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华东师大版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.4.1.2垂线第四章相交线和平行线班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟一、选择题（每题3分，共15分）1.下列关于垂线的说法正确的是（）A.两条直线相交，即为互相垂直B.互相垂直的两条直线不一定相交C.两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直D.直线AB⊥CD，说明AB是垂线，CD不是垂线2.点到直线的距离是指（）A.点到直线上任意一点的距离B.点到直线的垂线段C.点到直线的垂线段的长度D.直线的长度3.过一点画已知直线的垂线，可画（）A. 1条B. 2条C.无数条D.无法确定4.下列语句错误的是（）A.垂线段最短B.垂直是相交的一种特殊情况C.若两条直线垂直，则所成的四个角都是直角D.线段最短5.已知直线l外一点P，点P到直线l的距离为5cm，则点P到直线l上任意一点的距离（）A.等于5cm B.大于等于5cm C.小于5cm D.无法确定二、填空题（每题3分，共15分）1.两条直线相交成________角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的________。2.垂线的基本性质：在同一平面内，过一点有且只有________条直线与已知直线垂直。3.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，________最短。4.点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的________的长度。5.若直线AB⊥CD，垂足为O，则∠AOC = ________°。三、解答题（共70分）1.（10分）判断下列说法是否正确，正确打“√”，错误打“×”：（1）两条直线相交，只要有一个角是直角，其余三个角也都是直角。（2）垂线是一条线段。（3）直线外一点到直线的垂线段就是点到直线的距离。（4）在同一平面内，过直线上一点只能画一条直线与已知直线垂直。（5）斜线段一定比垂线段长。2.（15分）改错说理：判断正误，错误的改正并说明理由：（1）不相交的两条直线互相垂直；（2）线段AB垂直于直线CD，则AB是CD的垂线，CD不是AB的垂线；（3）垂线段最短，所以线段比射线短；（4）点到直线的距离是点到直线的连线；（5）过一点可以作无数条已知直线的垂线。3.（15分）基础角度计算题：（1）直线AB⊥CD，垂足为O，求∠BOD的度数；（2）直线AB、CD相交于O，AB⊥CD，若∠AOE = 35°，求∠COE的度数；（3）已知直线l⊥m，m⊥n，判断直线l与n的位置关系（同一平面内）；（4）两条直线互相垂直，其中一个角为(2x)°，求x的值；（5）直线AB、CD交于点O，∠AOC = 90°，求∠BOC、∠BOD的度数。4.（15分）中档综合计算题：（1）直线AB⊥CD，垂足为O，OE平分∠AOC，求∠BOE的度数；（2）已知直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，∠COE = 40°，求∠BOD的度数；（3）过点P作直线l的垂线，垂线段长6cm，则点P到直线l的距离是多少？（4）直线AB⊥OE，∠AOC = 30°，求∠COE的度数；（5）两条直线垂直相交，若其中一个角被射线分成2∶3两部分，求这两个小角的度数。5.（15分）拓展应用与说理题：（1）为什么修路、引水都尽量修垂直路段？请用垂线知识点说明；（2）简述“点到直线的距离”和“两点间的距离”的区别；（3）在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，求证：a∥c；（4）已知OA⊥OB，OC⊥OD，∠AOC = 20°，求∠BOD的度数；（5）简述过直线外一点画已知直线垂线的步骤。参考答案：一、1.C 2.C 3.A 4.D 5.B二、1.直；垂线2. 1 3.垂线段4.垂线段5. 90三、1.（1）√；（2）×；（3）×；（4）√；（5）√2.（1）错误；改正：同一平面内，两条直线相交成直角才互相垂直，不相交的直线不垂直；（2）错误；改正：垂直是相互的，AB是CD的垂线，CD也是AB的垂线；（3）错误；改正：垂线段最短是相对直线外一点到直线的所有线段而言，不能比较线段和射线的长短；（4）错误；改正：点到直线的距离是点到直线垂线段的长度，不是连线本身；（5）错误；改正：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。3.（1）∵ AB⊥CD，∴ ∠BOD = 90°；（2）∵ AB⊥CD，∠AOC=90°，∴ ∠COE = 90°- 35°= 55°；（3）同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，∴ l∥n；（4）2x = 90，解得x = 45；（5）∠BOC=90°，∠BOD=90°。4.（1）∵ AB⊥CD，∠AOC=90°，OE平分∠AOC，∴ ∠AOE=45°，∠BOE=180°-45°=135°；（2）∵ OE⊥AB，∠AOE=90°，∠AOC=90°-40°=50°，∴ ∠BOD=∠AOC=50°；（3）点P到直线l的距离为6cm；（4）∵ AB⊥OE，∠AOE=90°，∴ ∠COE=90°-30°=60°；（5）直角90°，按2∶3分配：36°、54°。5.（1）依据“垂线段最短”，垂直路径距离最短，节省材料、缩短路程；（2）两点间距离：两点之间线段的长度；点到直线距离：点到直线垂线段的长度，对象与定义不同；（3）证明：a⊥b，得夹角90°；b⊥c，得夹角90°，同位角相等，两直线平行，故a∥c；（4）∵ OA⊥OB，OC⊥OD，∠AOB=∠COD=90°，∴ ∠BOD=∠AOC=20°；（5）①将三角尺一条直角边与已知直线重合；②平移三角尺，使另一条直角边经过已知点；③沿直角边画直线，即为已知直线的垂线。知道垂线的概念，会用三角板、量角器过一点画一条直线的垂线.
知道点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.
能说出关于垂线的基本事实，并会用它解题.
观察以上图片中直线，它们有什么特殊的位置关系？
情景引入
取两根木条a、b,将他们钉在一起固定木条a,转动木条b
a
b
）
α
垂线的概念
问题：
（1）在木条b转动的过程中，什么也随着改变
a与b所成的角也随之发生改变
取两根木条a、b,将他们钉在一起固定木条a,转动木条b
问题：
（2）在木条b与a成90°的位置有几个？木条b与a所在的直线有什么位置关系？
a
b
）
α
a与b垂直
定义：两条直线相交所构成的四个角中有一个为直角时，其他三个角也都成为直角，此时，这两条直线互相垂直.
记作：AB⊥CD或m⊥l
注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直.（如图2）
垂直的定义及表示方法
A
B
C
D
O
（2）
B
C
D
O
（1）
A
l
m
两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
记作：AB⊥CD于点O
A
B
C
D
O
符号语言：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，
那么AB⊥CD.
因为∠AOD=90°（已知） ,
所以AB⊥CD（垂直的定义）
垂线的判定
符号语言：
若直线AB与CD垂直,垂足为O，
则∠AOD=90°
因为 AB⊥CD （已知） ,
所以 ∠AOD=90°（垂直的定义）
(或∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
A
B
C
D
O
垂线的性质
如图1，若直线m、n相交于点O,∠1＝90°,则_______.
若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则∠BOD =______.
如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么∠COA＝____, ∠BOC的补角为______.
O
m
n
1
B
C
A
O
m⊥n
90°
72°
162°
图1
图2
牛刀小试
4.日常生活中，我们经常可以看到线线互相垂直的图形，你能再举出一些例子么？
经过直线AB外一点P，按图中所示的两种方法，画出垂直于直线AB的直线，这样的垂线能画多少条呢？
垂线的画法及基本事实
试一试
P
B
A
(1)
(2)
P
A
B
B
问题 这样画AB的垂线我们可以画几条？
O
如图，已知直线 AB,作AB的垂线.
无数条
1.落
2.靠
3.画
A
B
P
如图，已知直线 AB 和AB上的一点P ,过点P作AB的垂线.
问题 这样画l的垂线可以画几条？
一条
1.落
2.靠
3.移
4.画
A
B
P
如图，已知直线 AB 和AB外的一点P ,过点P作AB的垂线.
根据以上几种情况的操作，你能得出什么结论？
问题 这样画l的垂线可以画几条？
一条
1.落
2.靠
3.移
4.画
A
注意：
1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；
2.“有且只有”中,“有”指存在性,“只有”指唯一性.
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线的性质
特殊的直线
如图，如果直线CD经过线段AB的中点O，并且CD⊥AB，我们可以得到AO=BO, CD⊥AB.
A
B
C
D
O
//
//
此时，我们将垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线（图中直线CD即为线段AB的垂直平分线）
垂直平分线又可称为中垂线
如图①所示，已知钝角∠AOB，点 D 在射线 OB 上．
（1）画直线 DE⊥OB;
（2）画直线 DF⊥OA，垂足为 F．
解： （1）如图②所示，直线DE为所求作的直线.
（2）如图②所示，直线DF为所求作的直线.
牛刀小试
探究：在如图所示的方格图中，点A是直线l外一点，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段.
1.线段AB， AC， AD ，AE谁最短？
2.你能用一句话表示这个结论吗？
说一说：
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短
简述：垂线段最短.
线段AB的长度叫做点A到直线l的距离.
规定：
作图过程中我们可以发现其中最短的应该是线段AB，线段AB叫做点A到直线l的垂线段
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
垂线段
思考：体育课上是怎样测量跳远成绩的？你知道其中的原因吗？
1.在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
m
垂线段最短
牛刀小试
如图，小海龟位于图中点 A 处，按下述口令移动：前进 3 格；向右转 90°，前进 5 格；向左转 90°，前进3 格；向左转 90°，前进 6 格；向右转 90°，后退 6 格；最后向右转 90°，前进 1 格. 用粗线将小海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形．
做一做
体育课上是怎样测量跳远成绩的？你知道其中的原因吗？
起跳线
点到直线的距离
想一想
做一做
如图，小海龟位于图中点 A 处，按下述口令移动：前进 3 格；
向右转 90°，前进 5 格；
向左转 90°，前进 3 格；
向左转 90°，前进 6 格；
向右转 90°，后退 6 格；
最后向右转 90°，前进 1 格.
用粗线将小海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形.
A
练一练
1. 如图，下列说法正确的是 （ ）
A.线段 AB 叫做点 B 到直线 AC 的距离
B.线段 AB 的长度叫做点 A 到直线 BC 的距离
C.线段 BD 的长度叫做点 D 到直线 BC 的距离
D.线段 BD 的长度叫做点 B 到直线 AC 的距离
A
B
C
D
D
思路点拨：紧扣定义解题.
2. 如图，已知直线 AB、CD 都经过 O 点，OE 为射
线，若∠1 ＝ 50°，∠2 ＝ 40°，则 OE 与 AB 的位
置关系是 .
C
A
B
O
E
1
2
D
垂直
练一练
知识点1　垂直的定义
1. 如图，若 CD ⊥ EF ，∠1＝∠2，则 AB ⊥ EF ，请说明理
由(补全解题过程).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解：因为 CD ⊥ EF ，
所以∠1＝ °(垂直的定义).
所以∠2＝∠1＝ °.
所以 AB EF (垂直的定义).
90　
90　
⊥　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2. 已知在同一平面内：①两条直线相交成直角；②两条直线
互相垂直；③一条直线是另一条直线的垂线.那么下列因
果关系：①→②③；②→①③；③→①②中，正确的有
(　D　)
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 3个
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3. [新趋势·跨学科 2023 江西]如图，平面镜 MN 放置在水平
地面 CD 上，墙面 PD ⊥ CD 于点 D ，一束光线 AO 照射到
镜面 MN 上，反射光线为 OB ，点 B 在 PD 上，若∠ AOC
＝35°，则∠ OBD 的度数为(　C　)
A. 35° B. 45°
C. 55° D. 65°
(第3题)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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12
13
【点拨】
利用光的反射得∠ BOD ＝∠ AOC ＝35°，根据垂直的
定义得∠ ODB ＝90°，再利用三角形内角和等于180°即
可得出答案.
【答案】C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4. [2023·北京]如图，∠ AOC ＝∠ BOD ＝90°，∠ AOD ＝
126°，则∠ BOC 的大小为(　C　)
A. 36° B. 44°
C. 54° D. 63°
(第4题)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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12
13
【点拨】
因为∠ AOC ＝90°，∠ AOD ＝126°，
所以∠ COD ＝∠ AOD －∠ AOC ＝36°.
因为∠ BOD ＝90°，
所以∠ BOC ＝∠ BOD －∠ COD ＝90°－36°＝54°.
【答案】C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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12
13
垂线
垂线的定义
垂线的性质
在同一平面内，过一点
______________直线与已知直线垂直
垂线段____
垂线的画法
一放二靠三移四画
最短
点到直线的距离
有且只有一条

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