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湖南省永州市部分学校2026年中考二模数学试卷
1．某玩具店某天收入500元记作“+500元”，那么支出237元记作（　　）
A．- 237元 B．+237元 C．- 500元 D．- 263元
【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：正负数表示具有相反意义的量，收入记为正，则支出记为负，
支出237元应记作“元”．
故答案为：A.
【分析】把收入记为正数，支出记为负数解答即可.
2．以下是历届冬奥会会标中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C选项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义“沿着一条直线折叠，两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形；绕某一点旋转180°后与自身重合的图形是中心对称图形”逐项判断解答即可.
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：和不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确．
故答案为：D.
【分析】根据二次那个根式的加法、减法、乘法和除法法则逐项判断解答即可.
4．从2026年起，湖南体育中考测试项目增加了游泳等选考项目，如图是甲、乙、丙、丁四位同学在某次游泳比赛中各轮成绩的折线图，其中方差最小的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】折线统计图；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：方差反映数据的波动程度，方差越小，数据越稳定，折线图越平缓．
观察甲、乙、丙、丁的折线走势，波动最平缓的是乙，因此方差最小的是乙．
故答案为：B.
【分析】根据波动小的数据的方差小解答即可.
5．计算 的结果是（　　）
A．2a6 B．8a2 C．8a6 D．6a2
【答案】C
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：．
故答案为：C.
【分析】根据积的乘方，等于每个因式分别乘方，再把幂相乘解答即可.
6．下列命题中，正确的是（　　）
A．若a>b，那么
B．相似三角形对应边上的高的比等于相似比
C．矩形的对角线互相垂直
D．在反比例函数 中，y随着x的增大而减小
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；矩形的性质；不等式的性质；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：A．若，则，结论不成立；
B．根据相似三角形的性质，对应高的比、对应中线的比均等于相似比，结论成立；
C．矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线互相垂直，结论不成立；
D．反比例函数，，
在每个象限内，随的增大而减小，
需限定在同一象限内进行讨论说明，故结论不成立．
故答案为：B.
【分析】根据不等式的性质、相似三角形的性质、矩形的性质、反比例函数的性质逐项判断解答即可.
7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是直径，延长AD与BC相交于点E，连接OD，若AB=BC，∠COD=42°，则∠DCE 的度数为（　　）
A．24° B．38° C．42° D．66°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：，则，
是的直径，
，
，
，
，
四边形是的内接四边形，
．
故答案为：D.
【分析】根据圆周角定理可得，再根据直径所对圆周角是直角求出∠ABC=90°，然后根据等边对等角得到，然后根据补角的定义和平行四边形的性质解答即可．
8．如图1是一台可调节温度的“火箱”，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现控温.如图2是该“火箱”的电流I（A)与电阻R（Ω)成反比例函数的图象，该图象经过点M（200，1.1).根据图象可知，下列说法错误的是（　　）
图1 图2
A．I与R的函数关系式是
B．当电阻R从200Ω调节到400Ω时，电流减少了0.55 A
C．当10D．已知该“火箱”的发热功率P（W)为 则P随R 的增大而增大
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意设反比例函数关系式为（），
将点代入，得，
与的函数关系式是（），故A选项正确；
当时，，电流减少了，故B选项正确；
当时，，当时，，
当时，的取值范围是，故C选项正确；
发热功率（），随的增大而减小，故D选项错误．
故答案为：D.
【分析】先求出反比例函数的解析式，然后根据反比例函数的性质和反比例函数图象上点的坐标特征逐项判断解答即可．
9．我国古代数学家刘徽在注释《九章算术》时，常用“出入相补”原理（即割补法)来证明几何图形的面积关系.如图，将图1大正方形中的阴影部分拼成图2的矩形，这个过程可以直观验证的公式是（　　）
图1 图2
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：图1中大正方形的边长为，面积为，
空白区域是一个十字架图形，可以看成由两个长都为的矩形交叉重叠而成，
横着的矩形宽为，竖着的矩形宽为，它们的面积和为，
重叠部分是长为，宽为的小矩形，
则十字架的面积可表示为，
利用大正方形面积减去空白区域面积得到图1中阴影部分面积和为
．
由题图1可知，图2中大矩形的长为，
宽为题图1大正方形边长减去，即，
则图2中阴影部分拼成的大矩形面积可以表示为，
根据等面积法可得．
故答案为：A.
【分析】用两种方法表示阴影部分面积解答即可．
10． 如图，在 ABCD中，∠B=60°，AB=3，分别以点A，B为圆心，以大于 的长度为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交AB于点 G，交BC于点H，连接DH，若EF∥AC，则DH的长为（　　）
A．6 B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，由尺规作图得直线是的垂直平分线，则，，连接，
由垂直平分线的性质可得，
，
是等边三角形，
则，，则，
，
，易得，则，
在中，由勾股定理可得，
在中，，，，
则，，
，，
在和中，
，
，
则．
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的新质可以得到为等边三角形，然后根据勾股定理求出和的长度，再根据得到，根据对应边相等解答即可．
11． 写出一个小于2的正无理数　 　.
【答案】（答案不唯一）
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据无理数估算解答即可．
12．分式方程 的解是　 　.
【答案】x=8
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：两边同乘，
去分母，得，化简，得，
解得，检验：当8时，，
是原分式方程的解．
故答案为：x=8.
【分析】先两边同时乘以化为整式方程，然后解整式方程求出x的值然后检验解答即可.
13．在密室逃脱游戏中，玩家需要打开一个宝箱获取线索.宝箱内有6张除数字外其余均相同的密码卡片（分别标有数字1，2，3，4，5，6).玩家从宝箱中随机取出一张密码卡片，若取出的卡片上的数字是偶数时能打开密室大门，则玩家一次成功打开大门的概率为　 　.
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：共有6种等可能情况，其中取出的卡片上的数字是偶数的情况有2，4，6，共3种等可能情况，
（玩家一次成功打开大门）．
故答案为：.
【分析】根据概率公式计算即可.
14．如图1是一个用于野营的竹节灯笼帐篷，其内部是一个由牛津布制作的无底圆锥，展开为如图2所示的扇形，已知圆锥母线长度为3米，扇形圆心角为240°，则这个牛津布的面积是　 　平方米.（结果保留π)
图1 图2
【答案】6π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：根据题意，得牛津布的面积（平方米）．
故答案为：6π.
【分析】根据扇形的面积公式计算即可.
15．唐代数学家王孝通所撰《缉古算经》记载了古人“筑龙尾堤”.堤截面为如图所示的等腰梯形，原文记“堤头上下广差六尺”（古算称梯形上下边为“上广”“下广”)，即该堤截面的“上广”比“下广”多6尺.已知该堤的深度为4尺，则该龙尾堤截面的一侧斜高（即等腰梯形腰长)为　 　尺.
【答案】5
【知识点】勾股定理；等腰梯形的性质
【解析】【解答】解：如解图，过点作，垂足为，
根据题意可知，，，
在中，（尺）．
故答案为：5.
【分析】过点作于，即可得到AC长，然后根据勾股定理求出AB长解答即可．
16．定义：对于平面内一点 及其关于直线l的对称点. 将点 P'与点 P 的横坐标之比称为点 P 关于直线l的“横折比”，记作h（P，l).规定当 时， 当 时，h（P，l)=xp.如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的顶点O为原点，A（16，0)，C（0，12).点D在边OA上，连接CD，点O与点O'关于直线CD对称，OO'交CD于点P，h（O，CD)=12，且 ，过点P作PE 交OC于点 E，连接EO'交CD于点 Q，连接OQ 并延长交BC于点 M.
（1）h（C，OO')的值为　 　；
（2）的值为　 　.
【答案】（1）12
（2）
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（1）在矩形中，，，，
点与点关于直线对称，，且，
，，
，
四边形为正方形，
点关于直线的对称点为点，
，
；
（2）由正方形得到，
，，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
由矩形中，得到，则，
则，
．
故答案为：12；.
【分析】（1）根据矩形的性质得到四边形为正方形，即可得到点关于直线的对称点为点，根据“横折比”的定义解答即可；
（2）根据两直线平行得到，，根据对应边成比例得到，，再根据即可得到，求出CM长，进而可得MB长，解答即可．
17．计算：
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值
【解析】【分析】先计算负整数指数次幂、绝对值和零次方，然后合并解答即可.
18． 先化简，再求值： 其中
【答案】解：原式
当 时，原式
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先把括号内分式通分，然后把除法化为乘法，再将分子、分母分解因式约分化简，再代入x的值进行分母有理化解答即可.
19．某校音乐组在全校范围内随机抽取了部分学生进行了“我最喜欢的音乐类型”问卷调查（每人限选一种)，并对数据进行了整理、描述和分析，部分信息如下：
抽取学生的“我最喜欢的音乐类型”人数统计表
音乐类型 人数/（人) 频率
古典音乐 8 0.1
民族音乐 12 n
流行音乐 32 0.4
摇滚/电子 m 0.25
其他 8 0.1
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：表中m=　 　，n=　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有3000名学生，试估计全校喜欢“传统类音乐”（古典音乐和民族音乐)的学生总人数；
（4）根据调查结果，请为学校开展音乐文化活动提出一条合理化建议，并说明理由.
【答案】（1）20；0.15
（2）解：补全条形统计图如解图
（3）解：“传统类音乐”(古典音乐和民族音乐)频率为0.1+0.15=0.25，
全校3000名学生中，估计人数为3 000×0.25=750(人)，
答：估计全校喜欢“传统类音乐”(古典音乐和民族音乐)的学生总人数为750人；
（4）解：合理化建议：学校多开展流行音乐相关文化活动，
理由如下：抽样中喜欢流行音乐的学生占比0.4，为所有类型中最高，符合多数学生的审美偏好.(言之合理即可)
【知识点】频数（率）分布表；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意，总抽样人数为（人），
则，．
故答案为：20，0.15；
【分析】（1）先利用古典音乐的人数÷频率求出总抽样人数，然后求出频率n和频数m解答即可；
（2）根据（1）中的数据补全条形统计图即可；
（3）利用样本中“传统类音乐”的频率和乘以全校总人数计算即可；
（4）结合数据，提出合理建议即可．
20．某特色民宿计划采购A，B两种规格的织锦用于客房装饰.已知采购2幅A型织锦和3幅B型织锦共需费用3800元，采购3幅A型织锦和2幅B型织锦共需费用3700元.
（1）求每幅A型，B型织锦的采购单价各是多少元
（2）该民宿计划采购A，B两种规格织锦共50幅，且A型织锦的数量不超过B型织锦数量的 请问怎样采购才能使总费用最低 最低费用为多少元
【答案】（1）解：设每幅A型织锦x元，每幅B型织锦y元，根据题意，得
解得
答：每幅A型织锦700元，每幅B型织锦800元
（2）解：设采购A型织锦a幅，则采购B型织锦(50-a)幅，总费用W元，
根据题意，得 解得a≤20，
W=700a+800(50-a)=-100a+40000，
∵-100<0，
∴W随a的增大而减小，
∴当a=20时，W取最小值，
W最小=-100×20+40 000=38 000，
此时50-a=30，
答：采购A 型织锦20幅、B型织锦30幅时总费用最低，最低费用为38000元
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每幅型织锦元，每幅型织锦元，根据“采购2幅A型织锦和3幅B型织锦共需费用3800元，采购3幅A型织锦和2幅B型织锦共需费用3700元”列二元一次方程组，求出x和y的值解答即可；
（2）设采购型织锦幅，总费用元，先根据题意列不等式求出a的去取值范围，再列出W关于a的一次函数 ，根据函数的增减性求出最低值解答即可．
21． 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，过点C作⊙O的切线l，过点A作l的垂线交l于点 D.
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AD=3，CD=4，求 BC的长.
【答案】（1）证明：如图，连接OC，
∵l为⊙O的切线，OC为⊙O的半径，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴AC平分∠DAB
（2）解：∵AB是 ⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AD⊥l，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∵AD=3，CD=4，
∴在 Rt△ADC中，
根据勾股定理，
得
由(1)可知，∠DAC=∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
即
【知识点】勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，再根据平行线的性质得到，再根据等边对等角得到∠CAO=∠ACO，根据等量代换可得，即可得到结论即可；
（2）根据直径所对的圆周角是直角和垂直的定义得到∠ADC=∠ACB=90°，然后根据勾股定理求出AC长，然后根据两角对应相等得到，利用对应边成比例解答即可．
22．电力部门工作人员在某处铺设电力线路过程中，会使用简易绞盘将沉重的混泥土电线杆立起来.作业准备过程中，先将绞盘P固定在地面上，电线杆MN的底端M与三角形土坑ABC的点B重合（连接AC，三角形土坑ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°)，如图1.在立杆作业时，让绞盘转动，这样系在电线杆顶端的钢丝绳 PN 就不断地缠绕在轴上，电线杆被逐渐拉起并最终竖直立好，如图2.已知电线杆MN的长度为12米，绞盘P 与点A 的距离为（ 米，十坑的深度 米.
（1）求作业准备过程中电线杆露出地面部分的长度CN及钢丝组的长度PN；
（2）在电线杆竖直立好后，需用专用钢索QN对电线杆进行固定.为节省开支，工作人员计划重复利用绞盘固定点，即钢索地面固定点Q与点P重合，如图2.若钢索与地面的夹角θ（∠NQA)要满足 <θ<60°，请通过计算判断QN是否满足要求.
【答案】（1）解：如解图，过点 N 作水平面的垂线，垂足为H，
∵在等腰 Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB= 米，
∴∠BCA=45°，AC= 米，BC=2米，
∴∠NCH=45°，CN=MN-BC=12-2=10(米)，
∴△NHC为等腰直角三角形，
∴CH=NH=5 米，
∵PA=6 米，
(米)，
在Rt△NHP中，
根据勾股定理，
得 (米)，
答：作业准备过程中电线杆露出地面部分的长度CN为10米，钢丝绳的长度 PN为13 米
（2）解：由题图2可知，
在 Rt△NAQ中，NA=MN-AB=(12- )米，QA=6 米，
当∠NQA=45°时， 米，
当∠NQA=60°时， 米，
∴45°<θ<60°，
答：QN满足要求.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作水平面的垂线，垂足为，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AC和CH长，然后求出PH的长，再根据勾股定理解答即可；
（2）分别正切的定义求出∠NQA=45°和∠NQA=60°时的NA长，进而根据无理数的估算得到，即可求解夹角θ，的取值范围即可．
23．如图，抛物线 经过点A（-1，0)，B（4，0)，与y轴交于点 C，P是第四象限抛物线上的一个动点，连接AP交y轴于点D，过点A作直线 交抛物线于另一点Q.过点P作平行于x轴的直线交y轴于点 E，过点 Q作平行于y轴的直线交x轴于点 F.
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：PE·AQ=PD·FQ；
（3）设点 P 的横坐标为m，点 Q 的横坐标为 n.
①当m=2时，求出此时点Q的坐标；
②连接PF，在点 P的运动过程中，△APF的面积S是否存在最大值 若存在，求出S取最大值时m，n的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵抛物线经过点A(-1，0)，B(4，0)，
∴将A，B两点坐标分别代入 中，
得
解得
∴抛物线的表达式为
（2）证明：∵PE∥x轴，
∴PE⊥y轴，∠DPE=∠DAO，
∴∠PED=90°，
∴∠PDE+∠DPE=90°，
∵AQ⊥AP，
∴∠QAF+∠DAO=90°，
∴∠QAF=∠PDE，
∵QF∥y轴，
∴QF⊥x轴，
∴∠QFA=90°，
∴∠QFA=∠PED，
∴△QFA∽△PED，
∴PE·AQ=PD·FQ
（3）解：①∵点 P 的横坐标m=2，PE⊥y轴于点 E，
∴PE=2，将x=2代入 中，
得 yp=-3，
∴点 P 的坐标为(2，-3)，
即OE=3，
设直线AP 的表达式为y= kx+d(k≠0)，
将点A(-1，0)，P(2，-3)分别代入，
得
解得
∴直线AP的表达式为y=-x-1，
则点 D 的坐标为(0，-1)，
即OD=1，
∴DE=OE-OD=2=PE，
∴∠QAF=∠PDE=45°，
∴QF=AF，
∵点 Q 的横坐标为n，
解得 (舍去)，
∴点 Q 的坐标为(6，7)
②解：存在，理由如下：
由题意可知，点坐标为，点坐标为，
设直线的解析式为，
将代入可得，
将代入，
可得，
即，
解得，
则直线的解析式为，
当， ，
点的坐标为，
，
由（2）可知，，
，
，，
，化简得 ，
，
，
，
，
，
当时，，此时取得最大值，
故存在最大值，此时，．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先利用平行线和垂直关系可得∠QAF=∠PDE，∠QFA=∠PED ，证即可得到△QFA∽△PED，根据相似三角形的对应边成比例解答即阿珂；
（3）①先求出点的坐标，然后根据待定系数法求出直线的解析式，求出点D的坐标，进而可得为等腰直角三角形，即可得到QF=AF，列方程求出点的坐标即可；
②得到点坐标为，点坐标为，然后求出直线AP的解析式求出点D的坐标，再根据，根据对应边成比例得到，然后根据△的面积得到△APF的面积关于m的二次函数，利用二次函数的顶点公式求出最值解答即可．
24．在矩形ABCD中，E是直线BC上一动点，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转90°得到AF，连接EF，取EF的中点M，连接DM，AM.
提示：按照设问条件补全图形，并解答.
（1）问题初探：如图1，当AB=BC时：
①连接DF，求证：DF=BE；
②当点 E在边 BC上运动时（不与点 B，C重合)，∠ADM的大小会改变吗 若会改变，请说明理由；若不改变，请直接写出∠ADM的度数；
（2）深入探究：当AB≠BC时：
①如图2，若 当MD⊥AD时，则
②如图3，若BC=2AB，当MD⊥AD时，（2）①中结论还成立吗 若成立，请说明理由；若不成立，请求出 的值；
（3）拓展探究：如图4，在菱形ABCD中，∠B=120°，E是直线 BC上一动点，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转60°得到AF，连接EF，取 EF的中点M，连接DM，AM，当MD⊥AD时，求 的值.
【答案】（1）解：①证明：∵在矩形ABCD 中，AB=BC，
∴矩形ABCD 为正方形，
∴AB=AD，∠B=∠BAD=90°，
∴ ∠BAE+∠EAD=90°，
∵由旋转可知∠EAF=90°，AE=AF，
∴ ∠DAF+∠EAD=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
∴△BAE≌△DAF，
∴DF=BE；
②解：不改变，∠ADM 的度数恒为45°
（2）解：①；
②不成立，
依题意作图如图2，当MD⊥AD时，此时点 M 落在CD的延长线上，
图2
∵BC=2AB，
∴设AB=CD=y，BC=AD=2y，
∵MD⊥AD，
∴∠ADM=∠MCE=90°，
∴∠MAD+∠AMD=90°，
由(2)①同理得∠CME+∠AMD=90°，EM=MA，
∴∠MAD=∠CME，
∴△CME≌△DAM，
∴CM=AD=2y，CE=DM，
∴CE=DM=2y-y=y，
∴BE=2y+y=3y，
（3）解：依题意作图如图3，延长 DM 交 BC 于点G，过点A 作 AH⊥CB 交 CB 的延长线于点 H，则∠H=90°，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD∥CB，AB=BC=CD=AD，
∵MD⊥AD，
∴MG⊥CB，
∴∠EGM=∠GDA=∠H=90°，
∴四边形AHGD 为矩形，
∴AH=DG，AD=HG，
∵由旋转可知，∠EAF=60°，AE=AF，M 为 EF中点，
∴AM⊥EF，∠AEF=∠AFE=60°，
∴∠AME=90°，
则∠EMG+∠AMD=90°，
∵∠EMG+∠MEG=90°，
∴∠MEG=∠AMD，
∴△MEG∽△AMD，
∴设MG=a，则
∵∠ABC=120°，
∴∠ABH=60°，
【知识点】三角形全等的判定；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（1）②解：不改变，的度数恒为；
，，
，
为中点，
，
，
，
，
，
，，，四点共圆，
．
故答案为：45°；
（2）①依题意作图如下，
当时，此时点落在上，
，
设，，
同理（1）②得，，
，，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
．
【分析】（1）①根据矩形的性质即可得到AB=AD，然后再根据ASA得到，根据对应边相等解答即可；
②先根据等边对等角得到，，再根据全等三角形的对应角相等求出 ，得到，，，四点共圆，然后根据同弧所对的圆周角相等解答即可；
（2）①由作图可得时，此时点落在上，设，，根据AAS得到，根据对应边相等得到 ，，即可得到，，求出比值解答即可；
②由作图可得时，此时点落在的延长线上，设，，根据AAS得到，根据对应边相等得到 ，，求出比值解答即可；
（3）延长交于点，过点作交的延长线于点，即可得到为矩形，根据两角对应相等得到 ，根据对应边成比例设，可得，解直角三角形求出BH和AH长，即可求出，代入求出比值即可．
1 / 1湖南省永州市部分学校2026年中考二模数学试卷
1．某玩具店某天收入500元记作“+500元”，那么支出237元记作（　　）
A．- 237元 B．+237元 C．- 500元 D．- 263元
2．以下是历届冬奥会会标中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．从2026年起，湖南体育中考测试项目增加了游泳等选考项目，如图是甲、乙、丙、丁四位同学在某次游泳比赛中各轮成绩的折线图，其中方差最小的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．计算 的结果是（　　）
A．2a6 B．8a2 C．8a6 D．6a2
6．下列命题中，正确的是（　　）
A．若a>b，那么
B．相似三角形对应边上的高的比等于相似比
C．矩形的对角线互相垂直
D．在反比例函数 中，y随着x的增大而减小
7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是直径，延长AD与BC相交于点E，连接OD，若AB=BC，∠COD=42°，则∠DCE 的度数为（　　）
A．24° B．38° C．42° D．66°
8．如图1是一台可调节温度的“火箱”，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现控温.如图2是该“火箱”的电流I（A)与电阻R（Ω)成反比例函数的图象，该图象经过点M（200，1.1).根据图象可知，下列说法错误的是（　　）
图1 图2
A．I与R的函数关系式是
B．当电阻R从200Ω调节到400Ω时，电流减少了0.55 A
C．当10D．已知该“火箱”的发热功率P（W)为 则P随R 的增大而增大
9．我国古代数学家刘徽在注释《九章算术》时，常用“出入相补”原理（即割补法)来证明几何图形的面积关系.如图，将图1大正方形中的阴影部分拼成图2的矩形，这个过程可以直观验证的公式是（　　）
图1 图2
A． B．
C． D．
10． 如图，在 ABCD中，∠B=60°，AB=3，分别以点A，B为圆心，以大于 的长度为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交AB于点 G，交BC于点H，连接DH，若EF∥AC，则DH的长为（　　）
A．6 B． C． D．
11． 写出一个小于2的正无理数　 　.
12．分式方程 的解是　 　.
13．在密室逃脱游戏中，玩家需要打开一个宝箱获取线索.宝箱内有6张除数字外其余均相同的密码卡片（分别标有数字1，2，3，4，5，6).玩家从宝箱中随机取出一张密码卡片，若取出的卡片上的数字是偶数时能打开密室大门，则玩家一次成功打开大门的概率为　 　.
14．如图1是一个用于野营的竹节灯笼帐篷，其内部是一个由牛津布制作的无底圆锥，展开为如图2所示的扇形，已知圆锥母线长度为3米，扇形圆心角为240°，则这个牛津布的面积是　 　平方米.（结果保留π)
图1 图2
15．唐代数学家王孝通所撰《缉古算经》记载了古人“筑龙尾堤”.堤截面为如图所示的等腰梯形，原文记“堤头上下广差六尺”（古算称梯形上下边为“上广”“下广”)，即该堤截面的“上广”比“下广”多6尺.已知该堤的深度为4尺，则该龙尾堤截面的一侧斜高（即等腰梯形腰长)为　 　尺.
16．定义：对于平面内一点 及其关于直线l的对称点. 将点 P'与点 P 的横坐标之比称为点 P 关于直线l的“横折比”，记作h（P，l).规定当 时， 当 时，h（P，l)=xp.如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的顶点O为原点，A（16，0)，C（0，12).点D在边OA上，连接CD，点O与点O'关于直线CD对称，OO'交CD于点P，h（O，CD)=12，且 ，过点P作PE 交OC于点 E，连接EO'交CD于点 Q，连接OQ 并延长交BC于点 M.
（1）h（C，OO')的值为　 　；
（2）的值为　 　.
17．计算：
18． 先化简，再求值： 其中
19．某校音乐组在全校范围内随机抽取了部分学生进行了“我最喜欢的音乐类型”问卷调查（每人限选一种)，并对数据进行了整理、描述和分析，部分信息如下：
抽取学生的“我最喜欢的音乐类型”人数统计表
音乐类型 人数/（人) 频率
古典音乐 8 0.1
民族音乐 12 n
流行音乐 32 0.4
摇滚/电子 m 0.25
其他 8 0.1
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：表中m=　 　，n=　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有3000名学生，试估计全校喜欢“传统类音乐”（古典音乐和民族音乐)的学生总人数；
（4）根据调查结果，请为学校开展音乐文化活动提出一条合理化建议，并说明理由.
20．某特色民宿计划采购A，B两种规格的织锦用于客房装饰.已知采购2幅A型织锦和3幅B型织锦共需费用3800元，采购3幅A型织锦和2幅B型织锦共需费用3700元.
（1）求每幅A型，B型织锦的采购单价各是多少元
（2）该民宿计划采购A，B两种规格织锦共50幅，且A型织锦的数量不超过B型织锦数量的 请问怎样采购才能使总费用最低 最低费用为多少元
21． 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，过点C作⊙O的切线l，过点A作l的垂线交l于点 D.
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AD=3，CD=4，求 BC的长.
22．电力部门工作人员在某处铺设电力线路过程中，会使用简易绞盘将沉重的混泥土电线杆立起来.作业准备过程中，先将绞盘P固定在地面上，电线杆MN的底端M与三角形土坑ABC的点B重合（连接AC，三角形土坑ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°)，如图1.在立杆作业时，让绞盘转动，这样系在电线杆顶端的钢丝绳 PN 就不断地缠绕在轴上，电线杆被逐渐拉起并最终竖直立好，如图2.已知电线杆MN的长度为12米，绞盘P 与点A 的距离为（ 米，十坑的深度 米.
（1）求作业准备过程中电线杆露出地面部分的长度CN及钢丝组的长度PN；
（2）在电线杆竖直立好后，需用专用钢索QN对电线杆进行固定.为节省开支，工作人员计划重复利用绞盘固定点，即钢索地面固定点Q与点P重合，如图2.若钢索与地面的夹角θ（∠NQA)要满足 <θ<60°，请通过计算判断QN是否满足要求.
23．如图，抛物线 经过点A（-1，0)，B（4，0)，与y轴交于点 C，P是第四象限抛物线上的一个动点，连接AP交y轴于点D，过点A作直线 交抛物线于另一点Q.过点P作平行于x轴的直线交y轴于点 E，过点 Q作平行于y轴的直线交x轴于点 F.
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：PE·AQ=PD·FQ；
（3）设点 P 的横坐标为m，点 Q 的横坐标为 n.
①当m=2时，求出此时点Q的坐标；
②连接PF，在点 P的运动过程中，△APF的面积S是否存在最大值 若存在，求出S取最大值时m，n的值；若不存在，请说明理由.
24．在矩形ABCD中，E是直线BC上一动点，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转90°得到AF，连接EF，取EF的中点M，连接DM，AM.
提示：按照设问条件补全图形，并解答.
（1）问题初探：如图1，当AB=BC时：
①连接DF，求证：DF=BE；
②当点 E在边 BC上运动时（不与点 B，C重合)，∠ADM的大小会改变吗 若会改变，请说明理由；若不改变，请直接写出∠ADM的度数；
（2）深入探究：当AB≠BC时：
①如图2，若 当MD⊥AD时，则
②如图3，若BC=2AB，当MD⊥AD时，（2）①中结论还成立吗 若成立，请说明理由；若不成立，请求出 的值；
（3）拓展探究：如图4，在菱形ABCD中，∠B=120°，E是直线 BC上一动点，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转60°得到AF，连接EF，取 EF的中点M，连接DM，AM，当MD⊥AD时，求 的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：正负数表示具有相反意义的量，收入记为正，则支出记为负，
支出237元应记作“元”．
故答案为：A.
【分析】把收入记为正数，支出记为负数解答即可.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C选项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义“沿着一条直线折叠，两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形；绕某一点旋转180°后与自身重合的图形是中心对称图形”逐项判断解答即可.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：和不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确．
故答案为：D.
【分析】根据二次那个根式的加法、减法、乘法和除法法则逐项判断解答即可.
4．【答案】B
【知识点】折线统计图；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：方差反映数据的波动程度，方差越小，数据越稳定，折线图越平缓．
观察甲、乙、丙、丁的折线走势，波动最平缓的是乙，因此方差最小的是乙．
故答案为：B.
【分析】根据波动小的数据的方差小解答即可.
5．【答案】C
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：．
故答案为：C.
【分析】根据积的乘方，等于每个因式分别乘方，再把幂相乘解答即可.
6．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；矩形的性质；不等式的性质；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：A．若，则，结论不成立；
B．根据相似三角形的性质，对应高的比、对应中线的比均等于相似比，结论成立；
C．矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线互相垂直，结论不成立；
D．反比例函数，，
在每个象限内，随的增大而减小，
需限定在同一象限内进行讨论说明，故结论不成立．
故答案为：B.
【分析】根据不等式的性质、相似三角形的性质、矩形的性质、反比例函数的性质逐项判断解答即可.
7．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：，则，
是的直径，
，
，
，
，
四边形是的内接四边形，
．
故答案为：D.
【分析】根据圆周角定理可得，再根据直径所对圆周角是直角求出∠ABC=90°，然后根据等边对等角得到，然后根据补角的定义和平行四边形的性质解答即可．
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意设反比例函数关系式为（），
将点代入，得，
与的函数关系式是（），故A选项正确；
当时，，电流减少了，故B选项正确；
当时，，当时，，
当时，的取值范围是，故C选项正确；
发热功率（），随的增大而减小，故D选项错误．
故答案为：D.
【分析】先求出反比例函数的解析式，然后根据反比例函数的性质和反比例函数图象上点的坐标特征逐项判断解答即可．
9．【答案】A
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：图1中大正方形的边长为，面积为，
空白区域是一个十字架图形，可以看成由两个长都为的矩形交叉重叠而成，
横着的矩形宽为，竖着的矩形宽为，它们的面积和为，
重叠部分是长为，宽为的小矩形，
则十字架的面积可表示为，
利用大正方形面积减去空白区域面积得到图1中阴影部分面积和为
．
由题图1可知，图2中大矩形的长为，
宽为题图1大正方形边长减去，即，
则图2中阴影部分拼成的大矩形面积可以表示为，
根据等面积法可得．
故答案为：A.
【分析】用两种方法表示阴影部分面积解答即可．
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，由尺规作图得直线是的垂直平分线，则，，连接，
由垂直平分线的性质可得，
，
是等边三角形，
则，，则，
，
，易得，则，
在中，由勾股定理可得，
在中，，，，
则，，
，，
在和中，
，
，
则．
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的新质可以得到为等边三角形，然后根据勾股定理求出和的长度，再根据得到，根据对应边相等解答即可．
11．【答案】（答案不唯一）
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据无理数估算解答即可．
12．【答案】x=8
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：两边同乘，
去分母，得，化简，得，
解得，检验：当8时，，
是原分式方程的解．
故答案为：x=8.
【分析】先两边同时乘以化为整式方程，然后解整式方程求出x的值然后检验解答即可.
13．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：共有6种等可能情况，其中取出的卡片上的数字是偶数的情况有2，4，6，共3种等可能情况，
（玩家一次成功打开大门）．
故答案为：.
【分析】根据概率公式计算即可.
14．【答案】6π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：根据题意，得牛津布的面积（平方米）．
故答案为：6π.
【分析】根据扇形的面积公式计算即可.
15．【答案】5
【知识点】勾股定理；等腰梯形的性质
【解析】【解答】解：如解图，过点作，垂足为，
根据题意可知，，，
在中，（尺）．
故答案为：5.
【分析】过点作于，即可得到AC长，然后根据勾股定理求出AB长解答即可．
16．【答案】（1）12
（2）
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（1）在矩形中，，，，
点与点关于直线对称，，且，
，，
，
四边形为正方形，
点关于直线的对称点为点，
，
；
（2）由正方形得到，
，，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
由矩形中，得到，则，
则，
．
故答案为：12；.
【分析】（1）根据矩形的性质得到四边形为正方形，即可得到点关于直线的对称点为点，根据“横折比”的定义解答即可；
（2）根据两直线平行得到，，根据对应边成比例得到，，再根据即可得到，求出CM长，进而可得MB长，解答即可．
17．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值
【解析】【分析】先计算负整数指数次幂、绝对值和零次方，然后合并解答即可.
18．【答案】解：原式
当 时，原式
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先把括号内分式通分，然后把除法化为乘法，再将分子、分母分解因式约分化简，再代入x的值进行分母有理化解答即可.
19．【答案】（1）20；0.15
（2）解：补全条形统计图如解图
（3）解：“传统类音乐”(古典音乐和民族音乐)频率为0.1+0.15=0.25，
全校3000名学生中，估计人数为3 000×0.25=750(人)，
答：估计全校喜欢“传统类音乐”(古典音乐和民族音乐)的学生总人数为750人；
（4）解：合理化建议：学校多开展流行音乐相关文化活动，
理由如下：抽样中喜欢流行音乐的学生占比0.4，为所有类型中最高，符合多数学生的审美偏好.(言之合理即可)
【知识点】频数（率）分布表；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意，总抽样人数为（人），
则，．
故答案为：20，0.15；
【分析】（1）先利用古典音乐的人数÷频率求出总抽样人数，然后求出频率n和频数m解答即可；
（2）根据（1）中的数据补全条形统计图即可；
（3）利用样本中“传统类音乐”的频率和乘以全校总人数计算即可；
（4）结合数据，提出合理建议即可．
20．【答案】（1）解：设每幅A型织锦x元，每幅B型织锦y元，根据题意，得
解得
答：每幅A型织锦700元，每幅B型织锦800元
（2）解：设采购A型织锦a幅，则采购B型织锦(50-a)幅，总费用W元，
根据题意，得 解得a≤20，
W=700a+800(50-a)=-100a+40000，
∵-100<0，
∴W随a的增大而减小，
∴当a=20时，W取最小值，
W最小=-100×20+40 000=38 000，
此时50-a=30，
答：采购A 型织锦20幅、B型织锦30幅时总费用最低，最低费用为38000元
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每幅型织锦元，每幅型织锦元，根据“采购2幅A型织锦和3幅B型织锦共需费用3800元，采购3幅A型织锦和2幅B型织锦共需费用3700元”列二元一次方程组，求出x和y的值解答即可；
（2）设采购型织锦幅，总费用元，先根据题意列不等式求出a的去取值范围，再列出W关于a的一次函数 ，根据函数的增减性求出最低值解答即可．
21．【答案】（1）证明：如图，连接OC，
∵l为⊙O的切线，OC为⊙O的半径，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴AC平分∠DAB
（2）解：∵AB是 ⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AD⊥l，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∵AD=3，CD=4，
∴在 Rt△ADC中，
根据勾股定理，
得
由(1)可知，∠DAC=∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
即
【知识点】勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，再根据平行线的性质得到，再根据等边对等角得到∠CAO=∠ACO，根据等量代换可得，即可得到结论即可；
（2）根据直径所对的圆周角是直角和垂直的定义得到∠ADC=∠ACB=90°，然后根据勾股定理求出AC长，然后根据两角对应相等得到，利用对应边成比例解答即可．
22．【答案】（1）解：如解图，过点 N 作水平面的垂线，垂足为H，
∵在等腰 Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB= 米，
∴∠BCA=45°，AC= 米，BC=2米，
∴∠NCH=45°，CN=MN-BC=12-2=10(米)，
∴△NHC为等腰直角三角形，
∴CH=NH=5 米，
∵PA=6 米，
(米)，
在Rt△NHP中，
根据勾股定理，
得 (米)，
答：作业准备过程中电线杆露出地面部分的长度CN为10米，钢丝绳的长度 PN为13 米
（2）解：由题图2可知，
在 Rt△NAQ中，NA=MN-AB=(12- )米，QA=6 米，
当∠NQA=45°时， 米，
当∠NQA=60°时， 米，
∴45°<θ<60°，
答：QN满足要求.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作水平面的垂线，垂足为，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AC和CH长，然后求出PH的长，再根据勾股定理解答即可；
（2）分别正切的定义求出∠NQA=45°和∠NQA=60°时的NA长，进而根据无理数的估算得到，即可求解夹角θ，的取值范围即可．
23．【答案】（1）解：∵抛物线经过点A(-1，0)，B(4，0)，
∴将A，B两点坐标分别代入 中，
得
解得
∴抛物线的表达式为
（2）证明：∵PE∥x轴，
∴PE⊥y轴，∠DPE=∠DAO，
∴∠PED=90°，
∴∠PDE+∠DPE=90°，
∵AQ⊥AP，
∴∠QAF+∠DAO=90°，
∴∠QAF=∠PDE，
∵QF∥y轴，
∴QF⊥x轴，
∴∠QFA=90°，
∴∠QFA=∠PED，
∴△QFA∽△PED，
∴PE·AQ=PD·FQ
（3）解：①∵点 P 的横坐标m=2，PE⊥y轴于点 E，
∴PE=2，将x=2代入 中，
得 yp=-3，
∴点 P 的坐标为(2，-3)，
即OE=3，
设直线AP 的表达式为y= kx+d(k≠0)，
将点A(-1，0)，P(2，-3)分别代入，
得
解得
∴直线AP的表达式为y=-x-1，
则点 D 的坐标为(0，-1)，
即OD=1，
∴DE=OE-OD=2=PE，
∴∠QAF=∠PDE=45°，
∴QF=AF，
∵点 Q 的横坐标为n，
解得 (舍去)，
∴点 Q 的坐标为(6，7)
②解：存在，理由如下：
由题意可知，点坐标为，点坐标为，
设直线的解析式为，
将代入可得，
将代入，
可得，
即，
解得，
则直线的解析式为，
当， ，
点的坐标为，
，
由（2）可知，，
，
，，
，化简得 ，
，
，
，
，
，
当时，，此时取得最大值，
故存在最大值，此时，．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先利用平行线和垂直关系可得∠QAF=∠PDE，∠QFA=∠PED ，证即可得到△QFA∽△PED，根据相似三角形的对应边成比例解答即阿珂；
（3）①先求出点的坐标，然后根据待定系数法求出直线的解析式，求出点D的坐标，进而可得为等腰直角三角形，即可得到QF=AF，列方程求出点的坐标即可；
②得到点坐标为，点坐标为，然后求出直线AP的解析式求出点D的坐标，再根据，根据对应边成比例得到，然后根据△的面积得到△APF的面积关于m的二次函数，利用二次函数的顶点公式求出最值解答即可．
24．【答案】（1）解：①证明：∵在矩形ABCD 中，AB=BC，
∴矩形ABCD 为正方形，
∴AB=AD，∠B=∠BAD=90°，
∴ ∠BAE+∠EAD=90°，
∵由旋转可知∠EAF=90°，AE=AF，
∴ ∠DAF+∠EAD=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
∴△BAE≌△DAF，
∴DF=BE；
②解：不改变，∠ADM 的度数恒为45°
（2）解：①；
②不成立，
依题意作图如图2，当MD⊥AD时，此时点 M 落在CD的延长线上，
图2
∵BC=2AB，
∴设AB=CD=y，BC=AD=2y，
∵MD⊥AD，
∴∠ADM=∠MCE=90°，
∴∠MAD+∠AMD=90°，
由(2)①同理得∠CME+∠AMD=90°，EM=MA，
∴∠MAD=∠CME，
∴△CME≌△DAM，
∴CM=AD=2y，CE=DM，
∴CE=DM=2y-y=y，
∴BE=2y+y=3y，
（3）解：依题意作图如图3，延长 DM 交 BC 于点G，过点A 作 AH⊥CB 交 CB 的延长线于点 H，则∠H=90°，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD∥CB，AB=BC=CD=AD，
∵MD⊥AD，
∴MG⊥CB，
∴∠EGM=∠GDA=∠H=90°，
∴四边形AHGD 为矩形，
∴AH=DG，AD=HG，
∵由旋转可知，∠EAF=60°，AE=AF，M 为 EF中点，
∴AM⊥EF，∠AEF=∠AFE=60°，
∴∠AME=90°，
则∠EMG+∠AMD=90°，
∵∠EMG+∠MEG=90°，
∴∠MEG=∠AMD，
∴△MEG∽△AMD，
∴设MG=a，则
∵∠ABC=120°，
∴∠ABH=60°，
【知识点】三角形全等的判定；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（1）②解：不改变，的度数恒为；
，，
，
为中点，
，
，
，
，
，
，，，四点共圆，
．
故答案为：45°；
（2）①依题意作图如下，
当时，此时点落在上，
，
设，，
同理（1）②得，，
，，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
．
【分析】（1）①根据矩形的性质即可得到AB=AD，然后再根据ASA得到，根据对应边相等解答即可；
②先根据等边对等角得到，，再根据全等三角形的对应角相等求出 ，得到，，，四点共圆，然后根据同弧所对的圆周角相等解答即可；
（2）①由作图可得时，此时点落在上，设，，根据AAS得到，根据对应边相等得到 ，，即可得到，，求出比值解答即可；
②由作图可得时，此时点落在的延长线上，设，，根据AAS得到，根据对应边相等得到 ，，求出比值解答即可；
（3）延长交于点，过点作交的延长线于点，即可得到为矩形，根据两角对应相等得到 ，根据对应边成比例设，可得，解直角三角形求出BH和AH长，即可求出，代入求出比值即可．
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