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实验九:用单摆测量重力加速度
原理装置图 操作要求 注意事项
测摆长l和周期T,由 T=2π得g= 1.做单摆:将细线穿过带中心孔的小钢球,并打一个比小孔大一些的结,然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上,让摆球自然下垂。 2.测摆长:用刻度尺量出摆线长l′(精确到毫米),用游标卡尺测出小球直径D,则单摆的摆长l=l′+。 3.测周期:将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°),然后释放小球,记下单摆摆动30~50次的总时间,算出一次全振动的时间,即为单摆的振动周期。 4.改变摆长,重做几次实验 1.摆线要选1 m左右,柔软不易伸长的丝线,不要过长或过短。 2.悬线长要待悬挂好球后再测,计算摆长时要将悬线长加上摆球半径。 3.单摆要在竖直平面内摆动,不要形成圆锥摆。 4.要从平衡位置开始计时,并数准全振动的次数
数 据 处 理 1.公式法:利用T=求出周期,然后利用公式g=求重力加速度;通过改变摆长,测得多个重力加速度g1、g2、g3、…、gn,求得重力加速度的平均值g=。 2.图像法:由单摆的周期公式T=2π可得l=T2,因此以摆长l为纵轴,以T2为横轴作出的l-T2图像是一条过原点的直线,如图所示,求出斜率k,即可求出g值。g=4π2k,k==
考点一　教材原型实验
【典例1】 (中等)利用单摆可以测量当地的重力加速度。
(1)为了较精确地进行测量,以下两种单摆组装方式,应选择　　　　。
(2)组装好单摆,先用刻度尺测量摆线长度,再用游标卡尺测量小球的直径,其示数如图甲,则小球直径为　　　　mm;摆球在竖直平面内稳定摆动后,用秒表记录单摆经历多次全振动所用的时间t如图乙所示,则t=　　　　s。
(3)测量出多组单摆的摆长L和运动周期T,作出T2-L图像,如图丙所示,由此可求出重力加速度g=　　　　m/s2。(取π2=10,保留两位有效数字)
(4)该图像不过坐标原点,原因可能是将　　　　(选填“摆线长”或“摆线长加小球直径”)作为摆长,上述操作在使用图像法求解重力加速度时会使测量值　　　　(选填“偏大”“偏小”或“无影响”)。
解析:(1)根据单摆模型可知,单摆的悬点要固定,故选b。
(2)小球直径为d=9 mm+3×0.1 mm=9.3 mm,单摆经历多次全振动所用的时间t=60 s+40.0 s=
100.0 s。
(3)根据单摆周期公式T=2π,整理得T2=L,则斜率为k===4,解得g=10 m/s2。
(4)根据上述分析可知,理论上图像应该为过原点的直线,题中图像相对理论图像在相同周期下,所测摆长比实际值偏小,则原因可能是将摆线长作为摆长,根据T=2π,整理得T2=L+,由于斜率不变,所以使用图像法求解重力加速度时对测量值无影响。
答案:(1)b　(2)9.3　100.0　(3)10
(4)摆线长　无影响
考点二　实验创新与拓展
【典例2】 (中等)(2025·浙江6月选考)在用单摆测重力加速度的实验中,
(1)如图1所示,可在单摆悬点处安装力传感器,也可在摆球的平衡位置处安装光电门。甲同学利用力传感器,获得传感器读取的力与时间的关系图像,如图2所示,则单摆的周期为　　　　s(结果保留三位有效数字)。乙同学利用光电门,从小钢球第1次遮光开始计时,记下第n次遮光的时刻t,则单摆的周期为T=　　　　。
(2)丙同学发现小钢球已变形,为减小测量误差,他改变摆线长度l,测出对应的周期T,作出相应的l-T2关系图线,如图3所示。由此算出图线的斜率k和截距b,则重力加速度g=　　　　,小钢球重心到摆线下端的高度差h=　　　　。(结果均用k、b表示)
(3)丁同学用3D打印技术制作了一个圆心角等于5°、半径已知的圆弧槽,如图4所示。他让小钢球在槽中运动,测出其运动周期,算出重力加速度为8.64 m/s2。若周期测量无误,则获得的重力加速度明显偏离实际值的最主要原因是　　　　。
解析:(1)单摆摆动过程中,在最低点绳子的拉力最大,相邻两次拉力最大的时间间隔为半个周期。从题图2可知,从起始值到终止值经历的时间间隔Δt=7.653 0 s-1.127 7 s=6.525 3 s,则有Δt=10·,解得T=1.31 s。由题可得
(n-1)=t,解得周期为T=。
(2)设小钢球重心到摆线下端的高度差为h,则摆长为L=h+l,根据单摆周期公式有T=2π,可得T=2π,变形得l=T2-h,可得l-T2图像的斜率为k=,解得g=4π2k。当T2=b时l=0,则有0=×b-h,解得小钢球重心到摆线下端的高度差h=kb。
(3)小球在圆心角等于5°的圆弧槽上振动,支持力相当于单摆摆线的拉力,重力的切向分量为振动的回复力,根据单摆周期公式T=2π可得l+r=T2,于是有l=T2-r,可得k=,解得g=4π2k,重力加速度明显偏离实际值的最主要原因是圆弧槽的阻力使振动周期变长、图中斜率变小。
答案:(1)1.31　　(2)4π2k　kb　(3)见解析
课时作业
1.某实验小组用单摆测量当地的重力加速度。
(1)用螺旋测微器测量摆球直径d。放置摆球后螺旋测微器示数如图甲所示,则摆球的直径d为　　　　mm。
(2)用摆线和摆球组成单摆,如图乙所示。当摆线长度l=997.7 mm时,记录并分析单摆的振动,得到单摆的振动周期T=2.00 s,由此算得重力加速度g为　　　　m/s2(π取3.14,结果保留三位有效数字)。
(3)若实验小组操作不规范,导致摆球在水平面内做匀速圆周运动,运动轨迹如图丙所示,若仍采用(2)问中的方法计算当地的重力加速度,则该小组测出的重力加速度比真实值　　　　(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
解析:(1)螺旋测微器读数为固定刻度读数加上可动刻度读数。固定刻度为4.5 mm,可动刻度为10.0×0.01 mm=0.100 mm,所以摆球直径d=4.5 mm+0.100 mm=4.600 mm。
(2)单摆摆长L=l+=(997.7+) mm=1 000 mm=1 m,根据单摆周期公式T=2π,变形得g== m/s2=9.86 m/s2。
(3)摆球做圆锥摆时,根据牛顿第二定律有
mgtan θ=mLsin θ,
解得摆球做圆锥摆时,周期为T′=2π,
实际周期变小。若仍用T=2π计算g值,T偏小则g偏大,所以测出的重力加速度比真实值
偏大。
答案:(1)4.600　(2)9.86　(3)偏大
2.某同学利用双线摆和数字计数器测量当地的重力加速度。实验装置如图甲所示,测得每根悬线长为d,两悬点间距为2s,小球两侧为数字计数器。实验步骤如下,请回答下列问题:
(1)用游标卡尺测量小球的直径如图乙,则小球的直径D是　　　　mm。
(2)现将小球垂直于纸面向外拉动,使悬线偏离竖直方向的角度　　　　(选填“大于”或“小于”)5°。
(3)启动数字计数器,悬线偏离竖直方向后,由静止释放小球,当小球经过平衡位置O时,计时器开始计时,并计为第1次。当数字计数器上显示的计数次数刚好为n时,测得所用的时间为t,由此可知,单摆的振动周期T为　　　　。
A. B. C. D.
(4)根据上述实验方法测量得到的物理量,可得到当地重力加速度g=　　　　(用字母d、s、D、T表示)。
解析:(1)小球的直径为D=15 mm+4×0.1 mm=15.4 mm。
(2)现将小球垂直于纸面向外拉动,小球做简谐运动,则应使悬线偏离竖直方向的角度小于5°。
(3)当数字计数器显示数为“1”时是0时刻,故计数次数刚好为n时,周期次数为N=,故单摆的振动周期T==,故选D。
(4)摆长等于摆线的有效长度与小球的半径之和,即等效摆长为L=+,根据单摆的周期公式T=2π,可得g=L,代入数据得g=(+)。
答案:(1)15.4　(2)小于　(3)D
(4)(+)
3.某小组同学在“探究单摆的周期与摆长的关系并利用单摆测量重力加速度”实验中:
(1)用游标尺上有10个小格的游标卡尺测量摆球的直径,如图甲所示,可读出摆球的直径d=
　　　　mm。
(2)实验时使摆球在垂直于纸面的平面内摆动,为了将人工记录改为自动记录,在摆球运动最低点的右侧放一个激光光源,在其左侧放一个与自动记录仪相连的光敏电阻,如图乙所示。他用刻度尺测量细绳的悬点到均匀小球的顶端的距离当作摆长,测得摆长为L1时,仪器显示的光敏电阻R随时间t变化的图线如图丙所示。
①根据图丙可以求出重力加速度的表达式为　　　　。
②若保持悬点到小球顶端距离不变,换用直径为原来一半的另一均匀小球进行实验,则图丙中的t1将　　　　(选填“变大”“不变”或“变小”)。
(3)实验中,有三位同学作出的T2-L图线分别如图丁中的a、b、c所示,其中a和b平行,b和c都过原点,图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。下列分析正确的是　　(填字母)。
A.出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L
B.出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次
C.图线c对应的g值小于图线b对应的g值
解析:(1)根据题意,由题图甲可知,摆球的直径为d=18 mm+5×0.1 mm=18.5 mm。
(2)①单摆在一个周期内两次经过平衡位置,每次经过平衡位置,单摆会挡住细激光束,从题图丙可以看出,摆长为L1时振动周期为2t1,根据公式T=2π,可得重力加速度的表达式为g=。
②根据公式T=2π可知,若保持悬点到小球顶端距离不变,换用直径为原来一半的另一均匀小球进行实验,则题图丙中的t1将变小。
(3)由题图丁可知,对图线a,当L为0时T不为0,所测摆长偏小,可能是把摆线长度作为摆长,即把悬点到摆球上端的距离作为摆长,A错误;实验中误将49次全振动记为50次,则周期的测量值偏小,导致重力加速度的测量值偏大,图线的斜率k偏小,B正确;图线c对应的斜率k小于图线b对应的斜率,由g=,可知,图线c对应的g值大于图线b对应的g值,C错误。
答案:(1)18.5　(2)①　②变小　(3)B
4.某同学利用如图甲所示的一半径较大的固定光滑圆弧面测定当地重力加速度。该同学将小钢球从最低点移开一小段距离由静止释放,则小钢球的运动可等效为一单摆的简谐运动。
具体步骤如下:
(1)用螺旋测微器测量小钢球的直径,示数如图乙所示,则小钢球的直径d=　　　　mm。
(2)用秒表测量小钢球的运动周期T时,开始计时的位置为图甲中的　　 　　(选填“A”“O”或“A′”)。
(3)更换不同的小钢球测出对应直径d进行实验,根据实验记录的数据,绘制如图丙所示的-T2图像,横纵轴截距分别为a、b。由图像可得当地的重力加速度g=　　 　　,圆弧的半径R=　　　　。(用字母π、a、b表示)
(4)该同学查阅资料得知,单摆做简谐运动的周期T0是初始摆角很小时的近似值,实验过程中初始摆角对周期T有一定的影响,与初始摆角θ的关系如图丁所示,由图像可知随θ角的增大,重力加速度g的测量值　　　　(选填“增大”“减小”或“不变”)。
解析:(1)根据螺旋测微器读数规则,可读出图乙所示小钢球的直径为d=13.5 mm+37.0×
0.01 mm=13.870 mm。
(2)小钢球在O点运动速度最快,从O点开始计时造成的时间测量误差最小,所以应从O点开始计时。
(3)由题意,根据单摆周期公式可得T=2π,整理可得=-T2+R,根据实验记录的数据,绘制如图丙所示的-T2图像,横纵轴截距分别为a、b。由图像可得-=-,可得g=,圆弧的半径R=b。
(4)由题意,根据单摆周期公式有T=2π,T0=2π,解得=()2,由图像可知随θ角的增大,增大,则g测减小。
答案:(1)13.870　(2)O　(3)　b　(4)减小(共17张PPT)
实验九:用单摆测量重力加速度
实验基础·必备
原理装置图 操作要求 注意事项
1.做单摆:将细线穿过带中心孔的小钢球,并打一个比小孔大一些的结,然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上,让摆球自然下垂。 2.测摆长:用刻度尺量出摆线长l′ (精确到毫米),用游标卡尺测出小球直径D,则单摆的摆长l= 。 1.摆线要选1 m左右,柔软不易伸长的丝线,不要过长或
过短。
2.悬线长要待悬挂好球后再测,计算摆长时要将悬线长加上摆球半径。
3.测周期:将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°),然后释放小球,记下单摆摆动30~50次的总时间,算出一次全振动的时间,即为单摆的振动周期。 4.改变摆长,重做几次实验 3.单摆要在竖直平面内摆动,不要形成圆锥摆。
4.要从 位置开始计时,并数准全振动的次数
平衡
数据 处理
过原点
4π2k
考点一
教材原型实验
实验技能·提升
【典例1】 (中等)利用单摆可以测量当地的重力加速度。
(1)为了较精确地进行测量,以下两种单摆组装方式,应选择　　　　。
解析:(1)根据单摆模型可知,单摆的悬点要固定,故选b。
b
(2)组装好单摆,先用刻度尺测量摆线长度,再用游标卡尺测量小球的直径,其示数如图甲,则小球直径为　　　　mm;摆球在竖直平面内稳定摆动后,用秒表记录单摆经历多次全振动所用的时间t如图乙所示,则t=　　　　s。
解析:(2)小球直径为d=9 mm+3×0.1 mm=9.3 mm,单摆经历多次全振动所用的时间t=60 s+40.0 s=100.0 s。
9.3
100.0
(3)测量出多组单摆的摆长L和运动周期T,作出T2-L图像,如图丙所示,由此可求出重力加速度g=　　　　m/s2。(取π2=10,保留两位有效数字)
10
(4)该图像不过坐标原点,原因可能是将　　　　(选填“摆线长”或“摆线长加小球直径”)作为摆长,上述操作在使用图像法求解重力加速度时会使测量值
　　　　(选填“偏大”“偏小”或“无影响”)。
摆线长
无影响
考点二
实验创新与拓展
【典例2】 (中等)(2025·浙江6月选考)在用单摆测重力加速度的实验中,
(1)如图1所示,可在单摆悬点处安装力传感器,也可在摆球的平衡位置处安装光电门。甲同学利用力传感器,获得传感器读取的力与时间的关系图像,如图2所示,则单摆的周期为　　　　s(结果保留三位有效数字)。乙同学利用光电门,从小钢球第1次遮光开始计时,记下第n次遮光的时刻t,则单摆的周期为T=　　　　。
1.31
(2)丙同学发现小钢球已变形,为减小测量误差,他改变摆线长度l,测出对应的周期T,作出相应的l-T2关系图线,如图3所示。由此算出图线的斜率k和截距b,则重力加速度g=　　　　,小钢球重心到摆线下端的高度差h=　　　。(结果均用k、b表示)
4π2k
kb
(3)丁同学用3D打印技术制作了一个圆心角等于5°、半径已知的圆弧槽,如图4所示。他让小钢球在槽中运动,测出其运动周期,算出重力加速度为
8.64 m/s2。若周期测量无误,则获得的重力加速度明显偏离实际值的最主要原因是　　　　。
感谢观看实验九:用单摆测量重力加速度
课时作业
1.某实验小组用单摆测量当地的重力加速度。
(1)用螺旋测微器测量摆球直径d。放置摆球后螺旋测微器示数如图甲所示,则摆球的直径d为　　　　mm。
(2)用摆线和摆球组成单摆,如图乙所示。当摆线长度l=997.7 mm时,记录并分析单摆的振动,得到单摆的振动周期T=2.00 s,由此算得重力加速度g为　　　　m/s2(π取3.14,结果保留三位有效数字)。
(3)若实验小组操作不规范,导致摆球在水平面内做匀速圆周运动,运动轨迹如图丙所示,若仍采用(2)问中的方法计算当地的重力加速度,则该小组测出的重力加速度比真实值　　　　(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
解析:(1)螺旋测微器读数为固定刻度读数加上可动刻度读数。固定刻度为4.5 mm,可动刻度为10.0×0.01 mm=0.100 mm,所以摆球直径d=4.5 mm+0.100 mm=4.600 mm。
(2)单摆摆长L=l+=(997.7+) mm=1 000 mm=1 m,根据单摆周期公式T=2π,变形得g== m/s2=9.86 m/s2。
(3)摆球做圆锥摆时,根据牛顿第二定律有
mgtan θ=mLsin θ,
解得摆球做圆锥摆时,周期为T′=2π,
实际周期变小。若仍用T=2π计算g值,T偏小则g偏大,所以测出的重力加速度比真实值
偏大。
答案:(1)4.600　(2)9.86　(3)偏大
2.某同学利用双线摆和数字计数器测量当地的重力加速度。实验装置如图甲所示,测得每根悬线长为d,两悬点间距为2s,小球两侧为数字计数器。实验步骤如下,请回答下列问题:
(1)用游标卡尺测量小球的直径如图乙,则小球的直径D是　　　　mm。
(2)现将小球垂直于纸面向外拉动,使悬线偏离竖直方向的角度　　　　(选填“大于”或“小于”)5°。
(3)启动数字计数器,悬线偏离竖直方向后,由静止释放小球,当小球经过平衡位置O时,计时器开始计时,并计为第1次。当数字计数器上显示的计数次数刚好为n时,测得所用的时间为t,由此可知,单摆的振动周期T为　　　　。
A. B. C. D.
(4)根据上述实验方法测量得到的物理量,可得到当地重力加速度g=　　　　(用字母d、s、D、T表示)。
解析:(1)小球的直径为D=15 mm+4×0.1 mm=15.4 mm。
(2)现将小球垂直于纸面向外拉动,小球做简谐运动,则应使悬线偏离竖直方向的角度小于5°。
(3)当数字计数器显示数为“1”时是0时刻,故计数次数刚好为n时,周期次数为N=,故单摆的振动周期T==,故选D。
(4)摆长等于摆线的有效长度与小球的半径之和,即等效摆长为L=+,根据单摆的周期公式T=2π,可得g=L,代入数据得g=(+)。
答案:(1)15.4　(2)小于　(3)D
(4)(+)
3.某小组同学在“探究单摆的周期与摆长的关系并利用单摆测量重力加速度”实验中:
(1)用游标尺上有10个小格的游标卡尺测量摆球的直径,如图甲所示,可读出摆球的直径d=
　　　　mm。
(2)实验时使摆球在垂直于纸面的平面内摆动,为了将人工记录改为自动记录,在摆球运动最低点的右侧放一个激光光源,在其左侧放一个与自动记录仪相连的光敏电阻,如图乙所示。他用刻度尺测量细绳的悬点到均匀小球的顶端的距离当作摆长,测得摆长为L1时,仪器显示的光敏电阻R随时间t变化的图线如图丙所示。
①根据图丙可以求出重力加速度的表达式为　　　　。
②若保持悬点到小球顶端距离不变,换用直径为原来一半的另一均匀小球进行实验,则图丙中的t1将　　　　(选填“变大”“不变”或“变小”)。
(3)实验中,有三位同学作出的T2-L图线分别如图丁中的a、b、c所示,其中a和b平行,b和c都过原点,图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。下列分析正确的是　　(填字母)。
A.出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L
B.出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次
C.图线c对应的g值小于图线b对应的g值
解析:(1)根据题意,由题图甲可知,摆球的直径为d=18 mm+5×0.1 mm=18.5 mm。
(2)①单摆在一个周期内两次经过平衡位置,每次经过平衡位置,单摆会挡住细激光束,从题图丙可以看出,摆长为L1时振动周期为2t1,根据公式T=2π,可得重力加速度的表达式为g=。
②根据公式T=2π可知,若保持悬点到小球顶端距离不变,换用直径为原来一半的另一均匀小球进行实验,则题图丙中的t1将变小。
(3)由题图丁可知,对图线a,当L为0时T不为0,所测摆长偏小,可能是把摆线长度作为摆长,即把悬点到摆球上端的距离作为摆长,A错误;实验中误将49次全振动记为50次,则周期的测量值偏小,导致重力加速度的测量值偏大,图线的斜率k偏小,B正确;图线c对应的斜率k小于图线b对应的斜率,由g=,可知,图线c对应的g值大于图线b对应的g值,C错误。
答案:(1)18.5　(2)①　②变小　(3)B
4.某同学利用如图甲所示的一半径较大的固定光滑圆弧面测定当地重力加速度。该同学将小钢球从最低点移开一小段距离由静止释放,则小钢球的运动可等效为一单摆的简谐运动。
具体步骤如下:
(1)用螺旋测微器测量小钢球的直径,示数如图乙所示,则小钢球的直径d=　　　　mm。
(2)用秒表测量小钢球的运动周期T时,开始计时的位置为图甲中的　　 　　(选填“A”“O”或“A′”)。
(3)更换不同的小钢球测出对应直径d进行实验,根据实验记录的数据,绘制如图丙所示的-T2图像,横纵轴截距分别为a、b。由图像可得当地的重力加速度g=　　 　　,圆弧的半径R=　　　　。(用字母π、a、b表示)
(4)该同学查阅资料得知,单摆做简谐运动的周期T0是初始摆角很小时的近似值,实验过程中初始摆角对周期T有一定的影响,与初始摆角θ的关系如图丁所示,由图像可知随θ角的增大,重力加速度g的测量值　　　　(选填“增大”“减小”或“不变”)。
解析:(1)根据螺旋测微器读数规则,可读出图乙所示小钢球的直径为d=13.5 mm+37.0×
0.01 mm=13.870 mm。
(2)小钢球在O点运动速度最快,从O点开始计时造成的时间测量误差最小,所以应从O点开始计时。
(3)由题意,根据单摆周期公式可得T=2π,整理可得=-T2+R,根据实验记录的数据,绘制如图丙所示的-T2图像,横纵轴截距分别为a、b。由图像可得-=-,可得g=,圆弧的半径R=b。
(4)由题意,根据单摆周期公式有T=2π,T0=2π,解得=()2,由图像可知随θ角的增大,增大,则g测减小。
答案:(1)13.870　(2)O　(3)　b　(4)减小

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