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课时3　圆周运动
考点一　圆周运动的运动学问题
1.
2.
3.
命题视角1　圆周运动中的传动问题,明确传动类型判断物理量间的关系
常见的传动方式及特点
项目 同轴转动 皮带传动 齿轮传动
装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接,A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合,A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特点 角速度、周期相同 线速度大小相等 线速度大小相等
转向 相同 相同 相反
规律 线速度与半径成正比:= 向心加速度与半径成正比:= 角速度与半径成反比: = 向心加速度与半径成反比:= 角速度与半径成反比: = 向心加速度与半径成反比:=
【典例1】 (容易)如图是某自行车的传动结构示意图,其中Ⅰ 是半径r1=10 cm的牙盘(大齿轮),Ⅱ是半径r2=4 cm的飞轮(小齿轮),Ⅲ是半径r3=36 cm的后轮。若某人在匀速骑行时每分钟踩脚踏板转30圈,取π=3.14,下列判断正确的是(　　)
A.脚踏板的周期为 s
B.牙盘转动的角速度为6.28 rad/s
C.飞轮边缘的线速度大小为3.14 m/s
D.自行车匀速运动的速度大小为2.826 m/s
解析:D　脚踏板每分钟转30圈,则周期为T= s=2 s,A错误;牙盘转动的角速度与脚踏板相同,为ω1==3.14 rad/s,B错误;飞轮边缘的线速度大小与牙盘边缘的线速度大小相等,为v2=v1=ω1r1=0.314 m/s,C错误;后轮的角速度与飞轮的角速度相同,为ω3=ω2==7.85 rad/s,则后轮边缘各点的线速度大小为v3=ω3r3=2.826 m/s,即自行车匀速运动的速度大小为2.826 m/s,D正确。
命题视角2　圆周运动的多解问题
【典例2】 (中等)如图所示,水平放置的圆柱形筒绕其中心对称轴OO′匀速转动,筒的半径R=2 m,筒壁上有一小孔P,一小球从孔正上方h=3.2 m处由静止释放,此时小孔开口向上转到小球正下方。已知孔的半径略大于小球半径,筒壁厚度可以忽略,若小球恰好能够从小孔离开圆筒,g取10 m/s2。则筒转动的周期可能为(　　)
A. s B. s C. s D. s
解析:D　当小孔开口向上时,由h=g,解得t1=0.8 s,当小孔开口转到小球正下方时,有h+2R=g,解得t2=1.2 s,在圆筒中的时间Δt=t2-t1=0.4 s,小球在圆筒中的运动时间与筒自转的时间相等,有Δt=(n+)T(n=0,1,2,…),解得T= s(n=0,1,2,…),当n=0时,T= s,D正确。
考点二　圆周运动的动力学问题
1.
2.
命题视角1　向心力的来源分析,情境中建模受力分析
1.匀速圆周运动的实例分析
运动 模型 向心力的 来源图示 运动 模型 向心力的 来源图示
飞机水 平转弯 Fn=mgtan θ 火车 转弯 Fn=mgtan θ
圆锥摆 Fn=mgtan θ r=lsin θ 飞车 走壁 Fn=mgtan θ
汽车在 水平路 面转弯 Fn=Ff 水平 转台 (光滑) Fn=mBg
2.变速圆周运动的向心力
如图所示,当小球在竖直面内摆动时,沿半径方向的合力提供向心力,即FT-mgcos θ=m。
3.解题思维链
定对象与轨道[确定研究对象,画出运动轨迹(圆心、半径、平面)]→受力分析[画出所有真实力(重力、弹力、摩擦力),不添加虚拟力(向心力)]→正交分解(径向与切向)→列方程求解(径向与切向)
【典例3】 (中等)(多选)四个完全相同的小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动。如图甲所示,小球A、B在同一水平面内做圆锥摆运动(连接B球的绳较长);如图乙所示,小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动,但是连接C、D的绳与竖直方向的夹角相等(连接D球的绳较长),则下列说法正确的是(　　)
A.小球A、B角速度大小相等
B.小球A、B线速度大小相等
C.小球C、D向心加速度大小相等
D.小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等
解析:ACD　对题图甲中A、B分析,设绳与竖直方向的夹角为θ,绳长为l,小球的质量为m,小球A、B到悬点O的竖直距离为h,则mgtan θ=mω2lsin θ,解得ω==,所以小球A、B的角速度大小相等,A、B做圆周运动的半径不同,则线速度大小不相等,故A正确,B错误;对题图乙中C、D分析,设绳与竖直方向的夹角为θ,绳上拉力为FT,则有mgtan θ=man,FTcos θ=mg,得an=gtan θ,FT=,所以小球C、D向心加速度大小相等,小球C、D受到绳的拉力大小也相等,故C、D正确。
命题视角2　离心运动问题,辨析概念本质,分析临界条件,解释实际应用
【典例4】 (中等)如图为自行车气嘴灯及其结构图,弹簧一端固定在A端,另一端拴接重物,当车轮高速旋转时,LED灯就会发光。下列说法正确的是(　　)
A.B端比A端的线速度小,安装时应该让B比A更靠近车轮的圆心
B.旋转时,重物受到重力、弹力和向心力作用
C.增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光
D.匀速行驶时,若LED灯转到最低点时能发光,则在最高点时也一定能发光
解析:C　要使重物做离心运动,M、N接触,则A端应靠近圆心,因此安装时A端比B端更靠近车轮的圆心,A错误;向心力是效果力,它由弹力和物体所受重力的合力提供,B错误;灯在最低点时,有F-mg=mω2r,解得ω=,故增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光,C正确;灯在最低点时,有F-mg=m,灯在最高点时F′+mg=m,匀速行驶时,在最低点时弹簧对重物的弹力大于在最高点时对重物的弹力,因此匀速行驶时,若LED灯转到最低点时能发光,则在最高点时不一定能发光,D错误。
考点三　竖直面内圆周运动的临界问题
1.竖直面内圆周运动的两类模型
比较项 轻绳模型 轻杆模型
常见 类型 小球在最高点没有支撑 小球在最高点有支撑
最高点 受力 特征 除重力外,物体受到的弹力方向:向下或等于零 除重力外,物体受到的弹力方向:向下、等于零或向上
最高点 受力 示意图
动力学 方程 mg+F弹=m mg±F弹=m
临界 特征 F弹=0　 mg=m　 即vmin= ①恰好过最高点,v=0,F弹=mg ②恰好无弹力,F弹=0,v=
过最高 点的 条件 在最高点的速度v≥ 在最高点的速度v≥0
2.解题思维链
命题视角　掌握轻绳、轻杆模型的临界特征,解决竖直面内临界问题
【典例5】 (轻绳模型·容易)一根长L=60 cm的绳子系着一个小球,小球在竖直平面内做圆周运动。已知球的质量m=0.5 kg,(g取10 m/s2)求:
(1)到达最高点时向心力的最小值;
(2)当小球在最高点的速度为3 m/s时,绳对小球的拉力;
(3)当小球在最低点的速度为6 m/s时,绳对小球的拉力。
解析:(1)小球在最高点受重力和拉力,合力提供向心力,当拉力为零时,向心力最小,为
F向min=mg=5 N。
(2)当小球在最高点的速度为3 m/s时,重力和拉力的合力提供向心力,F+mg=m,R=L=60 cm=0.6 m,
得F=2.5 N,方向向下。
(3)当小球在最低点的速度为6 m/s时,重力和拉力的合力提供向心力,F1-mg=m,R=L=60 cm=0.6 m,得F1=35 N,方向向上。
答案:(1)5 N　(2)2.5 N,方向向下　(3)35 N,方向向上
【典例6】 (轻杆模型·中等)如图甲所示,轻杆一端固定在O点,另一端固定一小球,现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时,杆与小球间弹力大小为FN,小球在最高点时的速度大小为v,其FN-v2图像如图乙所示,重力加速度g取10 m/s2,小球可视为质点,不计一切阻力。则下列说法正确的是(　　)
A.小球的质量为2 kg
B.小球做圆周运动的半径为2.5 m
C.v2=2时,在最高点杆对小球的弹力大小为40 N
D.v2=时,小球的向心加速度大小为10 m/s2
解析:B　由题图乙知,当v2=0时,对小球有mg=FN=10 N,解得m=1 kg,A错误。当v2=25(m/s)2,FN=0,有mg=m,得R=2.5 m,B正确。当v2=时,FN=10 N,有FN+mg=m,得=50(m/s)2;当v2=2时,有FN′+mg=m,得此时杆对小球的弹力大小FN′=30 N,C错误。当v2=时,小球的向心加速度大小an==20 m/s2,D错误。
课时作业
A级·基础巩固练
命题视角1　圆周运动物理量的分析与计算,圆周运动中的传动问题、多解问题
1.(多选)如图所示为星系齿轮的机构图,一半径为R1的中心齿轮和四个半径均为R2的卫星齿轮嵌套在半径为R3的轨道圆环内,在摇杆的作用下中心齿轮可做匀速圆周运动,带动卫星齿轮和轨道圆环转动,下列说法正确的是(　　)
A.中心齿轮边缘各点的线速度大小与卫星齿轮边缘各点的线速度大小相等
B.中心齿轮自转一圈,卫星齿轮也刚好自转一圈
C.中心齿轮边缘各点的向心加速度与卫星齿轮边缘各点的向心加速度的比值为
D.卫星齿轮需要自转圈才可以绕轨道圆环转动一圈
解析:AC　中心齿轮与卫星齿轮边缘各点的线速度大小相等,A正确;由v=ωR可得中心齿轮与卫星齿轮的角速度与各自半径成反比,不能同时自转一圈,B错误;向心加速度a=,v相同,则=,C正确;设卫星齿轮自转n圈才绕轨道圆环转动一圈,应有n·2πR2=2πR3,解得n=,D错误。
2.如图所示,一个半径为5 m的圆盘正绕其圆心匀速转动,当圆盘边缘上的一点A处在如图所示位置的时候,在其圆心正上方20 m的高度有一个小球(视为质点)正在向边缘的A点以一定的速度水平抛出,g取10 m/s2,不计空气阻力,要使得小球正好落在A点,则(　　)
A.小球平抛的初速度一定是2.5 m/s
B.小球平抛的初速度可能是2.5 m/s
C.圆盘转动的角速度一定是π rad/s
D.圆盘转动的加速度大小可能是π2 m/s2
解析:A　根据h=gt2,可得t==2 s,则小球平抛的初速度v0==2.5 m/s,A正确,B错误;根据ωt=2nπ(n=1,2,3,…),解得圆盘转动的角速度ω==nπ rad/s(n=1,2,3,…),圆盘转动的加速度大小为a=ω2r=n2π2r=5π2n2 m/s2(n=1,2,3,…),C、D错误。
命题视角2　圆周运动的动力学问题,情境中建模受力分析
3.(多选)如图所示,杂技演员进行表演时,可以悬空靠在以角速度ω匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来。设圆筒半径为r,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,演员与圆筒内壁之间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,则(　　)
A.该演员受到4个力的作用
B.该演员所需的向心力由弹力提供
C.角速度越大,人受到的摩擦力越大
D.圆筒的角速度ω≥
解析:BD　杂技演员受到重力、筒壁的弹力和静摩擦力共3个力的作用,A错误;由于杂技演员在圆筒内壁上不掉下来,竖直方向根据平衡条件,有mg=Ff,水平方向,筒壁的弹力提供向心力,有F=mω2r,角速度越大,人受到的摩擦力不变,弹力变大,B正确,C错误;要想不下滑,最大静摩擦力需要大于或等于重力,所以μF≥mg,F=mω2r,联立解得ω≥,D正确。
4.在空间站中,航天员用绳子一端系住装有水油混合物的瓶子,以绳子的另一端O为圆心做如图所示的圆周运动,一段时间后水和油成功分层(水的密度大于油的密度)。以空间站为参考系,此时(　　)
A.水和油的线速度大小相等
B.水和油的向心加速度大小相等
C.水对油的作用力大于油对水的作用力
D.水对油有指向圆心的作用力
解析:D　水的密度大于油的密度,所以混合液体中取半径相同处体积相等的水和油的液体小球,水球的质量大于油球的质量,根据Fn=mω2r可知,水球需要的向心力更大,故当水油分层后水在瓶底,油在上层,水和油做圆周运动的半径不相同,角速度相同,根据v=ωr知,水比油做圆周运动的半径大,线速度也大,A错误;根据an=ω2r知,角速度相同时,水做圆周运动的半径大,向心加速度就大,B错误;水对油的作用力和油对水的作用力是一对作用力与反作用力,大小相等、方向相反,C错误;油做圆周运动的向心力由水提供,故水对油有指向圆心的作用力,
D正确。
命题视角3　掌握轻绳、轻杆模型的临界特征,解决竖直面内临界问题
5.如图所示,长度均为l=1 m的两根轻绳,一端共同系住质量为m=0.5 kg的小球,另一端分别固定在等高的A、B两点,A、B两点间的距离也为l,重力加速度g取10 m/s2。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动,若小球在最高点速率为v时,每根绳的拉力恰好为零,则小球在最高点速率为2v时,每根绳的拉力大小为(　　)
A.5 N B.20 N
C.15 N D.10 N
解析:A　小球在最高点速率为v时,有mg=m,当小球在最高点的速率为2v时,
有mg+2FTcos 30°=m,解得FT=mg=5 N。
6.如图所示,小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动,内侧壁半径为R,小球半径为r,重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
A.小球通过最高点时的最小速度vmin=
B.小球通过最高点时的最小速度vmin=
C.小球在水平线ab以下的管道中运动时,内侧管壁对小球一定无作用力
D.小球在水平线ab以上的管道中运动时,外侧管壁对小球一定有作用力
解析:C　小球沿管道上升到最高点的速度可以为零,故A、B错误;小球在水平线ab以下的管道中运动时,由外侧管壁对小球的作用力FN与小球重力在背离圆心方向的分力F的合力提供向心力,即FN-F=ma,因此外侧管壁对小球一定有作用力,而内侧管壁对小球一定无作用力,C正确;小球在水平线ab以上的管道中运动时,小球受管壁的作用力情况与小球速度大小有关,D错误。
B级·高考过关练
7.如图所示,一个半径为5 m的倾斜匀质圆盘,盘面与水平面的夹角为30°,圆盘可绕过圆盘圆心O且垂直于盘面的固定轴以1 rad/s的角速度匀速转动。盘面上与O点距离r处有一物块,物块与盘面间的动摩擦因数为,已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力,g取10 m/s2。要保证物块与圆盘始终保持相对静止,则距离r的可能取值范围为(　　)
A.0C.2.5 m≤r≤4 m D.2.5 m≤r≤5 m
解析:A　当物块转到圆盘的最低点刚要滑动时,所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时,设半径为r1,有μmgcos 30°-mgsin 30°=mω2r1,解得r1=2.5 m。当物块转到圆盘的最高点刚要滑动时,所受的静摩擦力沿斜面向下达到最大时,设半径为r2,有μmgcos 30°+mgsin 30°=mω2r2,解得r2=12.5 m>5 m,不符合要求。故距离r的可能取值范围为08.“太极球”是近年来在广大市民中较流行的一种健身器材。做该项运动时,健身者半马步站立,手持太极球拍,拍上放一橡胶太极球,健身者舞动球拍时,球却不会掉落到地上。现将太极球简化成如图甲所示的平板和小球,熟练的健身者让球在竖直面内始终不脱离板而做匀速圆周运动,且在运动到图中的A、B、C、D位置时球与板间无相对运动趋势。A为圆周的最高点,C为最低点,B、D与圆心O等高。设球的重力为1 N,不计拍的重力,则:
(1)健身者在C处所需施加的力比在A处大多少
(2)设在A处时健身者需施加的力为F,当球运动到B、D位置时,板与水平方向需有一定的夹角θ,请寻找B、D处tan θ与A处F的函数关系,并在图乙中作出tan θ-F的函数图像。
解析:(1)设球运动的线速度大小为v,半径为R,在A处有mg+F1=m,在C处有F2-mg=m,健身者在C处所需施加的力比在A处大ΔF=F2-F1=2mg=2 N。
(2)在A处时板对小球的作用力为F,球做匀速圆周运动的向心力F向=F+mg,由于无相对运动趋势,在B处不受摩擦力作用,有F向=mgtan θ,联立可得tan θ=F+1,作出tan θ-F的图像如图
所示。
答案:(1)2 N　(2)tan θ=F+1　见解析图课时3　圆周运动
课时作业
A级·基础巩固练
命题视角1　圆周运动物理量的分析与计算,圆周运动中的传动问题、多解问题
1.(多选)如图所示为星系齿轮的机构图,一半径为R1的中心齿轮和四个半径均为R2的卫星齿轮嵌套在半径为R3的轨道圆环内,在摇杆的作用下中心齿轮可做匀速圆周运动,带动卫星齿轮和轨道圆环转动,下列说法正确的是(　　)
A.中心齿轮边缘各点的线速度大小与卫星齿轮边缘各点的线速度大小相等
B.中心齿轮自转一圈,卫星齿轮也刚好自转一圈
C.中心齿轮边缘各点的向心加速度与卫星齿轮边缘各点的向心加速度的比值为
D.卫星齿轮需要自转圈才可以绕轨道圆环转动一圈
解析:AC　中心齿轮与卫星齿轮边缘各点的线速度大小相等,A正确;由v=ωR可得中心齿轮与卫星齿轮的角速度与各自半径成反比,不能同时自转一圈,B错误;向心加速度a=,v相同,则=,C正确;设卫星齿轮自转n圈才绕轨道圆环转动一圈,应有n·2πR2=2πR3,解得n=,D错误。
2.如图所示,一个半径为5 m的圆盘正绕其圆心匀速转动,当圆盘边缘上的一点A处在如图所示位置的时候,在其圆心正上方20 m的高度有一个小球(视为质点)正在向边缘的A点以一定的速度水平抛出,g取10 m/s2,不计空气阻力,要使得小球正好落在A点,则(　　)
A.小球平抛的初速度一定是2.5 m/s
B.小球平抛的初速度可能是2.5 m/s
C.圆盘转动的角速度一定是π rad/s
D.圆盘转动的加速度大小可能是π2 m/s2
解析:A　根据h=gt2,可得t==2 s,则小球平抛的初速度v0==2.5 m/s,A正确,B错误;根据ωt=2nπ(n=1,2,3,…),解得圆盘转动的角速度ω==nπ rad/s(n=1,2,3,…),圆盘转动的加速度大小为a=ω2r=n2π2r=5π2n2 m/s2(n=1,2,3,…),C、D错误。
命题视角2　圆周运动的动力学问题,情境中建模受力分析
3.(多选)如图所示,杂技演员进行表演时,可以悬空靠在以角速度ω匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来。设圆筒半径为r,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,演员与圆筒内壁之间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,则(　　)
A.该演员受到4个力的作用
B.该演员所需的向心力由弹力提供
C.角速度越大,人受到的摩擦力越大
D.圆筒的角速度ω≥
解析:BD　杂技演员受到重力、筒壁的弹力和静摩擦力共3个力的作用,A错误;由于杂技演员在圆筒内壁上不掉下来,竖直方向根据平衡条件,有mg=Ff,水平方向,筒壁的弹力提供向心力,有F=mω2r,角速度越大,人受到的摩擦力不变,弹力变大,B正确,C错误;要想不下滑,最大静摩擦力需要大于或等于重力,所以μF≥mg,F=mω2r,联立解得ω≥,D正确。
4.在空间站中,航天员用绳子一端系住装有水油混合物的瓶子,以绳子的另一端O为圆心做如图所示的圆周运动,一段时间后水和油成功分层(水的密度大于油的密度)。以空间站为参考系,此时(　　)
A.水和油的线速度大小相等
B.水和油的向心加速度大小相等
C.水对油的作用力大于油对水的作用力
D.水对油有指向圆心的作用力
解析:D　水的密度大于油的密度,所以混合液体中取半径相同处体积相等的水和油的液体小球,水球的质量大于油球的质量,根据Fn=mω2r可知,水球需要的向心力更大,故当水油分层后水在瓶底,油在上层,水和油做圆周运动的半径不相同,角速度相同,根据v=ωr知,水比油做圆周运动的半径大,线速度也大,A错误;根据an=ω2r知,角速度相同时,水做圆周运动的半径大,向心加速度就大,B错误;水对油的作用力和油对水的作用力是一对作用力与反作用力,大小相等、方向相反,C错误;油做圆周运动的向心力由水提供,故水对油有指向圆心的作用力,
D正确。
命题视角3　掌握轻绳、轻杆模型的临界特征,解决竖直面内临界问题
5.如图所示,长度均为l=1 m的两根轻绳,一端共同系住质量为m=0.5 kg的小球,另一端分别固定在等高的A、B两点,A、B两点间的距离也为l,重力加速度g取10 m/s2。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动,若小球在最高点速率为v时,每根绳的拉力恰好为零,则小球在最高点速率为2v时,每根绳的拉力大小为(　　)
A.5 N B.20 N
C.15 N D.10 N
解析:A　小球在最高点速率为v时,有mg=m,当小球在最高点的速率为2v时,
有mg+2FTcos 30°=m,解得FT=mg=5 N。
6.如图所示,小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动,内侧壁半径为R,小球半径为r,重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
A.小球通过最高点时的最小速度vmin=
B.小球通过最高点时的最小速度vmin=
C.小球在水平线ab以下的管道中运动时,内侧管壁对小球一定无作用力
D.小球在水平线ab以上的管道中运动时,外侧管壁对小球一定有作用力
解析:C　小球沿管道上升到最高点的速度可以为零,故A、B错误;小球在水平线ab以下的管道中运动时,由外侧管壁对小球的作用力FN与小球重力在背离圆心方向的分力F的合力提供向心力,即FN-F=ma,因此外侧管壁对小球一定有作用力,而内侧管壁对小球一定无作用力,C正确;小球在水平线ab以上的管道中运动时,小球受管壁的作用力情况与小球速度大小有关,D错误。
B级·高考过关练
7.如图所示,一个半径为5 m的倾斜匀质圆盘,盘面与水平面的夹角为30°,圆盘可绕过圆盘圆心O且垂直于盘面的固定轴以1 rad/s的角速度匀速转动。盘面上与O点距离r处有一物块,物块与盘面间的动摩擦因数为,已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力,g取10 m/s2。要保证物块与圆盘始终保持相对静止,则距离r的可能取值范围为(　　)
A.0C.2.5 m≤r≤4 m D.2.5 m≤r≤5 m
解析:A　当物块转到圆盘的最低点刚要滑动时,所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时,设半径为r1,有μmgcos 30°-mgsin 30°=mω2r1,解得r1=2.5 m。当物块转到圆盘的最高点刚要滑动时,所受的静摩擦力沿斜面向下达到最大时,设半径为r2,有μmgcos 30°+mgsin 30°=mω2r2,解得r2=12.5 m>5 m,不符合要求。故距离r的可能取值范围为08.“太极球”是近年来在广大市民中较流行的一种健身器材。做该项运动时,健身者半马步站立,手持太极球拍,拍上放一橡胶太极球,健身者舞动球拍时,球却不会掉落到地上。现将太极球简化成如图甲所示的平板和小球,熟练的健身者让球在竖直面内始终不脱离板而做匀速圆周运动,且在运动到图中的A、B、C、D位置时球与板间无相对运动趋势。A为圆周的最高点,C为最低点,B、D与圆心O等高。设球的重力为1 N,不计拍的重力,则:
(1)健身者在C处所需施加的力比在A处大多少
(2)设在A处时健身者需施加的力为F,当球运动到B、D位置时,板与水平方向需有一定的夹角θ,请寻找B、D处tan θ与A处F的函数关系,并在图乙中作出tan θ-F的函数图像。
解析:(1)设球运动的线速度大小为v,半径为R,在A处有mg+F1=m,在C处有F2-mg=m,健身者在C处所需施加的力比在A处大ΔF=F2-F1=2mg=2 N。
(2)在A处时板对小球的作用力为F,球做匀速圆周运动的向心力F向=F+mg,由于无相对运动趋势,在B处不受摩擦力作用,有F向=mgtan θ,联立可得tan θ=F+1,作出tan θ-F的图像如图
所示。
答案:(1)2 N　(2)tan θ=F+1　见解析图(共33张PPT)
课时3
圆周运动
考点一
圆周运动的运动学问题
基础梳理
圆心
速度
1.
2.
3.
典例精析
命题视角1　圆周运动中的传动问题,明确传动类型判断物理量间的关系
常见的传动方式及特点
项目 同轴转动 皮带传动 齿轮传动
装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接,A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合,
A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
【典例1】 (容易)如图是某自行车的传动结构示意图,其中Ⅰ 是半径r1=
10 cm的牙盘(大齿轮),Ⅱ是半径r2=4 cm的飞轮(小齿轮),Ⅲ是半径r3=36 cm的后轮。若某人在匀速骑行时每分钟踩脚踏板转30圈,取π=3.14,下列判断正确的是(　　)
B.牙盘转动的角速度为6.28 rad/s
C.飞轮边缘的线速度大小为3.14 m/s
D.自行车匀速运动的速度大小为2.826 m/s
D
命题视角2　圆周运动的多解问题
【典例2】 (中等)如图所示,水平放置的圆柱形筒绕其中心对称轴OO′匀速转动,筒的半径R=2 m,筒壁上有一小孔P,一小球从孔正上方h=3.2 m处由静止释放,此时小孔开口向上转到小球正下方。已知孔的半径略大于小球半径,筒壁厚度可以忽略,若小球恰好能够从小孔离开圆筒,g取10 m/s2。则筒转动的周期可能为(　　)
D
考点二
圆周运动的动力学问题
1.
基础梳理
方向
大小
圆心
合力
分力
2.
逐渐远离
切线
远离
不足以
典例精析
命题视角1　向心力的来源分析,情境中建模受力分析
1.匀速圆周运动的实例分析
运动 模型 向心力的 来源图示 运动模型 向心力的
来源图示
飞机水 平转弯 Fn=mgtan θ 火车 转弯
Fn=mgtan θ
圆锥摆 Fn=mgtan θ r=lsin θ 飞车 走壁
Fn=mgtan θ
汽车在 水平路 面转弯 Fn=Ff 水平 转台 (光滑)
Fn=mBg
2.变速圆周运动的向心力
3.解题思维链
定对象与轨道[确定研究对象,画出运动轨迹(圆心、半径、平面)]→受力分析[画出所有真实力(重力、弹力、摩擦力),不添加虚拟力(向心力)]→正交分解(径向与切向)→列方程求解(径向与切向)
【典例3】 (中等)(多选)四个完全相同的小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动。如图甲所示,小球A、B在同一水平面内做圆锥摆运动(连接B球的绳较长);如图乙所示,小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动,但是连接C、D的绳与竖直方向的夹角相等(连接D球的绳较长),则下列说法正确的是(　 　)
A.小球A、B角速度大小相等
B.小球A、B线速度大小相等
C.小球C、D向心加速度大小相等
D.小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等
ACD
命题视角2　离心运动问题,辨析概念本质,分析临界条件,解释实际应用
【典例4】 (中等)如图为自行车气嘴灯及其结构图,弹簧一端固定在A端,另一端拴接重物,当车轮高速旋转时,LED灯就会发光。下列说法正确的是
(　　)
A.B端比A端的线速度小,安装时应该让B比A更靠近车轮的圆心
B.旋转时,重物受到重力、弹力和向心力作用
C.增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光
D.匀速行驶时,若LED灯转到最低点时能发光,则在最高点时也一定能发光
C
考点三
竖直面内圆周运动的临界问题
基础梳理
1.竖直面内圆周运动的两类模型
比较项 轻绳模型 轻杆模型
常见 类型 小球在最高点没有支撑
小球在最高点有支撑
最高点 受力特征 除重力外,物体受到的弹力方向:向下或等于零 除重力外,物体受到的弹力方向:向下、等于零或向上
2.解题思维链
命题视角　掌握轻绳、轻杆模型的临界特征,解决竖直面内临界问题
【典例5】 (轻绳模型·容易)一根长L=60 cm的绳子系着一个小球,小球在竖直平面内做圆周运动。已知球的质量m=0.5 kg,(g取10 m/s2)求:
(1)到达最高点时向心力的最小值;
典例精析
解析:(1)小球在最高点受重力和拉力,合力提供向心力,当拉力为零时,
向心力最小,为F向min=mg=5 N。
答案:(1)5 N
(2)当小球在最高点的速度为3 m/s时,绳对小球的拉力;
答案:(2)2.5 N,方向向下
(3)当小球在最低点的速度为6 m/s时,绳对小球的拉力。
答案:(3)35 N,方向向上
【典例6】 (轻杆模型·中等)如图甲所示,轻杆一端固定在O点,另一端固定一小球,现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时,杆与小球间弹力大小为FN,小球在最高点时的速度大小为v,其FN-v2图像如图乙所示,重力加速度g取10 m/s2,小球可视为质点,不计一切阻力。则下列说法正确的是(　　)
A.小球的质量为2 kg
B.小球做圆周运动的半径为2.5 m
B
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