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第三单元因数与倍数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．要使三位数4□5是3的倍数，方框中可以填的数一共有（ ）个。
A．3 B．4 C．9 D．10
2．如果（a、b都是非零自然数），那么a和b的最大公因数是（ ）。
A．a B．b C．1 D．8
3．根据m×6＝n（m、n均为非0自然数），下面说法正确的是（ ）。
A．m是6的因数 B．m是n的倍数 C．n是m的倍数 D．n是6的因数
4．下列各数中，是质数又是偶数的是（ ）。
A．2 B．3 C．6 D．30
5．数学老师组织10名同学做游戏，同学们排成一排，从1至10报数。老师说：“谁报的数是质数，向前一步。”应向前一步的同学有（ ）。
A．2人 B．3人 C．4人 D．5人
6．一个非0自然数的最大因数和最小倍数的和是20，这个数是（ ）。
A．18 B．19 C．20 D．10
7．数学上把相差为2的两个质数叫作“孪生质数”，如3和5就是一对孪生质数。下列选项（ ）中的两个数是孪生质数。
A．9和11 B．15和17 C．29和31 D．37和39
8．下面数字中既是105的因数，又是7的倍数，还是3的倍数的是（ ）。
A．63 B．28 C．105 D．315
二、填空题
9．若A和B满足式子A×6＝B。A和B的最大公因数是( )，A和B的最小公倍数是( )。
10．既是2的倍数，又是3的倍数，又有因数5的最小的两位数是( )。把72分解质因数是( )。
11．写出下面各组数的最大公因数。
16和20( ) 13和26( ) 22和52( )
12．把一筐苹果分给小朋友，每人分6个或9个都正好分完，这筐苹果至少有( )个。
13．一个三位数是3的倍数，如果去掉它的末位数，所得的两位数是19的倍数，这样的三位数中，最大的是( )。
14．自然数A÷自然数B（不为0），如果商是整数（没有余数），A就是B的( )；如果有余数，A就不是B的( )。
15．如果575□3是3的倍数，那么□里最小能填( )，最大能填( )。
三、判断题
16．2和3都是12的因数，也是它的质因数。( )
17．偶数一定是2的倍数。( )
18．7的倍数一定是合数。( )
19．一个非0自然数，不是奇数就是偶数。( )
20．如果A÷5＝B（A，B均不为0），那么A和B的最大公因数是A。( )
四、解答题
21．请阅读以下材料，再解决问题。
（1）我们知道“一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”，例如123各位上数的和是6，是3的倍数，所以123是3的倍数。为什么可以这样判断？其实背后是有道理的：
根据数的意义，123是1个百、2个十、3个一组成的，它可以表示成：123＝1×100＋2×10＋3。100不是3的倍数，但是99是3的倍数，9也是3的倍数。根据乘法分配律：
123＝1×100＋2×10＋3
＝1×（99＋1）＋2×（9＋1）＋3
＝1×99＋1＋2×9＋2＋3
其中1×99和2×9一定是3的倍数，剩下只需要看“1＋2＋3”，也就是“各数位上的数的和”是否为3的倍数便可以进行判断了。
（2）先判断下面各数是否为9的倍数（是的在后面打√），再在括号里写出9的倍数的特征。
903（ ） 693（ ） 239（ ） 990（ ）
（ ），这个数就是9的倍数。
（3）请根据阅读材料，解释判断一个数是不是9的倍数的方法的道理。
22．某次运动会礼仪志愿者的选拔赛中，某组有43名志愿者，如果每5人分成一组，至少再来几人才能正好分完？
23．有一袋糖果，不论分6人，还是分9人，都多2块，这包糖果至少有几块？
24．四个连续的自然数，它们从小到大依次是3的倍数，5的倍数，7的倍数，9的倍数。要使这四个自然数的和最小，这四个连续的自然数分别是多少？
25．七星小学运动会列队，把学生分为10人一组，14人一组，18人一组，都恰好分完，七星小学至少有多少名学生？
《第三单元因数与倍数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C A C D C C
1．B
【分析】根据3的倍数的特征，一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，即4＋□＋5的和是3的倍数，这个三位数就是3的倍数。
【详解】4＋0＋5＝9，因为9÷3＝3，所以405是3的倍数；
4＋3＋5＝12，因为12÷3＝4，所以435是3的倍数；
4＋6＋5＝15，因为15÷3＝5，所以465是3的倍数；
4＋9＋5＝18，因为18÷3＝6，所以495是3的倍数。
方框中可以填的数有：0、3、6、9，一共有4个。
故答案为：B
【点睛】此题是考查3的倍数特征，关键是9加上一个一位自然数的和是3的倍数。
2．B
【分析】根据，可知和成倍数关系；当两个数有倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数，据此解答。
【详解】因为，所以和成倍数关系，是较大数，是较小数，因此和的最大公因数是。
故答案为：B
【点睛】此题主要考查求两个数有倍数和因数关系时的最大公因数的方法。
3．C
【分析】如果a÷b＝c（a，b，c是大于0的自然数），那么b，c就是a的因数，a就是b，c的倍数。因为m×6＝n（m、n均为非0自然数），所以n是m的倍数，n是6的倍数，m是n的因数，6是n的因数。
【详解】A．由m×6＝n（m、n均为非0自然数），不能说明m是6的因数，A选项错误。
B．由m×6＝n（m、n均为非0自然数）可知，m是n的因数，B选项错误。
C．由m×6＝n（m、n均为非0自然数）可知，n是m的倍数，C选项正确。
D．由m×6＝n（m、n均为非0自然数）可知，n是6的倍数，D选项错误。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。
4．A
【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数，可以应用列乘法算式法判断质数；如果一个整数能够被2整除，那么它就是一个偶数，据此解答。
【详解】A．2÷2＝1，说明2是偶数；2＝1×2，说明2是质数，符合题意；
B．3÷2＝1.5，说明3不是偶数；3＝1×3，说明3是质数，不符合题意；
C．6÷2＝3，说明6是偶数；6＝1×6，6＝2×3，说明6不是质数，不符合题意；
D．30÷2＝15，说明30是偶数；30＝1×30，30＝2×15，30＝3×10，30＝6×5，说明30不是质数，不符合题意。
故答案为：A
5．C
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。
根据题意，报的数是质数的同学向前一步，先找出10以内的所有质数，数出个数即是应向前一步的同学人数。
【详解】10以内的质数有：2，3，5，7；共有4个；
所以，应向前一步的同学有4人。
故答案为：C
6．D
【分析】任何一个非0自然数的最大因数和最小倍数都是它本身，因此20应该是这个数的2倍，据此解答。
【详解】任何一个非0自然数的最大因数和最小倍数都是它本身。
20÷2＝10
这个数是10。
故答案为：D
【点睛】考查一个数因数和倍数的特征。一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
7．C
【分析】根据“孪生质数”的定义，需要同时满足两个条件：①两个数都是质数；②两个数相差为2。
【详解】A．9和11，9不是质数（9＝3×3），不符合条件。
B．15和17，15不是质数（15＝3×5），不符合条件。
C．29和31，都是质数，且，符合条件。
D．37和39，39不是质数（39＝3×13），不符合条件。
8．C
【分析】如果数a能被b（b不等于0）整除，a是b的倍数，b是a的因数；先找出 105 的所有因数，再从这些因数中筛选出是7的倍数且是3的倍数的数；据此解答。
【详解】根据分析：因为105＝1×105＝3×35＝5×21＝7×15，所以105的因数有 1、3、5、7、15、21、35、105；
A．63不是105的因数，所以该选项不符合题意；
B．28不是105的因数，所以该选项不符合题意；
C．105是105的因数，105÷7＝15，所以105是7的倍数，105÷3＝35，所以105是3的倍数，该选项符合题意；
D．315不是105的因数，所以该选项不符合题意；
所以既是105的因数，又是7的倍数，还是3的倍数的是105。
故答案为：C
9． A B
【分析】最大公因数性质：两个数为倍数关系时，最大公因数是较小的数。最小公倍数性质：两个数为倍数关系时，最小公倍数是较大的数。
根据A×6＝B，B是A的6倍，即B是A的倍数。当两个数成倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数，较大的数是它们的最小公倍数。
【详解】由A×6＝B可知，B是A的6倍，即B是A的倍数，所以A小于B。
最大公因数是较小的数，即A。
最小公倍数是较大的数，即B。
A和B的最大公因数是A，A和B的最小公倍数是B。
10． 30 72＝2×2×2×3×3
【分析】既是2的倍数，又是3的倍数，又有因数5的最小的两位数，也就2、3、5的最小公倍数，2、3、5两两互质，所以它们的最小公倍是2×3×5的积；把一个合数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数。分解质因数通常用短除法，从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止，最后把所得的质数写成相乘的形式即可。
【详解】2×3×5＝6×5＝30
既是2的倍数，又是3的倍数，又有因数5的最小的两位数是30。把72分解质因数是72＝2×2×2×3×3。
11． 4 13 2
【分析】两个数的最大公因数就是这两个数的公有质因数的乘积；若两个数互为倍数关系，则较小数就是它们的最大公因数。据此计算即可。
【详解】16＝2×2×2×2
20＝2×2×5
则16和20的最大公因数是2×2＝4；
26÷13＝2
因为13和26互为倍数关系，所以13和26的最大公因数是13；
22＝2×11
52＝2×2×13
则22和52的最大公因数是2。
【点睛】本题考查最大公因数，明确求最大公因数的方法是解题的关键。
12．18
【分析】即求6和9的最小公倍数，根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行解答即可。
【详解】6＝2×3
9＝3×3
所以9和6的最小公倍数是：2×3×3＝18，即这筐苹果至少18个。
【点睛】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数。
13．957
【分析】先确定去掉末位数后所得两位数的最大19的倍数，再根据3的倍数特征确定末位数，从而得到最大的三位数。
【详解】两位数中19的最大倍数是95，即所求的数前两位是95。又知这个三位数是3的倍数，即95□是3的倍数，□里可以填1，4，7，当□里填7时，这个三位数最大，是957。
所以，一个三位数是3的倍数，如果去掉它的末位数，所得的两位数是19的倍数，这样的三位数中，最大的是957。
【点睛】判断最大的19的倍数，再通过3的倍数特征求得这个满足条件的最大的数。
14． 倍数 倍数
【详解】自然数A÷自然数B（不为0），如果商是整数（没有余数），A就是B的倍数；如果有余数，A就不是B的倍数。如6÷3＝2，此时6是3的倍数；7÷3＝2……1，此时7不是2的倍数。
15． 1 7
【分析】根据3的倍数特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。因为575□3是3的倍数，其中5＋7＋5＋3＝20，所以□可以是1、4、7，据此解答。
【详解】由分析得：
如果575□3是3的倍数，那么□里最小能填1，最大能填7。
【点睛】熟练掌握3的倍数特征是解答本题的关键。
16．√
【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。
除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。如果一个整数的因数是质数，为质数的因数就叫做这个数的质因数；
【详解】2×6＝12、3×4＝12，2和3都是12的因数，也是它的质因数，说法正确。
故答案为：√
17．√
【详解】在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）。
【分析】根据偶数的定义，可知偶数一定是2的倍数。原题干说法正确。
故答案为：√
18．×
【分析】一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。7的最小倍数是7本身，7是质数，不是合数，因此7的倍数不一定是合数。
【详解】7是7的倍数，但7不是合数。所以原题干说法错误。
故答案为：×
19．√
【分析】自然数按照是不是2的倍数分为两类：偶数（是2的倍数）和奇数（不是2的倍数），据此解答。
【详解】自然数分为奇数和偶数，一个非0自然数，不是奇数就是偶数。
故答案为：√
【点睛】掌握自然数的分类情况是解答题目的关键。
20．×
【分析】由A÷5＝B可知，A÷B＝5，说明A和B是倍数关系，A＞B；当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数；据此解答。
【详解】A÷5＝B
即A÷B＝5，A＞B；
A和B是倍数关系，则A和B的最大公因数是B。
原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】掌握当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数的求法是解题的关键。
21．见详解
【分析】按照阅读材料（1）的方法以及运用乘法分配律，推出9的倍数特征：各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除。
【详解】（2）903（ ） 693（ √ ） 239（ ） 990（ √ ）
各个数位上的数字和能被9整除，这个数就是9的倍数。
（3）例如：693是6个百、9个十、3个一组成的，它可以表示成：693＝6×100＋9×10＋3。100不是9的倍数，但是99是9的倍数，9也是9的倍数。根据乘法分配律：
693＝6×100＋9×10＋3
＝6×（99＋1）＋9×（9＋1）＋3
＝6×99＋6＋9×9＋9＋3
其中6×99和9×9一定是9的倍数，剩下只需要看“6＋9＋3”，也就是“各个数位上的数字和”是否为9的倍数便可以进行判断了。
6＋9＋3
＝15＋3
＝18
18是9的倍数，所以693一定是9的倍数。
【点睛】根据3的倍数特征的推导过程，推出9的倍数特征，学会判断一个数是不是9的倍数的方法。
22．
2人
【分析】要正好分完，总人数必须是5的倍数且要比43大。可根据5的倍数特征：个位上的数是0或5的数，可得到离43最近的5的倍数。据此可得出答案。
【详解】要每5人分一组，则需要人数是5的倍数。离43最近的且是5的倍数的数是45，则需要再来人数为：
（人）
答：至少再来2个人才能正好分完。
23．20块
【分析】由题意可知，糖果数减2后能被6和9整除，因此糖果数减2是6和9的公倍数。要求糖果至少有几块，即求6和9的最小公倍数加2。
【详解】
6和9的最小公倍数是。
（块）。
答：这包糖果至少有20块。
24．分别是159，160，161，162
【分析】一个自然数是5的倍数，则它的个位数就是0或5两个数字；所以第二个数的个位数是0或是5，前面一个数个位是9或者4，后面一个数个位是1或者6，最后一个数个位是2或者7，据此分类讨论。
【详解】四个连续自然数个位为：
（1）9，0，1，2，而个位数是2的且是9的最小倍数只能是 8×9＝72，或者18×9＝162或者28×9＝252……，再比较前面的条件是3，5，7倍数，明显69，70，71，72不行，个位为9，0，1，2的四个连续自然数中最小的是159，160，161，162；
（2）4、5、6、7，而个位数是7的且是9的最小倍数只能是 3×9＝27，或者13×9＝117或者23×9＝207……，再比较前面的条件是3，5，7倍数，明显24、25、26、 27；114、115、116、117和204、205、206、207；都不成立。
答：这四个连续自然数分别是159，160，161，162。
【点睛】解答此题的突破点在5的倍数上，找出了突破口再结合题意，分别求出各数，进而得出结论。
25．630名
【分析】分为10人一组，14人一组，18人一组，都恰好分完，说明学生数是10、14、18的公倍数，求至少有多少名学生，则求出10、14、18的最小公倍数即可。
【详解】10＝2×5
14＝2×7
18＝2×9
它们的最小公倍数是：2×5×7×9＝630。
答：七星小学至少有630名学生。
【点睛】此题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，求出这三个数的最小公倍数即是最少的学生数。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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