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华东师大版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.4.1.1对顶角第四章相交线和平行线班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟一、选择题（每题3分，共15分）1.下列关于对顶角的说法正确的是（）A.有公共顶点的两个角是对顶角B.相等的两个角是对顶角C.两条直线相交，有公共顶点且两边互为反向延长线的角是对顶角D.对顶角不一定相等2.两条直线相交形成的四个角中，对顶角共有（）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对3.若∠α与∠β是对顶角，∠α = 38°，则∠β的度数为（）A. 38°B. 52°C. 142°D. 152°4.下列语句错误的是（）A.对顶角相等B.对顶角一定有公共顶点C.不相等的角一定不是对顶角D.有公共边且相等的角是对顶角5.已知两条直线相交，其中一个角为70°，则它的对顶角的邻补角为（）A. 70°B. 110°C. 140°D. 180°二、填空题（每题3分，共15分）1.两条直线相交，所得的对顶角________，这是对顶角的重要性质。2.对顶角的判定条件：①有公共________；②两边互为________延长线。3.若两个角是对顶角，则这两个角的大小________；反之，相等的两个角________（填“一定”或“不一定”）是对顶角。4.两条直线相交，若其中一个角是90°，则它的对顶角是________°。5.已知∠1与∠2是对顶角，∠2与∠3互补，∠1 = 55°，则∠3 = ________°。三、解答题（共70分）1.（10分）判断下列各组角是否为对顶角，说明理由：（1）两个角有公共顶点，大小相等；（2）两条直线相交形成的、无公共边的两个角；（3）有公共顶点，一边重合，另一边互为反向延长线的两个角；（4）没有公共顶点，但度数相等的两个角；（5）两条直线相交，相对的两个角。2.（15分）判断下列说法是否正确，错误的请改正并说明理由：（1）有公共顶点且相等的两个角是对顶角；（2）对顶角一定相等，相等的角一定是对顶角；（3）两条直线相交，只能产生两对对顶角；（4）对顶角有公共边；（5）若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等。3.（15分）基础计算题：（1）两条直线AB、CD相交于点O，∠AOC = 42°，求∠BOD、∠AOD的度数；（2）已知∠1与∠2是对顶角，∠1 = 2x°，∠2 = (x + 30)°，求x的值及∠1的度数；（3）两条直线相交，一个角比它的对顶角的邻补角小60°，求这四个角的度数；（4）若对顶角中的一个角为50°，求它的邻补角度数；（5）两条直线相交，其中一对对顶角的和为120°，求四个角的度数。4.（15分）中档综合计算题：（1）直线AB、CD相交于点O，OE为射线，∠AOE = 90°，∠COE = 35°，求∠BOD的度数；（2）直线a、b相交，∠1与∠2为邻补角，∠1∶∠2 = 2∶3，求对顶角的度数；（3）已知两条直线相交，其中一个角的余角为40°，求它的对顶角的度数；（4）∠AOC与∠BOD是对顶角，∠AOC + ∠BOD = 80°，求∠AOC的邻补角度数；（5）直线AB、CD交于O，∠BOC = 110°，求∠AOD和∠AOC的度数。5.（15分）拓展说理与应用题：（1）说理题：为什么对顶角一定相等？请结合邻补角性质简单证明；（2）两条直线相交，若其中一个角是直角，求其余三个角的度数，并说明图形特征；（3）若三个角两两互为对顶角，这句话是否正确？为什么？（4）已知直线AB、CD相交于O，∠AOC = x°，用含x的式子表示所有对顶角、邻补角度数；（5）举例生活中含有对顶角的图形实例，并简单说明。参考答案：一、1.C 2.B 3.A 4.D 5.B二、1.相等2.顶点；反向3.相等；不一定4. 90 5. 125三、1.（1）不是对顶角；缺少“两边互为反向延长线”条件；（2）是对顶角；两条直线相交，无公共边、相对的角满足对顶角定义；（3）不是对顶角；有一边重合，不满足两边互为反向延长线；（4）不是对顶角；无公共顶点，不满足对顶角基本条件；（5）是对顶角；符合对顶角定义。2.（1）错误；改正：有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角是对顶角；仅有公共顶点、相等不一定是对顶角；（2）错误；改正：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角；（3）正确；两条直线相交只有两对对顶角；（4）错误；改正：对顶角没有公共边，邻补角才有公共边；（5）错误；改正：不是对顶角的角也可以相等，如两直角相等但不一定是对顶角。3.（1）∵ ∠BOD与∠AOC是对顶角，∴ ∠BOD = 42°；∠AOD = 180°- 42°= 138°；（2）∵对顶角相等，∴ 2x = x + 30，解得x = 30，∠1 = 60°；（3）设该角为x°，则邻补角为(180 - x)°，由题意：(180 - x) - x = 60，解得x = 60；四个角：60°、120°、60°、120°；（4）邻补角= 180°- 50°= 130°；（5）一对对顶角和为120°，则每对对顶角为60°，其余两角为120°；四个角：60°、120°、60°、120°。4.（1）∠AOC = 90°- 35°= 55°，∠BOD = ∠AOC = 55°；（2）设∠1=2x，∠2=3x，2x+3x=180，x=36；两角为72°、108°，对顶角分别为72°、108°；（3）该角= 90°- 40°= 50°，对顶角= 50°；（4）∠AOC=∠BOD=40°，邻补角=180°-40°=140°；（5）∠AOD与∠BOC是对顶角=110°，∠AOC=180°-110°=70°。5.（1）证明：两条直线相交，∠1与∠2互补，∠1与∠3互补，根据“同角的补角相等”，得∠2=∠3，即对顶角相等；（2）其余三个角均为90°，此时两条直线互相垂直；（3）不正确；对顶角是成对出现的，只能是两对，不存在三个角两两互为对顶角；（4）对顶角：∠AOC=∠BOD=x°；邻补角：∠AOD=∠BOC=(180-x)°；（5）实例：剪刀张开形成的两个对角、十字路口交叉形成的对角，均为对顶角（合理即可）。知道对顶角的概念，会判断两个角是对顶角.
会通过简单说理得到对顶角的性质.
会利用对顶角的性质解题
观察下图剪刀剪开纸片过程中有关角的变化. 你能说出其中的原理么
此时如果把剪刀抽象成一个几何图形，会是什么样的图形？
试一试在笔记本中画出来
新课导入
相交线：如图，两条直线AB、CD都经过同一个点O，我们就说这两条直线相交于点O，点O是他们的交点。
角 ∠1与∠2 ∠1与∠3
位置关系
数量关系
相邻
互补
相邻
互补
B
1
2
3
A
C
D
O
4
新知探究
思考：大家仔细观察所画的图形，两条直线相交时形成四个角，这几个角都有什么样的位置关系呢？
想一想：
图中∠1的邻补角为_______
图中∠4的邻补角为________
如果两个角既相邻又互补，那么这两个角互为邻补角.如∠1和∠2
C
1
2
3
A
B
D
O
4
∠2，∠3
∠2，∠3
邻补角的概念
从位置关系和数量关系上看，图中还有哪些角之间存在着某种关系呢？
1
2
3
A
B
C
D
O
4
∠1和∠4
∠2和∠3
问：图中∠1的对顶角是______. 图中∠2的对顶角是______.
如果两个角有一个公共顶点，并且其中一个角的两边是另一个角的两边的 ，那么这两个角互为对顶角.
1
2
3
A
B
C
D
O
4
反向延长线
∠4
∠3
对顶角的概念
下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
1
2
C
1
2
D
D
1
2
A
1
2
B
方法总结：
对顶角是由两条相交直线构成的；
只有两条直线相交时，才能构成对顶角．
牛刀小试
C
O
A
B
D
4
3
2
1
请你猜一猜，剪刀剪东西的过程中∠1与∠3这两个角的大小保持怎样的关系
对顶角的性质
猜想： ∠1=∠3
典例精析
例1 在图中，∠1 = 30°，那么∠2、∠3 和∠4 各等于多少度？图中存在哪些相等关系？
解：∠2 = 180°－∠1＝180°－30°＝150°.
∠3 = 180° -∠2 = 180° - 150° = 30°，
由此，我们得到
∠3 =∠1，∠4 =∠2.
）
（
1
3
4
2
）
（
∠4 = 180° -∠1 = 180° - 30° = 150°，
方法二：几何推导证明：
因为 ∠1 与∠2 互补，∠3 与∠2 互补
（邻补角的定义），
）
（
1
3
4
2
）
（
所以 ∠1=∠3 （同角的补角相等）.
定义总结
总结
∠1 的对顶角是______.
1
2
A
B
C
D
O
一个公共顶点
一个角的两边是另一个角的两边的____________
反向延长线
∠2
对顶角
对顶角相等.
典例精析
例1 在图中，∠1 = 30°，那么∠2、∠3 和∠4 各等于多少度？利用刚刚所学的知识解答.
解：因为∠1 与∠2 互补 (已知)，
所以 ∠2 = 180°－∠1＝180°－30°＝150° (互补的定义).
因为 ∠1与∠3， ∠2 与∠4 分别是对顶角，
所以∠3 =∠1 = 30° (对顶角相等)，
∠4 =∠2 = 150° (对顶角相等).
）
（
1
3
4
2
）
（
例2 如图，直线 AB、CD 相交于点 E，∠AEC = 50°，求∠BED 的度数.
典例精析
解：因为直线 AB、 CD 相交于点 E，
所以∠AEC 与∠BED 是对顶角.
根据顶角相等，得∠BED =∠AEC = 50°.
A
B
C
D
E
(3) 若 1: 2 = 2:7，则∠1，∠2，∠3，∠4的度数
分别为________________________.
(2) 若∠2是∠1的 3倍，则∠1，∠2，∠3，∠4的度
数分别为________________________.
(1) 若∠1+∠3= 60 ，则∠1，∠2，∠3，∠4的度数
分别为________________________ .
30 、150 、30 、150
45 、 135 、 45 、 135
40 、140 、40 、140
1.根据图形回答下列问题：
随堂练习
2.如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O.
(1)写出∠AOC， ∠BOE的邻补角；
(2)写出∠DOA， ∠EOC的对顶角；
(3)如果∠AOC =50°，求∠BOD，∠COB的度数.
A
E
D
B
F
C
O
解:(1)∠AOC的邻补角是∠AOD和∠COB;
∠BOE的邻补角是∠EOA和∠BOF.
(2)∠DOA的对顶角是∠COB；
∠EOC的对顶角是∠DOF.
(3)∠BOD=∠AOC= 50°,
∠COB=180°-∠AOC=130°.
3.下列各图中的∠1与∠2是不是对顶角？【教材P172 练习 第1题】
1
2
1
2
1
2
不是
不是
不是
4.如图，∠1与∠2是对顶角，∠1=180°-∠A，∠2=35°，则∠A=____° 【教材P172 练习 第3题】
1
2
145
5.如图，直线AB、CB分别与直线DE相交于点F、G，直线IJ、KL分别与直线MN相交于点O、P，说出各图中的对顶角. 【教材P172 练习 第2题】
A
B
C
E
F
D
G
(1)
K
P
L
N
O
J
M
I
(2)
解:(1)∠AFE与∠DFB， ∠AFD与∠EFB， ∠CGE与∠DGB， ∠CGD与∠BGE
解:(2) ∠MOI与∠JON， ∠MOJ与∠IOP， ∠MPL与∠KPN， ∠MPK与∠LPN
知识点1　邻补角和对顶角
1. [母题 教材P172练习T1]　下列图形中，∠1和∠2不是对
顶角的有(　C　)
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 0个
C
1
2
3
4
5
6
7
8
2. 如图，∠1的邻补角是(　B　)
A. ∠ BOC
B. ∠ BOE 和∠ AOF
C. ∠ AOF
D. ∠ BOE 和∠ AOF 和∠ DOF 和∠ BOC
B
1
2
3
4
5
6
7
8
3. 平面上三条不同的直线相交最多能形成对顶角(　A　)
A. 6对 B. 5对
C. 4对 D. 3对
A
1
2
3
4
5
6
7
8
知识点2　对顶角的性质
4. [情境题·生活应用 2024 广州韶关期中]生活中常见的伸缩
门中存在非常多的对顶角，如图为简易伸缩门，当
∠AOB 减小10°时，∠ COD 的度数(　A　)
A. 减小10° B. 增大10°
C. 增大20° D. 不变
(第4题)
A
1
2
3
4
5
6
7
8
相交线
邻补角
对顶角
定义
邻补角______
对顶角______
定义
互补
相等

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