资源简介

课时4　万有引力定律及其应用
考点一　开普勒行星运动定律
定律 内容 图示或公式
开普勒 第一定律 (轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒 第二定律 (面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒 第三定律 (周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 =k,k是一个与行星无关的常量,只与中心天体的质量有关
命题视角　结合天体运动情景,考查开普勒定律的理解与应用
【典例1】 (中等)(2024·浙江6月选考)与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示,假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内,地球的公转半径为R,小行星甲的远日点到太阳的距离为R1,小行星乙的近日点到太阳的距离为R2,则(　　)
A.小行星甲在远日点的速度大于在近日点的速度
B.小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C.小行星甲与乙的运行周期之比=
D.甲、乙两小行星从远日点到近日点的时间之比=
解析:D　根据开普勒第二定律,小行星甲在远日点的速度小于在近日点的速度,故A错误;根据=ma,小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度,故B错误;根据开普勒第三定律,小行星甲与乙的运行周期之比==,故C错误;甲、乙两小行星从远日点到近日点的时间之比即为周期之比,=,故D正确。
考点二　万有引力定律
命题视角1　理解万有引力定律,应用公式解决实际问题
【典例2】 (容易)已知火星质量约为月球的9倍,半径约为月球的2倍,“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前,“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时,“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为(　　)
A.9∶1 B.9∶2
C.36∶1 D.72∶1
解析:B　悬停时所受平台的作用力等于万有引力,根据F=G,可得==,故选B。
命题视角2　考虑地球自转影响,辨析万有引力、重力、向心力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是重力mg,二是提供物体随地球自转的向心力Fn,如图所示。
(1)在赤道上:G=mg1+mω2R。
(2)在两极上:G=mg2。
(3)在一般位置:万有引力G等于重力mg与向心力Fn的矢量和。越靠近南北两极g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小,常认为万有引力近似等于重力,即=mg,即GM=gR2(黄金代换)。
【典例3】 (中等)某行星为质量分布均匀的球体,半径为R,质量为m。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时,发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍。已知引力常量为G,则该行星自转的角速度为(　　)
A. B.
C. D.
解析:B　设赤道处的重力加速度为g,物体在两极时自转向心力为零,则万有引力等于重力,=1.1m0g,在赤道时万有引力分为重力和自转的向心力,由万有引力定律得=m0g+m0Rω2,由以上两式解得,该行星自转的角速度为ω=,故选B。
考点三　天体质量和密度的计算
1.利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G=mg,得天体质量M=。
黄金代换公式GM=gR2
(2)天体密度ρ===。
2.利用运行天体
已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
地球自转周期24 h,公转周期365天
(1)由G=mr,得M=→只能求中心天体的质量。
(2)若已知天体的半径R,则天体的密度ρ===。
(3)若卫星绕天体表面运行,可认为轨道半径r等于天体半径R,则天体密度ρ=,故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密度。
命题视角　综合应用万有引力与圆周运动规律,掌握计算天体质量与密度的两种方法
【典例4】 (中等)我国是第三个对火星探测并将探测
器着陆火星的国家,探测器在环绕火星表面飞行时周期是T。火星表面气体非常稀薄可近似认为真空,在火星表面附近以初速度v0水平抛出一个物体,测得抛出点距火星表面高度为h,落到火星表面时物体的水平位移为x,已知引力常量为G,下列说法正确的是(　　)
A.火星表面重力加速度大小是
B.火星的半径是
C.火星的质量是
D.火星的密度是
解析:C　设物体在火星表面附近做平抛运动的时间为t,水平方向x=v0t,竖直方向h=g′t2,联立得g′=,探测器在环绕火星表面飞行时周期是T,由万有引力提供向心力得=,在火星表面有mg′=,联立得R=,A、B错误;在火星表面有mg′=G,解得M=,C正确;火星的密度ρ==,D错误。
课时作业
A级·基础巩固练
命题视角1　结合天体运动情景,考查开普勒定律的理解与应用
1.(2025·云南卷)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年,该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU,八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用,则该小行星的公转轨道应介于(　　)
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王 星 海王 星
轨道 半径 R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A.金星与地球的公转轨道之间
B.地球与火星的公转轨道之间
C.火星与木星的公转轨道之间
D.天王星与海王星的公转轨道之间
解析:C　根据开普勒第三定律可知= ,其中r地=1 AU,T地=1年,T行=5.8年,代入解得r行=3.23 AU,故可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间。故选C。
2.(2025·嘉兴一模)哈雷彗星是第一颗被人类记录的周期彗星,每76.1年环绕太阳一周。如图所示,地球绕太阳做匀速圆周运动,轨道半径为r,哈雷彗星的轨道是椭圆,近日点与太阳中心距离为r1,远日点与太阳中心距离为r2,则(　　)
A.哈雷彗星在远日点的速度最大
B.彗星在近日点受到的太阳引力小于彗星对太阳的引力
C.哈雷彗星在近日点与远日点的加速度之比为
D.r、r1和r2之间满足关系式=
解析:C　根据开普勒第二定律可知,哈雷彗星在近日点的速度最大,故A错误;根据牛顿第三定律可知,哈雷彗星在近日点受到的太阳引力等于哈雷彗星对太阳的引力,故B错误;哈雷彗星在近日点与远日点的加速度靠万有引力提供,G=ma,可知加速度与距离的二次方成反比,故C正确;根据开普勒第三定律=,代入数据整理得=,故D错误。
命题视角2　掌握万有引力定律,分析与计算天体运动参量
3.如图所示,一半径为R、密度均匀的球体,在距球心2R处有一质点。若以球心O为中心挖去一个半径为的球体,则剩余部分对该质点的万有引力变为原来的(　　)
A. B. C. D.
解析:B　设球体的密度为ρ,则球体的质量为M=ρπR3,被挖去的小球体的质量为M′=ρ=M,可知完整球体对质点的万有引力大小为F1=,被挖去的小球体对质点的万有引力大小为F2==F1,则剩余部分对质点的万有引力大小为F=F1-F2=F1,可知剩余部分对该质点的万有引力变为原来的。
4.某影片中,太空电梯高耸入云,在地表与太空间高速穿梭。太空电梯上升到某高度时,质量为2.5 kg的物体重力为16 N。已知地球半径为6 371 km,不考虑地球自转,则此时太空电梯距离地面的高度约为(　　)
A.1 593 km B.3 584 km
C.7 964 km D.9 955 km
解析:A　设地球的半径为R,地球质量为M,引力常量为G,地球表面重力加速度为g0,太空电梯离地高度为h,太空电梯所在位置处的重力加速度为g′,根据万有引力公式有代入数据整理得=,=,所以太空电梯距离地面高度为h=R=
1 593 km,故选A。
5.(2025·浙江1月选考)地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示,彗星从a运行到b、从c运行到d的过程中,与太阳连线扫过的面积分别为S1和S2,且S1>S2。彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的0.6倍,则彗星(　　)
A.在近日点的速度小于地球的速度
B.从b运行到c的过程中动能先增大后减小
C.从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间
D.在近日点加速度约为地球的加速度的0.36倍
解析:C　地球绕太阳做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,G=m,解得v=,哈雷彗星在近日点的曲率半径小于地球半径,因此哈雷彗星在近日点的速度大于地球绕太阳的公转速度,A错误;从b运行到c的过程中万有引力与速度方向夹角一直为钝角,哈雷彗星速度一直减小,因此动能一直减小,B错误;根据开普勒第二定律可知哈雷彗星绕太阳经过相同的时间扫过的面积相同,根据S1>S2可知,哈雷彗星从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间,C正确;天体绕太阳运动,天体与太阳间的万有引力提供向心力,G=ma,解得a=,则哈雷彗星在近日点的加速度a1与地球的加速度a2比值为===2.8,D错误。
命题视角3　综合应用万有引力与圆周运动规律,掌握计算天体质量与密度的两种方法
6.(多选)小张同学在教室中将一小球从某一高度静止释放,t0时小球速度为v0,忽略地球自转且小球仅受重力,地球可视为半径为R的匀质球体,引力常量为G,v0、t0、R、G均已知,则下列说法正确的是(　　)
A.地球表面的重力加速度为g=
B.地球质量为M=
C.地球的密度为ρ=
D.小球释放高度为h=v0t0
解析:AC　根据自由落体公式有v0=gt0,可得g=,A正确;根据万有引力等于重力有=mg,解得M==,B错误;地球的密度为ρ==,解得ρ=,C正确;由运动学知识可得小球释放高度为h=t0=,D错误。
7.(2025·金华三模)假设某卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动,距地面的高度为h,飞行n圈所用时间为t,该卫星的总质量为m,地球半径为R,引力常量为G,则(　　)
A.地球的质量M=
B.地球表面的重力加速度g=(R+h)3
C.该卫星的向心加速度a=
D.该卫星的线速度v=
解析:B　卫星绕地球做圆周运动的周期T=,根据G=m(R+h),可得地球的质量M=,选项A错误;根据G=m0g,地球表面的重力加速度g=(R+h)3,选项B正确;根据G=ma,卫星的向心加速度a==,选项C错误;卫星的线速度v=(R+h)=,选项D错误。
B级·高考过关练
8.(2026·浙江1月选考)已知行星的平均密度为ρ,靠近行星表面运行的卫星做圆周运动的周期为T。对于任何行星均为同一常量的是(　　)
A.ρT B. ρT2 C. ρ2T D.ρ2T3
解析:B　根据万有引力定律和圆周运动规律,卫星在行星表面附近运行时,万有引力提供向心力,G=m,行星平均密度ρ=,联立解得ρ=。ρT=,与T有关,对于任何行星不是同一常量,故A错误;ρT2=,对于任何行星是同一常量,故B正确;ρ2T=,与T有关,对于任何行星不是同一常量,故C错误;ρ2T3=,与T有关,对于任何行星不是同一常量,故D错误。
9.将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时,该物体的重力均为mg0;将该物体放在地球赤道上时,该物体的重力为mg。假设地球可视为质量均匀分布的球体,半径为R,已知引力常量为G,则由以上信息可得出(　　)
A.g0小于g
B.地球的质量为
C.地球自转的角速度为ω=
D.地球的平均密度为
解析:C　设地球的质量为M,物体在赤道处随地球自转做圆周运动的角速度ω等于地球自转的角速度,轨道半径等于地球半径,物体在赤道上受到的重力和物体随地球自转所需的向心力是万有引力的分力,有-mg=mω2R,物体在两极点所受的重力等于万有引力,即=mg0,综合以上可知g0>g,故A错误;在两极点=mg0,解得M=,故B错误;由以上分析有-mg=
mω2R,=mg0,联立得ω=,故C正确;由密度ρ=,结合B选项分析得ρ===,故D错误。
10.(2025·浙江6月选考)(多选)月球有类似于地球的南北两极和纬度。如图所示,月球半径为R,表面重力加速度为g月,不考虑月球自转。从月球北极正上方水平发射一物体,要求落在纬度φ=60°的M处,其运动轨迹为椭圆的一部分。假设月球质量集中在球心O点,如果物体沿椭圆运动的周期最短,则(　　)
A.发射点离月面的高度h=R
B.物体沿椭圆运动的周期为
C.此椭圆两焦点之间的距离为R
D.若水平发射的速度为v,发射高度为h,则物体落到M处的速度为
解析:BC　根据题意可知,椭圆轨道的一个焦点为O,另外一个焦点为O′,如图甲所示。
设椭圆的半长轴为a,焦距为2c,根据椭圆知识可知O′M+OM=2a,根据开普勒第三定律=k可知,如果物体沿椭圆轨道运动的周期最短,则椭圆的半长轴最小,根据几何关系可知,当MO′垂直于OO′时,半长轴a最小,如图乙所示。
由几何关系有2a=Rcos φ+R,解得a=。根据几何关系可得椭圆的焦距2c=OO′=Rsin φ=,C正确;根据几何关系可得发射点离月面的高度h=a+c-R=R,A错误;设物体绕月球表面做匀速圆周运动时的周期为T0,由重力提供向心力得mg月=mR,结合开普勒第三定律=,联立可得物体沿椭圆运动的周期为T=,B正确;由引力势能公式Ep=-,结合万有引力公式m′g月=G,结合机械能守恒定律有-+m′v2=-+m′,联立可得vM=,
D错误。(共19张PPT)
课时4
万有引力定律及其应用
考点一
开普勒行星运动定律
基础梳理
定律 内容 图示或公式
开普勒 第一定律 (轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是 ,太阳处在 的一个焦点上
开普勒 第二定律 (面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的 相等
椭圆
椭圆
面积
半长轴的三次方
公转周期的二次方
中心天体
典例精析
命题视角　结合天体运动情景,考查开普勒定律的理解与应用
【典例1】 (中等)(2024·浙江6月选考)与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示,假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内,地球的公转半径为R,小行星甲的远日点到太阳的距离为R1,小行星乙的近日点到太阳的距离为R2,则(　　)
A.小行星甲在远日点的速度大于在近日点的速度
B.小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
D
考点二
万有引力定律
基础梳理
物体的
质量m1和m2的乘积
距离r的二次方成反比
质点
两球心
典例精析
命题视角1　理解万有引力定律,应用公式解决实际问题
【典例2】 (容易)已知火星质量约为月球的9倍,半径约为月球的2倍,“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前,“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时,“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为(　　)
A.9∶1 B.9∶2
C.36∶1 D.72∶1
B
命题视角2　考虑地球自转影响,辨析万有引力、重力、向心力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是重力mg,二是提供物体随地球自转的向心力Fn,如图所示。
【典例3】 (中等)某行星为质量分布均匀的球体,半径为R,质量为m。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时,发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍。已知引力常量为G,则该行星自转的角速度为
(　　)
B
考点三
天体质量和密度的计算
基础梳理
1.利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
黄金代换公式GM=gR2
2.利用运行天体
已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
地球自转周期24 h,公转周期365天
命题视角　综合应用万有引力与圆周运动规律,掌握计算天体质量与密度的两种方法
【典例4】 (中等)我国是第三个对火星探测并将探测器着陆火星的国家,探测器在环绕火星表面飞行时周期是T。火星表面气体非常稀薄可近似认为真空,在火星表面附近以初速度v0水平抛出一个物体,测得抛出点距火星表面高度为h,落到火星表面时物体的水平位移为x,已知引力常量为G,下列说法正确的是(　　)
典例精析
C
感谢观看课时4　万有引力定律及其应用
课时作业
A级·基础巩固练
命题视角1　结合天体运动情景,考查开普勒定律的理解与应用
1.(2025·云南卷)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年,该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU,八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用,则该小行星的公转轨道应介于(　　)
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道 半径 R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A.金星与地球的公转轨道之间
B.地球与火星的公转轨道之间
C.火星与木星的公转轨道之间
D.天王星与海王星的公转轨道之间
解析:C　根据开普勒第三定律可知= ,其中r地=1 AU,T地=1年,T行=5.8年,代入解得r行=3.23 AU,故可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间。故选C。
2.(2025·嘉兴一模)哈雷彗星是第一颗被人类记录的周期彗星,每76.1年环绕太阳一周。如图所示,地球绕太阳做匀速圆周运动,轨道半径为r,哈雷彗星的轨道是椭圆,近日点与太阳中心距离为r1,远日点与太阳中心距离为r2,则(　　)
A.哈雷彗星在远日点的速度最大
B.彗星在近日点受到的太阳引力小于彗星对太阳的引力
C.哈雷彗星在近日点与远日点的加速度之比为
D.r、r1和r2之间满足关系式=
解析:C　根据开普勒第二定律可知,哈雷彗星在近日点的速度最大,故A错误;根据牛顿第三定律可知,哈雷彗星在近日点受到的太阳引力等于哈雷彗星对太阳的引力,故B错误;哈雷彗星在近日点与远日点的加速度靠万有引力提供,G=ma,可知加速度与距离的二次方成反比,故C正确;根据开普勒第三定律=,代入数据整理得=,故D错误。
命题视角2　掌握万有引力定律,分析与计算天体运动参量
3.如图所示,一半径为R、密度均匀的球体,在距球心2R处有一质点。若以球心O为中心挖去一个半径为的球体,则剩余部分对该质点的万有引力变为原来的(　　)
A. B. C. D.
解析:B　设球体的密度为ρ,则球体的质量为M=ρπR3,被挖去的小球体的质量为M′=ρ=M,可知完整球体对质点的万有引力大小为F1=,被挖去的小球体对质点的万有引力大小为F2==F1,则剩余部分对质点的万有引力大小为F=F1-F2=F1,可知剩余部分对该质点的万有引力变为原来的。
4.某影片中,太空电梯高耸入云,在地表与太空间高速穿梭。太空电梯上升到某高度时,质量为2.5 kg的物体重力为16 N。已知地球半径为6 371 km,不考虑地球自转,则此时太空电梯距离地面的高度约为(　　)
A.1 593 km B.3 584 km
C.7 964 km D.9 955 km
解析:A　设地球的半径为R,地球质量为M,引力常量为G,地球表面重力加速度为g0,太空电梯离地高度为h,太空电梯所在位置处的重力加速度为g′,根据万有引力公式有代入数据整理得=,=,所以太空电梯距离地面高度为h=R=
1 593 km,故选A。
5.(2025·浙江1月选考)地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示,彗星从a运行到b、从c运行到d的过程中,与太阳连线扫过的面积分别为S1和S2,且S1>S2。彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的0.6倍,则彗星(　　)
A.在近日点的速度小于地球的速度
B.从b运行到c的过程中动能先增大后减小
C.从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间
D.在近日点加速度约为地球的加速度的0.36倍
解析:C　地球绕太阳做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,G=m,解得v=,哈雷彗星在近日点的曲率半径小于地球半径,因此哈雷彗星在近日点的速度大于地球绕太阳的公转速度,A错误;从b运行到c的过程中万有引力与速度方向夹角一直为钝角,哈雷彗星速度一直减小,因此动能一直减小,B错误;根据开普勒第二定律可知哈雷彗星绕太阳经过相同的时间扫过的面积相同,根据S1>S2可知,哈雷彗星从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间,C正确;天体绕太阳运动,天体与太阳间的万有引力提供向心力,G=ma,解得a=,则哈雷彗星在近日点的加速度a1与地球的加速度a2比值为===2.8,D错误。
命题视角3　综合应用万有引力与圆周运动规律,掌握计算天体质量与密度的两种方法
6.(多选)小张同学在教室中将一小球从某一高度静止释放,t0时小球速度为v0,忽略地球自转且小球仅受重力,地球可视为半径为R的匀质球体,引力常量为G,v0、t0、R、G均已知,则下列说法正确的是(　　)
A.地球表面的重力加速度为g=
B.地球质量为M=
C.地球的密度为ρ=
D.小球释放高度为h=v0t0
解析:AC　根据自由落体公式有v0=gt0,可得g=,A正确;根据万有引力等于重力有=mg,解得M==,B错误;地球的密度为ρ==,解得ρ=,C正确;由运动学知识可得小球释放高度为h=t0=,D错误。
7.(2025·金华三模)假设某卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动,距地面的高度为h,飞行n圈所用时间为t,该卫星的总质量为m,地球半径为R,引力常量为G,则(　　)
A.地球的质量M=
B.地球表面的重力加速度g=(R+h)3
C.该卫星的向心加速度a=
D.该卫星的线速度v=
解析:B　卫星绕地球做圆周运动的周期T=,根据G=m(R+h),可得地球的质量M=,选项A错误;根据G=m0g,地球表面的重力加速度g=(R+h)3,选项B正确;根据G=ma,卫星的向心加速度a==,选项C错误;卫星的线速度v=(R+h)=,选项D错误。
B级·高考过关练
8.(2026·浙江1月选考)已知行星的平均密度为ρ,靠近行星表面运行的卫星做圆周运动的周期为T。对于任何行星均为同一常量的是(　　)
A.ρT B. ρT2 C. ρ2T D.ρ2T3
解析:B　根据万有引力定律和圆周运动规律,卫星在行星表面附近运行时,万有引力提供向心力,G=m,行星平均密度ρ=,联立解得ρ=。ρT=,与T有关,对于任何行星不是同一常量,故A错误;ρT2=,对于任何行星是同一常量,故B正确;ρ2T=,与T有关,对于任何行星不是同一常量,故C错误;ρ2T3=,与T有关,对于任何行星不是同一常量,故D错误。
9.将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时,该物体的重力均为mg0;将该物体放在地球赤道上时,该物体的重力为mg。假设地球可视为质量均匀分布的球体,半径为R,已知引力常量为G,则由以上信息可得出(　　)
A.g0小于g
B.地球的质量为
C.地球自转的角速度为ω=
D.地球的平均密度为
解析:C　设地球的质量为M,物体在赤道处随地球自转做圆周运动的角速度ω等于地球自转的角速度,轨道半径等于地球半径,物体在赤道上受到的重力和物体随地球自转所需的向心力是万有引力的分力,有-mg=mω2R,物体在两极点所受的重力等于万有引力,即=mg0,综合以上可知g0>g,故A错误;在两极点=mg0,解得M=,故B错误;由以上分析有-mg=
mω2R,=mg0,联立得ω=,故C正确;由密度ρ=,结合B选项分析得ρ===,故D错误。
10.(2025·浙江6月选考)(多选)月球有类似于地球的南北两极和纬度。如图所示,月球半径为R,表面重力加速度为g月,不考虑月球自转。从月球北极正上方水平发射一物体,要求落在纬度φ=60°的M处,其运动轨迹为椭圆的一部分。假设月球质量集中在球心O点,如果物体沿椭圆运动的周期最短,则(　　)
A.发射点离月面的高度h=R
B.物体沿椭圆运动的周期为
C.此椭圆两焦点之间的距离为R
D.若水平发射的速度为v,发射高度为h,则物体落到M处的速度为
解析:BC　根据题意可知,椭圆轨道的一个焦点为O,另外一个焦点为O′,如图甲所示。
设椭圆的半长轴为a,焦距为2c,根据椭圆知识可知O′M+OM=2a,根据开普勒第三定律=k可知,如果物体沿椭圆轨道运动的周期最短,则椭圆的半长轴最小,根据几何关系可知,当MO′垂直于OO′时,半长轴a最小,如图乙所示。
由几何关系有2a=Rcos φ+R,解得a=。根据几何关系可得椭圆的焦距2c=OO′=Rsin φ=,C正确;根据几何关系可得发射点离月面的高度h=a+c-R=R,A错误;设物体绕月球表面做匀速圆周运动时的周期为T0,由重力提供向心力得mg月=mR,结合开普勒第三定律=,联立可得物体沿椭圆运动的周期为T=,B正确;由引力势能公式Ep=-,结合万有引力公式m′g月=G,结合机械能守恒定律有-+m′v2=-+m′,联立可得vM=,
D错误。

展开更多......

收起↑