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衡阳县四中2026年下学期期中考试
高一数学试题卷
（本试题卷共2页。试卷满分150分，考试时间120分钟）
选择题（每小题5分，共40分）
1.下列说法正确的是( )
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.向量的模可以比较大小
C.模为1的向量都是相等向量
D.由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行
2.向量,满足,则=( )
A.(3,4) B.(-3,4) C.(3,-4) D.(-3,-4)
3.设是虚数单位，则复数的共轭复数是( )
A.1+3i B.1-3i C.-1+3i D.-1-3i
4.已知为虚数单位，则复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.在△ABC中，,则AC=( )
A. B.2 C. D.
6.已知点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则=( )
A.-1 B.0 C.2 D.-2
7.已知的三个顶点A(-3,1),B(-2,3),C(2,4),则顶点D的坐标( )
A.(2,2) B.(1,2) C.(1,6) D.(-1,6)
8.已知向量,与的夹角为,则=( )
A. B. C. D.
二、多项选择题（每小题6分，共18分）
9.以下关于平面向量的说法中，正确的是( )
A.既有大小，又有方向的量叫做向量
B.所有单位向量都相等
C.
D.平行向量也叫做共线向量
10.已知为虚数单位，复数,则下列说法正确的是( )
A.复数z的实部为3
B.复数z的虚部为4
C.复数z的共轭复数为3+4i
D.复数z的模为5
11.下列有关向量命题，不正确的是( )
A.若,则
B.已知,且，则⊥
C.若,则
D.若，则且
三、填空题（每小题5分，共15分）
12.化简
13.设，若//， 则
14.已知向量与的夹角为,且,则的值为_________
四、解答题（共77分）
15.(本题13分)化简.
(1)
(2)
16.(本题15分)，已知复数：分别求出符合下列条件的实数m的值
(1)实数；
(2)纯虚数；
(3)零.
17.(本题15分)已知,且与的夹角为60°.求
(1)的值；
(2)的值；
18.(本题17分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求角A的大小；
(2)若,△ABC的面积为,求△ABC的周长.
19.(本题17分)如图是某种水箱用的浮球”,它是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的半径是2cm,圆柱筒的高是2cm.
(1)求这种“浮球”的体积；
(2)现要在这种“浮球”的表面涂一层防水漆，每平方厘米需要花费防水漆2元，共需花费多少费用
衡阳县四中2026年下学期期中考试
高一数学试题卷
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B B B C D D B B AD BD AB
一、选择题
1．B
解析：对于A，向量不能比较大小，故A错误；
对于B，向量的模是一个数量，可以比较大小，故B正确；
对于C，相等向量不但模相等，且方向相同，故C错误；
对于D，因为零向量与任意向量平行，故D错误.
2．B
解析：解：因为，，所以，
即，所以；
3．B
解析：数的共轭复数是．
4．C
解析：因为，因此，复数对应的点位于第三象限.
5．D
解析：由正弦定理得，
所以．
6．D
解析：因为，
所以，
所以.
7．B
解析：设
则则由题意得，，
由平行四边形的性质知，
所以，
8．B
解析：因为，,所以，，
因为与的夹角为，所以.
二、多项选择题
9．AD
解析：由向量的定义知，既有大小，又有方向的量叫做向量，A正确；
单位向量是长度为1的向量，其方向是任意的，B不正确；
，故C不正确；
由平行向量的定义知，平行向量也叫做共线向量，D正确.
10．BD
解析：由题设的实部为，虚部为4，共轭复数为，模为.
11．AB
解析：两个向量相等即方向相同和长度相等，A错，C正确，D正确；
若≠，且·＝·，即（-）·=0，则，或=，B错误．
三、填空题
12．
解析：.
13．
解析：由于，所以
14．－6
解析：．
四、解答题
15．（1）；（2）.
解析：（1）；（6分）
（2）.（13分）
16．(1)或
(2)
(3)
解析：（1）复数的实部为，虚部为，
所以复数为实数，
则，解得或.（5分）
（2）若复数为纯虚数，
则，解得；（10分）
（3）若复数为，
则，解得；（15分）
17．(1)60；
(2).
解析：（1）（7分）
（2）
（15分）
18．(1)
(2)
解析：（1）因为，
由正弦定理可得，（2分）
则，（4分）
又因为，则，可得，（6分）
即，所以.（8分）
（2）因为的面积为，可得，（12分）
由余弦定理可得，
即，可得，（16分）
所以的周长为.（17分）
19．(1)
(2)元
解析：（1）因为该“浮球”的圆柱筒底面半径和半球的半径，
圆柱筒的高，所以两个半球的体积之和为，（3分）
圆柱的体积，（6分）
∴该“浮球”的体积是；（8分）
（2）根据题意，上下两个半球的表面积是，（11分）
而“浮球”的圆柱筒的侧面积为，（14分）
∴“浮球”的表面积；（15分）
所以共需花费（元）.（17分）

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