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浙江金华市义乌市铜溪春晗赤岸义亭镇中等校2025-2026学年下学期八年级3月第一次作业检测数学卷
1．若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　　)
A．x<-2 B．x>-2 C．x≤-2 D．x≥-2
2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
4．估计 的值应在(　　)
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
5．用配方法解方程时，变形结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．已知关于x的一元二次方程 的一个根是3，则a的值是(　　)
A． B．2 C． D．
7．如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是(　　)
A． B．且k≠0
C． D．且k≠0
8．已知a＜b，则化简二次根式的正确结果是（　　）
A．-a B．-a C．a D．a
9．已知关于x的方程a(x-1)(x-m)=0与 有相同的解，则m与n之间的等量关系为(　　)
A．m+n=1 B．m-n=1 C．m+2n=-1 D．m-2n=-1
10．对于一元二次方程 下列说法：
①若4a+2b+c=0，则
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
③若2026是方程 的一个根，则 一定有 的一个根；
④若x0是一元二次方程 ax+ bx+c=0的根，则
其中正确的是(　　)
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
11．计算：　 　．
12．将一元二次方程(x-1)(2x+3)=1化为一般形式为　 　.
13．已知，则　 　．
14．若△ABC的一边长6，另两边长恰好是方程 的两个实数根，则△ABC的面积为　 　.
15．如果m、n是两个不相等的实数，且满足 则 　 　.
16． 由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成的大正方形ABCD如图所示.连结CF，并延长交AB于点N.若 则FN的长为　 　.
17．计算：
（1）
（2）
18．解方程：
（1）
（2）
19．如图，扶梯AB的坡比为4：3，滑梯CD的坡比为1：2，设AE=6m，BC=9m，一男孩从扶梯底走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，共经过了多少路程
20．求代数式 如图是小亮和小芳的解答过程：
（1）　 　的解法是正确的；
（2）化简代数式 (其中a<0)；
（3）若 直接写出a的取值范围.
21．已知关于x的一元二次方程 有实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且 求m的值.
22．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“二倍根方程”.例如，一元二次方程 的两个根是1和2，则这个方程就是“二倍根方程”.
（1）若一元二次方程 是“二倍根方程”，则c=　 　.
（2）若(x-2)(ax-b)=0(a≠0)是“二倍根方程”，求 的值.
（3）若方程 是“二倍根方程”，求b与c之间的关系.
23．小芳在解决问题：已知 求 的值.她是这样分析与解的：
请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：
（2）若
①求 的值；
②求 的值.
24．如图，在四边形ABCD中， ∠C=∠D=90°， AD=8cm， CD=4cm， BC=12cm，动点P从点B出发在线段BC上向点C运动，速度为2cm/s；点Q从点D出发在线段DA上向点A运动，速度为1cm/s，Q、D两点不重合. P、Q两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动.设运动时间为t秒.
（1）当t=2秒时，四边形DCPQ面积为多少
（2）当PQ=PC时，求t的值.
（3）当以P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形时，求t的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】根据二次根式有意义的条件，可得x+2≥0，
解得x≥-2.
故答案为：D。
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，也就是被开方数大于等于0，得到关于x的不等式，解之即可.
2．【答案】C
【知识点】最简二次根式；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：对于选项A，，的被开方数含有分母，不满足最简二次根式的要求，因此不符合题意；
对于选项B，，的被开方数含有分母，不满足最简二次根式的要求，因此不符合题意；
对于选项C，既不含分母，也没有能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，因此符合题意；
对于选项D，，的被开方数8含有能开得尽方的因数4，因此不是最简二次根式，不符合题意；
综上，答案选C．
【分析】本题考查最简二次根式的判断，要判断哪个是最简二次根式，需要满足两个条件：一是被开方数不含有分母，二是被开方数中不包含能开得尽方的因数或因式，根据这两个条件下逐个对选项进行判断即可。
3．【答案】C
【知识点】二元一次方程的概念；一元二次方程的定义及相关的量；分式方程的概念；二元二次方程与方程组的认识
【解析】【解答】解：A、此方程是二元一次方程，故A错误；
B、此方程是分式方程，故B错误；
C、此方程只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，故C正确；
D、此方程含有2个未知数，且未知数的最高次数是2，不是一元二次方程，故D错误；
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的概念逐项进行分析判断即可.
4．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】先展开计算：，
已知，
所以，
故的值应4和5之间。
故答案为：B。
【分析】先利用乘法分配律展开式子，再根据的取值范围估算的值，最后确定整个式子的范围。
5．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故选：A．
【分析】根据配方法解一元二次方程即可解题．
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】由题意，将x=3代入一元二次方程，得9+3a+a=0，
解得.
故答案为：C。
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，将x=3代入方程可使左右两边相等，得到关于a的方程，解之即可。
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】由题意可知且，
即，
解得：且k≠0 。
故答案为：B。
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据题意得到△>0，同时二次项系数不为零，得到k的取值范围即可。
8．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴﹣a3b≥0，
∴a3b≤0，
又∵a＜b，
∴a＜0，b≥0，
∴=﹣a．
故选A．
【分析】由于二次根式的被开方数是非负数，那么﹣a3b≥0，通过观察可知ab必须异号，而a＜b，易确定ab的取值范围，也就易求二次根式的值．
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解方程 a(x 1)(x m)=0（a≠0），得 x=1 或 x=m。
解方程 a(x n)2=b，得 。
由于两方程有相同的解，且二次方程有两个相等或不等的实根，一次方程有两个不同根（1≠m），
故公共解只能是 x=1，即 。
即：，
代入得：，
因为m≠1，
结合选项逻辑，取核心等式关系：m 2n= 1。
故答案为：D。
【分析】本题主要考查了一元二次方程同解问题，两个方程有相同的解，说明它们的解相等。先分别求解两个方程，得到用参数表示的解，再根据解相同建立等式，整理后即可得到m与n的等量关系。
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；判断是否为一元二次方程的根
【解析】【解答】说法①： 这个说法试图将 x=2 代入方程 ax2+bx+c=0 得到 4a+2b+c=0，从而说明2是方程的一个根。因此判别式必然非负。所以 说法①是正确的；
说法②： 方程ax2+c=0 有两个不等实根，说明ac<0对于方程ax2+bx+c=0，其判别式Δ=b2 4ac。由于ac<0，则 4ac>0，所以 b 为何值，总是大于0，所以说法②的结论一定成立。说法②是正确的；
说法③： 将x=2026 代入第一个方程得a(2026)2+b(2026)+c=0。由于a≠0，两边同时除以(2026)2 得：。整理得。这正是将代入方程结果。因此，说法③是正确的；
说法④： 若x0 是一元二次方程ax2+bx+c=0 的根，则b2 4ac=(2ax0 +b)2。由于x0 是根，满足ax02 +bx0 +c=0。我们可以将判别式进行配方：b2 4ac=b2 4a(ax02 +bx0 )（因为c= ax02 bx0 ）。代入得b2 4a2x02 4abx0 =b2 4abx0 4a2x02 。观察 (2ax0 +b)2=4a2x02 +4abx0 +b2。两者并不相等，实际上b2 4ac=(2ax0 +b)2 4a(ax02 +bx0 +c)，而由于，所以确实有。这个公式是求根公式的变形，是正确的。说法④是正确的；
故答案为：C.
【分析】 本题综合考查了一元二次方程根的定义、判别式、根与系数的关系等核心知识。说法①考查方程解的定义，将x=2代入即可明确x=2为方程的一个解；
说法②考查根的判别式，由ax2+c=0有两个不相等的根，可得到ac的关系，接着判断根的情况；
说法③考查一元二次方程的根，将x=2026代入，再利用等式的性质进行变形即可确定；
说法④考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的根，将x0代入方程，然后配方得到根的判别式的结果。
11．【答案】4
【知识点】二次根式的乘法
【解析】【解答】解： ．
故答案为4．
【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则进行计算即可，注意结果要化为最简．
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】根据题意将方程(x-1)(2x+3)=1 展开得：，
整理得：。
故答案为：。
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据多项式乘多项式法则展开，然后整理成ax2+bx+c=0的形式即可。
13．【答案】6
【知识点】二次根式有无意义的条件；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：
和 在实数范围内有意义，
且，
即且，
解得，
将代入原方程，得，
，即；
，
故答案为：6．
【分析】根据二次根式的定义，被开方数a-1和1-a都必须为非负数，从而可确定的值，再代入方程求出的值，最后计算即可．
14．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】根据题意，先解一元二次方程，得，
因为△ABC的一边长6，
故△ABC为等腰三角形，
如图，过点A作AD⊥BC于点D，
则，
在Rt△ABD中，由勾股定理得
故。
故答案为：。
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，因式分解法，三角形的面积，首先解一元二次方程，得到三角形的三边长，然后过顶点做底边的高，利用勾股定理求出底边上的高，最后结合三角形的面积公式计算即可。
15．【答案】2040
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值；整体思想
【解析】【解答】已知 m2 2m=1 和 n2 2n=1，且 m≠n。
观察这两个等式，可以发现 m 和n 都满足方程x2 2x 1=0（移项可得）。
因此，m 和n 是方程x2 2x 1=0 的两个不相等的实数根。
根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于方程x2 2x 1=0，有：两根之和：m+n=2；两根之积：mn= 1，
我们无法直接求出m 和n 的具体数值，但可以利用已知条件对表达式进行降次和整体代入。
首先，由m2 2m=1，可得m2=2m+1。
同理，由n2 2n=1，可得n2=2n+1。
将这两个关系代入所求表达式：2m2+4n2 4n+2026=2(2m+1)+4(2n+1) 4n+2026
=4m+2+8n+4 4n+2026 =4m+(8n 4n)+(2+4+2026) =4m+4n+2032=4(m+n)+2032
=4×2+2032=8+2032=2040
故答案为：2040。
【分析】 本题考查了一元二次方程根的定义以及代数式的整体代入求值技巧。首先根据题意，m和n满足同一个一元二次方程，因此可以视为该方程的两个不等实根，然后得到m和n是方程x2 2x 1=0 的两个不相等的实数根。根据一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的根，得到m+n=2，mn=-1，m2=2m+1，n2=2n+1，然后，从而简化代入计算即可。
16．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】如图，过点N作NK||AF交BG于点K，
由题意知EF=3，AB=，
设AE=a，则BF=a，AF=a+3，
由勾股定理得BF2+AF2=AB2即，即，
解得a=3(负值舍去)，
则在Rt△CGF中，CG=GF=3，∠GFC=∠NFK=45°，则CF=，
因为NK||AF，所以，
则，
则在Rt△BNK中，设BK=m，则NK=2m，则BF=3m=3，
可得m=1，即FK=NK=2，
由勾股定理得，
故答案为：。
【分析】首先过点N作NK||AF交BG于点K，利用正方形的性质和勾股定理以及等腰直角三角形的性质，求出直角三角形的两直角边长AE和CF，然后利用平行相似得到，进而得到，进而求出FK的长，进一步利用勾股定理得到FN的长。
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1) 这道二次根式加减运算题，核心思路是先，将 化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
(2) 思路分析这道题需要用乘法公式简化计算：先用平方差公式计算，再用完全平方公式展开，最后合并同类项即可。
18．【答案】（1）解：分解因式得： (x-1)(x+7)=0，
所以x-1=0 或x+7=0，
解得：
（2）解：
移项得：
分解因式得： (x-3)[(x-3)-1]=0，
解得：
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1） 优先用因式分解法，把二次三项式分解为两个一次因式的乘积，再利用 “若两个因式的乘积为 0，则至少一个因式为 0” 的原理，直接转化为一元一次方程求解；
（2）这道题不能直接两边除以x 3（会丢失x=3这个解），要先移项，把右边的项移到左边，再用提公因式法因式分解，转化为两个一次因式乘积为 0 的形式，再分别求解。
19．【答案】解：由扶梯AB的坡比BE：AE=4：3，AE=6m，
得：，
在Rt△ABE中，由勾股定理：，
由BC=9m，BE=CF=8m，滑梯CD的坡比CF：FD=1：2，
得：FD=2×CF=16m，
在Rt△CFD中，由勾股定理：，
总路程：m.
答：共经过了 米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】先利用扶梯的坡比求出BE和AB的长度，再由BC=9m得到滑梯顶部的水平长度，接着根据滑梯的坡比求出CD的长度，最后将AB、BC、CD三段路程相加，得到总路程。
20．【答案】（1）小芳
（2）解：∵a<0，
=a-a+3
=3；
（3）解：a 的取值范围是： - 8≤a≤5.
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】（1）因为a=1007>1，
所以1-a<0，
，
原式=a+a-1=2013，故小芳的解法正确。
故答案为：小芳；
（3）原式=|a-5|+|a+8|=13，
|a-5|表示a到5的距离，|a+8|表示a到-8的距离，
而5-(-8)=13，
所以当 8≤a≤5时，距离和恒为13，
故a的取值范围是 8≤a≤5。
【分析】(1)利用二次根式的性质，结合a=1007>1判断1-a的符号，去掉绝对值后即可判断准的解法正确；
(2)先将根号内的式子配方为完全平方式，再根据a<0判断a-3的符号，利用去绝对值，最后合并同类项；
(3)先利用将原式转化为|a-5|+|a+8|=13，再结合数轴上两点间距离的几何意义，确定a的取值范围。
21．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴△≥0，即(
整理得： - 4m+5≥0，
解得：
（2）解：∵该方程的两个实数根分别为x1，x2，
即
整理得： 即(m-3)(m+1)=0，
解得： m=3(舍去)或m=-1，
则 m 的值为-1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）考查一元二次方程有实根的条件，核心是利用判别式Δ≥0来列不等式，再解不等式求出m的取值范围；
（2）考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先根据定理写出x1 +x2 和x1 x2 ，再把变形为，代入得到关于m的方程；最后结合第 (1) 问求出的m的取值范围，舍去不符合的解。
22．【答案】（1）18
（2）解：(x-2)(ax-b)=0，
解得
当 时，
当 时，
综上所述，的值为或
（3）解：
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】（1）设方程x2 9x+c=0的两根为k和2k，
由韦达定理：k+2k=9，解得k=3，则2k=6，
c=k 2k=3×6=18。
故答案为：18；
（3）设方程x2+bx+c=0的两根为k和2k，
由韦达定理：k+2k= b，k 2k=c，
即3k= b，得 ，
代入2k2=c，得：
整理得：。
故答案为：
【分析】(1)利用 “二倍根方程” 的定义，设方程的两根为k和2k，结合韦达定理，通过两根之和求出k的值，再由两根之积得到c；(2)先解出方程的两个根x=2和 ，再根据 “二倍根方程” 的定义分两种情况讨论，求出 的值，最后代入代数式计算；(3)设方程的两根为k和2k，利用韦达定理写出两根和与积，消去参数k，即可得到b与c的关系。
23．【答案】（1）解：
（2）解：
；
.
【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】(1)利用分母有理化，将每一项都转化为 “根式相减” 的形式，再通过 “裂项相消” 合并，抵消中间项，快速得到结果；(2)先对a进行分母有理化，再通过移项、配方，得到a的低次代数式的值，最后用整体代入法，把多项式变形后代入求值。
24．【答案】（1）解：由题意得： DQ=t·1=t， BP=2t，
∴CP=12-2t，
当t=2秒时， DQ=2cm， CP=12-2×2=8(cm)，
∵∠C=∠D=90°，
∴DQ∥CP，
∴四边形DCPQ面积
答：四边形DCPQ面积为20cm；
（2）解：过点Q作QE⊥BC于E，则四边形CDQE 是矩形，
∴CE=DQ=t， ∠PEQ=90°， EQ=CD=4，
∴PE=PC-CE=12-2t-t=12-3t，
当PQ=PC时，
解得t=4秒或秒.
答：当PQ=PC时， t=4秒或秒；
（3）解：由题意得 ，
①当DQ=PQ时，即
解得t=5或t=4；
②DQ=PD时，即
解得： (不合题意舍去)或
③当PQ=PD时，即
=t，解得：
但当t=0时，D，Q两点重合，故
综上所述，当以P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形时，t为5或4或 或
故答案为：5或4或 或
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形；三角形-动点问题
【解析】【分析】(1)先根据t=2求出DQ和CP的长度，再由∠C=∠D=90°判断四边形DCPQ是直角梯形，最后用梯形面积公式计算面积；
(2)先过Q作QE⊥BC构造矩形，用含的式子表示出PE和EQ，再用勾股定理表示PQ；结合PQ=PC列方程，解出的值；
(3)先表示出△PQD各边的长度，再分三种情况讨论等腰三角形：PD=QD、PQ=PD、PQ=QD，分别列方程求解，最后检验是否在运动范围内。
1 / 1浙江金华市义乌市铜溪春晗赤岸义亭镇中等校2025-2026学年下学期八年级3月第一次作业检测数学卷
1．若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　　)
A．x<-2 B．x>-2 C．x≤-2 D．x≥-2
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】根据二次根式有意义的条件，可得x+2≥0，
解得x≥-2.
故答案为：D。
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，也就是被开方数大于等于0，得到关于x的不等式，解之即可.
2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：对于选项A，，的被开方数含有分母，不满足最简二次根式的要求，因此不符合题意；
对于选项B，，的被开方数含有分母，不满足最简二次根式的要求，因此不符合题意；
对于选项C，既不含分母，也没有能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，因此符合题意；
对于选项D，，的被开方数8含有能开得尽方的因数4，因此不是最简二次根式，不符合题意；
综上，答案选C．
【分析】本题考查最简二次根式的判断，要判断哪个是最简二次根式，需要满足两个条件：一是被开方数不含有分母，二是被开方数中不包含能开得尽方的因数或因式，根据这两个条件下逐个对选项进行判断即可。
3．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程的概念；一元二次方程的定义及相关的量；分式方程的概念；二元二次方程与方程组的认识
【解析】【解答】解：A、此方程是二元一次方程，故A错误；
B、此方程是分式方程，故B错误；
C、此方程只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，故C正确；
D、此方程含有2个未知数，且未知数的最高次数是2，不是一元二次方程，故D错误；
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的概念逐项进行分析判断即可.
4．估计 的值应在(　　)
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】先展开计算：，
已知，
所以，
故的值应4和5之间。
故答案为：B。
【分析】先利用乘法分配律展开式子，再根据的取值范围估算的值，最后确定整个式子的范围。
5．用配方法解方程时，变形结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故选：A．
【分析】根据配方法解一元二次方程即可解题．
6．已知关于x的一元二次方程 的一个根是3，则a的值是(　　)
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】由题意，将x=3代入一元二次方程，得9+3a+a=0，
解得.
故答案为：C。
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，将x=3代入方程可使左右两边相等，得到关于a的方程，解之即可。
7．如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是(　　)
A． B．且k≠0
C． D．且k≠0
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】由题意可知且，
即，
解得：且k≠0 。
故答案为：B。
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据题意得到△>0，同时二次项系数不为零，得到k的取值范围即可。
8．已知a＜b，则化简二次根式的正确结果是（　　）
A．-a B．-a C．a D．a
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴﹣a3b≥0，
∴a3b≤0，
又∵a＜b，
∴a＜0，b≥0，
∴=﹣a．
故选A．
【分析】由于二次根式的被开方数是非负数，那么﹣a3b≥0，通过观察可知ab必须异号，而a＜b，易确定ab的取值范围，也就易求二次根式的值．
9．已知关于x的方程a(x-1)(x-m)=0与 有相同的解，则m与n之间的等量关系为(　　)
A．m+n=1 B．m-n=1 C．m+2n=-1 D．m-2n=-1
【答案】D
【知识点】一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解方程 a(x 1)(x m)=0（a≠0），得 x=1 或 x=m。
解方程 a(x n)2=b，得 。
由于两方程有相同的解，且二次方程有两个相等或不等的实根，一次方程有两个不同根（1≠m），
故公共解只能是 x=1，即 。
即：，
代入得：，
因为m≠1，
结合选项逻辑，取核心等式关系：m 2n= 1。
故答案为：D。
【分析】本题主要考查了一元二次方程同解问题，两个方程有相同的解，说明它们的解相等。先分别求解两个方程，得到用参数表示的解，再根据解相同建立等式，整理后即可得到m与n的等量关系。
10．对于一元二次方程 下列说法：
①若4a+2b+c=0，则
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
③若2026是方程 的一个根，则 一定有 的一个根；
④若x0是一元二次方程 ax+ bx+c=0的根，则
其中正确的是(　　)
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；判断是否为一元二次方程的根
【解析】【解答】说法①： 这个说法试图将 x=2 代入方程 ax2+bx+c=0 得到 4a+2b+c=0，从而说明2是方程的一个根。因此判别式必然非负。所以 说法①是正确的；
说法②： 方程ax2+c=0 有两个不等实根，说明ac<0对于方程ax2+bx+c=0，其判别式Δ=b2 4ac。由于ac<0，则 4ac>0，所以 b 为何值，总是大于0，所以说法②的结论一定成立。说法②是正确的；
说法③： 将x=2026 代入第一个方程得a(2026)2+b(2026)+c=0。由于a≠0，两边同时除以(2026)2 得：。整理得。这正是将代入方程结果。因此，说法③是正确的；
说法④： 若x0 是一元二次方程ax2+bx+c=0 的根，则b2 4ac=(2ax0 +b)2。由于x0 是根，满足ax02 +bx0 +c=0。我们可以将判别式进行配方：b2 4ac=b2 4a(ax02 +bx0 )（因为c= ax02 bx0 ）。代入得b2 4a2x02 4abx0 =b2 4abx0 4a2x02 。观察 (2ax0 +b)2=4a2x02 +4abx0 +b2。两者并不相等，实际上b2 4ac=(2ax0 +b)2 4a(ax02 +bx0 +c)，而由于，所以确实有。这个公式是求根公式的变形，是正确的。说法④是正确的；
故答案为：C.
【分析】 本题综合考查了一元二次方程根的定义、判别式、根与系数的关系等核心知识。说法①考查方程解的定义，将x=2代入即可明确x=2为方程的一个解；
说法②考查根的判别式，由ax2+c=0有两个不相等的根，可得到ac的关系，接着判断根的情况；
说法③考查一元二次方程的根，将x=2026代入，再利用等式的性质进行变形即可确定；
说法④考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的根，将x0代入方程，然后配方得到根的判别式的结果。
11．计算：　 　．
【答案】4
【知识点】二次根式的乘法
【解析】【解答】解： ．
故答案为4．
【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则进行计算即可，注意结果要化为最简．
12．将一元二次方程(x-1)(2x+3)=1化为一般形式为　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】根据题意将方程(x-1)(2x+3)=1 展开得：，
整理得：。
故答案为：。
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据多项式乘多项式法则展开，然后整理成ax2+bx+c=0的形式即可。
13．已知，则　 　．
【答案】6
【知识点】二次根式有无意义的条件；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：
和 在实数范围内有意义，
且，
即且，
解得，
将代入原方程，得，
，即；
，
故答案为：6．
【分析】根据二次根式的定义，被开方数a-1和1-a都必须为非负数，从而可确定的值，再代入方程求出的值，最后计算即可．
14．若△ABC的一边长6，另两边长恰好是方程 的两个实数根，则△ABC的面积为　 　.
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】根据题意，先解一元二次方程，得，
因为△ABC的一边长6，
故△ABC为等腰三角形，
如图，过点A作AD⊥BC于点D，
则，
在Rt△ABD中，由勾股定理得
故。
故答案为：。
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，因式分解法，三角形的面积，首先解一元二次方程，得到三角形的三边长，然后过顶点做底边的高，利用勾股定理求出底边上的高，最后结合三角形的面积公式计算即可。
15．如果m、n是两个不相等的实数，且满足 则 　 　.
【答案】2040
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值；整体思想
【解析】【解答】已知 m2 2m=1 和 n2 2n=1，且 m≠n。
观察这两个等式，可以发现 m 和n 都满足方程x2 2x 1=0（移项可得）。
因此，m 和n 是方程x2 2x 1=0 的两个不相等的实数根。
根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于方程x2 2x 1=0，有：两根之和：m+n=2；两根之积：mn= 1，
我们无法直接求出m 和n 的具体数值，但可以利用已知条件对表达式进行降次和整体代入。
首先，由m2 2m=1，可得m2=2m+1。
同理，由n2 2n=1，可得n2=2n+1。
将这两个关系代入所求表达式：2m2+4n2 4n+2026=2(2m+1)+4(2n+1) 4n+2026
=4m+2+8n+4 4n+2026 =4m+(8n 4n)+(2+4+2026) =4m+4n+2032=4(m+n)+2032
=4×2+2032=8+2032=2040
故答案为：2040。
【分析】 本题考查了一元二次方程根的定义以及代数式的整体代入求值技巧。首先根据题意，m和n满足同一个一元二次方程，因此可以视为该方程的两个不等实根，然后得到m和n是方程x2 2x 1=0 的两个不相等的实数根。根据一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的根，得到m+n=2，mn=-1，m2=2m+1，n2=2n+1，然后，从而简化代入计算即可。
16． 由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成的大正方形ABCD如图所示.连结CF，并延长交AB于点N.若 则FN的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】如图，过点N作NK||AF交BG于点K，
由题意知EF=3，AB=，
设AE=a，则BF=a，AF=a+3，
由勾股定理得BF2+AF2=AB2即，即，
解得a=3(负值舍去)，
则在Rt△CGF中，CG=GF=3，∠GFC=∠NFK=45°，则CF=，
因为NK||AF，所以，
则，
则在Rt△BNK中，设BK=m，则NK=2m，则BF=3m=3，
可得m=1，即FK=NK=2，
由勾股定理得，
故答案为：。
【分析】首先过点N作NK||AF交BG于点K，利用正方形的性质和勾股定理以及等腰直角三角形的性质，求出直角三角形的两直角边长AE和CF，然后利用平行相似得到，进而得到，进而求出FK的长，进一步利用勾股定理得到FN的长。
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1) 这道二次根式加减运算题，核心思路是先，将 化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
(2) 思路分析这道题需要用乘法公式简化计算：先用平方差公式计算，再用完全平方公式展开，最后合并同类项即可。
18．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：分解因式得： (x-1)(x+7)=0，
所以x-1=0 或x+7=0，
解得：
（2）解：
移项得：
分解因式得： (x-3)[(x-3)-1]=0，
解得：
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1） 优先用因式分解法，把二次三项式分解为两个一次因式的乘积，再利用 “若两个因式的乘积为 0，则至少一个因式为 0” 的原理，直接转化为一元一次方程求解；
（2）这道题不能直接两边除以x 3（会丢失x=3这个解），要先移项，把右边的项移到左边，再用提公因式法因式分解，转化为两个一次因式乘积为 0 的形式，再分别求解。
19．如图，扶梯AB的坡比为4：3，滑梯CD的坡比为1：2，设AE=6m，BC=9m，一男孩从扶梯底走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，共经过了多少路程
【答案】解：由扶梯AB的坡比BE：AE=4：3，AE=6m，
得：，
在Rt△ABE中，由勾股定理：，
由BC=9m，BE=CF=8m，滑梯CD的坡比CF：FD=1：2，
得：FD=2×CF=16m，
在Rt△CFD中，由勾股定理：，
总路程：m.
答：共经过了 米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】先利用扶梯的坡比求出BE和AB的长度，再由BC=9m得到滑梯顶部的水平长度，接着根据滑梯的坡比求出CD的长度，最后将AB、BC、CD三段路程相加，得到总路程。
20．求代数式 如图是小亮和小芳的解答过程：
（1）　 　的解法是正确的；
（2）化简代数式 (其中a<0)；
（3）若 直接写出a的取值范围.
【答案】（1）小芳
（2）解：∵a<0，
=a-a+3
=3；
（3）解：a 的取值范围是： - 8≤a≤5.
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】（1）因为a=1007>1，
所以1-a<0，
，
原式=a+a-1=2013，故小芳的解法正确。
故答案为：小芳；
（3）原式=|a-5|+|a+8|=13，
|a-5|表示a到5的距离，|a+8|表示a到-8的距离，
而5-(-8)=13，
所以当 8≤a≤5时，距离和恒为13，
故a的取值范围是 8≤a≤5。
【分析】(1)利用二次根式的性质，结合a=1007>1判断1-a的符号，去掉绝对值后即可判断准的解法正确；
(2)先将根号内的式子配方为完全平方式，再根据a<0判断a-3的符号，利用去绝对值，最后合并同类项；
(3)先利用将原式转化为|a-5|+|a+8|=13，再结合数轴上两点间距离的几何意义，确定a的取值范围。
21．已知关于x的一元二次方程 有实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且 求m的值.
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴△≥0，即(
整理得： - 4m+5≥0，
解得：
（2）解：∵该方程的两个实数根分别为x1，x2，
即
整理得： 即(m-3)(m+1)=0，
解得： m=3(舍去)或m=-1，
则 m 的值为-1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）考查一元二次方程有实根的条件，核心是利用判别式Δ≥0来列不等式，再解不等式求出m的取值范围；
（2）考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先根据定理写出x1 +x2 和x1 x2 ，再把变形为，代入得到关于m的方程；最后结合第 (1) 问求出的m的取值范围，舍去不符合的解。
22．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“二倍根方程”.例如，一元二次方程 的两个根是1和2，则这个方程就是“二倍根方程”.
（1）若一元二次方程 是“二倍根方程”，则c=　 　.
（2）若(x-2)(ax-b)=0(a≠0)是“二倍根方程”，求 的值.
（3）若方程 是“二倍根方程”，求b与c之间的关系.
【答案】（1）18
（2）解：(x-2)(ax-b)=0，
解得
当 时，
当 时，
综上所述，的值为或
（3）解：
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】（1）设方程x2 9x+c=0的两根为k和2k，
由韦达定理：k+2k=9，解得k=3，则2k=6，
c=k 2k=3×6=18。
故答案为：18；
（3）设方程x2+bx+c=0的两根为k和2k，
由韦达定理：k+2k= b，k 2k=c，
即3k= b，得 ，
代入2k2=c，得：
整理得：。
故答案为：
【分析】(1)利用 “二倍根方程” 的定义，设方程的两根为k和2k，结合韦达定理，通过两根之和求出k的值，再由两根之积得到c；(2)先解出方程的两个根x=2和 ，再根据 “二倍根方程” 的定义分两种情况讨论，求出 的值，最后代入代数式计算；(3)设方程的两根为k和2k，利用韦达定理写出两根和与积，消去参数k，即可得到b与c的关系。
23．小芳在解决问题：已知 求 的值.她是这样分析与解的：
请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：
（2）若
①求 的值；
②求 的值.
【答案】（1）解：
（2）解：
；
.
【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】(1)利用分母有理化，将每一项都转化为 “根式相减” 的形式，再通过 “裂项相消” 合并，抵消中间项，快速得到结果；(2)先对a进行分母有理化，再通过移项、配方，得到a的低次代数式的值，最后用整体代入法，把多项式变形后代入求值。
24．如图，在四边形ABCD中， ∠C=∠D=90°， AD=8cm， CD=4cm， BC=12cm，动点P从点B出发在线段BC上向点C运动，速度为2cm/s；点Q从点D出发在线段DA上向点A运动，速度为1cm/s，Q、D两点不重合. P、Q两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动.设运动时间为t秒.
（1）当t=2秒时，四边形DCPQ面积为多少
（2）当PQ=PC时，求t的值.
（3）当以P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形时，求t的值.
【答案】（1）解：由题意得： DQ=t·1=t， BP=2t，
∴CP=12-2t，
当t=2秒时， DQ=2cm， CP=12-2×2=8(cm)，
∵∠C=∠D=90°，
∴DQ∥CP，
∴四边形DCPQ面积
答：四边形DCPQ面积为20cm；
（2）解：过点Q作QE⊥BC于E，则四边形CDQE 是矩形，
∴CE=DQ=t， ∠PEQ=90°， EQ=CD=4，
∴PE=PC-CE=12-2t-t=12-3t，
当PQ=PC时，
解得t=4秒或秒.
答：当PQ=PC时， t=4秒或秒；
（3）解：由题意得 ，
①当DQ=PQ时，即
解得t=5或t=4；
②DQ=PD时，即
解得： (不合题意舍去)或
③当PQ=PD时，即
=t，解得：
但当t=0时，D，Q两点重合，故
综上所述，当以P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形时，t为5或4或 或
故答案为：5或4或 或
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形；三角形-动点问题
【解析】【分析】(1)先根据t=2求出DQ和CP的长度，再由∠C=∠D=90°判断四边形DCPQ是直角梯形，最后用梯形面积公式计算面积；
(2)先过Q作QE⊥BC构造矩形，用含的式子表示出PE和EQ，再用勾股定理表示PQ；结合PQ=PC列方程，解出的值；
(3)先表示出△PQD各边的长度，再分三种情况讨论等腰三角形：PD=QD、PQ=PD、PQ=QD，分别列方程求解，最后检验是否在运动范围内。
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