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2025- 2026学年第二学期高一下 05月期中 (十一中)
一、单选题
已知复数 z= 1-i1. + ，其中 i为虚数单位，则 |z| = ( )2 i
10 5 10 5
A. B. C. D.
3 3 5 5
2.已知两条不同直线 a， b，两个不同平面 α， β，有如下命题：
①若 a b， b α，则 a α或 a α；
②若 a α， b α，则 a b；
③若 a α， b α， a β， b β，则 α β；
④若 α β， a α， b β，则 a b或 a与 b异面
以上命题正确的是 ( )
A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④

3.已知 a = 2 e ， 为单位向量， a-e = 3，则向量 a在向量 e上的投影向量为 ( )

A. a B. - e C. e D. 3e
4.已知平面直角坐标系中，点A 1,2 ,B x,1 , AB < 5，若∠AOB为锐角，
则实数 x的取值范围是 ( )
-2,3 -2, 1 ∪ 1A. B. ,32 2
-1,3 -1, 1 ∪ 1C. D. ,32 2
5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC= 1，AA1= 3，
则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为
1 5 5 2
A. B. C. D.
5 6 5 2
6.如图，A，B是海面上位于东西方向相距 3+ 3 海里的两个观测点，现位于A点北
偏东 45°、B点北偏西 60°的D点有一艘船发出求救信号，位于 B点南偏西 60°且与B
点相距 4 3海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为 20海里 /小时，则该救
援船到达D点最快所需时间为 ( )

A. 1小时 B. 0.3小时 C. 0.5小时 D. 0.2小时
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7.在△ABC中，点D在边AC上，且AB⊥BD ,A= π ,AB= 2 2 , △BCD的面积为 2，
4
则BC的长为 ( )
A. 5 B. 2 2 C. 2 5 D. 4 2
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AB的中点，N为CC1的中点，P为线段AA1上
一点且A1P= 3AP．过点M，N，P作该正方体的截面，记为 α，则截面 α为 ( )
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
二、多选题
9.若 z1， z2为复数，则下列选项一定正确的是 ( )
A. z1 z2 = z1 z2 B. z21= z 21

C. z1 z1= z1 z1 D. z1+z2 ≤ z1 + z2
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为 a， b， c，下列命题正确的有 ( )
A. A>B是 sinA> sinB的充要条件
B. 若 sin2A= sin2B，则△ABC为等腰三角形
C. 若△ABC为锐角三角形，则 sinA+ sinB+ sinC> cosA+ cosB+ cosC
D. 已知A= 30°， a= 3，若△ABC有两解，则 b的取值范围是 3,6
11.如图，在棱长为 1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点 E是棱CC1上的一个动点 (异于
点C，C1)，若平面BED1与棱AA1交于点F，则下列说法正确的是 ( )
A. 直线AE与直线BD1是异面直线
B. 延长D1E与直线DC交于点P，延长D1F与直线DA交于点Q，则P、B、Q三点
共线
C. 当AC 平面BED1时，点E的位置不唯一
D. 四棱锥B1-BED1F的体积恒为定值
三、填空题

12.向量 a = 1,2 , b= -5,0 , a +kb ⊥ a -b ，则实数 k的值为 .
13.正四棱台的上、下底面的边长分别为 2， 4，侧棱长为 2，则其体积为 .
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14.如图，Rt△ABC中，∠BAC= 90° ,AB= 6 ,AC= 15，D为AC边靠近C的三等分

点， G为 BC中点，过 D作 AC垂线交 BC于点 E , AG ∩ BD = F，则 FE AC =
.
四、解答题
15.已知复数 z1= 1+mi， z2= m2-6m+7 - 2i(m∈R， i为虚数单位)．
(1)若 z= z1+ z2为纯虚数，求实数m的值；
(2)若ω= z1+ 在复平面内所对应的点位于第四象限，求m的取值范围．1 i
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16.△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为 a , b , c，已知 a2+ b2- c2= 4 5 absinC.
5
(1)求 cosC的值；
(2)若 c= 5 , △ABC的面积为 5，求△ABC的周长.
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17.如图，已知在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，点D是BC的中点．
(1)求证：A1C 平面ADB1；
(2)若AB=AC= 5，BC= 8，AA1= 2，求三棱锥C1-ADB1的体积．
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18.在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别是 a , b , c , b= 3，且 3c = tanA+ tanB.
bcosA
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形，求 2a- c的取值范围；
(3)若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值.
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19.如图 1，在直角梯形ABED中，AB=AD= 2，DE= 4，AD⊥DE，BC⊥DE，以
BC为轴将梯形ABED旋转 180°后得到几何体W，如图 2，其中GF，HE分别为上下
底面直径，点P，Q分别在圆弧GF，HE上，且PF∥HQ.
(1)证明：HQ⊥平面PGH；
(2)若直线GQ与平面PGH所成角的余弦值等于 3 ，求P到平面BHQ的距离；
3
(3)若平面BHQ与平面BEQ夹角的正切值为 2 2，求HQ的长度.
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