，
，
，
，
把，代入得，
，
解得，
一次函数的表达式为；
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，
此时，的周长最小，
点，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】本题以一次函数与反比例函数图象的交点为背景，考查了待定系数法求解析式及利用轴对称求三角形周长的最小值。
（1）将点A代入反比例函数求m，再代入点B求n，最后用A、B坐标求一次函数解析式。
（2）作点A关于x轴的对称点，连接对称点与B交x轴于点P，此时△PAB周长最小，利用待定系数法求直线解析式，再求P点坐标。
（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，，
，
，
反比例函数的表达式为，
把代入得，
，
，
，
把，代入得，
，
解得，
一次函数的表达式为；
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，
此时，的周长最小，
点，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为．
24．如图，是的直径，点，在上，平分.
（1）求证：；
（2）延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长.
【答案】（1）证明：根据题意，得，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，不妨设，则，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
解得，
取的中点M，连接，
则
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
解得，
故半径的长为.
【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质；等角代换法求锐角三角函数值；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】本题以圆中的直径、角平分线及切线为背景，考查了等腰三角形的性质、平行线的判定、相似三角形的判定与性质、切线的性质及锐角三角函数的应用。
（1）利用等腰三角形底角相等及角平分线定义，通过角度关系证OD∥BC。
（2）设参数表示线段，利用相似三角形求BC，取BC中点构造直角三角形，通过余弦值列方程求半径。
（1）根据题意，得，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
不妨设，则，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
解得，
取的中点M，连接，
则
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
解得，
故半径的长为.
六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共计25分．
25．已知点是正方形内部一点，且．
【初步探究】
（1）如图1，延长交于点．求证：；
【深入探究】
（2）如图2，连接并延长交于点，当点是的中点时，求的值；
【延伸探究】
（3）连接并延长交于点，把分成两个角，当这两个角的度数之比为时，请直接写出的值．
【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
；
（2）解：如图1，
作于，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，点是的中点，
，
不妨设，则，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）或
【知识点】确定圆的条件；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
（3）解：如图，
当时，即，
设，
分别延长，，分别交于，交于，
，
、、、共圆，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，即，
同理可得：，
，
，
，
，
综上所述：或．
【分析】
（1）根据同角的余角相等，可以推出，再结合矩形的性质可得，即可判定三角形相似，得出结论；
（2）过点作，垂足为，首先可证得，根据相似三角形的性质可得。我们设，结合已知条件可以推出，在中由勾股定理可得，将各边长度代入比例式，即可求出和的长度。再证明，根据相似三角形的性质即可得到；
（3）设，我们分别延长和，延长后交于点，交于点，接下来分两种情况进行讨论：第一种是的情况，第二种是的情况，分别讨论后即可得到对应结果.
26．在二次函数中，
（1）若它的图象过点，则t的值为多少？
（2）当时，y的最小值为，求出t的值：
（3）如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围．
【答案】（1）解：将代入中，
得，
解得，
（2）解：抛物线对称轴为．
若，当时，函数值最小，
，
解得．
，
若，当时，函数值最小，
，
解得（不合题意，舍去）
综上所述
（3）解：关于对称轴对称
，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧
抛物线与y轴交点为，抛物线对称轴为直线，
此交点关于对称轴的对称点为
且
，解得．
当A，B都在对称轴左边时，
，
解得，
当A，B分别在对称轴两侧时
到对称轴的距离大于A到对称轴的距离
，
解得
综上所述或
【知识点】二次函数的最值；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）将 点 代入函数解析式，可求出t的值.
（2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论：当，当时，函数值最小，以及，当时，函数值最小，可得到符合题意的t的值.
（3）利用点A、C的坐标j及二次函数的对称性，可得到，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：A，B都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可．
1 / 1四川省峨眉山市初中2024- 2025学年九年级下学期第二次调研监测数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．2024年我国粮食产量首次跃上万亿斤新台阶．用科学记数法表示数据万亿为（　　）
A． B． C． D．
2．如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为（　　）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是(　　)
A．随机事件发生的可能性是50%
B．一组数据2，2，3，6的众数和中位数都是2
C．为了了解岳阳5万名学生中考数学成绩，可以从中抽取10名学生作为样本
D．若甲组数据的方差S甲2=0.31，乙组数据的方差S乙2=0.02，则乙组数据比甲组数据稳定
6．如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（　　）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺）
A． B．
C． D．
8．如图，四边形内接于，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（-2，3），AD=5，若反比例函数 （k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　）
A． B．8 C．10 D．
10．在平面直角坐标系中，与的函数关系如图所示，图像与轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论：
①当时，；
②当时，随的增大而增大；
③若点在此函数图象上，则符合要求的点只有一个；
④将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①②④ B．②④ C．②③④ D．③④
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11． 的绝对值是　 　．
12．因式分解：　 　．
13．在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，摸出的小球标号大于等于3的概率为　 　．
14．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为　 　．
15．有一直径是的圆形铁皮，要从中剪出圆心角是的扇形（如图），用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是　 　m．
16．将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图所示．
（1）当直线过点时，则的值为　 　；
（2）当直线与新图象有四个公共点时，则的取值范围是　 　．
三、本大题共3小题，每小题9分，共27分．
17．计算：．
18．解不等式组
19．先化简，再求值：的值，其中．
四、本大题共3小题，每小题10分，共30分．
20．如图，线段相交于点，且，于点．
（1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点，连接，；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）
（2）若，请证明四边形是平行四边形．
21．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别 成绩x（分） 百分比
A组
B组
C组 a
D组
E组
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中 ，并补全条形统计图；
（2）这200名学生成绩的中位数会落在 组（填A、B、C、D或E）；
（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．
22．综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为．
（1）求线段的长（结果取整数）；
（2）求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：．
五、本大题共2小题，每小题10分，共20分．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（）的图象交于点，，与x轴，y轴分别交于C，D两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点P在y轴上，当的周长最小时，求出点P的坐标．
24．如图，是的直径，点，在上，平分.
（1）求证：；
（2）延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长.
六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共计25分．
25．已知点是正方形内部一点，且．
【初步探究】
（1）如图1，延长交于点．求证：；
【深入探究】
（2）如图2，连接并延长交于点，当点是的中点时，求的值；
【延伸探究】
（3）连接并延长交于点，把分成两个角，当这两个角的度数之比为时，请直接写出的值．
26．在二次函数中，
（1）若它的图象过点，则t的值为多少？
（2）当时，y的最小值为，求出t的值：
（3）如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万亿用科学记数法表示为．
故选：B．
【分析】
将万亿用科学记数法一般形式表示，其中，n可以用整数位数减去1来确定．
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看该几何体，下面是一个大长方形，上面叠着一个小长方形，主视图大概如图所示：
故答案为：B．
【分析】按照主视图的定义，从正面观察图形，即可得到答案．
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故此选项正确；
B．，故此选项错误；
C．，故此选项错误；
D．，故此选项错误；
故选：A．
【分析】
分别根据同底数幂的乘法、除法运算法则，幂的乘方运算，合并同类项进行计算即可．
4．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；求正弦值
【解析】【解答】解：连接BC，
由题意可得：OB=OC=BC，
则△OBC是等边三角形，
故sin∠AOC=sin60°=．
故选D．
【分析】连接BC，由题意可得：OB=OC=BC，根据等边三角形判定定理可得△OBC是等边三角形，再根据特殊角三角形三角函数值即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】可能性的大小；方差
【解析】【分析】根据事件发生可能性的大小和概率的值的大小的关系以及中位数、众数、方差的定义分别进行判断即可．
【解答】A、随机事件发生的可能性是大于0，小于1，故本选项错误；
B、一组数据2，2，3，6的众数是2，中位数是2.5，故本选项错误；
C、为了了解岳阳5万名学生中考数学成绩，可以从中抽取10名学生的中考数学成绩作为样本，容量太小，故本选项错误；
D、若甲组数据的方差S甲2=0.31，乙组数据的方差S乙2=0.02，则乙组数据比甲组数据稳定，故本选项正确；
故选D．
【点评】此题考查了可能性大小，用到的知识点是可能性的大小、中位数、众数、方差等，解题的关键是根据有关定义判断出每一项的正误．
6．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴选项A中不一定正确，故不符合题意；
选项B中不一定正确，故不符合题意；
选项C中一定正确，故符合题意；
选项D中不一定正确，故不符合题意，
故选：C．
【分析】
根据矩形的性质和定义逐一分析选项即可．
7．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得
故选A．
【分析】
设绳长x尺，竿长y尺， 根据相等关系“若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺”列方程组即可．
8．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，
∵，，
∴，，
∴和都是等边三角形，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
连接辅助线，利用半径相等和已知条件证明和都是等边三角形，求得，进而利用圆周角定理求解即可．
9．【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过D作DH垂直x轴于H，设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F，
∵点D（-2，3），AD=5，
∴DH=3，
∴，
∴A（2，0），即AO=2，
∵D（-2，3），A（2，0），
∴AD所在直线方程为：，
∴E（0，1.5），即EO=1.5，
∴，
∴ED=AD- AE=5-=，
∵∠AOE=∠CDE，∠AEO=∠CED，
∴△AOE ∽△CDE，
∴，
∴，
∴在矩形ABCD中，，
∵∠EAO+∠BAF=90°，
又∠EAO+∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠BAF，
又∵∠AOE=∠BFA，
∴△BFA∽△AOE，
∴，
∴代入数值，可得AF=2，BF=，
∴OF=AF+AO=4，
∴B（4，），
∴将B（4，）代入反比例函数，得，
故选：D．
【分析】过D作DH垂直x轴于H，设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F，根据两点间距离可得DH，根据勾股定理可得AH，再根据点的坐标可得A（2，0），即AO=2，求出AD所在直线方程为：，根据勾股定理可得AE，根据边之间的关系可得ED，再根据相似三角形判定定理可得△AOE ∽△CDE，则，代值计算可得CD，根据矩形性质可得，根据角之间的关系可得∠AEO=∠BAF，再根据相似三角形判定定理可得△BFA∽△AOE，则，代值计算可得AF=2，BF=，根据边之间的关系可得OF，再根据点的坐标可得B（4，），再根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由图像可得，
当时，或，故①错误；
当时，随的增大而增大；故②正确；
∵，
∴点在一次函数的图像上，
如图：
由图像可得，有3个交点，
∴点在此函数图象上，则符合要求的点有3个，故③错误；
∵函数经过点，
∴将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点，故④正确．
综上所述，上述结论中，所有正确结论的序号是②④．
故选：B．
【分析】
通过观察图象在xz轴后上方，确定y0时x的取值范围，再根据函数的增减性和函数图象上点的坐标特征判断，最后根据函数图象平移规律即可解答.
11．【答案】
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点 到原点的距离是 ，所以 的绝对值是 。
【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数，进行解答即可.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：；
故答案为：.
【分析】先提公式法，然后根据平方差公式分解因式解题．
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：共有5中等可能结果，其中小球标号大于等于3的情况有3种，则从中随机摸出一个小球，其标号大于等于3的概率为
故答案为：
【分析】
先确定总共有多少种可能结果，再找出标号大于等于3的小球个数，最后用标号大于等于3的小球个数除以总个数得到概率即可．
14．【答案】20
【知识点】相似三角形的实际应用；8字型相似模型
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
如图，过作于点，交于点，
∴，，
∴，即，
∴（），
即小孔到的距离为，
故答案为：．
【分析】由题可得，过作于点，交于点，利根据相似三角形的对应边上高的比等于相似比解题即可.
15．【答案】
【知识点】圆周角定理；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：连接，由题意，得：，，
∴为的直径，
∴，
∴，
∴的长为：，
∴圆锥的底面圆的半径为：；
故答案为：．
【分析】
根据圆周角定理的推论，得出BC是圆形铁皮的直径，利用三角形性质求解，最后利用勾股定理计算扇形半径即可.
16．【答案】；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）令，
解得，
∴抛物线与x轴的交点坐标分别为，，
将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的解析式为．
当直线过点B时，，
解得，；
故答案为：；
（2）当直线过点A时，直线与新函数的图象恰有三个公共点，
将代入，
得，
解得．
当直线与抛物线只有一个交点时，直线与新函数的图象恰有三个公共点，
即方程有两个相等的实数根，
整理得，
∴，
解得．
∴当直线与新图象恰有四个公共点时，a的取值范围为．
故答案为：．
【分析】
（1）由题意得，抛物线与x轴的交点坐标分别为，，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的解析式为，将点B代入解析式中求解，即可解题．
（2）当直线过点A时，直线与新函数的图象恰有三个公共点，将代入，可求出a的值；当直线与抛物线相切时，直线与新函数的图象恰有三个公共点，结合图象，求出b的取值范围，进而可得答案
17．【答案】解：原式

【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】分别计算零指数幂、绝对值、二次根式的性质、特殊角的三角函数值，最后进行相加减即可．
18．【答案】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
所以不等式组的解集为：．

【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求出每个不等式的解集，然后取公共部分解集即可解答．
19．【答案】解：
，
原式
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先将括号里的分式减法通分计算，同时将分式除法转化为乘法运算，约分化简，然后整体代入求值.
20．【答案】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）证明：，
，
又，
，
，
，
，，
又，
，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）根据题目要求使用尺规作图的方法即可；
（2）首先根据已知条件，利用平行线的性质得到内错角相等，然后结合已知条件AB=CD，利用“ASA”判定证明，再由全等三角形的性质可得对应边相等，最后根据平行四边形的判定定理证明即可.
（1）解：如图所示，即为所求．
（2）证明：，
，
又，
，
，
，
，，
又，
，
四边形是平行四边形．
21．【答案】（1）20，
C组人数为：，
补全条形统计图如图所示：
（2）D
（3）解：（人）
估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）有300人
【知识点】条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：20
（2），
，
∴200名学生成绩的中位数会落在D组．
故答案为：D.
【分析】（1）用1减去其余各组人数所占的百分数即可得a的值，再列式计算求出C组人数，补全条形统计图即可．
（2）利用中位数的定义解答即可．
（3）用总人数乘以D组人数所占百分比，列式计算即可．
（1），
C组人数为：，
补全条形统计图如图所示：
（2），
，
∴200名学生成绩的中位数会落在D组．
（3）（人）
估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人．
22．【答案】（1）解：设，由，得．
，垂足为，
．
在中，，
．
在中，，
．
．
得．
答：线段的长约为．
（2）解： 在中，，
．
．
答：桥塔的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】本题以测量桥塔高度的实际情境为背景，考查了解直角三角形的应用、仰角与俯角的概念及正切函数的运用。
（1）设CD=x，分别在Rt△BCD和Rt△BCE中利用正切表示BC，列方程求解CD。
（2）在Rt△ACD中利用正切求AC，再由AB=AC+BC得塔高。
（1）解：设，由，得．
，垂足为，
．
在中，，
．
在中，，
．
．
得．
答：线段的长约为．
（2）在中，，
．
．
答：桥塔的高度约为．
23．【答案】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，，
，
，
反比例函数的表达式为，
把代入得，
，
，
，
把，代入得，
，
解得，
一次函数的表达式为；
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，
此时，的周长最小，
点，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】本题以一次函数与反比例函数图象的交点为背景，考查了待定系数法求解析式及利用轴对称求三角形周长的最小值。
（1）将点A代入反比例函数求m，再代入点B求n，最后用A、B坐标求一次函数解析式。
（2）作点A关于x轴的对称点，连接对称点与B交x轴于点P，此时△PAB周长最小，利用待定系数法求直线解析式，再求P点坐标。
（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，，
，
，
反比例函数的表达式为，
把代入得，
，
，
，
把，代入得，
，
解得，
一次函数的表达式为；
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，
此时，的周长最小，
点，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为．
24．【答案】（1）证明：根据题意，得，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，不妨设，则，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
解得，
取的中点M，连接，
则
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
解得，
故半径的长为.
【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质；等角代换法求锐角三角函数值；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】本题以圆中的直径、角平分线及切线为背景，考查了等腰三角形的性质、平行线的判定、相似三角形的判定与性质、切线的性质及锐角三角函数的应用。
（1）利用等腰三角形底角相等及角平分线定义，通过角度关系证OD∥BC。
（2）设参数表示线段，利用相似三角形求BC，取BC中点构造直角三角形，通过余弦值列方程求半径。
（1）根据题意，得，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
不妨设，则，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
解得，
取的中点M，连接，
则
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
解得，
故半径的长为.
25．【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
；
（2）解：如图1，
作于，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，点是的中点，
，
不妨设，则，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）或
【知识点】确定圆的条件；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
（3）解：如图，
当时，即，
设，
分别延长，，分别交于，交于，
，
、、、共圆，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，即，
同理可得：，
，
，
，
，
综上所述：或．
【分析】
（1）根据同角的余角相等，可以推出，再结合矩形的性质可得，即可判定三角形相似，得出结论；
（2）过点作，垂足为，首先可证得，根据相似三角形的性质可得。我们设，结合已知条件可以推出，在中由勾股定理可得，将各边长度代入比例式，即可求出和的长度。再证明，根据相似三角形的性质即可得到；
（3）设，我们分别延长和，延长后交于点，交于点，接下来分两种情况进行讨论：第一种是的情况，第二种是的情况，分别讨论后即可得到对应结果.
26．【答案】（1）解：将代入中，
得，
解得，
（2）解：抛物线对称轴为．
若，当时，函数值最小，
，
解得．
，
若，当时，函数值最小，
，
解得（不合题意，舍去）
综上所述
（3）解：关于对称轴对称
，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧
抛物线与y轴交点为，抛物线对称轴为直线，
此交点关于对称轴的对称点为
且
，解得．
当A，B都在对称轴左边时，
，
解得，
当A，B分别在对称轴两侧时
到对称轴的距离大于A到对称轴的距离
，
解得
综上所述或
【知识点】二次函数的最值；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）将 点 代入函数解析式，可求出t的值.
（2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论：当，当时，函数值最小，以及，当时，函数值最小，可得到符合题意的t的值.
（3）利用点A、C的坐标j及二次函数的对称性，可得到，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：A，B都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可．
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