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四川省成都市成华区2026年九年级二诊数学试卷
1．若节约水5吨记作+5吨，则浪费水2吨记作(　　)
A．- 3吨 B．+3吨 C．- 2吨 D．+2吨
【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：如果节约水5吨记作+5吨，则浪费水2吨记作-2吨，
故答案为：C.
【分析】规定节约用水记为正数，则浪费用水即为负数，据此解答即可.
2．“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其主视图为
故答案为：．
【分析】主视图是从正面看到的平面图形，能看见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，据此可得“月壤砖”的示意图的主视图形如汉字“凸”.
3． 2025年，我国铁路“十四五”实现圆满收官，建成世界规模最大、先进发达的高速铁路网，全国铁路营业里程达16.5万公里.其中数据“16.5万”用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：16.5万=165000=1.65×105，
故答案为：B .
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数.
4．下列计算正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： 则A符合题意，
则B不符合题意，
则C不符合题意，
则D不符合题意，
故答案为：A .
【分析】利用同底数幂除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可.
5．榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.如图是某个榫卯构件的截面图，其中点E， F， A， D共线， EF∥BC， ∠EAB=70°，则∠B的度数是(　　)
A．70° B．100° C．110° D．130°
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题知，
故答案为：A .
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补进行计算即可.
6．明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手.问哪吒、夜叉各有多少 设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件可列方程组为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设哪吒有x个，夜叉有y个。根据题意列方程组：
故答案为：D .
【分析】设 哪吒有x个，夜叉有y个， 根据“ 有36个头，108只手 ”列方程解组答即可.
7．如图，在△ABC中， AB≠AC，点D， E， F分别是边AB， AC， BC的中点，连接DE，DF， EF， AF，设DE交AF于点O，则下列结论中，错误的是(　　)
A．DE∥BC B．∠B=∠EFC C．∠BAF=∠CAF D．OD=OE
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，
∴DF， EF， DE为 的中位线，
四边形ADFE是平行四边形，
故A、B、D正确，不符合题意；
，F是边BC的中点，
故C错误，符合题意，
故答案为：C .
【分析】由题意可得DF，EF，DE为 的中位线，根据三角形的中位线定理可得 则 四边形ADFE是平行四边形，即可判断A、B、D；再由AB≠AC，F是边BC的中点，即可判断C.
8．从地面竖直向上射出一小球，若小球离地面的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式为 则下列说法中，错误的是(　　)
A．小球运动时间为1s时的高度是25m
B．小球运动时间为2s时的高度和4s时的高度相等
C．小球离地面的最大高度是45m
D．小球从射出到落地需要8s
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：当t=1时， 故A正确；
当t=2时，
当t=4时，
∴h相同，故B正确；
函数 是开口向下的抛物线，
顶点在对称轴 处，
将t=3代入： h=-45+90=45m，
小球的最大高度为45m，故C正确；
∵落地时h=0，
即5t(6-t)=0，
解得t=0或t=6，
∵t=0为抛出时刻，
∴落地时间t=6，故D错误；
故答案为：D .
【分析】通过计算落地时间验证D，计算t=1的高度验证A，计算t=4和t=2的高度验证B，通过二次函数的最值判断C解答即可.
9．在函数y=中，自变量x的取值范围是　 　.
【答案】x≥3
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】由x-3≥0可得：
x≥3
∴函数y=中，自变量x的取值范围是x≥3
【分析】对于，被开方数必须是非负数才有意义.
10．在单词 class中随机选择一个字母，选中字母“s”的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：在单词 class(班级)中随机选择一个字母共有5种等可能结果，其中选中字母“s”的有2种结果，所以选中字母“s”的概率是
故答案为：
【分析】在单词 class(班级)中随机选择一个字母共有5种等可能结果，其中选中字母“s”的有2种结果，再根据概率公式求解即可.
11．某机器狗最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数.已知该机器狗载重后总质量为60kg时，它的最快移动速度为6m/s，则当其载重后总质量为90kg时，它的最快移动速度为　 　m/s.
【答案】4
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，设反比例函数的解析式为 ∵该机器狗载重后总质量m=60kg时，它的最快移动速度v=6m/s，
∴当m=90时，
∴其载重后总质量m=90kg时，它的最快移动速度4m/s.
故答案为：4.
【分析】根据待定系数法求出反比例函数的解析式，再代入数据求解即可.
12．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边AB，AC与网格线的交点，连接DE，则 DE的长是　 　.
【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应三线；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
故答案为： .
【分析】根据平行线可得△ADE∽△ABC，然后根据对应边上高的比等于相似比解答即可.
13．如图， ∠MON=60°，以点O为圆心，3为半径画弧，分别交OM，ON于A，B两点，再分别以A，B为圆心， 为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点 C，连接OC，则OC的长为　 　.
【答案】
【知识点】尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：过 B点作BH⊥OC于H点，如图，
根据作法得OC平分∠MON， OA
0°，
在Rt△OBH中， ∵∠BOH=30°，
在Rt△BCH中，
故答案为：
【分析】过B点作 于H点，如图，利用基本作图得到OC平分 则 再根据含30度角的直角三角形三边的关系得到 所以 接着利用勾股定理计算出 然后计算OH+CH即可.
14．（1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1）解： 原式
=0；
（2）解：
解不等式①得： x>-4，
解不等式②得：
∴原不等式组的解集为：
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】(1)先运算负整数指数次幂、绝对值、立方根，代入特殊角的三角函数值，然后再进行计算即可解答；
(2)先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
15． 4月24日是中国航天日.为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在中国航天日当天组织了航天知识竞赛，组委会从竞赛成绩(用x表示，满分100分，均不低于60分)中随机抽取了部分数据，将其按数据大小分成四组：A组(90≤x≤100)， B组(80≤x<90) ， C组(70≤x<80) ， D组(60≤x<70) ，并绘制了如图所示的统计图.已知B组共有15个数据，从高到低分别为：89， 88， 88， 86， 85， 85， 85， 85， 84， 83， 81， 81， 80， 80， 80.
根据已知信息，解答下列问题：
（1）B组15个数据的中位数为　 　，众数为　 　，平均数为　 　；
（2）从竞赛成绩中共抽取了　 　个数据，抽取的所有数据的中位数为　 　；
（3）该校共有500名学生参加竞赛，问竞赛成绩不低于80分的学生约有多少人
【答案】（1）85；85；84
（2）50；80
（3）解：成绩不低于80分的组别为A组和B组，两组占比之和为：
全校共有500名学生，
因此估计人数为：
答：竞赛成绩不低于80分的学生约有270人.
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解： (1)已知B组数据(从高到低)： 89， 88， 88， 86， 85， 85， 85， 85， 84， 83， 81， 81， 80， 80，80(共15个)；
中位数：15个数据排序后，中间位置为第 个，第8个数是85，
故中位数为85；
众数：数据中85出现4次，次数最多，故众数为85；
平均数： =84，
故平均数为84；
故答案为： 85； 85； 84；
(2)已知B组有15个数据，占比30%，
因此总数为： 15÷30%=50，
故抽取了50个数据；
所有数据的中位数：50个数据的中位数是第25、26个数据的平均数，
A组： 50×24%=12人，
B组： 15人，
累计前两组人数：12+15=27人，
说明第25、26个数据均在B组中，
B组数据从高到低排列，第13个为80，第14个为80，
因此：中位数
故中位数为80；
故答案为： 50； 80；
【分析】(1)根据中位数、众数、平均数的定义，对B组15个数据分别求中间位置的数、出现次数最多的数和数据总和除以个数的结果；
(2)先通过B组人数和占比算出总数据数，再按从高到低累计各组人数，确定第25、26个数据的位置并求其平均数；
(3)用样本中不低于80分的A、B两组占比之和，乘以全校总人数得到估计人数.
16．如图，小区某处监控探头安装在距地面5m的点A处，它能识别到的地面上最远点C的俯角为24°，最近点 D的俯角为52°(点 B，C，D在同一水平直线上)，求最远点C与最近点D之间的距离.(结果精确到0.1m.参考数据：
【答案】解： 根据题意得： AE∥BD， AB=5m，
∵AE∥BC，
∴∠C=24°，∠ADB=52°，
Rt△ABC中，AB=5m，
5，
∴BC=5÷0.45≈11.11(m)，
在Rt△ABD中， ∵∠ADB=52°，
∴BD≈3.9，
∴CD=BC-BD=11.11-3.9≈7.2(m).
答：最远点C与最近点D之间的距离约为7.2m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据平行线的性质得到∠C=24°，∠ADB=52°，然后根据正切的定义求出BC和BD长，然后根据线段的和差求出CD长解答即可.
17． 如图， AB是⊙O的直径，点C在⊙O上， 过点C作⊙O的切线l. M是弦AC上一点，延长MO交⊙O于点N，延长OM 交切线l于点 P，连接NA 并延长交切线l于点D.
（1）求证： PN=PD；
（2）若 求⊙O的半径及AM的长.
【答案】（1）证明： 连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴
∵CD与⊙O相切于点C，
（2）解：设(ON=OC=OA=3m，
解得m=2，
∴⊙O的半径长为6，AM的长为
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)连接OC，由 得 由切线的性质得 所以 推导出 则 由OA=ON，得 则 即可证明结论；
(2)设ON=OC=OA=3m，由得则PC=4m，求得OP=5m， 因为CD=24， 所以.PN=PD=24-4m，则OP=24-7m，由5m=24-7m， 求得m=2， 即可求得 再证明 根据对应边成比例求出 AM长解答即可.
18． 如图，直线y=3x与反比例函数 的图象交于点A (a，6)，过点A的直线y=-x+b与反比例函数 的图象的另一交点为B，与x轴交于点C.设M为反比例函数 图象上一点，且点 M在直线AB的下方.
（1）求a， b， k的值；
（2）连接并延长OM交直线y=-x+b于点 D，若 求点M的坐标；
（3）是否存在点 M，使△MOB∽△BOC 若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解： 将A(a， 6)代入y=3x中，
解得a=2，
∴A(2， 6)，
将A(2，6)代入函数 中，k=12，
将A(2， 6)代入y=-x+b中，b=8，
（2）过点A作AE∥y轴，过点D作DF∥y轴，过点B作BE∥x轴，交于点E、F，
当 时，解得x=2或x=6，
∴B(6， 2)，
∴D(3， 5)，
∴直线OD的解析式为
当 时，解得
（3）解：存在点M，使△MOB-△BOC，理由如下：
∵△MOB∽△BOC，
设
解得t=±3或t=±4，
∴M(3， 4)或(4， 5).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
(1)将A(a， 6)代入y=3x中，求出a的值，将A(2， 6)代入函数 中，求出k的值，将A(2， 6)代入y=-x+b中，求出b的轴；
(2)过点A作AEly轴，过点D作DFIly轴，过点B作BE∥x轴，交于点E、F，则 再由BE=4，可求BF=3，则D(3， 5)，直线OD与反比例函数图象的交点即为所求；
(3)由 可得 求出MO=5，设 即可求M点坐标.
19．当 时，代数式 的值是　 　.
【答案】
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【解答】解：原式
当 时，原式
故答案为：
【分析】将原式中的除法化为乘法，然后利用乘法分配律计算后再把已知数值代入计算即可.
20．如图，在△ABC中， AB=AC， ∠A=32°， D是AC边上一点，沿 BD所在直线将△BCD折叠，若点 C的对应点 E恰好落在AB边上.则∠ADE的度数是　 　.
【答案】42°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：
∵沿BD折叠 点C的对应点为E，
是 的外角，
故答案为：
【分析】先利用等腰三角形的性质求出 的底角 的度数，再根据折叠的性质得到 与 相等，最后利用三角形外角的性质，用 减去 即可求出 的度数.
21．如图，点A在反比例函数 的图象上，连接OA，过点O作OA的垂线，交反比例函数 的图象于点 B，连接AB，则tan∠BAO的值为　 　.
【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足为M和N，
又
又∵点A和点B分别在反比例函数 和 的图象上，
则
故答案为：
【分析】分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足为M和N，利用反比例函数系数k的几何意义，得出 和 O的面积，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题.
22．如图，在矩形ABCD中， AD=2AB， M为对角线AC上一动点，过点B作直线DM的垂线，垂足为点N，则 的最大值是　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；等积变换
【解析】【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，以点O为圆心，OA长为半径作圆O，过点M作MQ⊥AC于点Q，过点N作NP⊥AC于点P，
由图可知ABCD是圆O的内接四边形，且BD，AC是圆O的直径，
又∵BN⊥DM，
∴点N在圆O上，
设AB=a，则AD=2a，
∴，
∵，
∴DQ=，
∵MQ⊥AC，NP⊥AC，
∴∠NPM=∠DQM=90°，
又∵∠PMN=∠DMQ，
∴△NPM∽△DQM，
∴，即当NP最大时， 的最大 ，
∵NP最大是半径，即最大为，
这时，
故答案为： .
【分析】连接BD交AC于点O，以点O为圆心，OA长为半径作圆O，过点M作MQ⊥AC于点Q，过点N作NP⊥AC于点P，可得点N在圆O上，根据勾股定理求出AC长，然后根据三角形的面积变形得到DQ长，再根据两角对应相等得到△NPM∽△DQM，根据对应边成比例得到，根据NP最大时，比值最大解答即可.
23．若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则我们称a，b，c为一组勾股数.已知某直角三角形的三边长为一组勾股数，其中一条直角边长为32，则这个直角三角形的周长是　 　.
【答案】544，288，160，96
【知识点】因式分解的应用；勾股数
【解析】【解答】解：设另外一条直角边为b，斜边长为c，
且b，c为正整数，
∴或或或，
∴这个直角三角形的周长是 544，288，160，96 .
故答案为：544，288，160，96 .
【分析】设另外一条直角边为b，斜边长为c，利用勾股定理得到 求出所有符合条件的正整数解即可.
24．党的二十届三中全会提出“完善强农惠农富农支持制度”。为助力乡村振兴，支持强农惠农富农，某合作社代销当地出产的甲、乙两种猕猴桃.已知乙种猕猴桃每件售价是甲种猕猴桃每件售价的1.5倍，同样用180元购买甲种猕猴桃的件数比乙种猕猴桃的件数多3件.
（1）求甲、乙两种猕猴桃每件售价分别为多少元
（2）某水果店计划从该合作社购买甲、乙两种猕猴桃共20件，且购买乙种猕猴桃的件数不少于甲种猕猴桃件数的一半.问该水果店最少需花费多少元
【答案】（1）解：设甲猕猴桃每件售价为x元，则乙种猕猴桃每件售价为1.5x元，
由题意得：
解得： x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，
答：甲猕猴桃每件售价为20元，乙种猕猴桃每件售价为30元；
（2）解：设购买甲种猕猴桃m件，则购买乙种猕猴桃(20-m)件，
由题意得：
解得：
设该水果店需花费w元，
由题意得： w=20m+30(20-m)=-10m+600，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=13时，w有最小值，最小值=-10×13+600=470，
答：该水果店最少需花费470元.
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设甲猕猴桃每件售价为x元，则乙种猕猴桃每件售价为1.5x元，根据同样用180元购买甲种猕猴桃的件数比乙种猕猴桃的件数多3件，列出分式方程，解方程即可；
(2)设购买甲种猕猴桃m件，则购买乙种猕猴桃(20-m)件，根据购买乙种猕猴桃的件数不少于甲种猕猴桃件数的一半，列出关于m的一元一次不等式，解得 再设该水果店需花费w元，根据题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题.
25．在△ABC中， AC=BC=5， AB=8. 点M从点B出发沿BA边向点A移动， 连接MC，将线段MC绕点M逆时针旋转∠B的度数，得到对应线段MN，N为点C的对应点.
（1）如图1，当点N落在AC边上时，求BM的长；
（2）当点M移动到MN⊥AB时，求点N到AC边的距离；
（3）在点M从点B移动到点A 的过程中，求点N经过的路径长(请直接写出答案).
【答案】（1）解：∵AC=BC=5，
∴∠A=∠B，
∵∠CMN=∠B，
∴∠NMA=∠BCM，
又∵MN=CM，
∴△AMN≌△BCM(AAS)，
∴AM=BC=5，
∴BM=AB-AM=8-5=3；
（2）解：如图，过点C作CK⊥AB于点K，过点N作NH⊥AC于点H，
∵NM⊥AB，
∴NM∥CK，
∴∠MCK=∠NMC，
∴∠MCK=∠B=∠A=∠N，
∵AB=AC=5，AB=8，
∴AK=KB=4，，
∴tan∠MCK=tan∠A=，即，
∴，，
∴，
∴，
∴NF=，
又∵cos∠N=cos∠A=，
∴NH=NF×cos∠N=；
（3）
【知识点】三角形全等的判定；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（3）如图，过点N作ND∥AC交直线AB于点D，取BN0=5，
则∠NDM=∠A=∠B，
又∵∠BCM=∠NMD，MN=CM，
∴△MND≌△CMB(AAS)，
∴BM=DN，BC=MD=5，
∴DN0=BM=DN，
∴，
即点N在射线N0N上，
设当点M在A处时，点N位于点N1，则N0N1即为所求，
设N0N1与AC交于点G，过点G作GQ⊥AN1，GP⊥AB于点Q，P，
则AG=AN0=3，
∵GP∥CK，
∴△APG∽△AKC，
∴，即，
解得，，
∴，
∴，
∵∠N1AC=CAB，∠AQG=∠APG=90°，AG=AG，
∴△AGQ≌△AGP，
∴，，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）根据等边对等角得到∠A=∠B，然后根据三角形的外角和角的和差得到∠NMA=∠BCM，然后根据AAS证明△AMN≌△BCM，根据对应边相等得到AM=BC=5，然后根据角的和差解答即可；
（2）过点C作CK⊥AB于点K，过点N作NH⊥AC于点H，即可得到∠MCK=∠B=∠A=∠N，根据勾股定理求出CK长，然后根据正切的定义和勾股定理求出MK、MC长，进而求出AM长，再根据正切求出FM长，即可得到NF长，最后利用余弦的定义求出NH长即可；
（3）过点N作ND∥AC交直线AB于点D，取BN0=5，证明△MND≌△CMB，即可得到DN0=BM=DN，进而可得点N在射线N0N上，当点M在A处时，点N位于点N1，则N0N1即为所求，过点G作GQ⊥AN1，GP⊥AB于点Q，P，根据相似三角形的判定和性质得到GP，AP长，然后利用全等得到GQ，AQ长，再根据勾股定理解答即可.
26． 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x轴的左右两个交点分别为点A(-1，0)和点B，与y轴交于点
（1）求抛物线L1的解析式；
（2）在第一象限内抛物线L1上取点D，使∠DCB=45°，求点D的坐标；
（3）若抛物线 的对称轴与抛物线L1的对称轴相同，过点C的直线l：y=kx+n(k<0)交抛物线L1于点P，问是否存在某种情况，使抛物线 与直线l有且只有一个公共点，且这个公共点恰好是线段CP的中点 若存在这种情况，请求出a和k的值；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）解： 将A(-1，0)、点 代入抛物线
中，
解得
（2）解： 过点B作 交直线CD于点E，过点E作EF 轴交于F，
当 时，
解得x=-1或x=5，
∴直线CE的解析式为
当 时，
解得x=0或
（3）解：存在某种情况，使抛物线 与直线l有且只有一个公共点，且这个公共点恰好是线段CP的中点，理由如下：
的对称轴为直线x=2，
的对称轴为直线x=2，
∵直线y=kx+n经过点C，
当 时，
解得x=0或x=4-2k，
∴P点横坐标为4-2k，
∴CP的中点的横坐标为2-k，
当 时，整理得
∵抛物线 与直线l有且只有一个公共点，且这个公共点恰好是线段CP的中点，
(舍)或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；三角形全等的判定-AAS；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)过点B作 交直线CD于点E，过点E作EF 轴交于F，证明 ，求出E 则直线CE与抛物线的交点为D点；
(3)根据对称轴可得 由直线y=kx+n经过点C，可得 当 时，能求P点横坐标为4-2k， 则CP的中点的横坐标为 2-k，当 时，整理得 根据题意可得 由此求出 a和k的值即可
1 / 1四川省成都市成华区2026年九年级二诊数学试卷
1．若节约水5吨记作+5吨，则浪费水2吨记作(　　)
A．- 3吨 B．+3吨 C．- 2吨 D．+2吨
2．“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3． 2025年，我国铁路“十四五”实现圆满收官，建成世界规模最大、先进发达的高速铁路网，全国铁路营业里程达16.5万公里.其中数据“16.5万”用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是(　　)
A． B．
C． D．
5．榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.如图是某个榫卯构件的截面图，其中点E， F， A， D共线， EF∥BC， ∠EAB=70°，则∠B的度数是(　　)
A．70° B．100° C．110° D．130°
6．明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手.问哪吒、夜叉各有多少 设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件可列方程组为(　　)
A． B．
C． D．
7．如图，在△ABC中， AB≠AC，点D， E， F分别是边AB， AC， BC的中点，连接DE，DF， EF， AF，设DE交AF于点O，则下列结论中，错误的是(　　)
A．DE∥BC B．∠B=∠EFC C．∠BAF=∠CAF D．OD=OE
8．从地面竖直向上射出一小球，若小球离地面的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式为 则下列说法中，错误的是(　　)
A．小球运动时间为1s时的高度是25m
B．小球运动时间为2s时的高度和4s时的高度相等
C．小球离地面的最大高度是45m
D．小球从射出到落地需要8s
9．在函数y=中，自变量x的取值范围是　 　.
10．在单词 class中随机选择一个字母，选中字母“s”的概率是　 　.
11．某机器狗最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数.已知该机器狗载重后总质量为60kg时，它的最快移动速度为6m/s，则当其载重后总质量为90kg时，它的最快移动速度为　 　m/s.
12．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边AB，AC与网格线的交点，连接DE，则 DE的长是　 　.
13．如图， ∠MON=60°，以点O为圆心，3为半径画弧，分别交OM，ON于A，B两点，再分别以A，B为圆心， 为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点 C，连接OC，则OC的长为　 　.
14．（1）计算：
（2）解不等式组：
15． 4月24日是中国航天日.为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在中国航天日当天组织了航天知识竞赛，组委会从竞赛成绩(用x表示，满分100分，均不低于60分)中随机抽取了部分数据，将其按数据大小分成四组：A组(90≤x≤100)， B组(80≤x<90) ， C组(70≤x<80) ， D组(60≤x<70) ，并绘制了如图所示的统计图.已知B组共有15个数据，从高到低分别为：89， 88， 88， 86， 85， 85， 85， 85， 84， 83， 81， 81， 80， 80， 80.
根据已知信息，解答下列问题：
（1）B组15个数据的中位数为　 　，众数为　 　，平均数为　 　；
（2）从竞赛成绩中共抽取了　 　个数据，抽取的所有数据的中位数为　 　；
（3）该校共有500名学生参加竞赛，问竞赛成绩不低于80分的学生约有多少人
16．如图，小区某处监控探头安装在距地面5m的点A处，它能识别到的地面上最远点C的俯角为24°，最近点 D的俯角为52°(点 B，C，D在同一水平直线上)，求最远点C与最近点D之间的距离.(结果精确到0.1m.参考数据：
17． 如图， AB是⊙O的直径，点C在⊙O上， 过点C作⊙O的切线l. M是弦AC上一点，延长MO交⊙O于点N，延长OM 交切线l于点 P，连接NA 并延长交切线l于点D.
（1）求证： PN=PD；
（2）若 求⊙O的半径及AM的长.
18． 如图，直线y=3x与反比例函数 的图象交于点A (a，6)，过点A的直线y=-x+b与反比例函数 的图象的另一交点为B，与x轴交于点C.设M为反比例函数 图象上一点，且点 M在直线AB的下方.
（1）求a， b， k的值；
（2）连接并延长OM交直线y=-x+b于点 D，若 求点M的坐标；
（3）是否存在点 M，使△MOB∽△BOC 若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
19．当 时，代数式 的值是　 　.
20．如图，在△ABC中， AB=AC， ∠A=32°， D是AC边上一点，沿 BD所在直线将△BCD折叠，若点 C的对应点 E恰好落在AB边上.则∠ADE的度数是　 　.
21．如图，点A在反比例函数 的图象上，连接OA，过点O作OA的垂线，交反比例函数 的图象于点 B，连接AB，则tan∠BAO的值为　 　.
22．如图，在矩形ABCD中， AD=2AB， M为对角线AC上一动点，过点B作直线DM的垂线，垂足为点N，则 的最大值是　 　.
23．若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则我们称a，b，c为一组勾股数.已知某直角三角形的三边长为一组勾股数，其中一条直角边长为32，则这个直角三角形的周长是　 　.
24．党的二十届三中全会提出“完善强农惠农富农支持制度”。为助力乡村振兴，支持强农惠农富农，某合作社代销当地出产的甲、乙两种猕猴桃.已知乙种猕猴桃每件售价是甲种猕猴桃每件售价的1.5倍，同样用180元购买甲种猕猴桃的件数比乙种猕猴桃的件数多3件.
（1）求甲、乙两种猕猴桃每件售价分别为多少元
（2）某水果店计划从该合作社购买甲、乙两种猕猴桃共20件，且购买乙种猕猴桃的件数不少于甲种猕猴桃件数的一半.问该水果店最少需花费多少元
25．在△ABC中， AC=BC=5， AB=8. 点M从点B出发沿BA边向点A移动， 连接MC，将线段MC绕点M逆时针旋转∠B的度数，得到对应线段MN，N为点C的对应点.
（1）如图1，当点N落在AC边上时，求BM的长；
（2）当点M移动到MN⊥AB时，求点N到AC边的距离；
（3）在点M从点B移动到点A 的过程中，求点N经过的路径长(请直接写出答案).
26． 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x轴的左右两个交点分别为点A(-1，0)和点B，与y轴交于点
（1）求抛物线L1的解析式；
（2）在第一象限内抛物线L1上取点D，使∠DCB=45°，求点D的坐标；
（3）若抛物线 的对称轴与抛物线L1的对称轴相同，过点C的直线l：y=kx+n(k<0)交抛物线L1于点P，问是否存在某种情况，使抛物线 与直线l有且只有一个公共点，且这个公共点恰好是线段CP的中点 若存在这种情况，请求出a和k的值；若不存在，请说明理由。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：如果节约水5吨记作+5吨，则浪费水2吨记作-2吨，
故答案为：C.
【分析】规定节约用水记为正数，则浪费用水即为负数，据此解答即可.
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其主视图为
故答案为：．
【分析】主视图是从正面看到的平面图形，能看见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，据此可得“月壤砖”的示意图的主视图形如汉字“凸”.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：16.5万=165000=1.65×105，
故答案为：B .
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数.
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： 则A符合题意，
则B不符合题意，
则C不符合题意，
则D不符合题意，
故答案为：A .
【分析】利用同底数幂除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可.
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题知，
故答案为：A .
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补进行计算即可.
6．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设哪吒有x个，夜叉有y个。根据题意列方程组：
故答案为：D .
【分析】设 哪吒有x个，夜叉有y个， 根据“ 有36个头，108只手 ”列方程解组答即可.
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，
∴DF， EF， DE为 的中位线，
四边形ADFE是平行四边形，
故A、B、D正确，不符合题意；
，F是边BC的中点，
故C错误，符合题意，
故答案为：C .
【分析】由题意可得DF，EF，DE为 的中位线，根据三角形的中位线定理可得 则 四边形ADFE是平行四边形，即可判断A、B、D；再由AB≠AC，F是边BC的中点，即可判断C.
8．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：当t=1时， 故A正确；
当t=2时，
当t=4时，
∴h相同，故B正确；
函数 是开口向下的抛物线，
顶点在对称轴 处，
将t=3代入： h=-45+90=45m，
小球的最大高度为45m，故C正确；
∵落地时h=0，
即5t(6-t)=0，
解得t=0或t=6，
∵t=0为抛出时刻，
∴落地时间t=6，故D错误；
故答案为：D .
【分析】通过计算落地时间验证D，计算t=1的高度验证A，计算t=4和t=2的高度验证B，通过二次函数的最值判断C解答即可.
9．【答案】x≥3
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】由x-3≥0可得：
x≥3
∴函数y=中，自变量x的取值范围是x≥3
【分析】对于，被开方数必须是非负数才有意义.
10．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：在单词 class(班级)中随机选择一个字母共有5种等可能结果，其中选中字母“s”的有2种结果，所以选中字母“s”的概率是
故答案为：
【分析】在单词 class(班级)中随机选择一个字母共有5种等可能结果，其中选中字母“s”的有2种结果，再根据概率公式求解即可.
11．【答案】4
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，设反比例函数的解析式为 ∵该机器狗载重后总质量m=60kg时，它的最快移动速度v=6m/s，
∴当m=90时，
∴其载重后总质量m=90kg时，它的最快移动速度4m/s.
故答案为：4.
【分析】根据待定系数法求出反比例函数的解析式，再代入数据求解即可.
12．【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应三线；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
故答案为： .
【分析】根据平行线可得△ADE∽△ABC，然后根据对应边上高的比等于相似比解答即可.
13．【答案】
【知识点】尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：过 B点作BH⊥OC于H点，如图，
根据作法得OC平分∠MON， OA
0°，
在Rt△OBH中， ∵∠BOH=30°，
在Rt△BCH中，
故答案为：
【分析】过B点作 于H点，如图，利用基本作图得到OC平分 则 再根据含30度角的直角三角形三边的关系得到 所以 接着利用勾股定理计算出 然后计算OH+CH即可.
14．【答案】（1）解： 原式
=0；
（2）解：
解不等式①得： x>-4，
解不等式②得：
∴原不等式组的解集为：
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】(1)先运算负整数指数次幂、绝对值、立方根，代入特殊角的三角函数值，然后再进行计算即可解答；
(2)先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
15．【答案】（1）85；85；84
（2）50；80
（3）解：成绩不低于80分的组别为A组和B组，两组占比之和为：
全校共有500名学生，
因此估计人数为：
答：竞赛成绩不低于80分的学生约有270人.
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解： (1)已知B组数据(从高到低)： 89， 88， 88， 86， 85， 85， 85， 85， 84， 83， 81， 81， 80， 80，80(共15个)；
中位数：15个数据排序后，中间位置为第 个，第8个数是85，
故中位数为85；
众数：数据中85出现4次，次数最多，故众数为85；
平均数： =84，
故平均数为84；
故答案为： 85； 85； 84；
(2)已知B组有15个数据，占比30%，
因此总数为： 15÷30%=50，
故抽取了50个数据；
所有数据的中位数：50个数据的中位数是第25、26个数据的平均数，
A组： 50×24%=12人，
B组： 15人，
累计前两组人数：12+15=27人，
说明第25、26个数据均在B组中，
B组数据从高到低排列，第13个为80，第14个为80，
因此：中位数
故中位数为80；
故答案为： 50； 80；
【分析】(1)根据中位数、众数、平均数的定义，对B组15个数据分别求中间位置的数、出现次数最多的数和数据总和除以个数的结果；
(2)先通过B组人数和占比算出总数据数，再按从高到低累计各组人数，确定第25、26个数据的位置并求其平均数；
(3)用样本中不低于80分的A、B两组占比之和，乘以全校总人数得到估计人数.
16．【答案】解： 根据题意得： AE∥BD， AB=5m，
∵AE∥BC，
∴∠C=24°，∠ADB=52°，
Rt△ABC中，AB=5m，
5，
∴BC=5÷0.45≈11.11(m)，
在Rt△ABD中， ∵∠ADB=52°，
∴BD≈3.9，
∴CD=BC-BD=11.11-3.9≈7.2(m).
答：最远点C与最近点D之间的距离约为7.2m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据平行线的性质得到∠C=24°，∠ADB=52°，然后根据正切的定义求出BC和BD长，然后根据线段的和差求出CD长解答即可.
17．【答案】（1）证明： 连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴
∵CD与⊙O相切于点C，
（2）解：设(ON=OC=OA=3m，
解得m=2，
∴⊙O的半径长为6，AM的长为
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)连接OC，由 得 由切线的性质得 所以 推导出 则 由OA=ON，得 则 即可证明结论；
(2)设ON=OC=OA=3m，由得则PC=4m，求得OP=5m， 因为CD=24， 所以.PN=PD=24-4m，则OP=24-7m，由5m=24-7m， 求得m=2， 即可求得 再证明 根据对应边成比例求出 AM长解答即可.
18．【答案】（1）解： 将A(a， 6)代入y=3x中，
解得a=2，
∴A(2， 6)，
将A(2，6)代入函数 中，k=12，
将A(2， 6)代入y=-x+b中，b=8，
（2）过点A作AE∥y轴，过点D作DF∥y轴，过点B作BE∥x轴，交于点E、F，
当 时，解得x=2或x=6，
∴B(6， 2)，
∴D(3， 5)，
∴直线OD的解析式为
当 时，解得
（3）解：存在点M，使△MOB-△BOC，理由如下：
∵△MOB∽△BOC，
设
解得t=±3或t=±4，
∴M(3， 4)或(4， 5).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
(1)将A(a， 6)代入y=3x中，求出a的值，将A(2， 6)代入函数 中，求出k的值，将A(2， 6)代入y=-x+b中，求出b的轴；
(2)过点A作AEly轴，过点D作DFIly轴，过点B作BE∥x轴，交于点E、F，则 再由BE=4，可求BF=3，则D(3， 5)，直线OD与反比例函数图象的交点即为所求；
(3)由 可得 求出MO=5，设 即可求M点坐标.
19．【答案】
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【解答】解：原式
当 时，原式
故答案为：
【分析】将原式中的除法化为乘法，然后利用乘法分配律计算后再把已知数值代入计算即可.
20．【答案】42°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：
∵沿BD折叠 点C的对应点为E，
是 的外角，
故答案为：
【分析】先利用等腰三角形的性质求出 的底角 的度数，再根据折叠的性质得到 与 相等，最后利用三角形外角的性质，用 减去 即可求出 的度数.
21．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足为M和N，
又
又∵点A和点B分别在反比例函数 和 的图象上，
则
故答案为：
【分析】分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足为M和N，利用反比例函数系数k的几何意义，得出 和 O的面积，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题.
22．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；等积变换
【解析】【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，以点O为圆心，OA长为半径作圆O，过点M作MQ⊥AC于点Q，过点N作NP⊥AC于点P，
由图可知ABCD是圆O的内接四边形，且BD，AC是圆O的直径，
又∵BN⊥DM，
∴点N在圆O上，
设AB=a，则AD=2a，
∴，
∵，
∴DQ=，
∵MQ⊥AC，NP⊥AC，
∴∠NPM=∠DQM=90°，
又∵∠PMN=∠DMQ，
∴△NPM∽△DQM，
∴，即当NP最大时， 的最大 ，
∵NP最大是半径，即最大为，
这时，
故答案为： .
【分析】连接BD交AC于点O，以点O为圆心，OA长为半径作圆O，过点M作MQ⊥AC于点Q，过点N作NP⊥AC于点P，可得点N在圆O上，根据勾股定理求出AC长，然后根据三角形的面积变形得到DQ长，再根据两角对应相等得到△NPM∽△DQM，根据对应边成比例得到，根据NP最大时，比值最大解答即可.
23．【答案】544，288，160，96
【知识点】因式分解的应用；勾股数
【解析】【解答】解：设另外一条直角边为b，斜边长为c，
且b，c为正整数，
∴或或或，
∴这个直角三角形的周长是 544，288，160，96 .
故答案为：544，288，160，96 .
【分析】设另外一条直角边为b，斜边长为c，利用勾股定理得到 求出所有符合条件的正整数解即可.
24．【答案】（1）解：设甲猕猴桃每件售价为x元，则乙种猕猴桃每件售价为1.5x元，
由题意得：
解得： x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，
答：甲猕猴桃每件售价为20元，乙种猕猴桃每件售价为30元；
（2）解：设购买甲种猕猴桃m件，则购买乙种猕猴桃(20-m)件，
由题意得：
解得：
设该水果店需花费w元，
由题意得： w=20m+30(20-m)=-10m+600，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=13时，w有最小值，最小值=-10×13+600=470，
答：该水果店最少需花费470元.
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设甲猕猴桃每件售价为x元，则乙种猕猴桃每件售价为1.5x元，根据同样用180元购买甲种猕猴桃的件数比乙种猕猴桃的件数多3件，列出分式方程，解方程即可；
(2)设购买甲种猕猴桃m件，则购买乙种猕猴桃(20-m)件，根据购买乙种猕猴桃的件数不少于甲种猕猴桃件数的一半，列出关于m的一元一次不等式，解得 再设该水果店需花费w元，根据题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题.
25．【答案】（1）解：∵AC=BC=5，
∴∠A=∠B，
∵∠CMN=∠B，
∴∠NMA=∠BCM，
又∵MN=CM，
∴△AMN≌△BCM(AAS)，
∴AM=BC=5，
∴BM=AB-AM=8-5=3；
（2）解：如图，过点C作CK⊥AB于点K，过点N作NH⊥AC于点H，
∵NM⊥AB，
∴NM∥CK，
∴∠MCK=∠NMC，
∴∠MCK=∠B=∠A=∠N，
∵AB=AC=5，AB=8，
∴AK=KB=4，，
∴tan∠MCK=tan∠A=，即，
∴，，
∴，
∴，
∴NF=，
又∵cos∠N=cos∠A=，
∴NH=NF×cos∠N=；
（3）
【知识点】三角形全等的判定；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（3）如图，过点N作ND∥AC交直线AB于点D，取BN0=5，
则∠NDM=∠A=∠B，
又∵∠BCM=∠NMD，MN=CM，
∴△MND≌△CMB(AAS)，
∴BM=DN，BC=MD=5，
∴DN0=BM=DN，
∴，
即点N在射线N0N上，
设当点M在A处时，点N位于点N1，则N0N1即为所求，
设N0N1与AC交于点G，过点G作GQ⊥AN1，GP⊥AB于点Q，P，
则AG=AN0=3，
∵GP∥CK，
∴△APG∽△AKC，
∴，即，
解得，，
∴，
∴，
∵∠N1AC=CAB，∠AQG=∠APG=90°，AG=AG，
∴△AGQ≌△AGP，
∴，，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）根据等边对等角得到∠A=∠B，然后根据三角形的外角和角的和差得到∠NMA=∠BCM，然后根据AAS证明△AMN≌△BCM，根据对应边相等得到AM=BC=5，然后根据角的和差解答即可；
（2）过点C作CK⊥AB于点K，过点N作NH⊥AC于点H，即可得到∠MCK=∠B=∠A=∠N，根据勾股定理求出CK长，然后根据正切的定义和勾股定理求出MK、MC长，进而求出AM长，再根据正切求出FM长，即可得到NF长，最后利用余弦的定义求出NH长即可；
（3）过点N作ND∥AC交直线AB于点D，取BN0=5，证明△MND≌△CMB，即可得到DN0=BM=DN，进而可得点N在射线N0N上，当点M在A处时，点N位于点N1，则N0N1即为所求，过点G作GQ⊥AN1，GP⊥AB于点Q，P，根据相似三角形的判定和性质得到GP，AP长，然后利用全等得到GQ，AQ长，再根据勾股定理解答即可.
26．【答案】（1）解： 将A(-1，0)、点 代入抛物线
中，
解得
（2）解： 过点B作 交直线CD于点E，过点E作EF 轴交于F，
当 时，
解得x=-1或x=5，
∴直线CE的解析式为
当 时，
解得x=0或
（3）解：存在某种情况，使抛物线 与直线l有且只有一个公共点，且这个公共点恰好是线段CP的中点，理由如下：
的对称轴为直线x=2，
的对称轴为直线x=2，
∵直线y=kx+n经过点C，
当 时，
解得x=0或x=4-2k，
∴P点横坐标为4-2k，
∴CP的中点的横坐标为2-k，
当 时，整理得
∵抛物线 与直线l有且只有一个公共点，且这个公共点恰好是线段CP的中点，
(舍)或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；三角形全等的判定-AAS；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)过点B作 交直线CD于点E，过点E作EF 轴交于F，证明 ，求出E 则直线CE与抛物线的交点为D点；
(3)根据对称轴可得 由直线y=kx+n经过点C，可得 当 时，能求P点横坐标为4-2k， 则CP的中点的横坐标为 2-k，当 时，整理得 根据题意可得 由此求出 a和k的值即可
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