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课时2　磁场对运动电荷的作用
考点一　洛伦兹力的理解与应用
1.洛伦兹力
2.洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现,二者性质相同,都是磁场力。
(2)安培力可以做功,而洛伦兹力对运动电荷永不做功。
命题视角　洛伦兹力的理解与简单应用,初步理解洛伦兹力对带电体运动的影响
【典例1】 (容易)来自太阳和其他星体的宇宙射线含有大量高能带电粒子,若这些粒子都到达地面,将会对地球上的生命带来危害。但由于地磁场(如图所示)的存在改变了宇宙射线中带电粒子的运动方向,使得很多高能带电粒子不能到达地面。下列说法正确的是(　　)
A.地磁场的磁感线从地理南极出发终止于地理北极
B.地磁场对垂直射向地球表面的宇宙射线的阻挡作用在南、北两极附近最强
C.地磁场对垂直射向地球表面的宇宙射线的阻挡作用在赤道附近最强
D.地磁场会使沿地球赤道平面内射来的宇宙射线中的带电粒子向两极偏转
解析:C
考点二　洛伦兹力作用下带电体的运动　　　　　　 　　　　　 　　　　　
命题视角　定性分析带电体在多种力作用下的运动,核心为分析洛伦兹力的方向
【典例2】 (中等)(2024·Z20联盟联考)如图,光滑绝缘的圆弧轨道MON固定在竖直平面内。O为其最低点,M、N等高,匀强磁场方向与轨道平面垂直。将一个带正电的小球自M点由静止释放,它在轨道上M、N间往复运动。下列说法正确的是(　　)
A.小球在M点和N点时均处于平衡状态
B.小球由M到O所用的时间小于由N到O所用的时间
C.小球每次经过O点时对轨道的压力均相等
D.小球每次经过O点时所受合力均相等
解析:D　小球在M点和N点所受合力不为零,所以小球在M点与N点未处于平衡状态,故A错误;由于洛伦兹力总是与运动方向垂直,不对小球做功,又轨道光滑,故对其速度大小有影响的只有重力,故小球无论从哪边滚下,到O点所用时间都是一样的,故B错误;根据机械能守恒定律,小球每次经过最低点时速度大小相等,由F合=m可知,F合大小相等,故D正确;小球在最低点时受重力、支持力和洛伦兹力三个力的作用,从N到M时,在O点有F1-mg-F洛=m,轨道所受的压力大小为F1′=F1,小球从M到N时,在O点有F2+F洛-mg=m,轨道所受的压力大小为F2′=F2,所以小球经过O点时对轨道的压力大小不相等,故C错误。
考点三　带电粒子在匀强磁场中的运动
命题视角　带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的基本问题,确定轨迹圆心是关键
1.关键点
(1)圆心的确定方法。
①若已知粒子轨迹上的两点的速度方向,分别确定两点处洛伦兹力F的方向,其交点即为圆心,如图甲。
②若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向,弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心,如图乙。
③若已知粒子轨迹上某点速度方向,又能根据r=计算出轨迹半径r,则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心,如图丙。
(2)半径的计算方法。
方法一:由r=求得。
方法二:连接半径构造出三角形,由数学方法解三角形或利用勾股定理求得。如图甲,由r=或r2=L2+(r-d)2求得。
常用到的几何关系:
①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角,如图乙,=α。
②弦切角等于弦所对应圆心角的一半,如图乙,θ=α。
(3)时间的计算方法。
方法一:利用圆心角θ、周期T求得t=T。
方法二:利用弧长l、线速度v求得t=。
2.解题思维链
【典例3】 (中等)(2025·杭州期末)半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B,在圆心O的正下方处有一个粒子源S,向外发射质量为m、电量为+q、且与SO成37°角、垂直于磁场方向的带电粒子。且粒子源射出的粒子数按速度大小均匀地分布在0～vm范围(vm未知)内,不计带电粒子的重力和粒子间的相互作用。(取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)
(1)最大速度的粒子从圆心O的正上方A点离开磁场,求粒子的最大速度vm。
(2)求射出磁场的粒子在磁场中运动的最短时间。
(3)求射出磁场的粒子数占整个粒子源射出粒子数的比例。
解析:(1)最大速度的粒子从圆心O的正上方A点离开磁场,设圆周运动半径为r,如图甲所示。
由几何关系可知r==R,
因为qvmB=m,解得vm=。
(2)要让射出磁场的粒子在磁场中运动的时间最短,则扫过的圆心角最小,分析可知从A点射出的粒子扫过的圆心角最小,由几何关系可知最小圆心角为74°,则最短时间t=T=×=。
(3)设粒子在速度为v1时,轨迹恰好与磁场圆相切,设粒子圆周运动半径为r1,如图乙所示。
由几何关系有
=+()2-2r1××cos 53°,
解得r1=R。
因为qv1B=m,可知v1=,
因为粒子源射出的粒子数按速度大小均匀地分布在0～vm范围内,所以射出磁场的粒子数占整个粒子源射出粒子数的比例η=,解得η=。
答案:(1)　(2)　(3)
课时作业
A级·基础巩固练
命题视角1　洛伦兹力的理解与简单应用,初步理解洛伦兹力对带电体运动的影响
1.如图所示,在真空中,水平导线中有恒定电流I通过,导线的正下方有一束电子初速度方向与电流方向相同,则电子可能的运动情况是(　　)
A.沿路径a运动
B.沿路径b运动
C.沿路径c运动
D.沿路径d运动
解析:D
命题视角2　定性分析带电体在多种力作用下的运动,核心为分析洛伦兹力的方向
2.如图所示,带正电的小球竖直向下射入垂直于纸面向里的匀强磁场,关于小球运动和受力说法正确的是(　　)
A.小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B.小球运动过程中的速度不变
C.小球运动过程的加速度保持不变
D.小球受到的洛伦兹力对小球做正功
解析:A
命题视角3　带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的基本问题,确定轨迹圆心是关键
3.在光滑绝缘的水平面上,有竖直方向的匀强磁场,A球质量为m,带电荷量为+q,B球质量为M,带电荷量为+Q,且qA.轨迹1是A球的,磁场方向竖直向上
B.轨迹2是A球的,磁场方向竖直向上
C.轨迹1是B球的,磁场方向竖直向下
D.轨迹2是B球的,磁场方向竖直向下
解析:A　带电小球在磁场中运动时,洛伦兹力提供向心力,则有Bqv=,解得圆周运动的轨道半径R=,两球组成的系统动量守恒,最初静止,初动量为零,故弹簧解锁后两球动量大小相等,方向相反,因qRB,所以轨迹1是A球的,轨迹2是B球的,再由左手定则可知,磁场方向竖直向上。故选A。
4.圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场,三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c以不同的速率沿着AO方向对准圆心O射入磁场,其运动轨迹如图所示。若带电粒子只受磁场力的作用,则下列说法正确的是(　　)
A.a粒子速率最大
B.c粒子的洛伦兹力最小
C.a粒子在磁场中运动的时间最长
D.它们做圆周运动的周期Ta解析:C　粒子的轨迹如图所示,
根据洛伦兹力提供向心力可得qvB=m,解得v=,由于三个带电粒子的质量、电荷量均相同,在同一个磁场中,c粒子的轨道半径最大,所以c粒子速率最大,c粒子的洛伦兹力最大,A、B错误;粒子做圆周运动的周期为T==,由于三个带电粒子的质量、电荷量均相同,故在同一个磁场中有Ta=Tb=Tc,根据t=T,由于a粒子转过的圆心角最大,则a粒子在磁场中运动的时间最长,C正确,D错误。
5.在xOy坐标平面内,y轴右侧有垂直于坐标平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。第一象限有一半径为R的中空D形薄收集盒,直径MN紧贴y轴放置,圆心位于P (0,2R),如图所示。在坐标原点O处有一粒子源,可同时沿x轴正方向持续发射各种不同速率的带正电的粒子,粒子质量均为m,电荷量均为q,忽略粒子间的相互作用,且不计重力,sin 53°=0.8。求:
(1)刚好到达D形盒N点的粒子速率v1;
(2)能沿D形盒半径方向到达D形盒的粒子速率v2;
(3)(2)中的粒子到达D形盒前在磁场中运动的时间t。
解析:(1)打到N点的粒子运动半径为r1=,
由洛伦兹力提供向心力有qv1B=,
解得v1=。
(2)作出粒子的运动轨迹如图。
由几何关系有=R2+,解得r2=;
由洛伦兹力提供向心力有qv2B=,
解得v2=。
(3)由几何关系可知cos α==,
根据洛伦兹力提供向心力有qv2B=,
根据周期的计算公式T=,
粒子在磁场运动的时间为t=T,
解得t=。
答案:(1)　(2)　(3)
B级·高考过关练
6.如图所示,科学家将云室放在方向垂直于纸面向里的匀强磁场中,并在云室中放置一块厚
6 mm的铝板,云室记录了某种宇宙射线粒子从下向上穿过铝板前后的运动轨迹。则(　　)
A.宇宙射线带负电
B.宇宙射线可能是α粒子流
C.穿过铝板后粒子的物质波波长不变
D.穿过铝板后粒子受到的洛伦兹力减小
解析:D　由于匀强磁场方向垂直于纸面向里,且宇宙射线粒子从下向上穿过铝板,根据左手定则可知粒子带正电,A错误;由于α粒子的穿透能力较弱,不能穿过铝板,B错误;根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m,可得r=,由题图可知,粒子穿过铝板后半径减小,则速度减小,动量减小,根据p=可知,穿过铝板后粒子的物质波波长变长,C错误;粒子穿过铝板后速度减小,洛伦兹力减小,D正确。
7.如图甲所示,一点电荷(不计重力)在辐向电场中围绕圆心O做匀速圆周运动,轨迹所在处的电场强度大小均为E;如图乙所示,同一点电荷在垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场中做匀速圆周运动。已知点电荷两次做圆周运动的线速度相等,两个圆弧轨迹的半径均为r,下列说法正确的是(　　)
A.图乙中点电荷可能沿逆时针转动也可能沿顺时针转动
B.点电荷的线速度大小为
C.点电荷的向心加速度大小为
D.点电荷的比荷为
解析:C　由题图甲可知点电荷一定带正电,对题图乙由左手定则可知点电荷一定沿逆时针转动,A错误;对题图甲有Eq=,对题图乙有Bqv=,可得v=,B错误;向心加速度大小为a==,C正确;由v=、r=,综合可得点电荷的比荷为=,D错误。
8.如图所示,半径为R的实线圆形边界内存在垂直于纸面向外的匀强磁场(未画出),一质量为m、电荷量为+q的粒子(不计重力)从圆周上的A点以速度v0射入磁场,从B点射出磁场,运动轨迹的半径为2R,粒子在圆形边界内的运动时间为速率相同情况下运动时间的最大值,D点是入射速度延长线与出射速度反向延长线的交点,C点是出射速度延长线上一点,D、C两点间的距离为R,过C点的虚线CE、CM分别与AD平行和垂直,虚线MN与CE平行,且MN与CE的间距为4R,CM、CE与MN所围区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出),粒子从C点进入磁场,到达MN时轨迹正好与MN相切于P点,求:
(1)实线圆形边界内匀强磁场的磁感应强度大小B1;
(2)CE与MN间匀强磁场的磁感应强度大小B2;
(3)粒子从A到P所用的总时间t;
解析:(1)由洛伦兹力充当向心力可得B1qv0=,解得B1=。
(2)AB为圆形边界的直径,AB=2R,过A、B两点作速度的垂线即轨迹圆的半径,设AD与AB的夹角为θ,由几何关系可得sin θ=,解得θ=。
设速度的偏转角为α,则有α=2θ=,
过C、P两点作速度的垂线,设轨迹圆的半径为r,由几何关系可得=cos 60°,由洛伦兹力充当向心力可得B2qv0=,综合解得B2=。
(3)粒子从A到B的运动时间为t1=,
由几何关系可得BD==R,
则BC=CD-BD=R-R=R,
粒子从B到C的运动时间为t2==,
从C到P,粒子运动轨迹所对的圆心角为60°,粒子从C到P的运动时间为t3==,
则粒子从A到P运动的总时间为t=t1+t2+t3=。
答案:(1)　(2)　(3)课时2　磁场对运动电荷的作用
课时作业
A级·基础巩固练
命题视角1　洛伦兹力的理解与简单应用,初步理解洛伦兹力对带电体运动的影响
1.如图所示,在真空中,水平导线中有恒定电流I通过,导线的正下方有一束电子初速度方向与电流方向相同,则电子可能的运动情况是(　　)
A.沿路径a运动
B.沿路径b运动
C.沿路径c运动
D.沿路径d运动
解析:D
命题视角2　定性分析带电体在多种力作用下的运动,核心为分析洛伦兹力的方向
2.如图所示,带正电的小球竖直向下射入垂直于纸面向里的匀强磁场,关于小球运动和受力说法正确的是(　　)
A.小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B.小球运动过程中的速度不变
C.小球运动过程的加速度保持不变
D.小球受到的洛伦兹力对小球做正功
解析:A
命题视角3　带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的基本问题,确定轨迹圆心是关键
3.在光滑绝缘的水平面上,有竖直方向的匀强磁场,A球质量为m,带电荷量为+q,B球质量为M,带电荷量为+Q,且qA.轨迹1是A球的,磁场方向竖直向上
B.轨迹2是A球的,磁场方向竖直向上
C.轨迹1是B球的,磁场方向竖直向下
D.轨迹2是B球的,磁场方向竖直向下
解析:A　带电小球在磁场中运动时,洛伦兹力提供向心力,则有Bqv=,解得圆周运动的轨道半径R=,两球组成的系统动量守恒,最初静止,初动量为零,故弹簧解锁后两球动量大小相等,方向相反,因qRB,所以轨迹1是A球的,轨迹2是B球的,再由左手定则可知,磁场方向竖直向上。故选A。
4.圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场,三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c以不同的速率沿着AO方向对准圆心O射入磁场,其运动轨迹如图所示。若带电粒子只受磁场力的作用,则下列说法正确的是(　　)
A.a粒子速率最大
B.c粒子的洛伦兹力最小
C.a粒子在磁场中运动的时间最长
D.它们做圆周运动的周期Ta解析:C　粒子的轨迹如图所示,
根据洛伦兹力提供向心力可得qvB=m,解得v=,由于三个带电粒子的质量、电荷量均相同,在同一个磁场中,c粒子的轨道半径最大,所以c粒子速率最大,c粒子的洛伦兹力最大,A、B错误;粒子做圆周运动的周期为T==,由于三个带电粒子的质量、电荷量均相同,故在同一个磁场中有Ta=Tb=Tc,根据t=T,由于a粒子转过的圆心角最大,则a粒子在磁场中运动的时间最长,C正确,D错误。
5.在xOy坐标平面内,y轴右侧有垂直于坐标平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。第一象限有一半径为R的中空D形薄收集盒,直径MN紧贴y轴放置,圆心位于P (0,2R),如图所示。在坐标原点O处有一粒子源,可同时沿x轴正方向持续发射各种不同速率的带正电的粒子,粒子质量均为m,电荷量均为q,忽略粒子间的相互作用,且不计重力,sin 53°=0.8。求:
(1)刚好到达D形盒N点的粒子速率v1;
(2)能沿D形盒半径方向到达D形盒的粒子速率v2;
(3)(2)中的粒子到达D形盒前在磁场中运动的时间t。
解析:(1)打到N点的粒子运动半径为r1=,
由洛伦兹力提供向心力有qv1B=,
解得v1=。
(2)作出粒子的运动轨迹如图。
由几何关系有=R2+,解得r2=;
由洛伦兹力提供向心力有qv2B=,
解得v2=。
(3)由几何关系可知cos α==,
根据洛伦兹力提供向心力有qv2B=,
根据周期的计算公式T=,
粒子在磁场运动的时间为t=T,
解得t=。
答案:(1)　(2)　(3)
B级·高考过关练
6.如图所示,科学家将云室放在方向垂直于纸面向里的匀强磁场中,并在云室中放置一块厚
6 mm的铝板,云室记录了某种宇宙射线粒子从下向上穿过铝板前后的运动轨迹。则(　　)
A.宇宙射线带负电
B.宇宙射线可能是α粒子流
C.穿过铝板后粒子的物质波波长不变
D.穿过铝板后粒子受到的洛伦兹力减小
解析:D　由于匀强磁场方向垂直于纸面向里,且宇宙射线粒子从下向上穿过铝板,根据左手定则可知粒子带正电,A错误;由于α粒子的穿透能力较弱,不能穿过铝板,B错误;根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m,可得r=,由题图可知,粒子穿过铝板后半径减小,则速度减小,动量减小,根据p=可知,穿过铝板后粒子的物质波波长变长,C错误;粒子穿过铝板后速度减小,洛伦兹力减小,D正确。
7.如图甲所示,一点电荷(不计重力)在辐向电场中围绕圆心O做匀速圆周运动,轨迹所在处的电场强度大小均为E;如图乙所示,同一点电荷在垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场中做匀速圆周运动。已知点电荷两次做圆周运动的线速度相等,两个圆弧轨迹的半径均为r,下列说法正确的是(　　)
A.图乙中点电荷可能沿逆时针转动也可能沿顺时针转动
B.点电荷的线速度大小为
C.点电荷的向心加速度大小为
D.点电荷的比荷为
解析:C　由题图甲可知点电荷一定带正电,对题图乙由左手定则可知点电荷一定沿逆时针转动,A错误;对题图甲有Eq=,对题图乙有Bqv=,可得v=,B错误;向心加速度大小为a==,C正确;由v=、r=,综合可得点电荷的比荷为=,D错误。
8.如图所示,半径为R的实线圆形边界内存在垂直于纸面向外的匀强磁场(未画出),一质量为m、电荷量为+q的粒子(不计重力)从圆周上的A点以速度v0射入磁场,从B点射出磁场,运动轨迹的半径为2R,粒子在圆形边界内的运动时间为速率相同情况下运动时间的最大值,D点是入射速度延长线与出射速度反向延长线的交点,C点是出射速度延长线上一点,D、C两点间的距离为R,过C点的虚线CE、CM分别与AD平行和垂直,虚线MN与CE平行,且MN与CE的间距为4R,CM、CE与MN所围区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出),粒子从C点进入磁场,到达MN时轨迹正好与MN相切于P点,求:
(1)实线圆形边界内匀强磁场的磁感应强度大小B1;
(2)CE与MN间匀强磁场的磁感应强度大小B2;
(3)粒子从A到P所用的总时间t;
解析:(1)由洛伦兹力充当向心力可得B1qv0=,解得B1=。
(2)AB为圆形边界的直径,AB=2R,过A、B两点作速度的垂线即轨迹圆的半径,设AD与AB的夹角为θ,由几何关系可得sin θ=,解得θ=。
设速度的偏转角为α,则有α=2θ=,
过C、P两点作速度的垂线,设轨迹圆的半径为r,由几何关系可得=cos 60°,由洛伦兹力充当向心力可得B2qv0=,综合解得B2=。
(3)粒子从A到B的运动时间为t1=,
由几何关系可得BD==R,
则BC=CD-BD=R-R=R,
粒子从B到C的运动时间为t2==,
从C到P,粒子运动轨迹所对的圆心角为60°,粒子从C到P的运动时间为t3==,
则粒子从A到P运动的总时间为t=t1+t2+t3=。
答案:(1)　(2)　(3)(共19张PPT)
课时2
磁场对运动电荷的作用
考点一
洛伦兹力的理解与应用
基础梳理
运动电荷
1.洛伦兹力
0
qvB
垂直
正电荷
洛伦兹力
不做功
qvBsinθ
2.洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1) 是 的宏观表现,二者性质相同,都是磁场力。
(2) 可以做功,而 对运动电荷永不做功。
安培力
洛伦兹力
安培力
洛伦兹力
典例精析
命题视角　洛伦兹力的理解与简单应用,初步理解洛伦兹力对带电体运动的影响
【典例1】 (容易)来自太阳和其他星体的宇宙射线含有大量高能带电粒子,若这些粒子都到达地面,将会对地球上的生命带来危害。但由于地磁场(如图所示)的存在改变了宇宙射线中带电粒子的运动方向,使得很多高能带电粒子不能到达地面。下列说法正确的是(　　)
A.地磁场的磁感线从地理南极出发终止于地理北极
B.地磁场对垂直射向地球表面的宇宙射线的阻挡作用在南、
北两极附近最强
C.地磁场对垂直射向地球表面的宇宙射线的阻挡作用在赤道附近最强
D.地磁场会使沿地球赤道平面内射来的宇宙射线中的带电粒子向两极偏转
C
考点二
洛伦兹力作用下带电体的运动　　　　
典例精析
命题视角　定性分析带电体在多种力作用下的运动,核心为分析洛伦兹力的方向
【典例2】 (中等)(2024·Z20联盟联考)如图,光滑绝缘的圆弧轨道MON固定在竖直平面内。O为其最低点,M、N等高,匀强磁场方向与轨道平面垂直。将一个带正电的小球自M点由静止释放,它在轨道上M、N间往复运动。下列说法正确的是(　　)
A.小球在M点和N点时均处于平衡状态
B.小球由M到O所用的时间小于由N到O所用的时间
C.小球每次经过O点时对轨道的压力均相等
D.小球每次经过O点时所受合力均相等
D
考点三
带电粒子在匀强磁场中的运动
基础梳理
匀速直线
典例精析
命题视角　带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的基本问题,确定轨迹圆心是关键
1.关键点
(1)圆心的确定方法。
①若已知粒子轨迹上的两点的速度方向,分别确定两点处洛伦兹力F的方向,其交点即为圆心,如图甲。
②若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向,弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心,如图乙。
2.解题思维链
(1)最大速度的粒子从圆心O的正上方A点离开磁场,求粒子的最大速度vm。
(2)求射出磁场的粒子在磁场中运动的最短时间。
(3)求射出磁场的粒子数占整个粒子源射出粒子数的比例。
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