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微专题4　人造卫星的变轨问题 天体的追及相遇　双星
课时作业
A级·基础巩固练
命题视角1　掌握变轨原理,分析变轨过程各物理量变化
1.(2025·Z20名校联盟联考)如图所示为嫦娥六号探测器登月的简化过程,探测器从地球表面a点发射至地月转移轨道,在b点被月球捕获后沿椭圆轨道运动,进而在b点变轨后沿近月圆形轨道运动,则(　　)
A.探测器被月球捕获后在椭圆轨道上经过b点时应该加速才能进入圆形轨道
B.探测器在椭圆轨道上b点的速度大于月球的第一宇宙速度
C.探测器在地月转移轨道上远离地球时的速度均大于7.9 km/s
D.探测器在椭圆轨道上的周期小于圆形轨道上的周期
解析:B　探测器经过椭圆轨道b点时应减速做近心运动,才能变轨到圆形轨道,故A错误;月球的第一宇宙速度是探测器绕月球做匀速圆周运动的最大速度,由月球的万有引力提供向心力得G=m可得v=,探测器在椭圆轨道上b点点火减速进入圆轨道,故探测器在椭圆轨道上b点的速度大于月球的第一宇宙速度,故B正确;探测器在地月转移轨道上远离地球的过程中,地球对探测器的万有引力对探测器做负功,动能不断减小,速度不断减小,速度小于
7.9 km/s,故C错误;由开普勒第三定律=k可知,探测器在椭圆轨道上的周期大于圆形轨道上的周期,故D错误。
2.2025年4月24日17时,我国神舟二十号载人飞船成功发射并与空间站进行对接。已知空间站组合体绕地球做匀速圆周运动,下列说法正确的是(　　)
A.神舟二十号先进入空间站轨道再加速以实现对接
B.对接后组合体质量变大会导致其在轨运行周期变长
C.组合体绕地球做匀速圆周运动的向心加速度小于地球表面重力加速度
D.飞船发射速度大于11.2 km/s
解析:C　神舟二十号先进入空间站轨道,再加速做离心运动,不能实现对接,A错误;根据万有引力提供向心力得G=mr,解得T=2π,对接后组合体质量m变大,其在轨运行周期不变,B错误;根据牛顿第二定律得G=ma,解得a=,轨道半径越大,向心加速度越小,所以组合体绕地球做匀速圆周运动的向心加速度小于地球表面重力加速度,C正确;因为发射的飞船未脱离地球的束缚,所以飞船发射速度小于11.2 km/s,D错误。
命题视角2　分析两天体的位置与周期关系,辨析两者相距最近或者最远的条件
3.(2025·四川卷)某人造地球卫星运行轨道与赤道共面,绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号,位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示,T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动,地球质量为M,引力常量为G,则该卫星的轨道半径为(　　)
A. B.
C. D.
解析:A　设卫星转动的周期为T′,根据题意可得·-·=2π,可得T′=;设卫星转动半径为r,根据万有引力提供向心力有G=mr,可得r=,代入T′=,可得r=,故选A。
4.(2025·湖州三模)“四星一线”是指太阳、地球、月球和火星依次排成一条直线。当天,先出现“火星冲日”(太阳、地球和火星三者依次且几乎排成一条直线)的天文现象,随后月球也出现在同一条直线上,上演了罕见的“四星一线”天文现象。已知火星绕太阳运动的轨道半径约为地球的1.5倍,则(　　)
A.1年后将再次出现“四星一线”的天文现象
B.1.5年后将再次出现“火星冲日”的天文现象
C.地球绕太阳运动的向心加速度约为火星的2.25倍
D.地球和火星分别与太阳的连线,在相同的时间内扫过的面积相等
解析:C　根据开普勒第三定律有=,解得T火=,设再次出现“火星冲日”的时间为Δt,则有Δt-Δt=2π,解得Δt==2.2年,即大约经过2.2年后将再次出现“火星冲日”的天文现象,故B错误;由于先出现“火星冲日”(太阳、地球和火星三者依次且几乎排成一条直线)的天文现象,随后月球也出现在同一条直线上,上演了罕见的“四星一线”天文现象,可知,再次出现“四星一线”天文现象的时间大于再次出现“火星冲日”的天文现象的时间,即再次出现“四星一线”天文现象的时间大于2.2年,故A错误;根据牛顿第二定律有G=m火a火,G=
m地a地,解得a地=2.25a火,故C正确;火星轨道半径大一些,可知,地球和火星分别与太阳的连线,在相同的时间内,火星与太阳连线扫过的面积大一些,故D错误。
命题视角3　识别双星系统,分析与计算目标物理量
5.龙角星可视为双星系统,它们在相互间的万有引力作用下,绕某一点做匀速圆周运动。若“角宿一”的质量为m1,“角宿二”的质量为m2,它们中心之间的距离为L,公转周期为T,引力常量G。忽略自转的影响,则下列说法正确的是(　　)
A.“角宿一”的轨道半径为L
B.“角宿一”和“角宿二”的向心加速度之比为m1∶m2
C.“角宿一”和“角宿二”的线速度之比为m1∶m2
D.“角宿一”和“角宿二”做圆周运动的向心力之比为m2∶m1
解析:A　双星系统中,两星体绕共同质心做圆周运动,轨道半径满足r1+r2=L,由万有引力提供向心力,周期相等,则角速度相等,则有G=m1ω2r1,G=m2ω2r2,解得r1=L,故A正确;向心加速度a1=ω2r1,a2=ω2r2,由于ω相同,结合上述解得==,即向心加速度之比为m2∶m1,故B错误;线速度v1=ωr1,v2=ωr2,结合上述解得==,故C错误;双星间万有引力提供向心力,两星向心力大小相等,故向心力之比为1∶1,故D错误。
6.天体观测法是发现潜在黑洞的一种重要方法,我国研究人员通过对双星系统G3425中的红巨星进行天体观测,发现了一个恒星质量级的低质量黑洞。假设一个双星系统中的两颗恒星a、b绕O点做圆周运动,在双星系统外、与双星系统在同一平面上一点A观测双星的运动,得到a、b的中心到O、A连线的距离x与观测时间的关系图像如图所示,引力常量为G,下列说法正确的是(　　)
A.a、b的线速度之比为3∶4
B.a的角速度大于b的角速度
C.a的质量为
D.b的质量为
解析:C　双星系统中,两颗星体的角速度相同,周期相同,B错误;由题图可知,图示中a、b的中心和O点间距离从零到最远所用时间为四分之一个周期,可知该双星系统的周期为2t0,a与轨迹中心间的距离为4x0,b与轨迹中心间的距离为3x0,可得ra∶rb=4∶3,由线速度v=ωr,可知a、b的线速度之比为va∶vb=4∶3,A错误;由题意可知maω2ra=mbω2rb,可得ma∶mb=3∶4,对b由万有引力提供向心力可知mbrb=G,解得ma=,mb=,C正确,D错误。
B级·高考过关练
7.如图所示,质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时,引力势能可表示为Ep=-(类似于重力势能,且已选取了默认的势能零点),其中G为引力常量,M为地球质量,该卫星原来在半径为R1的轨道Ⅰ上绕地球做匀速圆周运动,经过椭圆轨道Ⅱ的变轨过程进入半径为R3的圆形轨道Ⅲ继续绕地球运动,其中 P 点为Ⅰ轨道与Ⅱ轨道的切点,Q点为Ⅱ轨道与Ⅲ轨道的切点,下列判断正确的是(　　)
A.卫星在Ⅰ轨道上经过P点时的速度大于在Ⅱ轨道上经过P点时的速度
B.卫星在Ⅲ轨道上经过Q 点的加速度大于在Ⅱ轨道上经过Q点的加速度
C.卫星在轨道Ⅲ上的机械能为-G
D.卫星在轨道Ⅰ上的机械能为3G
解析:C　卫星要从Ⅰ轨道变到Ⅱ轨道上,做离心运动,所以经过P点时必须点火加速,即卫星在Ⅰ轨道上经过P点时的速度小于在Ⅱ轨道上经过P点时的速度,故A错误;根据牛顿第二定律有G=ma,解得a=,可知两个轨道上Q点到地心的距离不变,故加速度的大小不变,故B错误;卫星在轨道Ⅲ上,根据万有引力提供向心力,则有G=m,解得v3=,故卫星在轨道Ⅲ上的动能为Ek3=m=,卫星在轨道Ⅲ上的引力势能为Ep3=-,所以卫星在轨道Ⅲ上的机械能为E3=Ek3+Ep3=-G,故C正确;卫星在轨道Ⅰ上,根据万有引力提供向心力,则有G=m,解得v1=,故卫星在轨道Ⅰ上的动能为Ek1=m=,卫星在轨道Ⅰ上的引力势能为Ep1=-,所以卫星在轨道Ⅰ上的机械能为E1=Ek1+Ep1=-G,故D错误。
8.如图所示,Ⅰ为北斗卫星导航系统中的静止轨道卫星,其对地张角为2θ;Ⅱ为地球的近地卫星。已知地球的自转周期为T0,引力常量为G,根据题中条件,可求出(　　)
A.卫星Ⅱ的周期为
B.卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为sin 22θ
C.地球的平均密度为
D.卫星Ⅱ运动的周期内无法直接接收到卫星Ⅰ发出电磁波信号的时间为
解析:C　设地球半径为R,近地卫星轨道半径近似等于地球半径,即R2=R,另根据几何关系可得卫星Ⅰ的轨道半径为R1=,设卫星Ⅱ的周期为T,由开普勒第三定律可得=,解得T=T0,故A错误;设地球质量为M,卫星Ⅰ的质量为m1,卫星Ⅱ的质量为m2,根据牛顿第二定律,可得=m1a1,=m2a2,解得=sin 2θ,故B错误;对近地卫星,根据万有引力充当向心力,有=m2R2,地球的体积V=πR3,则地球的密度ρ==,故C正确;设不能接收到信号的时间为t,若卫星Ⅰ与卫星Ⅱ同向运动,则有t-t=π+2θ,解得t=·,若卫星Ⅰ与卫星Ⅱ相向运动,则有t+t=π+2θ,解得t=·,故D错误。(共22张PPT)
微专题4
人造卫星的变轨问题
天体的追及相遇　双星
考点一
卫星的变轨对接
命题视角　掌握变轨原理,分析变轨过程各物理量变化
1.卫星的变轨问题
(1)两类变轨情况
两类变轨 离心运动 近心运动
示意图
2.解决卫星变轨问题的关键点
(1)变轨的本质:速度突变引发轨道形态变化。卫星变轨的核心是发动机喷气改变瞬时速度。
(2)轨道参数与运动规律的关联。
(3)能量转化规律。
卫星机械能(动能+引力势能)守恒(忽略喷气过程,仅自然运动时):
①从低轨到高轨:需多次加速(喷气做功),机械能增大(高轨势能增加量>动能减少量)。
②椭圆轨道上:近地点动能最大,势能最小;远地点动能最小,势能最大,两处机械能相等。
(4)变轨点的特殊性。
椭圆轨道的近地点或远地点是与圆轨道的“相切点”,同一位置(半径r相
同) 处:
①椭圆轨道速度>同半径圆轨道速度,离心运动,如近地点加速进入椭圆轨道。
②椭圆轨道速度<同半径圆轨道速度,近心运动,如远地点减速进入椭圆轨道。
【典例1】 (卫星的变轨·中等)(2025·嘉兴模拟)如图所示为嫦娥六号探测器“奔月”过程,其历经了①地月转移、②近月制动、③环月飞行等过程,已知三个过程的轨道均经过P点。则(　　)
A.①转移到②时需要加速
B.②上的运行周期小于③上的运行周期
C.②上经过P点时加速度比③上经过P点时大
D.通过测量③上的运行周期可以估测月球密度
D
【典例2】 (卫星的对接·中等)(2025·强基联盟联考)如图所示,关闭发动机的航天飞机仅在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近,并将在椭圆的近月点B处与空间站对接。已知空间站C绕月轨道半径为r,周期为T,引力常量为G,月球的半径为R,忽略月球自转。下列说法不正确的是(　　)
D
考点二
天体的追及相遇
命题视角　分析两天体的位置与周期关系,辨析两者相距最近或者最远的条件
天体的追及相遇
项目 同向运动的天体由 相距最近到相距最近 同向运动的天体由
相距最近到相距最远
图示
【典例3】 (中等)(2025·温州模拟)2025年1月13日,我国自主研制的捷龙三号运载火箭在山东海阳附近海域成功发射,一次将十颗卫星送入预定轨道,创造了我国海上发射的新纪录。其中卫星A、B在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动,它们之间的距离Δr随时间变化的关系如图所示,不考虑A、B之间的万有引力,已知卫星A的线速度大于卫星B的线速度,下列说法正确的是(　　)
A.卫星A、B的轨道半径之比为rA∶rB=3∶5
B.卫星B的周期等于T
C
考点三
双星
命题视角　识别双星系统,分析与计算目标物理量
1.定义:绕公共圆心转动的两个星体组成的系统,我们称之为双星系统。如图所示。
2.特点
【典例4】 (中等)(2025·温州三模)“食双星”是特殊的双星系统,由两颗亮度不同的恒星组成,它们在相互引力作用下绕连线上某点做匀速圆周运动,且轨道平面与观测者视线方向几乎平行。由于两颗恒星相互遮挡,造成观测者观察到双星的亮度L发生周期性变化,如图所示。若较亮的恒星和较暗的恒星轨道半径分别为r1和r2(r1和r2远小于该双星系统到观测者的距离),则下列说法正确的是(　　)
A.t2时刻,较亮的恒星遮挡住较暗的恒星
B
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考点一　卫星的变轨对接
命题视角　掌握变轨原理,分析变轨过程各物理量变化
1.卫星的变轨问题
(1)两类变轨情况
两类变轨 离心运动 近心运动
示意图
变轨起因 卫星速度 突然增大 卫星速度 突然减小
万有引力与向心 力的大小关系 Gm
2.解决卫星变轨问题的关键点
(1)变轨的本质:速度突变引发轨道形态变化。卫星变轨的核心是发动机喷气改变瞬时速度。
(2)轨道参数与运动规律的关联。
①圆轨道:需满足G=m,速度v=(半径越大,速度越小),周期T=2π(半径越大,周期越长)。
②椭圆轨道:遵循开普勒行星运动定律,近地点速度最大(离圆心最近),远地点速度最小(离圆心最远),半长轴越大,周期越长(=k)。
(3)能量转化规律。
卫星机械能(动能+引力势能)守恒(忽略喷气过程,仅自然运动时):
①从低轨到高轨:需多次加速(喷气做功),机械能增大(高轨势能增加量>动能减少量)。
②椭圆轨道上:近地点动能最大,势能最小;远地点动能最小,势能最大,两处机械能相等。
(4)变轨点的特殊性。
椭圆轨道的近地点或远地点是与圆轨道的“相切点”,同一位置(半径r相同) 处:
①椭圆轨道速度>同半径圆轨道速度,离心运动,如近地点加速进入椭圆轨道。
②椭圆轨道速度<同半径圆轨道速度,近心运动,如远地点减速进入椭圆轨道。
【典例1】 (卫星的变轨·中等)(2025·嘉兴模拟)如图所示为嫦娥六号探测器“奔月”过程,其历经了①地月转移、②近月制动、③环月飞行等过程,已知三个过程的轨道均经过P点。则(　　)
A.①转移到②时需要加速
B.②上的运行周期小于③上的运行周期
C.②上经过P点时加速度比③上经过P点时大
D.通过测量③上的运行周期可以估测月球密度
解析:D　卫星从高轨道到低轨道需要减速,故①转移到②时需要减速,故A错误;根据开普勒第三定律,可知轨道半径越大,周期越大,故B错误;根据牛顿第二定律得G=ma,解得a=,可知②上经过P点时加速度与③上经过P点时加速度相等,故C错误;③是贴近月球表面环月飞行,设其周期为T,根据万有引力提供向心力得G=m()2R,解得M=,月球的密度为ρ=,解得ρ=,所以通过测量③上的运行周期可以估测月球密度,故D正确。
【典例2】 (卫星的对接·中等)(2025·强基联盟联考)如图所示,关闭发动机的航天飞机仅在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近,并将在椭圆的近月点B处与空间站对接。已知空间站C绕月轨道半径为r,周期为T,引力常量为G,月球的半径为R,忽略月球自转。下列说法不正确的是(　　)
A.月球的平均密度为
B.月球表面的重力加速度为
C.要使对接成功,航天飞机在接近B点时必须减速
D.对接前航天飞机的加速度大于空间站的加速度
解析:D　设空间站质量为m,在圆轨道上,由G=m,得M=,月球的平均密度为ρ==,选项A不符合题意;月球表面物体所受重力等于月球对物体的引力,则有m0g月=G,可得g月==,选项B不符合题意;欲对接成功,需要航天飞机在接近B点时减速,否则航天飞机将做椭圆运动,选项C不符合题意;对接前航天飞机与月球的距离大于空间站与月球的距离,故航天飞机的加速度小于空间站的加速度,选项D符合题意。
考点二　天体的追及相遇
命题视角　分析两天体的位置与周期关系,辨析两者相距最近或者最远的条件
天体的追及相遇
项目 同向运动的天体由 相距最近到相距最近 同向运动的天体由 相距最近到相距最远
图示
角度 关系 ω1t-ω2t=n·2π(n=1,2,3,…) ω1t-ω2t=(2n-1)π(n=1,2,3,…)
圈数 关系 -=n(n=1,2,3,…), 解得t=(n=1,2,3,…) -= (n=1,2,3,…)
【典例3】 (中等)(2025·温州模拟)2025年1月13日,我国自主研制的捷龙三号运载火箭在山东海阳附近海域成功发射,一次将十颗卫星送入预定轨道,创造了我国海上发射的新纪录。其中卫星A、B在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动,它们之间的距离Δr随时间变化的关系如图所示,不考虑A、B之间的万有引力,已知卫星A的线速度大于卫星B的线速度,下列说法正确的是(　　)
A.卫星A、B的轨道半径之比为rA∶rB=3∶5
B.卫星B的周期等于T
C.卫星A的线速度大小为
D.卫星A、B从相距最近到相距最远的最短时间间隔小于
解析:C　设卫星A、B的轨道半径分别为rA、rB,卫星A的线速度大于卫星B的线速度,则rA考点三　双星
命题视角　识别双星系统,分析与计算目标物理量
1.定义:绕公共圆心转动的两个星体组成的系统,我们称之为双星系统。如图所示。
2.特点
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供,即=m1r1,=m2r2。
(2)两星的周期、角速度相同,即T1=T2,ω1=ω2。
(3)两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1+r2=L。
(4)两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比,即=。
(5)双星的运动周期T=2π。
(6)双星的总质量m1+m2=。
【典例4】 (中等)(2025·温州三模)“食双星”是特殊的双星系统,由两颗亮度不同的恒星组成,它们在相互引力作用下绕连线上某点做匀速圆周运动,且轨道平面与观测者视线方向几乎平行。由于两颗恒星相互遮挡,造成观测者观察到双星的亮度L发生周期性变化,如图所示。若较亮的恒星和较暗的恒星轨道半径分别为r1和r2(r1和r2远小于该双星系统到观测者的距离),则下列说法正确的是(　　)
A.t2时刻,较亮的恒星遮挡住较暗的恒星
B.较亮的恒星与较暗的恒星质量之比为
C.两颗恒星做匀速圆周运动的周期均为(t2-t1)
D.较亮的恒星线速度与较暗的恒星线速度之比为
解析:B　由题意可知,t1时刻较亮的恒星遮挡住较暗的恒星,t2时刻较暗的恒星遮挡住较亮的恒星,即t1~t2时间内转了半周,故周期为T=2(t2-t1),故A、C错误;设较亮的恒星和较暗的恒星的质量分别为m1和m2,均由彼此间的万有引力提供向心力,故两颗恒星所受的向心力大小相等,有G=m1ω2r1=m2ω2r2,解得=,故B正确;设较亮的恒星和较暗的恒星的线速度分别为v1和v2,根据v=rω,因为角速度相等,解得==,故D错误。
课时作业
A级·基础巩固练
命题视角1　掌握变轨原理,分析变轨过程各物理量变化
1.(2025·Z20名校联盟联考)如图所示为嫦娥六号探测器登月的简化过程,探测器从地球表面a点发射至地月转移轨道,在b点被月球捕获后沿椭圆轨道运动,进而在b点变轨后沿近月圆形轨道运动,则(　　)
A.探测器被月球捕获后在椭圆轨道上经过b点时应该加速才能进入圆形轨道
B.探测器在椭圆轨道上b点的速度大于月球的第一宇宙速度
C.探测器在地月转移轨道上远离地球时的速度均大于7.9 km/s
D.探测器在椭圆轨道上的周期小于圆形轨道上的周期
解析:B　探测器经过椭圆轨道b点时应减速做近心运动,才能变轨到圆形轨道,故A错误;月球的第一宇宙速度是探测器绕月球做匀速圆周运动的最大速度,由月球的万有引力提供向心力得G=m可得v=,探测器在椭圆轨道上b点点火减速进入圆轨道,故探测器在椭圆轨道上b点的速度大于月球的第一宇宙速度,故B正确;探测器在地月转移轨道上远离地球的过程中,地球对探测器的万有引力对探测器做负功,动能不断减小,速度不断减小,速度小于
7.9 km/s,故C错误;由开普勒第三定律=k可知,探测器在椭圆轨道上的周期大于圆形轨道上的周期,故D错误。
2.2025年4月24日17时,我国神舟二十号载人飞船成功发射并与空间站进行对接。已知空间站组合体绕地球做匀速圆周运动,下列说法正确的是(　　)
A.神舟二十号先进入空间站轨道再加速以实现对接
B.对接后组合体质量变大会导致其在轨运行周期变长
C.组合体绕地球做匀速圆周运动的向心加速度小于地球表面重力加速度
D.飞船发射速度大于11.2 km/s
解析:C　神舟二十号先进入空间站轨道,再加速做离心运动,不能实现对接,A错误;根据万有引力提供向心力得G=mr,解得T=2π,对接后组合体质量m变大,其在轨运行周期不变,B错误;根据牛顿第二定律得G=ma,解得a=,轨道半径越大,向心加速度越小,所以组合体绕地球做匀速圆周运动的向心加速度小于地球表面重力加速度,C正确;因为发射的飞船未脱离地球的束缚,所以飞船发射速度小于11.2 km/s,D错误。
命题视角2　分析两天体的位置与周期关系,辨析两者相距最近或者最远的条件
3.(2025·四川卷)某人造地球卫星运行轨道与赤道共面,绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号,位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示,T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动,地球质量为M,引力常量为G,则该卫星的轨道半径为(　　)
A. B.
C. D.
解析:A　设卫星转动的周期为T′,根据题意可得·-·=2π,可得T′=;设卫星转动半径为r,根据万有引力提供向心力有G=mr,可得r=,代入T′=,可得r=,故选A。
4.(2025·湖州三模)“四星一线”是指太阳、地球、月球和火星依次排成一条直线。当天,先出现“火星冲日”(太阳、地球和火星三者依次且几乎排成一条直线)的天文现象,随后月球也出现在同一条直线上,上演了罕见的“四星一线”天文现象。已知火星绕太阳运动的轨道半径约为地球的1.5倍,则(　　)
A.1年后将再次出现“四星一线”的天文现象
B.1.5年后将再次出现“火星冲日”的天文现象
C.地球绕太阳运动的向心加速度约为火星的2.25倍
D.地球和火星分别与太阳的连线,在相同的时间内扫过的面积相等
解析:C　根据开普勒第三定律有=,解得T火=,设再次出现“火星冲日”的时间为Δt,则有Δt-Δt=2π,解得Δt==2.2年,即大约经过2.2年后将再次出现“火星冲日”的天文现象,故B错误;由于先出现“火星冲日”(太阳、地球和火星三者依次且几乎排成一条直线)的天文现象,随后月球也出现在同一条直线上,上演了罕见的“四星一线”天文现象,可知,再次出现“四星一线”天文现象的时间大于再次出现“火星冲日”的天文现象的时间,即再次出现“四星一线”天文现象的时间大于2.2年,故A错误;根据牛顿第二定律有G=m火a火,G=
m地a地,解得a地=2.25a火,故C正确;火星轨道半径大一些,可知,地球和火星分别与太阳的连线,在相同的时间内,火星与太阳连线扫过的面积大一些,故D错误。
命题视角3　识别双星系统,分析与计算目标物理量
5.龙角星可视为双星系统,它们在相互间的万有引力作用下,绕某一点做匀速圆周运动。若“角宿一”的质量为m1,“角宿二”的质量为m2,它们中心之间的距离为L,公转周期为T,引力常量G。忽略自转的影响,则下列说法正确的是(　　)
A.“角宿一”的轨道半径为L
B.“角宿一”和“角宿二”的向心加速度之比为m1∶m2
C.“角宿一”和“角宿二”的线速度之比为m1∶m2
D.“角宿一”和“角宿二”做圆周运动的向心力之比为m2∶m1
解析:A　双星系统中,两星体绕共同质心做圆周运动,轨道半径满足r1+r2=L,由万有引力提供向心力,周期相等,则角速度相等,则有G=m1ω2r1,G=m2ω2r2,解得r1=L,故A正确;向心加速度a1=ω2r1,a2=ω2r2,由于ω相同,结合上述解得==,即向心加速度之比为m2∶m1,故B错误;线速度v1=ωr1,v2=ωr2,结合上述解得==,故C错误;双星间万有引力提供向心力,两星向心力大小相等,故向心力之比为1∶1,故D错误。
6.天体观测法是发现潜在黑洞的一种重要方法,我国研究人员通过对双星系统G3425中的红巨星进行天体观测,发现了一个恒星质量级的低质量黑洞。假设一个双星系统中的两颗恒星a、b绕O点做圆周运动,在双星系统外、与双星系统在同一平面上一点A观测双星的运动,得到a、b的中心到O、A连线的距离x与观测时间的关系图像如图所示,引力常量为G,下列说法正确的是(　　)
A.a、b的线速度之比为3∶4
B.a的角速度大于b的角速度
C.a的质量为
D.b的质量为
解析:C　双星系统中,两颗星体的角速度相同,周期相同,B错误;由题图可知,图示中a、b的中心和O点间距离从零到最远所用时间为四分之一个周期,可知该双星系统的周期为2t0,a与轨迹中心间的距离为4x0,b与轨迹中心间的距离为3x0,可得ra∶rb=4∶3,由线速度v=ωr,可知a、b的线速度之比为va∶vb=4∶3,A错误;由题意可知maω2ra=mbω2rb,可得ma∶mb=3∶4,对b由万有引力提供向心力可知mbrb=G,解得ma=,mb=,C正确,D错误。
B级·高考过关练
7.如图所示,质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时,引力势能可表示为Ep=-(类似于重力势能,且已选取了默认的势能零点),其中G为引力常量,M为地球质量,该卫星原来在半径为R1的轨道Ⅰ上绕地球做匀速圆周运动,经过椭圆轨道Ⅱ的变轨过程进入半径为R3的圆形轨道Ⅲ继续绕地球运动,其中 P 点为Ⅰ轨道与Ⅱ轨道的切点,Q点为Ⅱ轨道与Ⅲ轨道的切点,下列判断正确的是(　　)
A.卫星在Ⅰ轨道上经过P点时的速度大于在Ⅱ轨道上经过P点时的速度
B.卫星在Ⅲ轨道上经过Q 点的加速度大于在Ⅱ轨道上经过Q点的加速度
C.卫星在轨道Ⅲ上的机械能为-G
D.卫星在轨道Ⅰ上的机械能为3G
解析:C　卫星要从Ⅰ轨道变到Ⅱ轨道上,做离心运动,所以经过P点时必须点火加速,即卫星在Ⅰ轨道上经过P点时的速度小于在Ⅱ轨道上经过P点时的速度,故A错误;根据牛顿第二定律有G=ma,解得a=,可知两个轨道上Q点到地心的距离不变,故加速度的大小不变,故B错误;卫星在轨道Ⅲ上,根据万有引力提供向心力,则有G=m,解得v3=,故卫星在轨道Ⅲ上的动能为Ek3=m=,卫星在轨道Ⅲ上的引力势能为Ep3=-,所以卫星在轨道Ⅲ上的机械能为E3=Ek3+Ep3=-G,故C正确;卫星在轨道Ⅰ上,根据万有引力提供向心力,则有G=m,解得v1=,故卫星在轨道Ⅰ上的动能为Ek1=m=,卫星在轨道Ⅰ上的引力势能为Ep1=-,所以卫星在轨道Ⅰ上的机械能为E1=Ek1+Ep1=-G,故D错误。
8.如图所示,Ⅰ为北斗卫星导航系统中的静止轨道卫星,其对地张角为2θ;Ⅱ为地球的近地卫星。已知地球的自转周期为T0,引力常量为G,根据题中条件,可求出(　　)
A.卫星Ⅱ的周期为
B.卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为sin 22θ
C.地球的平均密度为
D.卫星Ⅱ运动的周期内无法直接接收到卫星Ⅰ发出电磁波信号的时间为
解析:C　设地球半径为R,近地卫星轨道半径近似等于地球半径,即R2=R,另根据几何关系可得卫星Ⅰ的轨道半径为R1=,设卫星Ⅱ的周期为T,由开普勒第三定律可得=,解得T=T0,故A错误;设地球质量为M,卫星Ⅰ的质量为m1,卫星Ⅱ的质量为m2,根据牛顿第二定律,可得=m1a1,=m2a2,解得=sin 2θ,故B错误;对近地卫星,根据万有引力充当向心力,有=m2R2,地球的体积V=πR3,则地球的密度ρ==,故C正确;设不能接收到信号的时间为t,若卫星Ⅰ与卫星Ⅱ同向运动,则有t-t=π+2θ,解得t=·,若卫星Ⅰ与卫星Ⅱ相向运动,则有t+t=π+2θ,解得t=·,故D错误。

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