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微专题13
带电粒子在有界匀强磁场中的
运动
考点一
带电粒子在几种典型
有界匀强磁场中的运动
命题视角1　带电粒子在直线边界磁场中的运动问题,提升几何分析能力
1.直线边界(进出磁场具有对称性,如图所示)
2.刚好穿出(穿不出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切
(1)平行边界(存在的临界条件如图所示)
(2)多边形边界或角形区域磁场(两种临界条件如图所示)
【典例1】 (困难)某兴趣小组为探索光电效应和光电子在电磁场中的运动规律,设计装置如图所示,频率为ν=1.06×1015 Hz的激光照射在竖直放置的锌板K的中心位置O点,其右侧距离为d1=0.4 m处有另一足够大极板A,A上正对O点有一竖直狭缝,并在两极板间加电压U=1.8 V,两极板间电场可视为匀强电场。在A板右侧有宽度为D、方向垂直于纸面向里、大小为B=10-5 T的匀强磁场。锌板的逸出功W0=
5.376×10-19 J,普朗克常量h=6.6×10-34 J·s,电子质量为m=9×10-31 kg,元电荷e=1.6×10-19 C, π取3,取 sin 53°=0.8,cos 53°=0.6。不计光电子所受重力及光电子间的相互作用。
(1)求光电子到达极板A的最大速度vm;
答案:(1)106 m/s
(2)求极板A上有光电子打中的区域面积;
答案: (2)1.08 m2
(3)要使所有光电子均不从右侧边界飞出,求磁场宽度D应满足的条件,并计算光电子在磁场中运动的最短时间(结果保留一位有效数字)。
答案: (3)D≥0.9 m　1×10-6 s
命题视角2　带电粒子在圆形边界磁场中的运动问题,提升临界轨迹分析能力
1.圆形边界(进出磁场具有对称性)
(1)不沿径向射入时,如图甲所示,射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ,射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ。
(2)沿径向射入必沿径向射出,如图乙所示。
2.环形磁约束模型:解答问题的关键是找出与圆形磁场边界线的相切圆。
【典例2】 (中等)如图所示,空间中有一环形匀强磁场,其内半径为R1,外半径为R2=2R1。在内圆上的A点处有一静止微粒发生裂变,生成甲、乙两个小微粒(均带正电),且二者初速度均沿切线方向并处于如图所示的平面内(甲左乙右)。若两微粒均恰好不从外环射出磁场,则甲、乙所带电荷量之比为
(　　)
A.1∶3 B.3∶1
C.1∶2 D.2∶1
B
考点二
带电粒子在有界
匀强磁场中的多解问题
命题视角　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题,强化动态分析能力
造成多解问题的几种情况分析
原因 图示 说明
粒子电性 不确定 若粒子带正电,轨迹为a;若粒子带负电,轨迹为b
磁场方向 不确定 对于正电荷,若磁场方向垂直于纸面向里,轨迹为a;若磁场方向垂直于纸面向外,轨迹为b。负电荷恰好相反
临界状态 不唯一 速度大小不同,带电粒子可能穿过磁场,也可能在磁场中转过180°从入射界面反向飞出
运动的 周期性 若运动的场区是组合场或交变场,带电粒子的运动往往具有周期性
【典例3】 (临界状态不唯一·中等)如图所示,边长为l0的正方形abcd区域内
(包括边界)存在垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。在a点处有一粒子源,能够沿ab方向发射质量为m、电荷量为+q的粒子,粒子射出的速率大小不同。粒子的重力忽略不计,不考虑粒子之间的相互作用,则(　　)
C
【典例4】 (带电粒子电性不确定·中等)(多选)如图所示,L1和L2为两条平行的虚线,
L1上方和L2下方都是范围足够大,且磁感应强度相同的匀强磁场,A、B两点都在L2上。带电粒子从A点以初速度v0与L2成30°角斜向右上方射出,经过偏转后正好经过B点,经过B点时速度方向也斜向上,不计重力,下列说法正确的是(　 　)
A.若将带电粒子在A点时的初速度变大(方向不变),它仍能经过B点
B.带电粒子经过B点时的速度一定跟在A点时的速度大小相同
C.若将带电粒子在A点时的初速度方向改为与L2成60°角斜向右上方,它将不能经过B点
D.此带电粒子既可以是正电荷,也可以是负电荷
ABD
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A级·基础巩固练
命题视角1　带电粒子在直线边界磁场中的运动问题,提升几何分析能力
1.如图,水平虚线上方存在匀强磁场,甲、乙两个相同的带电粒子从虚线上的A点射入磁场,甲粒子与水平方向的夹角α=60°,乙粒子与水平方向的夹角θ=30°,两粒子都经过虚线边界的B点,不计粒子重力及粒子间的相互作用。设甲粒子的速度大小为v甲,乙粒子的速度大小为v乙,则 等于(　　)
A. B.
C. D.
解析:B　画出甲、乙粒子在磁场中运动的轨迹,建立几何关系如图所示,设AB长度为L,可得2R甲sin 60°=L,甲粒子做圆周运动的半径R甲=L,同理,乙粒子做圆周运动的半径R乙=L,由R=可得==。故选B。
2.如图所示,在理想的虚线边界内有范围足够大的匀强磁场,ab、cd段水平,bc、de段竖直,且ab=cd=bc。在纸面内大量质子从a点垂直于ab以不同速率射入磁场,不计质子间的相互作用和重力,则从边界de垂直射出的质子与在磁场中运动时间最长的质子的速率之比为(　　)
A.3∶2 B.36∶13
C.9∶4 D.36∶17
解析:B　画出质子的运动轨迹,如图所示,设bc长度为2L,则ab=cd=3L,从边界de垂直射出的质子,运动轨迹如图中1所示,
圆心为O1,由几何关系可知R1=ab+cd=6L,当质子过c点时,质子运动轨迹对应的圆心角最大,在磁场中的运动时间最长,运动轨迹如图中2所示,圆心为O2,设半径为R2,则有+
(2L)2=,可得R2=L,由qvB=m,可得v=,所以从边界de垂直射出的质子与在磁场中运动时间最长的质子的速率之比为v1∶v2=R1∶R2=36∶13,故选B。
命题视角2　带电粒子在圆形边界磁场中的运动问题,提升临界轨迹分析能力
3.真空中有一匀强磁场,磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面,磁场的方向与圆柱轴线平行,其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m,电荷量为e,忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内,磁场的磁感应强度最小为(　　)
A. B. C. D.
解析:C　为使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内,电子进入匀强磁场中做匀速圆周运动的半径最大时轨迹如图所示,设其轨迹半径为r,圆心为M,磁场的磁感应强度最小为B,由几何关系有+r=3a,解得r=a,电子在匀强磁场中做匀速圆周运动有evB=m,解得B=,C正确。
命题视角3　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题,强化动态分析能力
4.如图所示,两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形AOC分开,三角形内磁场方向垂直于纸面向里,三角形顶点A处有一质子源,能沿∠OAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计),所有质子均能通过C点,质子比荷=k,则下列说法正确的是(　　)
A.质子的速度可能为BkL
B.质子的速度可能为BkL
C.质子由A到C的时间可能为
D.质子由A到C的时间可能为
解析:C　因质子带正电,且经过C点,其可能的轨迹如图所示,所有圆弧所对圆心角均为60°,质子可能的运动半径r=(n=1,2,3,…),由洛伦兹力提供向心力得Bqv=m,即v==Bk
(n=1,2,3,…),质子的速度不可能为BkL和BkL,故A、B错误;质子由A到C的时间可能为t=×n×==(n=1,2,3,…),故C正确,D错误。
5.如图甲所示,M、N为竖直放置彼此平行的两块平板,板间距离为d,两板中央各有一个小孔O、O′正对,在两板间有垂直于纸面方向的磁场,磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q,正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0,不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响,不计离子所受重力。求:
(1)磁感应强度B0的大小;
(2)要使正离子从O′垂直于N板射出磁场,正离子射入磁场时的速度v0的可能值。
解析:(1)设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向。正离子射入磁场,由洛伦兹力提供向心力有
qB0v0=m,正离子做匀速圆周运动的周期T0=,联立以上可得磁感应强度B0=。
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场,正离子的运动轨迹如图所示。
两板之间正离子只运动一个周期T0时,有R=,
当两板之间正离子运动n个周期nT0时,有R=(n=1,2,3,…),
解得正离子的速度的可能值为v0==(n=1,2,3,…)。
答案:(1)
(2)(n=1,2,3,…)
B级·高考过关练
6.(2025·绍兴模拟)如图所示,在xOy平面中,磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于平面向外,图中虚线圆周的圆心为O、半径为R,一半径也为R的四分之一圆弧形薄挡片可以沿虚线圆周放置在圆周上不同的位置。在x轴上与圆心相距为2R的P点有一粒子源,粒子源可以沿y轴正方向发射不同速度的带正电粒子,已知粒子的质量为m、电荷量为q。整个装置处于真空中,不计粒子重力,忽略粒子之间的相互作用。当粒子碰到薄挡片后立即被吸收,则所有能够被薄挡片吸收的粒子中,在磁场中运动的最长时间为(　　)
A. B.
C. D.
解析:B　粒子在磁场中做匀速圆周运动,其运动的周期为T=,设粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为θ,则粒子在磁场中运动的时间t=T,可知圆心角θ越大,粒子在磁场中运动的时间t越长;根据题意分析,可知当粒子的运动轨迹半径也为R,且挡板在第三象限时,此时粒子恰好从挡板下边缘的C点出射,圆心角最大,作出粒子的运动轨迹如图所示,其中粒子运动轨迹的圆心为虚线圆的左端点A,且粒子恰好经过虚线圆的圆心O点,连接OC,可知AC=AO=OC=R,故三角形OAC为等边三角形,则∠CAO=,根据几何关系可知粒子在磁场中运动的最大圆心角θ=π+=,则粒子在磁场中运动的最长时间为t=T=×=,故选B。
7.(2025·舟山模拟)某离子控制装置如图所示,圆心P(0,10 cm)、半径R=10 cm的圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场(未画出),原点O处的离子源在如图所示角度范围内持续均匀发射离子,发射离子的质量m=3.2×10-27 kg、电荷量q=+1.6×10-19 C、速度v0=2.5×106 m/s。在x=
10 cm的AB处有一长20 cm的挡板垂直于x轴,所有离子均垂直击中挡板并以原速率反弹。在AB延长线BD的右侧有水平向右的匀强电场,电场强度为E=5×106 N/C,在y=35 cm处有一足够长与y轴垂直的荧光屏,荧光屏被离子击中会发光。不考虑电场边缘效应和离子之间相互作用,求:
(1)磁感应强度大小;
(2)离子击中挡板的范围;
(3)荧光屏上亮线的长度。
解析:(1)由于磁场圆心P(0,10 cm),入射速度指向磁场圆心的离子能垂直击中挡板,离子在磁场中做匀速圆周运动,由几何关系可知轨迹圆心的半径为r=R=10 cm,
由洛伦兹力提供向心力有qv0B=,解得B=0.5 T。
(2)如图甲所示,由几何关系可知,
入射方向与y轴左侧成37°时,有y=ymax=R·(1+sin 37°)=16 cm,
与右侧成53°时,有y=ymin=R·(1-sin 53°)=2 cm,
所以击中挡板范围为2 cm≤y≤16 cm。
(3)如图乙所示,在电场中沿着y轴方向做匀速运动,匀速运动的分位移为l=h-=7.5 cm,
离子在电场中运动的最长时间t==5×10-8 s,
离子在电场中沿着x轴方向做匀加速运动,加速度为a=,
则匀加速运动的分位移为x1=v0tsin 53°+·t2=41.25 cm,
如图丙所示,左侧沿x轴运动最长距离为x2=htan 37°=11.25 cm,
荧光屏上亮线的长度L=x1+x2+R=62.5 cm。
答案:(1)0.5 T　(2)2 cm≤y≤16 cm (3)62.5 cm微专题13　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
考点一　带电粒子在几种典型有界匀强磁场中的运动
命题视角1　带电粒子在直线边界磁场中的运动问题,提升几何分析能力
1.直线边界(进出磁场具有对称性,如图所示)
2.刚好穿出(穿不出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切
(1)平行边界(存在的临界条件如图所示)
(2)多边形边界或角形区域磁场(两种临界条件如图所示)
①当α≤θ时,可以过两磁场边界的交点,发射点到两磁场边界的交点距离为d=2Rsin α,如图甲所示。
②当α>θ时,不能通过两磁场边界的交点,临界条件为粒子的运动轨迹恰好和另一个边界相切,如图乙所示。
【典例1】 (困难)某兴趣小组为探索光电效应和光电子在电磁场中的运动规律,设计装置如图所示,频率为ν=1.06×1015 Hz的激光照射在竖直放置的锌板K的中心位置O点,其右侧距离为d1=0.4 m处有另一足够大极板A,A上正对O点有一竖直狭缝,并在两极板间加电压U=1.8 V,两极板间电场可视为匀强电场。在A板右侧有宽度为D、方向垂直于纸面向里、大小为B=10-5 T的匀强磁场。锌板的逸出功W0=5.376×10-19 J,普朗克常量h=6.6×10-34 J·s,电子质量为m=9×10-31 kg,元电荷e=1.6×10-19 C, π取3,取 sin 53°=0.8,cos 53°=0.6。不计光电子所受重力及光电子间的相互作用。
(1)求光电子到达极板A的最大速度vm;
(2)求极板A上有光电子打中的区域面积;
(3)要使所有光电子均不从右侧边界飞出,求磁场宽度D应满足的条件,并计算光电子在磁场中运动的最短时间(结果保留一位有效数字)。
解析:(1)由爱因斯坦光电效应方程得E km=hν-W0,
电场中由动能定理有eU=m-E km,
解得vm=106 m/s。
(2)设极板上有光电子打中的区域为半径为y的圆形区域,电子的最大动能为E km=m,
当光电子以最大速度且沿平行极板方向逸出锌板时,光电子打到圆形区域的边缘。此时光电子在平行极板方向做匀速直线运动,则y=v0t,
光电子在垂直于极板方向做匀加速直线运动,有d1=at2,
其中,根据牛顿第二定律可知,光电子沿垂直于极板方向的加速度大小为a=,
联立得y=0.6 m,
极板A上有光电子打中的区域面积为S=πy2=1.08 m2。
(3)设光电子经过A板时最大速度大小为vm,与板最小夹角为α,则tan α=,解得α=53°。
所有光电子均不从右侧边界飞出临界情况如图甲所示。
由几何关系得Dm=r(1+cos α),
由洛伦兹力提供向心力有evmB=,
解得Dm=0.9 m,
所以磁场宽度D应满足的条件为D≥0.9 m。
光电子在磁场中运动最短时间对应轨迹如图乙所示。
光电子在磁场中运动的周期为T==,
运动的最短时间为tmin=T,
解得tmin=1×10-6s。
答案:(1)106 m/s　(2)1.08 m2
(3)D≥0.9 m　1×10-6 s
命题视角2　带电粒子在圆形边界磁场中的运动问题,提升临界轨迹分析能力
1.圆形边界(进出磁场具有对称性)
(1)不沿径向射入时,如图甲所示,射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ,射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ。
(2)沿径向射入必沿径向射出,如图乙所示。
2.环形磁约束模型:解答问题的关键是找出与圆形磁场边界线的相切圆。
三种 相切 情境
临界 半径 r= r= 勾股定理(R2-r)2=+r2 解得r=
【典例2】 (中等)如图所示,空间中有一环形匀强磁场,其内半径为R1,外半径为R2=2R1。在内圆上的A点处有一静止微粒发生裂变,生成甲、乙两个小微粒(均带正电),且二者初速度均沿切线方向并处于如图所示的平面内(甲左乙右)。若两微粒均恰好不从外环射出磁场,则甲、乙所带电荷量之比为(　　)
A.1∶3 B.3∶1
C.1∶2 D.2∶1
解析:B　根据左手定则,两微粒运动轨迹如图所示。
设向右为正方向,向右的微粒速度为v乙,质量为m乙,向左的微粒速度大小为v甲,质量为m甲,由动量守恒有0=m乙v乙-m甲v甲,对微粒甲,由几何关系有r甲=,对微粒乙,由几何关系有r乙=R1,带电微粒在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,整理有r=,由上述各式,整理有=3,故选B。
考点二　带电粒子在有界匀强磁场中的多解问题
命题视角　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题,强化动态分析能力
造成多解问题的几种情况分析
原因 图示 说明
粒子电性 不确定 若粒子带正电,轨迹为a;若粒子带负电,轨迹为b
磁场方向 不确定 对于正电荷,若磁场方向垂直于纸面向里,轨迹为a;若磁场方向垂直于纸面向外,轨迹为b。负电荷恰好相反
临界状态 不唯一 速度大小不同,带电粒子可能穿过磁场,也可能在磁场中转过180°从入射界面反向飞出
运动的 周期性 若运动的场区是组合场或交变场,带电粒子的运动往往具有周期性
【典例3】 (临界状态不唯一·中等)如图所示,边长为l0的正方形abcd区域内(包括边界)存在垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。在a点处有一粒子源,能够沿ab方向发射质量为m、电荷量为+q的粒子,粒子射出的速率大小不同。粒子的重力忽略不计,不考虑粒子之间的相互作用,则(　　)
A.轨迹不同的粒子,在磁场中运动时间一定不同
B.从c点射出的粒子入射速度大小为
C.从d点射出的粒子在磁场中运动的时间为
D.粒子在边界上出射点距a点越远,在磁场中运动的时间越短
解析:C　粒子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力有qvB=m,解得半径R=,且粒子运动的周期T==,设粒子在磁场中转过的圆心角为θ,粒子在磁场中的运动时间t=T=,粒子速率不同运动轨迹不同,如果转过的圆心角θ相等,则粒子在磁场中的运动时间相等,如从ad边离开磁场的粒子在磁场中转过半个圆周,虽然运动轨迹不同,但运动时间都相同,为T,A错误;从c点射出的粒子半径R=l0,解得速度v=,B错误;从d点射出的粒子运动时间为半个周期t=T=,C正确;根据C选项的分析可知,粒子从a点射入,从ad边射出,所用时间均为半个周期,因此粒子在边界上出射点距a点越远,在磁场中运动的时间不一定越短,D错误。
【典例4】 (带电粒子电性不确定·中等)(多选)如图所示,L1和L2为两条平行的虚线,L1上方和L2下方都是范围足够大,且磁感应强度相同的匀强磁场,A、B两点都在L2上。带电粒子从A点以初速度v0与L2成30°角斜向右上方射出,经过偏转后正好经过B点,经过B点时速度方向也斜向上,不计重力,下列说法正确的是(　　)
A.若将带电粒子在A点时的初速度变大(方向不变),它仍能经过B点
B.带电粒子经过B点时的速度一定跟在A点时的速度大小相同
C.若将带电粒子在A点时的初速度方向改为与L2成60°角斜向右上方,它将不能经过B点
D.此带电粒子既可以是正电荷,也可以是负电荷
解析:ABD　画出带电粒子运动的可能轨迹如图所示。
根据轨迹,粒子经过边界L1时入射点与出射点间的距离与经过边界L2时入射点与出射点间的距离相同,与速度无关。所以当初速度大小变大,方向保持不变时,它仍能经过B点,A正确;如图,由于洛伦兹力对粒子不做功,则粒子在B点的速度跟在A点时的速度大小相等,B正确;如图,设L1与L2之间的距离为d,则A到B2的距离为x=,所以,若将带电粒子在A点时初速度方向改为与L2成60°角斜向上,则每次经过一个周期前进的距离为x1==,则经过三个周期后经过B点,C错误;由图可知,分别是正、负电荷的轨迹,正、负电荷都可能,D正确。
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A级·基础巩固练
命题视角1　带电粒子在直线边界磁场中的运动问题,提升几何分析能力
1.如图,水平虚线上方存在匀强磁场,甲、乙两个相同的带电粒子从虚线上的A点射入磁场,甲粒子与水平方向的夹角α=60°,乙粒子与水平方向的夹角θ=30°,两粒子都经过虚线边界的B点,不计粒子重力及粒子间的相互作用。设甲粒子的速度大小为v甲,乙粒子的速度大小为v乙,则 等于(　　)
A. B.
C. D.
解析:B　画出甲、乙粒子在磁场中运动的轨迹,建立几何关系如图所示,设AB长度为L,可得2R甲sin 60°=L,甲粒子做圆周运动的半径R甲=L,同理,乙粒子做圆周运动的半径R乙=L,由R=可得==。故选B。
2.如图所示,在理想的虚线边界内有范围足够大的匀强磁场,ab、cd段水平,bc、de段竖直,且ab=cd=bc。在纸面内大量质子从a点垂直于ab以不同速率射入磁场,不计质子间的相互作用和重力,则从边界de垂直射出的质子与在磁场中运动时间最长的质子的速率之比为(　　)
A.3∶2 B.36∶13
C.9∶4 D.36∶17
解析:B　画出质子的运动轨迹,如图所示,设bc长度为2L,则ab=cd=3L,从边界de垂直射出的质子,运动轨迹如图中1所示,
圆心为O1,由几何关系可知R1=ab+cd=6L,当质子过c点时,质子运动轨迹对应的圆心角最大,在磁场中的运动时间最长,运动轨迹如图中2所示,圆心为O2,设半径为R2,则有+
(2L)2=,可得R2=L,由qvB=m,可得v=,所以从边界de垂直射出的质子与在磁场中运动时间最长的质子的速率之比为v1∶v2=R1∶R2=36∶13,故选B。
命题视角2　带电粒子在圆形边界磁场中的运动问题,提升临界轨迹分析能力
3.真空中有一匀强磁场,磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面,磁场的方向与圆柱轴线平行,其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m,电荷量为e,忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内,磁场的磁感应强度最小为(　　)
A. B. C. D.
解析:C　为使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内,电子进入匀强磁场中做匀速圆周运动的半径最大时轨迹如图所示,设其轨迹半径为r,圆心为M,磁场的磁感应强度最小为B,由几何关系有+r=3a,解得r=a,电子在匀强磁场中做匀速圆周运动有evB=m,解得B=,C正确。
命题视角3　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题,强化动态分析能力
4.如图所示,两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形AOC分开,三角形内磁场方向垂直于纸面向里,三角形顶点A处有一质子源,能沿∠OAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计),所有质子均能通过C点,质子比荷=k,则下列说法正确的是(　　)
A.质子的速度可能为BkL
B.质子的速度可能为BkL
C.质子由A到C的时间可能为
D.质子由A到C的时间可能为
解析:C　因质子带正电,且经过C点,其可能的轨迹如图所示,所有圆弧所对圆心角均为60°,质子可能的运动半径r=(n=1,2,3,…),由洛伦兹力提供向心力得Bqv=m,即v==Bk
(n=1,2,3,…),质子的速度不可能为BkL和BkL,故A、B错误;质子由A到C的时间可能为t=×n×==(n=1,2,3,…),故C正确,D错误。
5.如图甲所示,M、N为竖直放置彼此平行的两块平板,板间距离为d,两板中央各有一个小孔O、O′正对,在两板间有垂直于纸面方向的磁场,磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q,正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0,不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响,不计离子所受重力。求:
(1)磁感应强度B0的大小;
(2)要使正离子从O′垂直于N板射出磁场,正离子射入磁场时的速度v0的可能值。
解析:(1)设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向。正离子射入磁场,由洛伦兹力提供向心力有
qB0v0=m,正离子做匀速圆周运动的周期T0=,联立以上可得磁感应强度B0=。
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场,正离子的运动轨迹如图所示。
两板之间正离子只运动一个周期T0时,有R=,
当两板之间正离子运动n个周期nT0时,有R=(n=1,2,3,…),
解得正离子的速度的可能值为v0==(n=1,2,3,…)。
答案:(1)
(2)(n=1,2,3,…)
B级·高考过关练
6.(2025·绍兴模拟)如图所示,在xOy平面中,磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于平面向外,图中虚线圆周的圆心为O、半径为R,一半径也为R的四分之一圆弧形薄挡片可以沿虚线圆周放置在圆周上不同的位置。在x轴上与圆心相距为2R的P点有一粒子源,粒子源可以沿y轴正方向发射不同速度的带正电粒子,已知粒子的质量为m、电荷量为q。整个装置处于真空中,不计粒子重力,忽略粒子之间的相互作用。当粒子碰到薄挡片后立即被吸收,则所有能够被薄挡片吸收的粒子中,在磁场中运动的最长时间为(　　)
A. B.
C. D.
解析:B　粒子在磁场中做匀速圆周运动,其运动的周期为T=,设粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为θ,则粒子在磁场中运动的时间t=T,可知圆心角θ越大,粒子在磁场中运动的时间t越长;根据题意分析,可知当粒子的运动轨迹半径也为R,且挡板在第三象限时,此时粒子恰好从挡板下边缘的C点出射,圆心角最大,作出粒子的运动轨迹如图所示,其中粒子运动轨迹的圆心为虚线圆的左端点A,且粒子恰好经过虚线圆的圆心O点,连接OC,可知AC=AO=OC=R,故三角形OAC为等边三角形,则∠CAO=,根据几何关系可知粒子在磁场中运动的最大圆心角θ=π+=,则粒子在磁场中运动的最长时间为t=T=×=,故选B。
7.(2025·舟山模拟)某离子控制装置如图所示,圆心P(0,10 cm)、半径R=10 cm的圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场(未画出),原点O处的离子源在如图所示角度范围内持续均匀发射离子,发射离子的质量m=3.2×10-27 kg、电荷量q=+1.6×10-19 C、速度v0=2.5×106 m/s。在x=
10 cm的AB处有一长20 cm的挡板垂直于x轴,所有离子均垂直击中挡板并以原速率反弹。在AB延长线BD的右侧有水平向右的匀强电场,电场强度为E=5×106 N/C,在y=35 cm处有一足够长与y轴垂直的荧光屏,荧光屏被离子击中会发光。不考虑电场边缘效应和离子之间相互作用,求:
(1)磁感应强度大小;
(2)离子击中挡板的范围;
(3)荧光屏上亮线的长度。
解析:(1)由于磁场圆心P(0,10 cm),入射速度指向磁场圆心的离子能垂直击中挡板,离子在磁场中做匀速圆周运动,由几何关系可知轨迹圆心的半径为r=R=10 cm,
由洛伦兹力提供向心力有qv0B=,解得B=0.5 T。
(2)如图甲所示,由几何关系可知,
入射方向与y轴左侧成37°时,有y=ymax=R·(1+sin 37°)=16 cm,
与右侧成53°时,有y=ymin=R·(1-sin 53°)=2 cm,
所以击中挡板范围为2 cm≤y≤16 cm。
(3)如图乙所示,在电场中沿着y轴方向做匀速运动,匀速运动的分位移为l=h-=7.5 cm,
离子在电场中运动的最长时间t==5×10-8 s,
离子在电场中沿着x轴方向做匀加速运动,加速度为a=,
则匀加速运动的分位移为x1=v0tsin 53°+·t2=41.25 cm,
如图丙所示,左侧沿x轴运动最长距离为x2=htan 37°=11.25 cm,
荧光屏上亮线的长度L=x1+x2+R=62.5 cm。
答案:(1)0.5 T　(2)2 cm≤y≤16 cm (3)62.5 cm

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