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华东师大版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.3.6.3余角和补角第三章图形的初步认识班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟一、选择题（每题3分，共15分）1.下列说法中，正确的是（）A.若两个角的和是90°，则这两个角互为余角B.若两个角的和是180°，则这两个角是邻补角C.一个角的余角一定比这个角小D.一个角的补角一定比这个角大2.已知∠α = 35°，则∠α的余角的度数是（）A. 35°B. 55°C. 145°D. 155°3.若∠β = 105°，则∠β的补角的度数是（）A. 75°B. 85°C. 105°D. 115°4.下列关于余角和补角的性质，说法正确的是（）A.若两个角互为余角，则这两个角一定相等B.若两个角互为补角，则这两个角一定一个是锐角，一个是钝角C.同角的余角相等D.同角的补角互补5.已知∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，且∠2 = 30°，则∠3的度数是（）A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°二、填空题（每题3分，共15分）1.若两个角的和是________，则这两个角互为余角；若两个角的和是________，则这两个角互为补角。2.一个角的余角与它本身的和是________°；一个角的补角与它本身的和是________°。3.已知∠α = 60°，则∠α的余角是________°，补角是________°。4.若∠1与∠2互为余角，∠2与∠3互为余角，则∠1________∠3（填“>”“<”或“=”），理由是________。5.若一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角的度数是________°。三、解答题（共70分）1.（10分）计算下列各角的余角和补角（若不存在，说明理由）：（1）∠A = 28°，求∠A的余角和补角；（2）∠B = 90°，求∠B的余角和补角；（3）∠C = 105°，求∠C的余角和补角；（4）∠D = 65°30′，求∠D的余角和补角；（5）∠E = 180°，求∠E的余角和补角。2.（15分）判断下列说法是否正确，若不正确，请改正并说明理由：（1）互为余角的两个角一定都是锐角；（2）互为补角的两个角一定一个是锐角，一个是钝角；（3）若∠1 + ∠2 + ∠3 = 90°，则∠1、∠2、∠3互为余角；（4）若∠α与∠β互为补角，则∠α = 180°- ∠β；（5）一个角的补角一定比它的余角大90°。3.（15分）回答下列关于余角和补角的问题：（1）简述余角和补角的定义，并说明两者的区别；（2）简述余角和补角的性质，并分别用符号形式表示；（3）已知∠α的余角比∠α小20°，求∠α的度数；（4）已知∠β的补角比∠β大60°，求∠β的度数；（5）若∠1与∠2互为余角，∠3与∠4互为补角，且∠1 = ∠3，说明∠2与∠4的关系。4.（15分）结合所学知识，完成下列与余角、补角相关的运算：（1）已知∠A = 35°40′，求∠A的余角与补角的度数差；（2）已知∠1 = 25°，∠2与∠1互为余角，∠3与∠2互为补角，求∠3的度数；（3）计算：一个角的余角的补角，与这个角的补角的余角，它们的差是多少度？（4）已知∠α与∠β互为补角，且∠α = 2∠β，求∠α和∠β的度数；（5）观察生活中的角，列举1个互为余角和1个互为补角的实例。5.（15分）根据余角和补角的特征，解决下列问题：（1）已知∠AOB = 70°，∠BOC与∠AOB互为余角，求∠BOC的度数，并说明∠AOC的可能度数；（2）已知∠1与∠2互为余角，∠2与∠3互为补角，∠3 = 120°，求∠1的度数；（3）判断：若两个角互为补角，则它们的余角也互为补角吗？为什么？（4）已知一个角的补角是它的余角的3倍，求这个角的度数；（5）用文字描述一个场景，包含互为余角或互为补角的两个角，说明它们的关系，并计算其中一个角的度数。参考答案：一、1.A 2.B 3.A 4.C 5.C二、1. 90°；180°2. 90；180 3. 30；120 4. =；同角的余角相等5. 60三、1.（1）余角：90°- 28°= 62°；补角：180°- 28°= 152°；（2）余角：90°- 90°= 0°（不存在余角，严格来说余角是两个锐角的和为90°）；补角：180°- 90°= 90°；（3）余角：不存在（因为105°> 90°，无法找到一个角与它的和为90°）；补角：180°- 105°= 75°；（4）余角：90°- 65°30′ = 24°30′；补角：180°- 65°30′ = 114°30′；（5）余角：不存在（180°> 90°）；补角：不存在（180°+ 0°= 180°，但0°不是有效角，严格来说补角是两个角的和为180°，且两角均为0°~180°）。2.（1）正确；理由：互为余角的两个角和为90°，每个角都必须小于90°，因此都是锐角；（2）不正确；改正：互为补角的两个角可能一个是锐角、一个是钝角，也可能两个都是直角；理由：90°+ 90°= 180°，两个直角也互为补角；（3）不正确；改正：若两个角的和是90°，则这两个角互为余角，三个角的和为90°，不能说它们互为余角；理由：余角的定义是两个角的和为90°，与三个角无关；（4）正确；理由：互为补角的两个角和为180°，因此一个角等于180°减去另一个角；（5）正确；理由：设这个角为x°，它的补角为（180 - x）°，余角为（90 - x）°，补角-余角=（180 - x）-（90 - x）= 90°，因此补角一定比余角大90°。3.（1）余角定义：若两个角的和是90°，则这两个角互为余角；补角定义：若两个角的和是180°，则这两个角互为补角；区别：两角和的度数不同（90°vs 180°），余角仅存在于两个锐角之间，补角可存在于锐角与钝角、两个直角之间；（2）余角性质：同角（或等角）的余角相等；符号形式：∵ ∠1 + ∠2 = 90°，∠1 + ∠3 = 90°，∴ ∠2 = ∠3；补角性质：同角（或等角）的补角相等；符号形式：∵ ∠1 + ∠2 = 180°，∠1 + ∠3 = 180°，∴ ∠2 = ∠3；（3）设∠α为x°，则它的余角为（90 - x）°；由题意得：x -（90 - x）= 20，解得x = 55；答：∠α的度数为55°；（4）设∠β为x°，则它的补角为（180 - x）°；由题意得：（180 - x）- x = 60，解得x = 60；答：∠β的度数为60°；（5）∠4 - ∠2 = 90°；理由：∵ ∠1 + ∠2 = 90°，∴ ∠2 = 90°- ∠1；∵ ∠3 + ∠4 = 180°，且∠1 = ∠3，∴ ∠4 = 180°- ∠1；∴ ∠4 - ∠2 =（180°- ∠1）-（90°- ∠1）= 90°。4.（1）∠A的余角：90°- 35°40′ = 54°20′；补角：180°- 35°40′ = 144°20′；度数差：144°20′ - 54°20′ = 90°；答：度数差为90°；（2）∵ ∠2与∠1互为余角，∴ ∠2 = 90°- 25°= 65°；∵ ∠3与∠2互为补角，∴ ∠3 = 180°- 65°= 115°；答：∠3的度数为115°；设这个角为x°，它的余角为（90 - x）°，余角的补角为180°-（90 - x）°= 90°+ x°；它的补角为（180 - x）°，补角的余角为90°-（180 - x）°= x°- 90°；差值：（90 + x）-（x - 90）= 180°；答：它们的差是180°；（4）∵ ∠α与∠β互为补角，∴ ∠α + ∠β = 180°；又∵ ∠α = 2∠β，∴ 2∠β + ∠β = 180°，解得∠β = 60°，∠α = 120°；答：∠α = 120°，∠β = 60°；（5）示例：互为余角：三角尺中30°的角和60°的角，和为90°；互为补角：平角中60°的角和120°的角，和为180°（答案不唯一，合理即可）。5.（1）∵ ∠BOC与∠AOB互为余角，∴ ∠BOC = 90°- 70°= 20°；分两种情况：①OC在∠AOB内部，∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 50°；②OC在∠AOB外部，∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 90°；答：∠BOC = 20°，∠AOC可能是50°或90°；（2）∵ ∠2与∠3互为补角，∠3 = 120°，∴ ∠2 = 180°- 120°= 60°；∵ ∠1与∠2互为余角，∴ ∠1 = 90°- 60°= 30°；答：∠1的度数为30°；（3）不一定；理由：设两个互为补角的角为x°和（180 - x）°，它们的余角分别为（90 - x）°和（x - 90）°；当x = 60°时，余角为30°和-30°（无效）；当x = 45°时，余角为45°和45°，和为90°，互为余角；因此不一定互为补角；（4）设这个角为x°，则补角为（180 - x）°，余角为（90 - x）°；由题意得：180 - x = 3（90 - x），解得x = 45；答：这个角的度数为45°；示例：场景：一个平角被分成两个角，∠1和∠2，它们互为补角，其中∠1 = 70°，求∠2的度数；关系：∠1 + ∠2 = 180°，互为补角；计算：∠2 = 180°- 70°= 110°；结果：∠2 = 110°（答案不唯一，描述准确即可）。知道两角互余、两角互补的意义，能熟练地求出一个角的余角或补角.
通过探究，知道“同角(或等角)的余角相等”，“同角(或等角)的补角相等”，并会应用.
余角、补角的概念及性质.
情境导入
45°
45°
30°
60°
90°
90°
和都是90°
探索新知
1
2
α
β
用量角器量一量两组图中各角的大小，看看你发现了什么？
20°
70°
40°
50°
∠1＋∠2＝90°
∠α＋∠β＝90°
1
2
α
β
两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角.
简称互余.
1
2
α
β
如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角.
两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角.
1
2
反过来，如果两个角互余，
1
那么把这两个角像这样拼一起，就构成一个直角.
α
β
3
4
同样，如果两个角的和等于180°（平角），
就说这两个角互为补角，简称互补.
∠3＋∠4＝180°，所以∠3、∠4的互为补角.
1
2
3
4
想想看，如果∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，∠2 =∠4，那么∠1和∠3有什么关系？相等角的补角又有什么关系？
∠1＝∠3
归纳总结
同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等.
典例精析
例1 已知∠α = 50°17'，求∠α 的余角和补角.
解：∠α 的余角 = 90° - 50°17' = 39°43'；
∠α 的补角 = 180° - 50°17' = 129°43'.
∠α 5° 62°23′ x° (0余角 60°
补角 110°
1. ∠α 是锐角，则它的余角可以表示为 ，
补角可以表示为 .
90° -∠α
180° -∠α
85°
175°
27°37′
117°37′
(90 - x)°
(180 - x)°
(70 + x)°
(110 + x)°
30°
150°
70°
20°
练一练
例2 如图，点 A，O，B 在同一条直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？
解：因为点 A，O，B 在同一条直线上，
所以∠AOC 和∠BOC 互为补角．
A
O
B
C
D
E
补角的定义
典例精析
A
O
B
C
D
E
又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，
所以∠COD +∠COE = ∠AOC + ∠BOC
= (∠AOC +∠BOC )
= 90°
所以∠COD 和∠COE 互为余角，
同理，∠AOD 和∠BOE，∠AOD 和∠COE，∠COD 和∠BOE 互为余角．
等式的性质
余角的定义
练一练
2. 已知∠1 与∠2 互余，∠2 与∠3 互补，∠1 = 65°，则∠3 = .
3. 一个角是它的余角的1.5倍，则这个角的补角是 .
155°
分析：1. ∠2 = 90° - ∠1
2. 设这个角的余角为 α，则这个角为 1.5α.
126°
= 90° - 65° = 25°
∠3 = 180° - ∠2
= 180° - 25° = 155°
α + 1.5α = 90°
解得 α = 36°，1.5α = 54°.
方程思想
1．填空:
（1）77°42′＋34°45′＝__________；
（2）108°18′－56°23′＝___________；
（3）180°－（34°54′＋21°33′）＝__________；
112°27′
51°55′
123°33′
【选自教材P163 习题3.6 第1题】
A 组
2．时钟的分针1小时转了_______度的角，1分钟转了________度的角.
360
6
【选自教材P163 习题3.6 第2题】
3．如图，如果∠1 = 65°15′，∠2 = 78°30′，那么∠3是多少度？
解：∠3 ＝ 180°－∠1－∠2
＝180°－65°15′－78°30′
＝36°15′
【选自教材P163 习题3.6 第3题】
4．任意画一个∠AOB，在∠AOB的内部引射线OC、OD，这时图中共有几个角？分别把它们表示出来.
解：6个；分别是∠AOB、∠AOC、∠COD、∠DOB、∠AOD、∠COB.
A
O
B
C
D
【选自教材P163 习题3.6 第4题】
5．两个相等的钝角有同一个顶点和一条公共边，并且两个角的另两条边所成的角为90°，画出图形，并求出这两个钝角的大小.
α
β
解：如图所示，∠α与∠β是两个相等的钝角，则∠α＝∠β＝
【选自教材P163 习题3.6 第5题】
6. 如图，OA是表示什么方向的一条射线？仿照这条射线画出表示下列方向的射线：
（1）南偏东60°；
（2）北偏西70°；
（3）西南方向（即南偏西45°）.
OA表示北偏东40°方向的的一条射线.
【选自教材P163 习题3.6 第6题】
60°
B
45°
D
70°
C
7. 72°20 ′的角的余角等于__________；25°31'的角的补角等于__________.
17°40′
154°29′
【选自教材P163 习题3.6 第7题】
8. 如图，EF、EG分别是∠AEB和∠BEC的平分线，求∠FEG的度数，并写出∠FEB的余角.
【选自教材P163 习题3.6 第8题】
解：因为∠BEF＝∠AEF，∠BEG＝∠GEC，
所以 2(∠BEF＋∠BEG)＝180°
所以 ∠BEF＋∠BEG＝90°
∠FEB的余角为∠BEG和∠CEG
所以 ∠FEG＝90°
B 组
9.如图，已知∠A和∠ B，利用尺规作图作∠ C，
使∠ C= ∠ A+ ∠ B.
A
B
C
【选自教材P163 习题3.6 第9题】
知识点1　余角和补角的定义
1. [新趋势·跨学科 2024 扬州期末]冬至是地球赤道以北地区
白昼最短、黑夜最长的一天，在民间有“冬至大如年”的
说法.某地冬至日正午太阳高度角是32°24'，则32°24'的
余角为 .
57°36'　
1
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11
2. 如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的
度数是(　C　)
A. 50° B. 70°
C. 130° D. 160°
【点拨】
设这个角的度数是 x °.
根据题意，得 x ＝2(180－ x )＋30，
解得 x ＝130，即这个角的度数是130°.
C
1
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3. [2024·广州越秀区月考]将一副三角尺按下列位置摆放，使
∠α和∠β互余的摆放方式是(　A　)
1
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对于A. ∠α＋∠β＝180°－90°＝90°，∠α与∠β互
余；对于B. 同角的余角相等，则∠α＝∠β，但∠α与∠β
不一定互余；对于C. ∠α＝∠β＝180°－45°＝135°，
∠α与∠β不互余；对于D. ∠α＋∠β＝180°，∠α与∠β
不互余，故选A.
【点拨】
【答案】A
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知识点2　余角和补角的性质
4. 如图，直线 AB ， CD 交于点 O ，因为∠1＋∠3＝180°，
∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2.此判断的依据是
(　C　)
A. 同角的余角相等 B. 等角的余角相等
C. 同角的补角相等 D. 等角的补角相等
(第4题)
C
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互余 互补
两角间的数量关系
对应图形
性质
4
3
1
2
∠1 +∠2 = 90°
或∠1 = 90° -∠2
∠1 +∠2 = 180°
或∠1 = 180° -∠2
同角或等角的
补角相等
同角或等角的
余角相等

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