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(共22张PPT)
课时4
功能关系　能量守恒定律
考点一
对功能关系的理解与应用
基础梳理
1.功能关系
(1)功是能量转化的量度,即做了多少功就有多少能量发生了转化。
(2)做功的过程一定伴随着能量的转化,而且能量的转化必须通过做功来
实现。
2.几种常见的功能关系及其表达式
力做功 能的变化 定量关系
合力做功 动能变化 W=Ek2-Ek1=ΔEk
重力做功 重力势能 变化 (1)重力做正功,重力势能
(2)重力做负功,重力势能
(3)WG=-ΔEp=
弹簧弹 力做功 弹性势能 变化 (1)弹力做正功,弹性势能
(2)弹力做负功,弹性势能
(3)W弹=-ΔEp=Ep1-Ep2
减少
增加
Ep1-Ep2
减少
增加
只有重力、 弹簧弹力 做功 机械能 机械能守恒,ΔE=
除重力和弹簧弹力之外的其他力做功 机械能 (1)其他力做多少正功,物体的机械能就 多少
(2)其他力做多少负功,物体的机械能就 多少
(3)W其他=
不变化
0
变化
增加
减少
ΔE
一对相互作用的滑动摩擦力做功 机械能 , 内能 (1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功,系统内能
(2)摩擦生热Q=
安培力做功 电能变化 (1)克服安培力做的功等于电能增加量
(2)W克安=E电
电场力做功 电势能变化 (1)电场力做正功,电势能减小
(2)电场力做负功,电势能增加
(3)W电=-ΔEp
减少
增加
增加
Ffx相对
典例精析
命题视角1　对功能关系的理解,能量转化规律与力学模型分析的综合应用
【典例1】 (容易)(2023·浙江1月选考)一位游客正在体验蹦极,绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下。游客从跳台下落直到最低点过程中(　　)
A.弹性势能减小
B.重力势能减小
C.机械能保持不变
D.绳一绷紧动能就开始减小
B
解析:B　假设不考虑空气阻力,橡皮绳绷紧后继续下降,故橡皮绳的弹性势能不断增加,人的机械能不断减少,选项A、C错误;游客从跳台下落直到最低点过程,高度一直下降,重力势能不断减小,选项B正确;当弹力与重力相等时,游客速度最大,因此游客动能先增大后减小,选项D错误。
命题视角2　功能关系与图像的结合,结合图像分析功能关系,考查对知识理解与应用能力
【典例2】 (中等)在大力士比赛中,选手竖直向上抛出一重物。取抛出点为重力势能零点,上升阶段重物的机械能E总和重力势能Ep随它离开抛出点的高度h的变化如图所示。重力加速度g取10 m/s2,由图中数据可得(　　)
A.重物的质量为2.5 kg
B.h=8 m时,重物的动能为200 J
C.重物上升过程中,阻力大小恒为100 N
D.重物上升过程中,合力做功为-1 000 J
D
解析:D　由题图可知,h=8 m时E总=Ep=mgh=800 J,则此时的动能为零,解得重物的质量为m=10 kg,A、B错误;根据功能关系,ΔE总=-F阻h=800 J-1 000 J,解得重物上升过程中,阻力大小F阻=25 N,C错误;根据题意可知,重物从抛出到最高点,重力做功-800 J,阻力做功-200 J,可知合力做功为-1 000 J,D正确。
命题视角3　摩擦力做功与能量转化,综合考查摩擦力做功特性、能量转化形式计算及多过程模型分析问题能力
1.两种摩擦力的做功情况比较
项目 静摩擦力 滑动摩擦力
不 同 点 能量的 转化方面 不会引起系统机械能的变化。只使系统中物体间机械能发生转移 引起系统机械能的变化。一方面使系统中物体间机械能转移,另一方面使系统总机械能减少,减少的机械能转化为内能
一对摩 擦力的 总功方面 一对静摩擦力所做功的代数和等于零 一对滑动摩擦力所做功的代数和不为零,总功 W=-Ffx相对,即相对滑动时产生的热量
相同点 做功的 性质方面 两种摩擦力对物体可以做正功、负功,还可以不做功
2.求解相对滑动物体的能量问题的解题思维链
【典例3】 (中等)(多选)一长木板静止于光滑水平面上,一小物块(可视为质点)从左侧以某一速度滑上木板,最终和木板相对静止一起向右做匀速直线运动。在物块从滑上木板到和木板相对静止的过程中,物块的位移是木板位移的4倍,设板块间滑动摩擦力大小不变,则(　 　)
A.物块动能的减少量等于木板动能的增加量
B.摩擦力对木板做的功等于木板动能的增加量
C.因摩擦而产生的内能等于物块克服摩擦力所做的功
D.因摩擦而产生的内能是木板动能增加量的3倍
BD
解析:BD　根据能量守恒定律可知,物块动能减少量等于木板动能增加量与因摩擦产生的内能之和,A错误;根据动能定理可知,摩擦力对木板做的功等于木板动能的增加量,B正确;设物块与木板之间的摩擦力为Ff,木板的位移为x,则物块的位移为4x,物块克服摩擦力所做的功为Wf=Ff·4x,对木板根据动能定理可得木板动能的增加量为ΔEk=Ffx,因摩擦产生的内能为Q=Ffs相=Ff·3x,可知因摩擦而产生的内能小于物块克服摩擦力所做的功,因摩擦而产生的内能是木板动能增加量的3倍,C错误,D正确。
考点二
对能量守恒定律的理解与应用
基础梳理
对能量守恒定律的两点理解
(1)某种形式的能量减少,一定存在其他形式的能量增加,且减少量和增加量一定相等。
(2)某个物体的能量减少,一定存在其他物体的能量增加,且减少量和增加量一定相等。
典例精析
命题视角　对能量守恒定律的理解与应用,考查模型构建、数学运算及能量转化逻辑推理能力
【典例4】 (中等)(人教版必修第二册P100复习与提高B组T3变式)(多选)如图为位于新疆哈密的熔盐塔式光热发电站,电站中有约14 000块五边形定日镜随太阳转动,每块约
50平方米,定日镜将吸收的阳光反射到中心位置的吸热塔上。太阳落山后,熔盐继续放热保证24小时不间断发电。已知地球的半径R=6 400 km,地球到太阳的距离r=1.5×
1011 m,太阳能照射到地球上时,有约30%在穿过大气层的过程中被云层或较大的粒子等反射,有约20%被大气层吸收,现测得在地球表面垂直于太阳光方向每平方米面积上,接收到太阳能的平均功率为P=6.8×102 W。
哈密全年日照时数约3 400小时,该电站已实现年供电2.0×108 kW·h,可供
24万人一整年的生活用电。已知我国燃煤电厂平均每发一度电,消耗的煤炭约为300克。则(　 　)
A.该电站每年可节约煤炭约6 000万吨
B.该电站光能转化为电能的效率约为12%
C.太阳辐射能量的总功率约为7.0×1017W
D.太阳辐射能量中只有二十二亿分之一到达地球大气层上表面
BD
感谢观看课时4　功能关系　能量守恒定律
考点一　对功能关系的理解与应用
1.功能关系
(1)功是能量转化的量度,即做了多少功就有多少能量发生了转化。
(2)做功的过程一定伴随着能量的转化,而且能量的转化必须通过做功来实现。
2.几种常见的功能关系及其表达式
力做功 能的变化 定量关系
合力做功 动能变化 W=Ek2-Ek1=ΔEk
重力做功 重力势能 变化 (1)重力做正功,重力势能减少 (2)重力做负功,重力势能增加 (3)WG=-ΔEp=Ep1-Ep2
弹簧弹 力做功 弹性势能 变化 (1)弹力做正功,弹性势能减少 (2)弹力做负功,弹性势能增加 (3)W弹=-ΔEp=Ep1-Ep2
只有重力、 弹簧弹力 做功 机械能 不变化 机械能守恒,ΔE=0
除重力和弹簧弹力之外的其他力做功 机械能 变化 (1)其他力做多少正功,物体的机械能就增加多少 (2)其他力做多少负功,物体的机械能就减少多少 (3)W其他=ΔE
续　表
一对相互作用的滑动摩擦力做功 机械能减少, 内能增加 (1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功,系统内能增加 (2)摩擦生热Q=Ffx相对
安培力 做功 电能变化 (1)克服安培力做的功等于电能增加量 (2)W克安=E电
电场力 做功 电势能变化 (1)电场力做正功,电势能减小 (2)电场力做负功,电势能增加 (3)W电=-ΔEp
命题视角1　对功能关系的理解,能量转化规律与力学模型分析的综合应用
【典例1】 (容易)(2023·浙江1月选考)一位游客正在体验蹦极,绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下。游客从跳台下落直到最低点过程中(　　)
A.弹性势能减小
B.重力势能减小
C.机械能保持不变
D.绳一绷紧动能就开始减小
解析:B　假设不考虑空气阻力,橡皮绳绷紧后继续下降,故橡皮绳的弹性势能不断增加,人的机械能不断减少,选项A、C错误;游客从跳台下落直到最低点过程,高度一直下降,重力势能不断减小,选项B正确;当弹力与重力相等时,游客速度最大,因此游客动能先增大后减小,选项D错误。
命题视角2　功能关系与图像的结合,结合图像分析功能关系,考查对知识理解与应用能力
【典例2】 (中等)在大力士比赛中,选手竖直向上抛出一重物。取抛出点为重力势能零点,上升阶段重物的机械能E总和重力势能Ep随它离开抛出点的高度h的变化如图所示。重力加速度g取10 m/s2,由图中数据可得(　　)
A.重物的质量为2.5 kg
B.h=8 m时,重物的动能为200 J
C.重物上升过程中,阻力大小恒为100 N
D.重物上升过程中,合力做功为-1 000 J
解析:D　由题图可知,h=8 m时E总=Ep=mgh=800 J,则此时的动能为零,解得重物的质量为m=10 kg,A、B错误;根据功能关系,ΔE总=-F阻h=800 J-1 000 J,解得重物上升过程中,阻力大小F阻=25 N,C错误;根据题意可知,重物从抛出到最高点,重力做功-800 J,阻力做功-200 J,可知合力做功为-1 000 J,D正确。
命题视角3　摩擦力做功与能量转化,综合考查摩擦力做功特性、能量转化形式计算及多过程模型分析问题能力
1.两种摩擦力的做功情况比较
项目 静摩擦力 滑动摩擦力
不 同 点 能量的 转化方面 不会引起系统机械能的变化。只使系统中物体间机械能发生转移 引起系统机械能的变化。一方面使系统中物体间机械能转移,另一方面使系统总机械能减少,减少的机械能转化为内能
一对摩 擦力的 总功方面 一对静摩擦力所做功的代数和等于零 一对滑动摩擦力所做功的代数和不为零,总功 W=-Ffx相对,即相对滑动时产生的热量
续　表
项目 静摩擦力 滑动摩擦力
相同点 做功的 性质方面 两种摩擦力对物体可以做正功、负功,还可以不做功
2.求解相对滑动物体的能量问题的解题思维链
【典例3】 (中等)(多选)一长木板静止于光滑水平面上,一小物块(可视为质点)从左侧以某一速度滑上木板,最终和木板相对静止一起向右做匀速直线运动。在物块从滑上木板到和木板相对静止的过程中,物块的位移是木板位移的4倍,设板块间滑动摩擦力大小不变,则(　　)
A.物块动能的减少量等于木板动能的增加量
B.摩擦力对木板做的功等于木板动能的增加量
C.因摩擦而产生的内能等于物块克服摩擦力所做的功
D.因摩擦而产生的内能是木板动能增加量的3倍
解析:BD　根据能量守恒定律可知,物块动能减少量等于木板动能增加量与因摩擦产生的内能之和,A错误;根据动能定理可知,摩擦力对木板做的功等于木板动能的增加量,B正确;设物块与木板之间的摩擦力为Ff,木板的位移为x,则物块的位移为4x,物块克服摩擦力所做的功为Wf=Ff·4x,对木板根据动能定理可得木板动能的增加量为ΔEk=Ffx,因摩擦产生的内能为Q=
Ffs相=Ff·3x,可知因摩擦而产生的内能小于物块克服摩擦力所做的功,因摩擦而产生的内能是木板动能增加量的3倍,C错误,D正确。
考点二　对能量守恒定律的理解与应用
对能量守恒定律的两点理解
(1)某种形式的能量减少,一定存在其他形式的能量增加,且减少量和增加量一定相等。
(2)某个物体的能量减少,一定存在其他物体的能量增加,且减少量和增加量一定相等。
命题视角　对能量守恒定律的理解与应用,考查模型构建、数学运算及能量转化逻辑推理能力
【典例4】 (中等)(人教版必修第二册P100复习与提高B组T3变式)(多选)如图为位于新疆哈密的熔盐塔式光热发电站,电站中有约14 000块五边形定日镜随太阳转动,每块约50平方米,定日镜将吸收的阳光反射到中心位置的吸热塔上。太阳落山后,熔盐继续放热保证24小时不间断发电。已知地球的半径R=6 400 km,地球到太阳的距离r =1.5×1011 m,太阳能照射到地球上时,有约30%在穿过大气层的过程中被云层或较大的粒子等反射,有约20%被大气层吸收,现测得在地球表面垂直于太阳光方向每平方米面积上,接收到太阳能的平均功率为P=6.8×102 W。哈密全年日照时数约3 400小时,该电站已实现年供电2.0×108 kW·h,可供
24万人一整年的生活用电。已知我国燃煤电厂平均每发一度电,消耗的煤炭约为300克。则(　　)
A.该电站每年可节约煤炭约6 000万吨
B.该电站光能转化为电能的效率约为12%
C.太阳辐射能量的总功率约为7.0×1017W
D.太阳辐射能量中只有二十二亿分之一到达地球大气层上表面
解析:BD　年供电2.0×108 kW·h,每度电耗煤300克,节约煤炭的质量为m=2.0×108×0.3 kg= 6×107 kg,可节约煤炭约6万吨,A错误;定日镜总面积14 000×50 m2=7×105 m2,地球表面单位面积接收到太阳能的平均功率为P=6.8×102W,定日镜接收的光能为E光=7×105×6.8×102×3 400× 3 600 J,提供的电能为E电=2×108×103×3 600 J,光能转化为电能的效率约为η=×100%=12%,B正确;地球大气层上表面每平方米接收功率为P太=W=1.36×103W,太阳辐射的总功率为P总=P太×4πr2=3.8×1026 W,C错误;地球大气层上表面接收到的功率P接=1.36×103×πR2,所以到达大气层的能量占总的太阳能的比例为=,即二十二亿分之一,D正确。
课时作业
A级·基础巩固练
命题视角1　理解功能关系转化规律,学会用能量分析法解决能量转化问题
1.(2025·嘉兴一模)如图所示,某款自动雨伞的伞骨上端套有一轻质弹簧。收伞的时候弹簧被压缩,开伞时外力作用使雨伞张开。已知雨伞张开时弹簧的长度为12 cm,伞收起时弹簧的长度为8 cm,弹簧的原长为15 cm,劲度系数k=10 N/cm,则(　　)
A.雨伞张开时弹簧的弹力为120 N
B.雨伞收起后弹簧的弹力为40 N
C.收伞过程中弹簧弹性势能的变化量为80 J
D.收伞过程中外力对弹簧做的功至少为2 J
解析:D　雨伞张开时弹簧的弹力为F1=kΔx1=1 000×(0.15-0.12)N=30 N,A错误;雨伞收起后弹簧的弹力为F2=kΔx2=1 000×(0.15-0.08)N=70 N,B错误;收伞前后弹簧的弹性势能分别为Ep1=kΔ=0.45 J,Ep2=kΔ=2.45 J,收伞过程中弹簧弹性势能的变化量为ΔEp=Ep2-Ep1=
2 J,C错误;收伞过程中外力对弹簧做的功至少为2 J,D正确。
2.轻质弹簧的劲度系数k=30 N/m,右端固定在墙上,左端与一质量m=0.5 kg的物块相连,如图甲所示,弹簧处于原长状态,物块静止且与水平面间的动摩擦因数μ=0.2,弹簧的弹性势能与形变量的关系为Ep=kx2。以物块所在处为原点,水平向右为正方向建立x轴,现对物块施加水平向右的外力F,F随x轴坐标变化的情况如图乙所示,g取10 m/s2,则物块向右运动至x=0.4 m处的动能为(　　)
A.0.7 J B.1.1 J
C.3.1 J D.3.5 J
解析:A　全过程根据能量守恒定律有WF=μmg·x+Ep+Ek,其中根据图像可得外力F做的功为图线与横轴围成的面积,所以有WF=(5+10)×0.2× J+10×0.2 J=3.5 J,弹性势能Ep=kx2=2.4 J,代入数据联立解得Ek=0.7 J,故A正确。
命题视角2　对能量守恒定律的理解与应用,考查模型构建、数学运算及能量转化逻辑推理能力
3.某品牌电动汽车电动机最大输出功率为120 kW,最高车速可达180 km/h,车载电池最大输出电能为75 kW·h。已知该车以90 km/h速度在平直公路上匀速行驶时,电能转化为机械能的总转化率为90%。若汽车行驶过程中受到阻力F阻与车速v的关系符合F阻=kv2,其中k为未知常数,则该电动汽车以90 km/h行驶的最大路程约为(　　)
A.350 km B.405 km
C.450 km D.500 km
解析:B　根据题意可知vm=180 km/h=50 m/s,v1=90 km/h=25 m/s,车速最大时,牵引力为F==2 400 N,则有F=F阻m=k,解得k=0.96 kg/m,当车速为90 km/h时,则有F1=F阻1= k=600 N,由能量守恒定律有ηWm=F1s,解得s=405 km,故选B。
4.如图所示,将原长为L的轻质弹簧放置在倾角为37°的轨道AB上,弹簧的一端固定在A点,另一端与质量为m的滑块接触但不连接(滑块可视为质点)。AB长为2L,B端与半径为L的光滑圆轨道BCD相切,D点在圆心O的正上方,C点与O点等高。滑块与AB间的动摩擦因数μ=0.5。用外力推动滑块至P点,使得AP=,然后放开,滑块由静止开始沿轨道AB运动,之后刚好能到达圆轨道的最高点D。已知重力加速度大小为g,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。
(1)求滑块初始位于P点时,弹簧的弹性势能Ep;
(2)若更换另一个质量为m1的滑块,仍将滑块从P点由静止释放,滑块能滑上圆轨道且能沿着圆轨道滑下,求m1的可能取值范围。
解析:(1)在D点对滑块分析,由牛顿第二定律得mg=,
对滑块从P点到D点,由能量守恒定律得
Ep=μmgcos 37°×+mgsin 37°+mgL(1+cos 37°)+mv2,
解得v=,Ep=3.8mgL。
(2)若滑块质量较大,恰好运动到B点,由能量守恒得
Ep=μm2gcos 37°×+m2gsin 37°,
若滑块质量较小,恰好运动到C点,由能量守恒得
Ep=μm3gcos 37°×+m3gsin 37°+m3gLcos 37°,
解得m2=m,m3=m,
所以m1的可能取值范围为m≤m1答案:(1)3.8mgL　(2)m≤m1B级·高考过关练
5.(2025·浙江6月选考)如图所示,风光互补环保路灯的主要构件有风力发电机、单晶硅太阳能板、额定电压48 V容量200 A·h的储能电池和功率60 W的LED灯。已知该路灯平均每天照明10 h;1 kg标准煤完全燃烧可发电2.8度,排放二氧化碳2.6 kg。则(　　)
A.风力发电机的输出功率与风速的平方成正比
B.太阳能板上接收到的辐射能全部转换成电能
C.该路灯正常运行6年,可减少二氧化碳排放量约1.2×106 kg
D.储能电池充满电后,即使连续一周无风且阴雨,路灯也能正常工作
解析:D　设风力发电机的扇叶半径为r,假设时间Δt内风的动能全部变成发电机输出的电能,输出功率为P出===ρπr2v3,即风力发电机的输出功率与风速的三次方成正比,A错误;太阳能板上接收到的辐射能不能全部转换成电能,存在能量损耗,B错误;已知路灯的功率为P=60 W=0.06 kW,每天照明t=10 h,一年按365天计算,6年的总时间t总=6×365×
10 h=21 900 h,可得总耗电量为W=Pt总=1 314 kW·h=1 314度,因1 kg标准煤完全燃烧可发电2.8度,排放二氧化碳2.6 kg,则6年减少的二氧化碳排放量为M=×2.6 kg=1 220 kg,C错误;已知储能电池的额定电压U=48 V,容量Q=200 A·h,则电池的电能为E=UQ=9 600 W·h=
9.6 kW·h,而路灯连续一周的耗电量为W=Pt=0.06 kW×7×10 h=4.2 kW·h,因9.6 kW·h>
4.2 kW·h,所以储能电池充满电后,即使连续一周无风且阴雨,路灯也能正常工作,D正确。
6.如图是玩具小车的轨道结构示意图。AB、BD为水平直轨道,B点为竖直圆轨道的最低点,C点为竖直圆轨道的最高点,DE为倾角θ=37°的倾斜直轨道,轨道各部分平滑连接。已知竖直圆轨道半径R=0.1 m,D、E之间的距离L=0.75 m,小车与倾斜轨道DE的动摩擦因数μ=,其余均光滑,小车质量m=0.1 kg,g取10 m/s2,已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。小车(可视为质点)从A点被弹射装置水平弹射出。
(1)若小车恰好能通过圆轨道最高点C,求小车经弹射后具有的初动能;
(2)若小车经弹射后具有的初动能为1.775 J,则小车将沿轨道运动从E点飞出,求小车从E点飞出后经过多长时间到达空中的最高点;
(3)小车弹射过程中,弹射装置所释放的弹性势能应满足什么条件,小车能第二次通过竖直圆轨道最高点C
解析:(1)小车恰好能通过圆轨道最高点C,在C点由重力提供向心力,则mg=m,解得vC=1 m/s;
小车经弹射后到C的过程,由动能定理得
-mg·2R=m-Ek0,解得Ek0=0.25 J。
(2)小车经弹射后到达E处过程,由动能定理得
-mgLsin θ-μmgLcos θ=m-Ek0′,
解得vE=5 m/s;
离开E点小车做斜上抛运动,将运动分解为水平(设为x轴方向)的匀速直线运动和竖直(设为y轴方向)的匀减速直线运动,
斜抛的水平初速度vx=vEcos θ=4 m/s,
竖直初速度vy=vEsin θ=3 m/s,
故到达最高点的时间为ty=0.3 s。
(3)小车能第二次通过竖直圆轨道最高点C,需要满足:
①第一次通过C后不能从E点飞出,临界到达E点速度为零;
②第二次到达C点速度不能小于vC=1 m/s[参见(1)问的解析]。
设小车在斜面下滑到最高点C所需的最小下滑距离为L1,由动能定理得
mg(L1sin θ-2R)-μmgL1cos θ=m-0,
解得L1=0.5 m;
弹性势能最小时,对应小车在斜面上滑距离L1,根据功能关系与能量守恒定律可得
Epmin=mgL1sin θ+μmgL1cos θ,
解得Epmin=0.35 J;
弹性势能最大时,对应小车恰好上滑到E点,根据功能关系与能量守恒定律可得
Epmax=mgLsin θ+μmgLcos θ,
解得Epmax=0.525 J;
故弹性势能范围为0.35 J ≤Ep≤0.525 J。
答案:(1)0.25 J　(2)0.3 s
(3)0.35 J≤Ep≤0.525 J课时4　功能关系　能量守恒定律
课时作业
A级·基础巩固练
命题视角1　理解功能关系转化规律,学会用能量分析法解决能量转化问题
1.(2025·嘉兴一模)如图所示,某款自动雨伞的伞骨上端套有一轻质弹簧。收伞的时候弹簧被压缩,开伞时外力作用使雨伞张开。已知雨伞张开时弹簧的长度为12 cm,伞收起时弹簧的长度为8 cm,弹簧的原长为15 cm,劲度系数k=10 N/cm,则(　　)
A.雨伞张开时弹簧的弹力为120 N
B.雨伞收起后弹簧的弹力为40 N
C.收伞过程中弹簧弹性势能的变化量为80 J
D.收伞过程中外力对弹簧做的功至少为2 J
解析:D　雨伞张开时弹簧的弹力为F1=kΔx1=1 000×(0.15-0.12)N=30 N,A错误;雨伞收起后弹簧的弹力为F2=kΔx2=1 000×(0.15-0.08)N=70 N,B错误;收伞前后弹簧的弹性势能分别为Ep1=kΔ=0.45 J,Ep2=kΔ=2.45 J,收伞过程中弹簧弹性势能的变化量为ΔEp=Ep2-Ep1=
2 J,C错误;收伞过程中外力对弹簧做的功至少为2 J,D正确。
2.轻质弹簧的劲度系数k=30 N/m,右端固定在墙上,左端与一质量m=0.5 kg的物块相连,如图甲所示,弹簧处于原长状态,物块静止且与水平面间的动摩擦因数μ=0.2,弹簧的弹性势能与形变量的关系为Ep=kx2。以物块所在处为原点,水平向右为正方向建立x轴,现对物块施加水平向右的外力F,F随x轴坐标变化的情况如图乙所示,g取10 m/s2,则物块向右运动至x=0.4 m处的动能为(　　)
A.0.7 J B.1.1 J
C.3.1 J D.3.5 J
解析:A　全过程根据能量守恒定律有WF=μmg·x+Ep+Ek,其中根据图像可得外力F做的功为图线与横轴围成的面积,所以有WF=(5+10)×0.2× J+10×0.2 J=3.5 J,弹性势能Ep=kx2=2.4 J,代入数据联立解得Ek=0.7 J,故A正确。
命题视角2　对能量守恒定律的理解与应用,考查模型构建、数学运算及能量转化逻辑推理能力
3.某品牌电动汽车电动机最大输出功率为120 kW,最高车速可达180 km/h,车载电池最大输出电能为75 kW·h。已知该车以90 km/h速度在平直公路上匀速行驶时,电能转化为机械能的总转化率为90%。若汽车行驶过程中受到阻力F阻与车速v的关系符合F阻=kv2,其中k为未知常数,则该电动汽车以90 km/h行驶的最大路程约为(　　)
A.350 km B.405 km
C.450 km D.500 km
解析:B　根据题意可知vm=180 km/h=50 m/s,v1=90 km/h=25 m/s,车速最大时,牵引力为F==2 400 N,则有F=F阻m=k,解得k=0.96 kg/m,当车速为90 km/h时,则有F1=F阻1= k=600 N,由能量守恒定律有ηWm=F1s,解得s=405 km,故选B。
4.如图所示,将原长为L的轻质弹簧放置在倾角为37°的轨道AB上,弹簧的一端固定在A点,另一端与质量为m的滑块接触但不连接(滑块可视为质点)。AB长为2L,B端与半径为L的光滑圆轨道BCD相切,D点在圆心O的正上方,C点与O点等高。滑块与AB间的动摩擦因数μ=0.5。用外力推动滑块至P点,使得AP=,然后放开,滑块由静止开始沿轨道AB运动,之后刚好能到达圆轨道的最高点D。已知重力加速度大小为g,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。
(1)求滑块初始位于P点时,弹簧的弹性势能Ep;
(2)若更换另一个质量为m1的滑块,仍将滑块从P点由静止释放,滑块能滑上圆轨道且能沿着圆轨道滑下,求m1的可能取值范围。
解析:(1)在D点对滑块分析,由牛顿第二定律得mg=,
对滑块从P点到D点,由能量守恒定律得
Ep=μmgcos 37°×+mgsin 37°+mgL(1+cos 37°)+mv2,
解得v=,Ep=3.8mgL。
(2)若滑块质量较大,恰好运动到B点,由能量守恒得
Ep=μm2gcos 37°×+m2gsin 37°,
若滑块质量较小,恰好运动到C点,由能量守恒得
Ep=μm3gcos 37°×+m3gsin 37°+m3gLcos 37°,
解得m2=m,m3=m,
所以m1的可能取值范围为m≤m1答案:(1)3.8mgL　(2)m≤m1B级·高考过关练
5.(2025·浙江6月选考)如图所示,风光互补环保路灯的主要构件有风力发电机、单晶硅太阳能板、额定电压48 V容量200 A·h的储能电池和功率60 W的LED灯。已知该路灯平均每天照明10 h;1 kg标准煤完全燃烧可发电2.8度,排放二氧化碳2.6 kg。则(　　)
A.风力发电机的输出功率与风速的平方成正比
B.太阳能板上接收到的辐射能全部转换成电能
C.该路灯正常运行6年,可减少二氧化碳排放量约1.2×106 kg
D.储能电池充满电后,即使连续一周无风且阴雨,路灯也能正常工作
解析:D　设风力发电机的扇叶半径为r,假设时间Δt内风的动能全部变成发电机输出的电能,输出功率为P出===ρπr2v3,即风力发电机的输出功率与风速的三次方成正比,A错误;太阳能板上接收到的辐射能不能全部转换成电能,存在能量损耗,B错误;已知路灯的功率为P=60 W=0.06 kW,每天照明t=10 h,一年按365天计算,6年的总时间t总=6×365×
10 h=21 900 h,可得总耗电量为W=Pt总=1 314 kW·h=1 314度,因1 kg标准煤完全燃烧可发电2.8度,排放二氧化碳2.6 kg,则6年减少的二氧化碳排放量为M=×2.6 kg=1 220 kg,C错误;已知储能电池的额定电压U=48 V,容量Q=200 A·h,则电池的电能为E=UQ=9 600 W·h=
9.6 kW·h,而路灯连续一周的耗电量为W=Pt=0.06 kW×7×10 h=4.2 kW·h,因9.6 kW·h>
4.2 kW·h,所以储能电池充满电后,即使连续一周无风且阴雨,路灯也能正常工作,D正确。
6.如图是玩具小车的轨道结构示意图。AB、BD为水平直轨道,B点为竖直圆轨道的最低点,C点为竖直圆轨道的最高点,DE为倾角θ=37°的倾斜直轨道,轨道各部分平滑连接。已知竖直圆轨道半径R=0.1 m,D、E之间的距离L=0.75 m,小车与倾斜轨道DE的动摩擦因数μ=,其余均光滑,小车质量m=0.1 kg,g取10 m/s2,已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。小车(可视为质点)从A点被弹射装置水平弹射出。
(1)若小车恰好能通过圆轨道最高点C,求小车经弹射后具有的初动能;
(2)若小车经弹射后具有的初动能为1.775 J,则小车将沿轨道运动从E点飞出,求小车从E点飞出后经过多长时间到达空中的最高点;
(3)小车弹射过程中,弹射装置所释放的弹性势能应满足什么条件,小车能第二次通过竖直圆轨道最高点C
解析:(1)小车恰好能通过圆轨道最高点C,在C点由重力提供向心力,则mg=m,解得vC=1 m/s;
小车经弹射后到C的过程,由动能定理得
-mg·2R=m-Ek0,解得Ek0=0.25 J。
(2)小车经弹射后到达E处过程,由动能定理得
-mgLsin θ-μmgLcos θ=m-Ek0′,
解得vE=5 m/s;
离开E点小车做斜上抛运动,将运动分解为水平(设为x轴方向)的匀速直线运动和竖直(设为y轴方向)的匀减速直线运动,
斜抛的水平初速度vx=vEcos θ=4 m/s,
竖直初速度vy=vEsin θ=3 m/s,
故到达最高点的时间为ty=0.3 s。
(3)小车能第二次通过竖直圆轨道最高点C,需要满足:
①第一次通过C后不能从E点飞出,临界到达E点速度为零;
②第二次到达C点速度不能小于vC=1 m/s[参见(1)问的解析]。
设小车在斜面下滑到最高点C所需的最小下滑距离为L1,由动能定理得
mg(L1sin θ-2R)-μmgL1cos θ=m-0,
解得L1=0.5 m;
弹性势能最小时,对应小车在斜面上滑距离L1,根据功能关系与能量守恒定律可得
Epmin=mgL1sin θ+μmgL1cos θ,
解得Epmin=0.35 J;
弹性势能最大时,对应小车恰好上滑到E点,根据功能关系与能量守恒定律可得
Epmax=mgLsin θ+μmgLcos θ,
解得Epmax=0.525 J;
故弹性势能范围为0.35 J ≤Ep≤0.525 J。
答案:(1)0.25 J　(2)0.3 s
(3)0.35 J≤Ep≤0.525 J

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