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(共24张PPT)
课时3
机械能守恒定律及应用
考点一
机械能守恒的判断
基础梳理
机械能
mgh
地球
有关
无关
减小
增大
减小
弹性形变
减少
增加
动能
保持不变
典例精析
命题视角　对机械能守恒的理解与判断,守恒条件与系统化判断能力的综合考查
对机械能守恒条件的理解
(1)只有重力做功,只发生动能和重力势能的相互转化。
(2)只有系统内弹力做功,只发生动能和弹性势能的相互转化。
(3)只有重力和系统内弹力做功,只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化。
(4)除受重力和弹力外,其他力也做功,但其他力做功的代数和始终为零。
【典例1】 (容易)(多选)在如图所示的物理过程示意图中,图甲中一端固定有小球的轻杆从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动;图乙中轻绳一端连着一小球,从右偏上30°角处自由释放;图丙中物体A正在压缩弹簧;图丁中不计任何阻力和定滑轮质量,A加速下落,B加速上升。关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计),下列判断正确的是(　 　)
A.图甲中小球机械能守恒
B.图乙中小球机械能守恒
C.图丙中物体A的机械能守恒
D.图丁中A、B组成的系统机械能守恒
AD
解析:AD　题图甲过程中轻杆对小球不做功,只有重力做功,小球的机械能守恒,A正确;题图乙过程中小球在绳子绷紧的瞬间有动能损失,机械能不守恒,B错误;题图丙中重力和系统内弹力做功,物体A和弹簧组成的系统机械能守恒,但物体A的机械能不守恒,C错误;题图丁中绳子拉力对A做负功,对B做正功,代数和为零,A、B组成的系统机械能守恒,D正确。
考点二
单个物体的机械能守恒
基础梳理
机械能守恒定律表达式
典例精析
命题视角　单个物体的机械能守恒,守恒条件判断依据、功能转化计算
【典例2】 (中等)如图所示,竖直平面内的四分之三圆弧形光滑管道半径略大于小球半径,管道中心到圆心距离为R,A端与圆心O等高,AD为水平面,B端在O的正下方,小球自A点正上方由静止释放,自由下落至A点时进入管道。
(1)如果管道与小球接触的内侧壁(图中较小的四分之三圆周)始终对小球没有弹力,小球释放点距离A点的最小高度为多大
答案:(1)1.5R
(2)如果小球到达B点时,管壁对小球的弹力大小为小球重力大小的9倍。求:
①小球运动到管道最高点E时对管道的弹力;
答案:(2)①3mg,方向竖直向上
②落点C与A的水平距离。
考点三
多个物体的机械能守恒
基础梳理
几种实际情境的分析
多物体系统类型 常见情境 模型特点
轻绳连 接的 系统 (1)两物体沿绳方向的分速度大小相等。
(2)对于单个物体,一般绳上的力会做功,机械能不守恒,但对于绳连接的系统,机械能则可能守恒。
轻杆 连接 的系统 (1)平动时两物体的线速度相等,转动时两物体的角速度相等。
(2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒。
(3)对于杆和物体组成的系统,若忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功,则系统的机械能守恒。
轻弹簧 连接的 系统 (1)含弹簧的系统内只有弹簧弹力和重力做功时,物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相互转化,物体和弹簧组成的系统机械能守恒,而单个物体或弹簧机械能都不守恒。
(2)由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统,当弹簧形变量最大时,弹簧两端连接的物体速度相等;弹簧处于自然长度时,弹簧弹性势能最小(为零)。
典例精析
命题视角　多个物体的机械能守恒,辨析复杂系统中内力做功是否满足守恒条件
【典例3】 (轻杆连接的系统·中等)一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B。支架的两直角边长度分别为2l和l,支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动,如图所示。开始时OA边处于水平位置,由静止释放,重力加速度为g,则(　　)
B
【典例4】 (轻绳、轻弹簧连接的系统·困难)(多选)如图所示,倾角为30°的斜面和半径为R的半圆弧连接,圆心O在斜面的延长线上,连接点M处有一轻质定滑轮,N为圆弧最低点且∠MON=60°,斜面的底端固定一挡板P。物块B、C间由一轻质弹簧拴接置于斜面上(弹簧平行于斜面),其中C紧靠在挡板P处,B用跨过滑轮的不可伸长的轻绳与小球A相连,开始时将小球A锁定在M处,此时轻绳与斜面平行,且恰好伸直但无拉力,B、C处于静止状态。某时刻解锁小球A,当小球A沿圆弧运动到最低点N时(物块B未到达M点),物块C对挡板的作用力恰好为0。
BC
感谢观看课时3　机械能守恒定律及应用
课时作业
A级·基础巩固练
命题视角1　对机械能守恒的理解与判断,守恒条件与系统化判断能力的综合考查
1.忽略空气阻力,下列物体运动过程中满足机械能守恒的是(　　)
A.竖直面内匀速转动的摩天轮中的物体
B.物体由光滑斜面顶端滑到斜面底端
C.物体沿着斜面匀速下滑
D.拉着物体沿光滑斜面匀速上升
解析:B　摩天轮匀速转动,物体动能不变,势能变化,机械能不守恒,A错误;物体在光滑斜面上,受重力和支持力的作用,但是支持力的方向和物体位移的方向垂直,支持力不做功,只有重力做功,机械能守恒,B正确;物体沿着斜面匀速下滑,物体处于受力平衡状态,摩擦力和重力都要做功,机械能不守恒,C错误;拉着物体沿光滑斜面匀速上升,物体处于受力平衡状态,拉力和重力都要做功,机械能不守恒,D错误。
2.如图所示,某同学将一根橡皮筋两端固定在支架上,把一模型飞机放在橡皮筋中间,向后拉模型飞机使橡皮筋伸长,松手后橡皮筋将模型飞机斜向上弹出,忽略空气阻力,在模型飞机弹出过程中,则(　　)
A.模型飞机的动能保持不变
B.模型飞机的机械能保持不变
C.橡皮筋在恢复原长过程中,对模型飞机做负功
D.模型飞机在橡皮筋恢复原长时机械能最大
解析:D　在模型飞机弹出的过程中,模型飞机的速度增大,因此动能增大,A错误;整个过程橡皮筋对模型飞机做正功,模型飞机的机械能增加,橡皮筋的弹性势能减少,在橡皮筋恢复原长时,橡皮筋的弹性势能为0,模型飞机的机械能最大,B、C错误,D正确。
命题视角2　单个物体的机械能守恒,守恒条件判断依据、功能转化计算
3.某运动员将铅球斜向上推出后,球的运动过程如图所示,不计空气阻力。下列关于铅球在空中运动过程中的加速度大小a、速度大小v、重力的瞬时功率P和机械能E随运动时间t的变化关系,正确的是(　　)
A B
C D
解析:C　不计空气阻力,球在空中只受重力,所以加速度始终为g,机械能守恒,所以at和Et图像都是与横轴平行的直线,A、D错误;球的速度大小为v=,可知vt图像不是直线,B错误;重力的瞬时功率大小为P=|mg(v0y-gt)|,可知Pt图像先直线减小,后直线增加,C正确。
4.如图,倾角为30°的光滑斜面体CDE,半径为R的四分之一光滑圆弧轨道AB固定在水平地面上,圆弧轨道的最低点B切线水平,B点离地面高为3R,斜面体的顶端C离地面的高度为2R,将小球在圆弧轨道最高点A的上方某处由静止释放,小球从B点飞出后恰好从C点无碰撞地进入斜面,重力加速度大小为g,求:
(1)小球从B点运动到C点所用时间;
(2)小球运动到圆弧轨道的B点时,对轨道的压力大小;
(3)要使小球落在斜面上,则释放点离A点高度应满足什么条件
解析:(1)设小球从B点运动到C点所用时间为t,由R=g,解得t1=。
(2)设小球到B点的速度大小为v0,小球运动到C点时,竖直方向的分速度v1=gt1=,
由速度分解可知tan 60°=,解得v0=。
小球在B点时,根据牛顿第二定律F-mg=m,
解得F=7mg。
根据牛顿第三定律,可知小球在B点时对轨道的压力大小F′=F=7mg。
(3)设(2)问中小球刚开始释放的位置离A点的高度为h1,根据机械能守恒有mg(h1+R)=m,解得h1=2R。
由(1)、(2)问可知,B、C间的水平距离xBC=v0t1=2R,
设在A点上方P点由静止释放,小球恰好能落到E点,小球在B点的速度为vB,
则有3R=g,2R+xBC=vBt2,
设P点离A点高度为h2,根据机械能守恒定律有
mg(h2+R)=m,解得h2=3R。
因此要使小球落在斜面上,则释放点离A点高度h应满足2R≤h≤3R。
答案:(1)　(2)7mg　(3)2R≤h≤3R
命题视角3　多个物体的机械能守恒,辨析复杂系统中内力做功是否满足守恒条件
5.如图所示,一轻质弹簧,下端与固定光滑斜面的底端相连,上端与斜面上的物体A相连,A处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过光滑轻质定滑轮,一端连接物体A,另一端连一轻钩。开始时各段绳子都处于伸直状态,A上方的一段绳子与斜面平行。现在挂钩上挂一物体B并从静止状态释放,则在物体B向下运动的过程中(物体A不会和滑轮相碰,物体B不会和地面相碰),下列说法正确的是(　　)
A.物体B机械能守恒
B.物体A和B组成的系统机械能守恒
C.物体A和轻弹簧组成的系统机械能守恒
D.物体A、物体B和轻弹簧三者组成的系统机械能守恒
解析:D　物体B在下落的过程中,绳子的拉力对其做负功,机械能不守恒,A错误;物体A和B组成的系统在运动过程中,弹簧弹力对系统做功,该系统机械能不守恒,B错误;物体A和轻弹簧组成的系统在运动过程中,绳子拉力对系统做正功,该系统机械能不守恒,C错误;物体A、物体B和轻弹簧三者组成的系统,在运动过程中,系统内只发生势能与动能之间的相互转化,该系统机械能守恒,D正确。
6.(多选)如图所示,质量均为m的A、B两球(均可视为质点)固定在轻质直杆上,杆可绕固定转动轴O在竖直平面内无摩擦转动,已知A、B两球到O点的距离满足OB=3OA=3L,重力加速度为g。将杆拉到水平位置由静止释放,下列说法正确的是(　　)
A.杆向下摆动到竖直位置的过程中,杆对B球做负功
B.杆向下摆动到竖直位置的过程中,杆对A球做的功为-mgL
C.杆向下摆动到竖直位置时,转动轴O对杆的作用力大小为mg
D.杆向下摆动到竖直位置时,杆对B球的作用力大小为3mg
解析:BC　球A、B和杆组成的系统机械能守恒,可得mgL+mg·3L=m+m,由v=ωr知vB=3vA,联立解得vA=2,vB=6。对A球根据动能定理可得mgL+WA=m-0,对B球根据动能定理可得3mgL+WB=m-0,解得WA=-mgL,WB=mgL,A错误,B正确;杆向下摆动到竖直位置时,对B球可得FB-mg=m,解得FB=mg。对A球可得F0-mg-FB=m,解得F0=mg,C正确,D错误。
B级·高考过关练
7.(多选)如图甲所示,可视为质点的a、b两球通过轻绳连接跨过光滑轻质定滑轮,b球在外力作用下静止悬空。以地面为重力势能的零势能面,从静止释放b球,在b球落地前的过程中,a、b两球的重力势能随时间t的变化关系如图乙所示,图中两图像交点对应时刻t=0.3 s,a球始终没有与定滑轮相碰,a、b始终在竖直方向上运动,忽略空气阻力,重力加速度g取10 m/s2。则(　　)
A.a球质量为2 kg
B.b球落地时的动能为9 J
C.a球上升最高点距地面的高度为0.45 m
D.t=0.3 s时b球离地面的高度为0.225 m
解析:ABC　从开始释放b球到b球落地的过程中,两球组成的系统机械能守恒,根据图像可知,整个过程中b球的下落高度和a球的上升高度相等,而b球总共减小了18 J的重力势能,a球增加了6 J的重力势能,则有mbgh=3magh,由此可知a、b两球质量之比为ma∶mb=1∶3,根据牛顿第二定律可得mbg-mag=(ma+mb)a,解得加速度大小为a=5 m/s2,t=0.3 s,a球运动的距离为h1=at2=0.225 m,设初始时刻,b球离地的高度为h,t=0.3 s两球重力势能相等,则magh1=mbg(h-h1),解得h=0.3 m。由题图乙知t=0时b球的重力势能为mbgh=18 J,联立解得mb=
6 kg,ma=2 kg,由系统机械能守恒得(mb-ma)gh=(ma+mb)v2,又有(mb-ma)gh=18 J-6 J=12 J,ma∶mb=1∶3,=,解得Eka=mav2=3 J,Ekb=3Eka=9 J,A、B正确;b着地时速度va=vb== m/s,此时a继续向上做竖直上抛运动,设继续上升最大高度为h′== m=0.15 m,则a距地面最大高度H=0.3 m+0.15 m=0.45 m,C正确;t=0.3 s时b球离地面的高度为hb=h-at2=
0.3 m-×5×0.09 m=0.075 m,D错误。
8.如图所示,左侧为一个半径为R的半球形碗固定在水平桌面上,碗口水平,O点为球心,碗的内表面及碗口光滑。右侧是一个固定的光滑斜面,斜面足够长,倾角θ=30°。一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑的定滑轮上,绳的两端分别系有可视为质点的小球m1和m2,且m1>m2。开始时m1恰在碗口水平直径右端的A处,m2在斜面上且距离斜面顶端足够远,此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直。g取10 m/s2,当m1由静止释放运动到O的正下方B点时细绳突然断开,不计细绳断开瞬间的能量损失。
(1)求小球m2沿斜面上升的最大距离s;
(2)若已知细绳断开后小球m1沿碗的内侧上升的最大高度为,求。(结果保留两位有效数字)
解析:(1)小球m1到达最低点B时,m1、m2速度大小分别为v1、v2,m2上升的高度为h,如图所示。
由运动的合成与分解得v1=v2,
对m1、m2组成的系统,由机械能守恒定律得
m1gR-m2gh=m1+m2,
又h=Rsin 30°,
联立以上三式解得v1=,
v2=。
设细绳断开后m2沿斜面上升的距离为s′,对m2由机械能守恒定律得m2gs′sin 30°=m2,
小球m2沿斜面上升的最大距离s=R+s′,
联立并代入v2,解得s=(+)R=R。
(2)对m1,由机械能守恒定律得
m1=m1g·,
代入v1解得==1.9。
答案:(1)R　(2)1.9课时3　机械能守恒定律及应用
考点一　机械能守恒的判断
命题视角　对机械能守恒的理解与判断,守恒条件与系统化判断能力的综合考查
对机械能守恒条件的理解
(1)只有重力做功,只发生动能和重力势能的相互转化。
(2)只有系统内弹力做功,只发生动能和弹性势能的相互转化。
(3)只有重力和系统内弹力做功,只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化。
(4)除受重力和弹力外,其他力也做功,但其他力做功的代数和始终为零。
【典例1】 (容易)(多选)在如图所示的物理过程示意图中,图甲中一端固定有小球的轻杆从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动;图乙中轻绳一端连着一小球,从右偏上30°角处自由释放;图丙中物体A正在压缩弹簧;图丁中不计任何阻力和定滑轮质量,A加速下落,B加速上升。关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计),下列判断正确的是(　　)
A.图甲中小球机械能守恒
B.图乙中小球机械能守恒
C.图丙中物体A的机械能守恒
D.图丁中A、B组成的系统机械能守恒
解析:AD　题图甲过程中轻杆对小球不做功,只有重力做功,小球的机械能守恒,A正确;题图乙过程中小球在绳子绷紧的瞬间有动能损失,机械能不守恒,B错误;题图丙中重力和系统内弹力做功,物体A和弹簧组成的系统机械能守恒,但物体A的机械能不守恒,C错误;题图丁中绳子拉力对A做负功,对B做正功,代数和为零,A、B组成的系统机械能守恒,D正确。
考点二　单个物体的机械能守恒
机械能守恒定律表达式
命题视角　单个物体的机械能守恒,守恒条件判断依据、功能转化计算
【典例2】 (中等)如图所示,竖直平面内的四分之三圆弧形光滑管道半径略大于小球半径,管道中心到圆心距离为R,A端与圆心O等高,AD为水平面,B端在O的正下方,小球自A点正上方由静止释放,自由下落至A点时进入管道。
(1)如果管道与小球接触的内侧壁(图中较小的四分之三圆周)始终对小球没有弹力,小球释放点距离A点的最小高度为多大
(2)如果小球到达B点时,管壁对小球的弹力大小为小球重力大小的9倍。求:
①小球运动到管道最高点E时对管道的弹力;
②落点C与A的水平距离。
解析:(1)如果管道与小球接触的内侧壁始终对小球没有弹力,则小球到达最高点时的最小速度满足
mg=m,
以水平面AD为参考平面,从开始下落到达到管道的最高点,由机械能守恒定律有
mghA=mgR+mv2,
解得hA=1.5R,
则小球释放点距离A点的最小高度为1.5R。
(2)①在B点,管壁对小球的弹力F=9mg,
小球做圆周运动,由牛顿第二定律得F-mg=m,
小球从B点到达到管道最高点E的过程中,以B所在水平面为参考平面,由机械能守恒定律得
m=mg×2R+m,
在E点由牛顿第二定律得F′+mg=m,
联立解得F′=3mg,
根据牛顿第三定律可知小球运动到管道最高点E时对管道的弹力为3mg,方向竖直向上。
②小球离开管道后做平抛运动,
在竖直方向上有R=gt2,
在水平方向上有x=vEt,解得x=2R,
则落点C与A的水平距离为(2-1)R。
答案:(1)1.5R
(2)①3mg,方向竖直向上　②(2-1)R
考点三　多个物体的机械能守恒
几种实际情境的分析
多物体 系统 类型 常见情境 模型特点
轻绳连 接的 系统 (1)两物体沿绳方向的分速度大小相等。 (2)对于单个物体,一般绳上的力会做功,机械能不守恒,但对于绳连接的系统,机械能则可能守恒。
续　表
多物体 系统 类型 常见情境 模型特点
轻杆 连接 的系 统 (1)平动时两物体的线速度相等,转动时两物体的角速度相等。 (2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒。 (3)对于杆和物体组成的系统,若忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功,则系统的机械能守恒。
轻弹簧 连接的 系统 (1)含弹簧的系统内只有弹簧弹力和重力做功时,物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相互转化,物体和弹簧组成的系统机械能守恒,而单个物体或弹簧机械能都不守恒。 (2)由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统,当弹簧形变量最大时,弹簧两端连接的物体速度相等;弹簧处于自然长度时,弹簧弹性势能最小(为零)。
命题视角　多个物体的机械能守恒,辨析复杂系统中内力做功是否满足守恒条件
【典例3】 (轻杆连接的系统·中等)一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B。支架的两直角边长度分别为2l和l,支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动,如图所示。开始时OA边处于水平位置,由静止释放,重力加速度为g,则(　　)
A.A球的最大速度为2
B.A球的速度最大时,两小球的总重力势能最小
C.OA杆第一次转动到与竖直方向的夹角为45°时,A球的速度大小为
D.A、B两球的最大速度之比vA∶vB=3∶1
解析:B　根据题意知无论何时两球的角速度均相同,线速度大小之比均为vA∶vB=(ω·2l)∶(ω·l)=2∶1,D错误;对于A、B两球组成的系统,由机械能守恒定律可知,A球的速度最大时,二者的动能最大,此时两球总重力势能最小,B正确;当OA与竖直方向的夹角为θ时,由机械能守恒定律得mg·2l cos θ-2mg·l(1-sin θ)=m+×2m,解得=gl(sin θ+cos θ)-gl,由数学知识知,当θ=45°时,sin θ+cos θ有最大值,最大值为vA=,A、C错误。
【典例4】 (轻绳、轻弹簧连接的系统·困难)(多选)如图所示,倾角为30°的斜面和半径为R的半圆弧连接,圆心O在斜面的延长线上,连接点M处有一轻质定滑轮,N为圆弧最低点且∠MON=60°,斜面的底端固定一挡板P。物块B、C间由一轻质弹簧拴接置于斜面上(弹簧平行于斜面),其中C紧靠在挡板P处,B用跨过滑轮的不可伸长的轻绳与小球A相连,开始时将小球A锁定在M处,此时轻绳与斜面平行,且恰好伸直但无拉力,B、C处于静止状态。某时刻解锁小球A,当小球A沿圆弧运动到最低点N时(物块B未到达M点),物块C对挡板的作用力恰好为0。已知小球A的质量为5m,物块B、C的质量均为2m,重力加速度为g,小球与物块均可视为质点,不计一切摩擦,弹簧始终处于弹性限度内,则(　　)
A.小球A从M点运动到N点的过程中,物块B的机械能守恒
B.弹簧的劲度系数k=
C.小球A到达N点时,小球A的速度大小v1=
D.小球A到达N点时,物块B的速度大小v2=
解析:BC　小球A从M点运动到N点的过程中,物块B除重力以外还有弹簧弹力、绳子拉力做功,所以物块B的机械能不守恒,A错误;未解锁小球A之前,弹簧处于压缩状态,对物块B受力分析有2mgsin 30°=kx1,小球A到达N点时,物块C对挡板的作用力恰好为0,此时弹簧处于伸长状态,对物块C进行分析有2mgsin 30°=kx2,根据几何关系有x1+x2=R,联立解得k=,B正确;小球A到达N点过程,小球A、物块B、弹簧组成的系统机械能守恒,又x1=x2,可知弹簧弹性势能始末相等,则由机械能守恒定律可得5mgR(1-cos 60°)=2mgRsin 30°+×5m+×
2m,根据关联速度分解可得v2=v1sin 60°,联立解得v1=,v2=,C正确,D错误。
课时作业
A级·基础巩固练
命题视角1　对机械能守恒的理解与判断,守恒条件与系统化判断能力的综合考查
1.忽略空气阻力,下列物体运动过程中满足机械能守恒的是(　　)
A.竖直面内匀速转动的摩天轮中的物体
B.物体由光滑斜面顶端滑到斜面底端
C.物体沿着斜面匀速下滑
D.拉着物体沿光滑斜面匀速上升
解析:B　摩天轮匀速转动,物体动能不变,势能变化,机械能不守恒,A错误;物体在光滑斜面上,受重力和支持力的作用,但是支持力的方向和物体位移的方向垂直,支持力不做功,只有重力做功,机械能守恒,B正确;物体沿着斜面匀速下滑,物体处于受力平衡状态,摩擦力和重力都要做功,机械能不守恒,C错误;拉着物体沿光滑斜面匀速上升,物体处于受力平衡状态,拉力和重力都要做功,机械能不守恒,D错误。
2.如图所示,某同学将一根橡皮筋两端固定在支架上,把一模型飞机放在橡皮筋中间,向后拉模型飞机使橡皮筋伸长,松手后橡皮筋将模型飞机斜向上弹出,忽略空气阻力,在模型飞机弹出过程中,则(　　)
A.模型飞机的动能保持不变
B.模型飞机的机械能保持不变
C.橡皮筋在恢复原长过程中,对模型飞机做负功
D.模型飞机在橡皮筋恢复原长时机械能最大
解析:D　在模型飞机弹出的过程中,模型飞机的速度增大,因此动能增大,A错误;整个过程橡皮筋对模型飞机做正功,模型飞机的机械能增加,橡皮筋的弹性势能减少,在橡皮筋恢复原长时,橡皮筋的弹性势能为0,模型飞机的机械能最大,B、C错误,D正确。
命题视角2　单个物体的机械能守恒,守恒条件判断依据、功能转化计算
3.某运动员将铅球斜向上推出后,球的运动过程如图所示,不计空气阻力。下列关于铅球在空中运动过程中的加速度大小a、速度大小v、重力的瞬时功率P和机械能E随运动时间t的变化关系,正确的是(　　)
A B
C D
解析:C　不计空气阻力,球在空中只受重力,所以加速度始终为g,机械能守恒,所以at和Et图像都是与横轴平行的直线,A、D错误;球的速度大小为v=,可知vt图像不是直线,B错误;重力的瞬时功率大小为P=|mg(v0y-gt)|,可知Pt图像先直线减小,后直线增加,C正确。
4.如图,倾角为30°的光滑斜面体CDE,半径为R的四分之一光滑圆弧轨道AB固定在水平地面上,圆弧轨道的最低点B切线水平,B点离地面高为3R,斜面体的顶端C离地面的高度为2R,将小球在圆弧轨道最高点A的上方某处由静止释放,小球从B点飞出后恰好从C点无碰撞地进入斜面,重力加速度大小为g,求:
(1)小球从B点运动到C点所用时间;
(2)小球运动到圆弧轨道的B点时,对轨道的压力大小;
(3)要使小球落在斜面上,则释放点离A点高度应满足什么条件
解析:(1)设小球从B点运动到C点所用时间为t,由R=g,解得t1=。
(2)设小球到B点的速度大小为v0,小球运动到C点时,竖直方向的分速度v1=gt1=,
由速度分解可知tan 60°=,解得v0=。
小球在B点时,根据牛顿第二定律F-mg=m,
解得F=7mg。
根据牛顿第三定律,可知小球在B点时对轨道的压力大小F′=F=7mg。
(3)设(2)问中小球刚开始释放的位置离A点的高度为h1,根据机械能守恒有mg(h1+R)=m,解得h1=2R。
由(1)、(2)问可知,B、C间的水平距离xBC=v0t1=2R,
设在A点上方P点由静止释放,小球恰好能落到E点,小球在B点的速度为vB,
则有3R=g,2R+xBC=vBt2,
设P点离A点高度为h2,根据机械能守恒定律有
mg(h2+R)=m,解得h2=3R。
因此要使小球落在斜面上,则释放点离A点高度h应满足2R≤h≤3R。
答案:(1)　(2)7mg　(3)2R≤h≤3R
命题视角3　多个物体的机械能守恒,辨析复杂系统中内力做功是否满足守恒条件
5.如图所示,一轻质弹簧,下端与固定光滑斜面的底端相连,上端与斜面上的物体A相连,A处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过光滑轻质定滑轮,一端连接物体A,另一端连一轻钩。开始时各段绳子都处于伸直状态,A上方的一段绳子与斜面平行。现在挂钩上挂一物体B并从静止状态释放,则在物体B向下运动的过程中(物体A不会和滑轮相碰,物体B不会和地面相碰),下列说法正确的是(　　)
A.物体B机械能守恒
B.物体A和B组成的系统机械能守恒
C.物体A和轻弹簧组成的系统机械能守恒
D.物体A、物体B和轻弹簧三者组成的系统机械能守恒
解析:D　物体B在下落的过程中,绳子的拉力对其做负功,机械能不守恒,A错误;物体A和B组成的系统在运动过程中,弹簧弹力对系统做功,该系统机械能不守恒,B错误;物体A和轻弹簧组成的系统在运动过程中,绳子拉力对系统做正功,该系统机械能不守恒,C错误;物体A、物体B和轻弹簧三者组成的系统,在运动过程中,系统内只发生势能与动能之间的相互转化,该系统机械能守恒,D正确。
6.(多选)如图所示,质量均为m的A、B两球(均可视为质点)固定在轻质直杆上,杆可绕固定转动轴O在竖直平面内无摩擦转动,已知A、B两球到O点的距离满足OB=3OA=3L,重力加速度为g。将杆拉到水平位置由静止释放,下列说法正确的是(　　)
A.杆向下摆动到竖直位置的过程中,杆对B球做负功
B.杆向下摆动到竖直位置的过程中,杆对A球做的功为-mgL
C.杆向下摆动到竖直位置时,转动轴O对杆的作用力大小为mg
D.杆向下摆动到竖直位置时,杆对B球的作用力大小为3mg
解析:BC　球A、B和杆组成的系统机械能守恒,可得mgL+mg·3L=m+m,由v=ωr知vB=3vA,联立解得vA=2,vB=6。对A球根据动能定理可得mgL+WA=m-0,对B球根据动能定理可得3mgL+WB=m-0,解得WA=-mgL,WB=mgL,A错误,B正确;杆向下摆动到竖直位置时,对B球可得FB-mg=m,解得FB=mg。对A球可得F0-mg-FB=m,解得F0=mg,C正确,D错误。
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7.(多选)如图甲所示,可视为质点的a、b两球通过轻绳连接跨过光滑轻质定滑轮,b球在外力作用下静止悬空。以地面为重力势能的零势能面,从静止释放b球,在b球落地前的过程中,a、b两球的重力势能随时间t的变化关系如图乙所示,图中两图像交点对应时刻t=0.3 s,a球始终没有与定滑轮相碰,a、b始终在竖直方向上运动,忽略空气阻力,重力加速度g取10 m/s2。则(　　)
A.a球质量为2 kg
B.b球落地时的动能为9 J
C.a球上升最高点距地面的高度为0.45 m
D.t=0.3 s时b球离地面的高度为0.225 m
解析:ABC　从开始释放b球到b球落地的过程中,两球组成的系统机械能守恒,根据图像可知,整个过程中b球的下落高度和a球的上升高度相等,而b球总共减小了18 J的重力势能,a球增加了6 J的重力势能,则有mbgh=3magh,由此可知a、b两球质量之比为ma∶mb=1∶3,根据牛顿第二定律可得mbg-mag=(ma+mb)a,解得加速度大小为a=5 m/s2,t=0.3 s,a球运动的距离为h1=at2=0.225 m,设初始时刻,b球离地的高度为h,t=0.3 s两球重力势能相等,则magh1=mbg(h-h1),解得h=0.3 m。由题图乙知t=0时b球的重力势能为mbgh=18 J,联立解得mb=
6 kg,ma=2 kg,由系统机械能守恒得(mb-ma)gh=(ma+mb)v2,又有(mb-ma)gh=18 J-6 J=12 J,ma∶mb=1∶3,=,解得Eka=mav2=3 J,Ekb=3Eka=9 J,A、B正确;b着地时速度va=vb== m/s,此时a继续向上做竖直上抛运动,设继续上升最大高度为h′== m=0.15 m,则a距地面最大高度H=0.3 m+0.15 m=0.45 m,C正确;t=0.3 s时b球离地面的高度为hb=h-at2=
0.3 m-×5×0.09 m=0.075 m,D错误。
8.如图所示,左侧为一个半径为R的半球形碗固定在水平桌面上,碗口水平,O点为球心,碗的内表面及碗口光滑。右侧是一个固定的光滑斜面,斜面足够长,倾角θ=30°。一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑的定滑轮上,绳的两端分别系有可视为质点的小球m1和m2,且m1>m2。开始时m1恰在碗口水平直径右端的A处,m2在斜面上且距离斜面顶端足够远,此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直。g取10 m/s2,当m1由静止释放运动到O的正下方B点时细绳突然断开,不计细绳断开瞬间的能量损失。
(1)求小球m2沿斜面上升的最大距离s;
(2)若已知细绳断开后小球m1沿碗的内侧上升的最大高度为,求。(结果保留两位有效数字)
解析:(1)小球m1到达最低点B时,m1、m2速度大小分别为v1、v2,m2上升的高度为h,如图所示。
由运动的合成与分解得v1=v2,
对m1、m2组成的系统,由机械能守恒定律得
m1gR-m2gh=m1+m2,
又h=Rsin 30°,
联立以上三式解得v1=,
v2=。
设细绳断开后m2沿斜面上升的距离为s′,对m2由机械能守恒定律得m2gs′sin 30°=m2,
小球m2沿斜面上升的最大距离s=R+s′,
联立并代入v2,解得s=(+)R=R。
(2)对m1,由机械能守恒定律得
m1=m1g·,
代入v1解得==1.9。
答案:(1)R　(2)1.9

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