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第3课时　自由落体和竖直上抛运动　多过程问题
[学习目标]　1．掌握自由落体运动和竖直上抛运动的特点、规律，知道竖直上抛运动的对称性和多解性。2．能灵活处理多过程问题。
自由落体运动
1．条件：物体只受________，从________开始下落。
2．运动性质：初速度为________、加速度为______ 的匀加速直线运动。
3．基本规律
4．伽利略对自由落体运动的研究
(1)伽利略通过________的方法推翻了亚里士多德“重的物体下落得快”的结论。
(2)伽利略对自由落体运动的研究方法是逻辑推理→猜想与假设→实验验证→合理外推。这种方法的核心是把实验和________(包括数学演算)和谐地结合起来。
我国运动员进行国际泳联世锦赛女子单人10米跳台比赛。某轮比赛中，运动员在跳台上倒立静止，然后下落，前5 m完成技术动作，随后5 m完成姿态调整。假设整个下落过程近似为自由落体运动，g取10 m/s2。
判断下列说法的正误：
(1)运动员入水的速度为20 m/s。 (　　)
(2)运动员前5 m完成技术动作的时间为1 s。 (　　)
(3)运动员后5 m完成姿态调整的时间为1 s。 (　　)
(4)运动员后5 m的运动也可以看成自由落体运动。 (　　)
　自由落体基本规律的应用
[典例1]　(2024·广西卷)让质量为1 kg的石块P1从足够高处自由下落，P1在下落的第1 s末速度大小为v1，再将P1和质量为2 kg的石块绑为一个整体P2，使P2从原高度自由下落，P2在下落的第1 s末速度大小为v2。忽略空气阻力的影响，g取10 m/s2，则(　　)
A．v1＝5 m/s　 B．v1＝10 m/s
C．v2＝15 m/s　 D．v2＝30 m/s
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　自由落体运动中“比例关系”的应用
[典例2]　某同学在桥面上释放一小石子，释放点距水面的高度为27 m，石子下落过程视为自由落体运动，下落的总时间为3t，则石子在最后一个t时间内下落的高度是(　　)
A．10 m　 B．15 m
C．18 m　 D．20 m
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拓展思考　石子下落一半高度时的速度又是多少
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　“线状物体”的下落问题
[典例3]　如图所示，有一根长L1＝0.5 m的木棍，悬挂在某房顶上的O点，它自由下落时经过一高为L2＝1.5 m的窗口，通过窗口所用的时间t＝0.2 s，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则窗口上边缘离悬点O的距离h为(　　)
A．4.55 m　 B．3.45 m
C．2.95 m　 D．5.05 m
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归纳总结：应用自由落体运动规律解题时的两点注意
(1)可充分利用自由落体运动初速度为0的特点、比例关系及推论等规律解题。
①从运动开始连续相等的时间内位移之比为1∶3∶5∶7∶…。
②由Δv＝gΔt知相等时间内，速度变化量相同。
③连续相等的时间T内位移的增加量相等，即Δh＝gT2。
(2)物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，而是竖直下抛运动。
竖直上抛运动
1．运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做________运动。
2．运动性质：________直线运动。
3．基本规律
(1)速度与时间的关系式：v＝________。
(2)位移与时间的关系式：h＝________。
(3)速度与位移的关系式：v2－＝________。
(4)上升的最大高度：H＝________。
(5)上升到最高点所用时间：t上＝________。
4．竖直上抛运动的对称性
(1)时间对称：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA________，同理tAB＝tBA。
(2)速度对称：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小________。
(1)竖直上抛运动是匀变速直线运动。 (　　)
(2)物体做竖直上抛运动，速度为负值时，位移也一定为负值。 (　　)
(3)做竖直上抛运动的物体，在上升过程中，速度变化量方向是竖直向下的。 (　　)
(4)做竖直上抛运动的物体，上升到最高点时速度为0而加速度不为0。 (　　)
　竖直上抛运动的研究方法
[典例4]　研究人员为检验某一产品的抗撞击能力，乘坐热气球并携带该产品竖直升空，当热气球以10 m/s的速度匀速上升到某一高度时，研究人员从热气球上将该产品自由释放，测得经11 s产品撞击地面。不计产品所受的空气阻力，求产品的释放位置距地面的高度。(g取10 m/s2)
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归纳总结：竖直上抛运动的研究方法
分段法 上升阶段：a＝－g的匀减速直线运动 下降阶段：自由落体运动
全程法 初速度v0向上、加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(以竖直向上为正方向)
　竖直上抛运动的对称性
[典例5]　(2025·贵州黔东南模拟)小明的叔叔是杂技演员，小明平时也跟叔叔学了一些简单的杂技。如图所示为小明用一只手抛球、接球的示意图，他每隔0.5 s抛出一个小球，接到小球后便立即抛出。已知除抛、接球的短暂时间外，空中总共有4个小球，将小球的运动近似看成是竖直方向的运动，重力加速度大小g取10 m/s2。若高度从抛球点算起，则小球到达的最大高度是(　　)
A．1.25 m 　　 B．2.5 m
C．3.2 m　 D．5.0 m
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多过程问题
1．多过程问题
多过程问题指物体有多个不同性质的运动过程，各阶段满足不同的运动规律，解题中有两个关键点：一是弄清各阶段的运动性质，分别列出运动学方程；二是相邻阶段运动连接点的速度是联系两个过程的纽带。
2．多过程v-t图像“上凸”模型
特点：全程初、末速度为0，匀加速直线运动过程和匀减速直线运动过程平均速度相等。
设匀加速运动的时间为t1，匀减速运动时间为t2，速度与时间关系公式：v＝a1t1，v＝a2t2，得＝。
速度与位移关系公式：v2＝2a1x1，v2＝2a2x2，得＝。
平均速度与位移关系公式：x1＝，x2＝，得＝。
3．多过程v-t图像“下凹”模型
物体较之匀速运动耽搁的距离为阴影面积表示的位移Δx的大小，耽搁的时间Δt＝。
　竖井的升降机可将地下深处的矿石快速运送到地面。某一升降机从竖井的井底由静止做匀加速直线运动，在上升16 m达到最大速度8 m/s的瞬间立即做匀减速直线运动，运行到井口时的速度恰好为0，此次升降机运动的总时间为12 s。
(1)升降机加速时的加速度大小为1 m/s2。 (　　)
(2)升降机减速上升的加速度大小为2 m/s2。 (　　)
(3)升降机加速上升的时间为4 s。 (　　)
(4)升降机减速上升的位移大小为32 m。 (　　)
[典例6]　在游乐场中有一种大型游戏项目“垂直极限”，如图所示，参加游戏的游客被安全带固定在座椅上，由电动机将座椅沿竖直轨道(可视为光滑轨道)提升到离地面一定高度处，然后由静止释放，可以认为座椅沿轨道做自由落体运动，下落2 s后座椅受到压缩空气提供的恒定阻力的作用而立即做匀减速运动，再经历4 s座椅速度恰好减为0，关于座椅的运动情况，下列说法正确的是(　　)
A．自由落体阶段和匀减速阶段的平均速度大小之比为∶＝1∶1
B．自由落体阶段和匀减速阶段的平均速度大小之比为∶＝2∶1
C．自由落体阶段和匀减速阶段的位移大小之比为x1∶x2＝2∶1
D．自由落体阶段和匀减速阶段的加速度大小之比为a1∶a2＝1∶2
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[典例7]　如图所示，物体从斜面上的A点由静止开始下滑，经B点进入水平面(经过B点前后速度大小不变)，最后停在C点。每隔0.1 s测量物体的瞬时速度，下表给出了部分测量数据。则物体通过B点时的速度为(　　)
t/s 0 0.1 0.2 … 0.8 0.9 1.0 …
v/(m·s-1) 0 0.5 1.0 … 1.6 1.5 1.4 …
A．2.0 m/s　 B．1.8 m/s
C．1.7 m/s　 D．1.5 m/s
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归纳总结：匀变速直线运动多过程的解题思路
(1)一般的解题步骤
①准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段运动的示意图，直观呈现物体运动的全过程。
②明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量，设出中间量。
③合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程及物体各阶段间的关联方程。
(2)解决思路
①“合”——初步了解全过程，构建大致运动图景。
②“分”——将全过程进行分解，分析每个过程的规律。
③“合”——找到子过程的联系，寻找解题方法。
第3课时
考点1
1．重力　静止　
2．0　g　
3．gt　gt2　2gh
4．(1)逻辑推理　(2)逻辑推理
情境辨析　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
典例1　B　[重物自由下落做自由落体运动，与质量无关，则下落1 s后速度为v1＝v2＝gt＝10×1 m/s＝10 m/s，故选B。]
典例2　B　[自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动，根据推论可知，第一个t内、第二个t内、第三个t内位移之比为x1∶x2∶x3＝1∶3∶5，而总位移为h＝27 m，且x1＋x2＋x3＝h，联立解得x3＝15 m，选项B正确。]
拓展思考　解析：石子下落一半高度时有v2＝2g·，解得v＝3 m/s。
答案：3 m/s
典例3　A　[设木棍下端和窗口上边缘对齐时，下落的时间为t1，木棍上端和窗口下边缘对齐时，下落的时间为t2，根据运动学规律有h－L1＝g，h＋L2＝g，又t2－t1＝t，联立解得h＝4.55 m，A正确。]
考点2
1．自由落体
2．匀变速
3．(1)v0－gt　(2)v0t－gt2　(3)－2gh　(4)　(5)
4．(1)相等　(2)相等
判断正误　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
典例4　解析：
方法一　分段法。
根据题意画出运动草图如图所示，在A→B段，根据匀变速直线运动规律可知tAB＝＝1 s，hAB＝hBC＝g＝5 m，由题意可知tBD＝11 s－1 s＝10 s，根据自由落体运动规律可得hBD＝g＝500 m，故释放点离地面的高度H＝hBD－hAB＝495 m。
方法二　全程法。
将该产品的运动视为匀变速直线运动，规定向上为正方向，则v0＝10 m/s，a＝－g＝－10 m/s2，根据H＝v0t＋at2，解得H＝－495 m，即产品刚释放时离地面的高度为495 m。
答案：495 m
典例5　D　[根据竖直上抛的对称性可知，空中的四个球，有两个在上升，两个在下降，由于每隔0.5 s抛一个小球，则从抛出到最高点的时间为t＝1 s，则小球上升的最大高度为h＝gt2＝×10×12 m＝5 m，故选D。]
考点3
情境辨析　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
典例6　A　[设全过程最大速度为vm，根据匀变速直线运动推论＝可知自由落体阶段和匀减速阶段的平均速度＝＝＝，故A正确，B错误；根据x＝t可知＝＝，故C错误；根据a＝可知＝＝，故D错误。]
典例7　A　[物体匀加速阶段的加速度大小为a1＝ m/s2＝5 m/s2，匀减速阶段的加速度大小为a2＝ m/s2＝1 m/s2，由题意知物体停止时t＝2.4 s。设匀加速运动的时间为t1，在匀加速阶段有v＝a1t1，在匀减速阶段有0－v＝－a2(t－t1)，解得t1＝0.4 s，则物体通过B点时的速度为vB＝a1t1＝2.0 m/s，选项A正确。]
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第一章　运动的描述　匀变速直线运动的研究
第3课时　自由落体和竖直上抛运动　多过程问题
[学习目标]　1．掌握自由落体运动和竖直上抛运动的特点、规律，知道竖直上抛运动的对称性和多解性。2．能灵活处理多过程问题。
考点1　自由落体运动
1．条件：物体只受______，从______开始下落。
2．运动性质：初速度为___、加速度为___ 的匀加速直线运动。
3．基本规律
重力
静止
0
g
gt
gt2
2gh
4．伽利略对自由落体运动的研究
(1)伽利略通过__________的方法推翻了亚里士多德“重的物体下落得快”的结论。
(2)伽利略对自由落体运动的研究方法是逻辑推理→猜想与假设→实验验证→合理外推。这种方法的核心是把实验和__________(包括数学演算)和谐地结合起来。
逻辑推理
逻辑推理
我国运动员进行国际泳联世锦赛女子单人10米跳台比赛。某轮比赛中，运动员在跳台上倒立静止，然后下落，前5 m完成技术动作，随后5 m完成姿态调整。假设整个下落过程近似为自由落体运动，g取10 m/s2。
×
√
判断下列说法的正误：
(1)运动员入水的速度为20 m/s。 (　　)
(2)运动员前5 m完成技术动作的时间为1 s。 (　　)
(3)运动员后5 m完成姿态调整的时间为1 s。 (　　)
(4)运动员后5 m的运动也可以看成自由落体运动。 (　　)
×
×
角度1　自由落体基本规律的应用
[典例1]　(2024·广西卷)让质量为1 kg的石块P1从足够高处自由下落，P1在下落的第1 s末速度大小为v1，再将P1和质量为2 kg的石块绑为一个整体P2，使P2从原高度自由下落，P2在下落的第1 s末速度大小为v2。忽略空气阻力的影响，g取10 m/s2，则(　　)
A．v1＝5 m/s　 B．v1＝10 m/s
C．v2＝15 m/s　 D．v2＝30 m/s
√
B　[重物自由下落做自由落体运动，与质量无关，则下落1 s后速度为v1＝v2＝gt＝10×1 m/s＝10 m/s，故选B。]
角度2　自由落体运动中“比例关系”的应用
[典例2]　某同学在桥面上释放一小石子，释放点距水面的高度为27 m，石子下落过程视为自由落体运动，下落的总时间为3t，则石子在最后一个t时间内下落的高度是(　　)
A．10 m　 B．15 m
C．18 m　 D．20 m
√
B　[自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动，根据推论可知，第一个t内、第二个t内、第三个t内位移之比为x1∶x2∶x3＝1∶3∶5，而总位移为h＝27 m，且x1＋x2＋x3＝h，联立解得x3＝15 m，选项B正确。]
拓展思考　石子下落一半高度时的速度又是多少
[解析]　石子下落一半高度时有v2＝2g·，解得v＝3 m/s。
[答案]　3 m/s
角度3　“线状物体”的下落问题
[典例3]　如图所示，有一根长L1＝0.5 m的木棍，悬挂在某房顶上的O点，它自由下落时经过一高为L2＝1.5 m的窗口，通过窗口所用的时间t＝0.2 s，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则窗口上边缘离悬点O的距离h为(　　)
√
A．4.55 m　 B．3.45 m
C．2.95 m　 D．5.05 m
A　[设木棍下端和窗口上边缘对齐时，下落的时间为t1，木棍上端和窗口下边缘对齐时，下落的时间为t2，根据运动学规律有h－L1＝g，h＋L2＝g，又t2－t1＝t，联立解得h＝4.55 m，A正确。]
归纳总结：应用自由落体运动规律解题时的两点注意
(1)可充分利用自由落体运动初速度为0的特点、比例关系及推论等规律解题。
①从运动开始连续相等的时间内位移之比为1∶3∶5∶7∶…。
②由Δv＝gΔt知相等时间内，速度变化量相同。
③连续相等的时间T内位移的增加量相等，即Δh＝gT2。
(2)物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，而是竖直下抛运动。
考点2　竖直上抛运动
1．运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做__________运动。
2．运动性质：________直线运动。
3．基本规律
(1)速度与时间的关系式：v＝________。
(2)位移与时间的关系式：h＝_________。
(3)速度与位移的关系式：v2－＝_______。
(4)上升的最大高度：H＝_______。
(5)上升到最高点所用时间：t上＝_______。
自由落体
匀变速
v0－gt
v0t－ gt2
－2gh
4．竖直上抛运动的对称性
(1)时间对称：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA______，同理tAB＝tBA。
(2)速度对称：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小______。
相等
相等
(1)竖直上抛运动是匀变速直线运动。 (　　)
(2)物体做竖直上抛运动，速度为负值时，位移也一定为负值。 (　　)
(3)做竖直上抛运动的物体，在上升过程中，速度变化量方向是竖直向下的。 (　　)
(4)做竖直上抛运动的物体，上升到最高点时速度为0而加速度不为0。 (　　)
×
√
√
√
角度1　竖直上抛运动的研究方法
[典例4]　研究人员为检验某一产品的抗撞击能力，乘坐热气球并携带该产品竖直升空，当热气球以10 m/s的速度匀速上升到某一高度时，研究人员从热气球上将该产品自由释放，测得经11 s产品撞击地面。不计产品所受的空气阻力，求产品的释放位置距地面的高度。(g取10 m/s2)
[解析]　方法一　分段法。
根据题意画出运动草图如图所示，在A→B段，根据匀变速直线运动规律可知tAB＝＝1 s，hAB＝hBC＝g＝5 m，由题意可知tBD＝11 s－1 s＝10 s，根据自由落体运动规律可得hBD＝g＝500 m，故释放点离地面的高度H＝hBD－hAB＝495 m。
方法二　全程法。
将该产品的运动视为匀变速直线运动，规定向上为正方向，则v0＝10 m/s，a＝－g＝－10 m/s2，根据H＝v0t＋at2，解得H＝－495 m，即产品刚释放时离地面的高度为495 m。
[答案]　495 m
归纳总结：竖直上抛运动的研究方法
分段法 上升阶段：a＝－g的匀减速直线运动
下降阶段：自由落体运动
全程法 初速度v0向上、加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(以竖直向上为正方向)
角度2　竖直上抛运动的对称性
[典例5]　(2025·贵州黔东南模拟)小明的叔叔是杂技演员，小明平时也跟叔叔学了一些简单的杂技。如图所示为小明用一只手抛球、接球的示意图，他每隔0.5 s抛出一个小球，接到小球后便立即抛出。已知除抛、接球的短暂时间外，空中总共有4个小球，将小球的运动近似看成是竖直方向的运动，重力加速度大小g取10 m/s2。若高度从抛球点算起，则小球到达的最大高度是(　　)
A．1.25 m　
B．2.5 m
C．3.2 m　
D．5.0 m
√
D　[根据竖直上抛的对称性可知，空中的四个球，有两个在上升，两个在下降，由于每隔0.5 s抛一个小球，则从抛出到最高点的时间为t＝1 s，则小球上升的最大高度为h＝gt2＝×10×12 m＝5 m，故选D。]
【教师备选资源】
(多选)在塔顶边缘将一物体竖直向上抛出，抛出点为A，物体上升的最大高度为20 m，不计空气阻力，g取10 m/s2。设塔足够高，则当物体位移大小为10 m时，物体运动的时间可能为(　　)
A．(2－) s　　　 B．(2＋) s
C．(2＋) s　 D． s
√
√
√
ABC　[由＝2gh得v0＝20 m/s。取竖直向上为正方向，物体的位移为x＝v0t－gt2，当物体位于A点上方10 m处时x＝10 m，解得t1＝(2－) s，t2＝(2＋) s，故A、B正确；当物体位于A点下方10 m处时，x＝－10 m，解得t3＝(2＋) s，另一解为负值，舍去，故C正确，D错误。]
考点3　多过程问题
1．多过程问题
多过程问题指物体有多个不同性质的运动过程，各阶段满足不同的运动规律，解题中有两个关键点：一是弄清各阶段的运动性质，分别列出运动学方程；二是相邻阶段运动连接点的速度是联系两个过程的纽带。
2．多过程v-t图像“上凸”模型
特点：全程初、末速度为0，匀加速直线运动过程和匀减速直线运动过程平均速度相等。
设匀加速运动的时间为t1，匀减速运动时间为t2，速度与时间关系公式：v＝a1t1，v＝a2t2，得＝。
速度与位移关系公式：v2＝2a1x1，v2＝2a2x2，得＝。
平均速度与位移关系公式：x1＝，x2＝，得＝。
3．多过程v-t图像“下凹”模型
物体较之匀速运动耽搁的距离为阴影面积表示的位移Δx的大小，耽搁的时间Δt＝。
竖井的升降机可将地下深处的矿石快速运送到地面。某一升降机从竖井的井底由静止做匀加速直线运动，在上升16 m达到最大速度
8 m/s的瞬间立即做匀减速直线运动，运行到井口时的速度恰好为0，此次升降机运动的总时间为12 s。
(1)升降机加速时的加速度大小为1 m/s2。 (　　)
(2)升降机减速上升的加速度大小为2 m/s2。 (　　)
(3)升降机加速上升的时间为4 s。 (　　)
(4)升降机减速上升的位移大小为32 m。 (　　)
×
√
×
√
[典例6]　在游乐场中有一种大型游戏项目“垂直极限”，如图所示，参加游戏的游客被安全带固定在座椅上，由电动机将座椅沿竖直轨道(可视为光滑轨道)提升到离地面一定高度处，然后由静止释放，可以认为座椅沿轨道做自由落体运动，下落2 s后座椅受到压缩空气提供的恒定阻力的作用而立即做匀减速运动，再经历4 s座椅速度恰好减为0，关于座椅的运动情况，下列说法正确的是(　　)
A．自由落体阶段和匀减速阶段的平均速度大小之比为∶＝1∶1
B．自由落体阶段和匀减速阶段的平均速度大小之比为∶＝2∶1
C．自由落体阶段和匀减速阶段的位移大小之比为x1∶x2＝2∶1
D．自由落体阶段和匀减速阶段的加速度大小之比为a1∶a2＝1∶2
√
A　[设全过程最大速度为vm，根据匀变速直线运动推论＝可知自由落体阶段和匀减速阶段的平均速度＝＝＝，故A正确，B错误；根据x＝t可知＝＝，故C错误；根据a＝可知＝＝，故D错误。]
[典例7]　如图所示，物体从斜面上的A点由静止开始下滑，经B点进入水平面(经过B点前后速度大小不变)，最后停在C点。每隔0.1 s测量物体的瞬时速度，下表给出了部分测量数据。则物体通过B点时的速度为(　　)
√
t/s 0 0.1 0.2 … 0.8 0.9 1.0 …
v/(m·s-1) 0 0.5 1.0 … 1.6 1.5 1.4 …
A．2.0 m/s　 B．1.8 m/s
C．1.7 m/s　 D．1.5 m/s
A　[物体匀加速阶段的加速度大小为a1＝ m/s2＝5 m/s2，匀减速阶段的加速度大小为a2＝ m/s2＝1 m/s2，由题意知物体停止时t＝2.4 s。设匀加速运动的时间为t1，在匀加速阶段有v＝a1t1，在匀减速阶段有0－v＝－a2(t－t1)，解得t1＝0.4 s，则物体通过B点时的速度为vB＝a1t1＝2.0 m/s，选项A正确。]
归纳总结：匀变速直线运动多过程的解题思路
(1)一般的解题步骤
①准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段运动的示意图，直观呈现物体运动的全过程。
②明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量，设出中间量。
③合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程及物体各阶段间的关联方程。
(2)解决思路
①“合”——初步了解全过程，构建大致运动图景。
②“分”——将全过程进行分解，分析每个过程的规律。
③“合”——找到子过程的联系，寻找解题方法。
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高铁被誉为中国“新四大发明”之一，因高铁的运行速度快，对制动系统的性能要求较高，高铁列车上安装有多套制动装置——制动风翼、电磁制动系统、空气制动系统、摩擦制动系统等。在一段直线轨道上，某高铁列车正以v0＝288 km/h的速度匀速行驶，列车司机突然接到通知，前方x0＝
5 km处道路出现异常，需要减速停车。列车司机接到通知后，经过t1＝2.5 s将制动风翼打开，高铁列车获得a1＝0.5 m/s2的平均制动加速度减速，减速t2＝40 s后，列车司机再将电磁制动系统打开，最终列车在距离异常处500 m的地方停下来。
(1)求列车司机打开电磁制动系统时，列车的速度大小；
(2)求制动风翼和电磁制动系统都打开时，列车的平均制动加速度大小a2。
[解析]　如图所示为运动过程示意图。
(1)设经过t2＝40 s时，列车的速度大小为v1，又v0＝288 km/h＝
80 m/s，则打开制动风翼后，减速过程有v1＝v0－a1t2＝60 m/s。
(2)列车司机接到通知后，经过t1＝2.5 s，列车行驶的距离x1＝v0t1＝200 m
从打开制动风翼到打开电磁制动系统的过程中，列车行驶的距离x2＝＝2 800 m
打开电磁制动系统后，列车行驶的距离
x3＝x0－x1－x2－500 m＝1 500 m
则a2＝＝1.2 m/s2。
[答案]　(1)60 m/s　(2)1.2 m/s2
课时作业(三)　自由落体和竖直上抛运动　多过程问题
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
√
1．我国计划在2030年前实现载人登月，开展科学探索。假设航天员在月球上让铁锤和羽毛从同一高度处由静止释放，下降相同的距离，已知月球表面为真空环境，则(　　)
A．羽毛用时较长 B．铁锤用时较短
C．落地时羽毛的速度较小 D．落地时铁锤和羽毛速度相同
D　[月球表面是真空，铁锤和羽毛从同一高度下落都做自由落体运动，它们的运动完全相同，故选D。]
题号
1
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√
2．(2025·海南三亚模拟)音乐喷泉以其高水柱、丰富的灯光和音乐表演而著名，吸引了众多游客前来观赏和拍照。已知某喷泉能达到的最大高度为50 m，当水到达最高点后水流从四周散开，喷泉出水口与地面在同一水平面，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则喷泉水从开始喷射到落地的时间大约是(　　)
A．s　B．10 s C．2 s　D． s
C　[根据h＝gt2可得喷泉水从开始喷射到落地的时间大约为2t＝2 s，故选C。]
题号
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√
3．(2025·江苏连云港模拟)调节家中水龙头，让水一滴一滴由静止开始不断下落，每两个相邻水滴之间的时间间隔相等，忽略空气阻力和水滴间的相互影响，则在水滴落地前，下列说法正确的是(　　)
A．1、2两水滴之间的距离保持不变
B．1、2两水滴在下落过程中距离越来越大
C．1、2两水滴之间的速度差越来越大
D．以水滴3为参考系，水滴1做匀加速直线运动
题号
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B　[设两水滴之间的时间间隔为Δt，则第2滴水下落时间t时两滴水的距离Δh＝g(t＋Δt)2－gt2＝gΔt·t＋gΔt2，则随时间t的增加1、2两水滴在下落过程中距离越来越大，A项错误，B项正确；1、2两水滴之间的速度差Δv＝g(t＋Δt)－gt＝gΔt，保持不变，C项错误；以水滴3为参考系，因水滴的加速度均相同，可知水滴1做匀速直线运动，D项错误。]
题号
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4．对于自由落体运动(g取10 m/s2)，下列说法正确的是(　　)
A．在前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移大小之比是1∶3∶5
B．在相邻两个1 s内的位移之差都是10 m
C．在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度大小之比是1∶2∶3
D．在1 s末、2 s末、3 s末的速度大小之比是1∶3∶5
√
题号
1
3
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B　[根据h＝gt2可知，在前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移大小之比是1∶4∶9，故A错误；在相邻两个1 s内的位移之差都是Δh＝gT2＝10 m，故B正确；在第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移大小之比为1∶3∶5，所以平均速度大小之比为1∶3∶5，故C错误；由v＝gt可知，在1 s末、2 s末、3 s末的速度大小之比是1∶2∶3，故D错误。]
题号
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5．(2025·北京门头沟一模)跳水运动员保持直立状态，双脚朝下由静止开始下落。开始时双脚距离水面5 m。下列说法正确的是(　　)
A．运动员在空中运动的时间约为2 s
B．运动员在空中运动的时间约为1 s
C．运动员入水时速度大小约为5 m/s
D．运动员入水时速度大小约为1 m/s
√
B　[根据位移与时间的关系式h＝gt2，代入数据解得运动员在空中运动的时间t＝1 s，故B正确，A错误；运动员入水时速度大小v＝gt＝10 m/s，故C、D错误。故选B。]
题号
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√
6．羽毛球运动员在训练时，将羽毛球以v0＝15 m/s的初速度竖直向上击出，羽毛球在上升过程中受到恒定的空气阻力，已知羽毛球上升到最高点所用的时间t1＝1.2 s，下列说法正确的是(　　)
A．羽毛球上升的最大高度为10 m
B．羽毛球上升的最大高度为8 m
C．羽毛球上升过程中，经过0.4 s后，速度为5 m/s
D．羽毛球上升过程中，经过0.8 s后，速度为5 m/s
题号
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D　[根据位移—时间公式，可得羽毛球上升的最大高度为h＝＝9 m，故A、B错误；羽毛球上升的加速度大小为a＝＝ m/s2＝12.5 m/s2，设经时间t，速度变为v＝5 m/s，根据速度—时间公式有v＝v0－at，代入数据解得t＝0.8 s，故C错误，D正确。故选D。]
题号
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7．(人教版必修第一册改编)同学们利用如图所示方法估测反应时间。首先，甲同学捏住直尺上端，使直尺保持竖直状态，直尺零刻度线位于乙同学的两指之间。当乙看见甲放开直尺时，立即用手指捏直
尺，若捏住位置的刻度读数为x，则乙同学的反应时间为________
(重力加速度为g)。
题号
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基于上述原理，某同学用直尺制作测量反应时间的工具，若测量范围为0～0.4 s，则所用直尺的长度至少为________cm(g取10 m/s2)；若以相等时间间隔在该直尺的另一面标记出表示反应时间的刻度线，则每个时间间隔在直尺上对应的长度是_______(选填“相等”或“不相等”)的。
80
不相等
题号
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[解析]　由自由落体运动知识可知，x＝gt2，则t＝。根据最长反应时间为0.4 s，可得直尺的最小长度为80 cm。由于自由落体运动是匀变速直线运动，所以相等时间内位移不相等，即直尺上对应的长度不相等。
题号
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√
8．如图所示，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为H。上升第一个所用的时间为t1，第四个所用的时间为t2。不计空气阻力，则满足(　　)
A．1<<2　B．2<<3 C．3<<4　D．4<<5
C　[由逆向思维和初速度为0的匀加速直线运动比例式可知＝＝2＋，即3< < 4，故C正确。]
题号
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9．在离地高h处，沿竖直方向同时向上和向下抛出两个小球，它们的初速度大小均为v，不计空气阻力，两球落地的时间差为(　　)
A．　 B．
C．　 D．
√
A　[根据竖直上抛运动的对称性可知向上抛出的小球落回到出发点时的速度大小也是v，之后的运动与竖直下抛的小球运动情况相同，因此上抛的小球比下抛的小球多运动的时间为t＝＝，A正确。]
题号
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10．(2025·福建漳州模拟)图甲为意大利著名建筑物比萨斜塔，相传伽利略在此做过自由落体实验。如图乙所示，现将两个小铁球P和Q用长L＝3.25 m的不可伸长的轻绳连接，从与比萨斜塔的塔顶等高的A处将悬吊Q球的P球由静止释放。测得Q球落地的时间t＝3.2 s，忽略空气阻力，g取10 m/s2，求：
(1)比萨斜塔的高度H；
(2)P、Q球落地的时间差Δt；
(3)P球从释放到刚落地过程中的平均速度大小。
题号
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[解析]　(1)由静止释放P球后，Q球做自由落体运动，则H－L＝gt2
解得H＝54.45 m。
(2)由静止释放P球后，P球做自由落体运动，则H＝g(t＋Δt)2
解得Δt＝0.1 s。
(3)P球从释放到刚落地的过程中的平均速度大小＝
解得＝16.5 m/s。
[答案]　(1)54.45 m　(2)0.1 s　(3)16.5 m/s
谢谢！课时作业(三)　自由落体和竖直上抛运动　多过程问题
说明：选择题每小题4分；本试卷共50分。　　
1．我国计划在2030年前实现载人登月，开展科学探索。假设航天员在月球上让铁锤和羽毛从同一高度处由静止释放，下降相同的距离，已知月球表面为真空环境，则(　　)
A．羽毛用时较长
B．铁锤用时较短
C．落地时羽毛的速度较小
D．落地时铁锤和羽毛速度相同
2．(2025·海南三亚模拟)音乐喷泉以其高水柱、丰富的灯光和音乐表演而著名，吸引了众多游客前来观赏和拍照。已知某喷泉能达到的最大高度为50 m，当水到达最高点后水流从四周散开，喷泉出水口与地面在同一水平面，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则喷泉水从开始喷射到落地的时间大约是(　　)
A．s　 B．10 s
C．2 s　 D． s
3．(2025·江苏连云港模拟)调节家中水龙头，让水一滴一滴由静止开始不断下落，每两个相邻水滴之间的时间间隔相等，忽略空气阻力和水滴间的相互影响，则在水滴落地前，下列说法正确的是(　　)
A．1、2两水滴之间的距离保持不变
B．1、2两水滴在下落过程中距离越来越大
C．1、2两水滴之间的速度差越来越大
D．以水滴3为参考系，水滴1做匀加速直线运动
4．对于自由落体运动(g取10 m/s2)，下列说法正确的是(　　)
A．在前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移大小之比是1∶3∶5
B．在相邻两个1 s内的位移之差都是10 m
C．在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度大小之比是1∶2∶3
D．在1 s末、2 s末、3 s末的速度大小之比是1∶3∶5
5．(2025·北京门头沟一模)跳水运动员保持直立状态，双脚朝下由静止开始下落。开始时双脚距离水面5 m。下列说法正确的是(　　)
A．运动员在空中运动的时间约为2 s
B．运动员在空中运动的时间约为1 s
C．运动员入水时速度大小约为5 m/s
D．运动员入水时速度大小约为1 m/s
6．羽毛球运动员在训练时，将羽毛球以v0＝15 m/s的初速度竖直向上击出，羽毛球在上升过程中受到恒定的空气阻力，已知羽毛球上升到最高点所用的时间t1＝1.2 s，下列说法正确的是(　　)
A．羽毛球上升的最大高度为10 m
B．羽毛球上升的最大高度为8 m
C．羽毛球上升过程中，经过0.4 s后，速度为5 m/s
D．羽毛球上升过程中，经过0.8 s后，速度为5 m/s
7．(6分)(人教版必修第一册改编)同学们利用如图所示方法估测反应时间。首先，甲同学捏住直尺上端，使直尺保持竖直状态，直尺零刻度线位于乙同学的两指之间。当乙看见甲放开直尺时，立即用手指捏直尺，若捏住位置的刻度读数为x，则乙同学的反应时间为________(重力加速度为g)。
基于上述原理，某同学用直尺制作测量反应时间的工具，若测量范围为0～0.4 s，则所用直尺的长度至少为________cm(g取10 m/s2)；若以相等时间间隔在该直尺的另一面标记出表示反应时间的刻度线，则每个时间间隔在直尺上对应的长度是______(选填“相等”或“不相等”)的。
8．如图所示，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为H。上升第一个所用的时间为t1，第四个所用的时间为t2。不计空气阻力，则满足(　　)
A．1<<2　 B．2<<3
C．3<<4　 D．4<<5
9．在离地高h处，沿竖直方向同时向上和向下抛出两个小球，它们的初速度大小均为v，不计空气阻力，两球落地的时间差为(　　)
A．　 B．
C．　 D．
10．(12分)(2025·福建漳州模拟)图甲为意大利著名建筑物比萨斜塔，相传伽利略在此做过自由落体实验。如图乙所示，现将两个小铁球P和Q用长L＝3.25 m的不可伸长的轻绳连接，从与比萨斜塔的塔顶等高的A处将悬吊Q球的P球由静止释放。测得Q球落地的时间t＝3.2 s，忽略空气阻力，g取10 m/s2，求：
(1)比萨斜塔的高度H；
(2)P、Q球落地的时间差Δt；
(3)P球从释放到刚落地过程中的平均速度大小。
课时作业(三)
1．D　[月球表面是真空，铁锤和羽毛从同一高度下落都做自由落体运动，它们的运动完全相同，故选D。]
2．C　[根据h＝gt2可得喷泉水从开始喷射到落地的时间大约为2t＝2 s，故选C。]
3．B　[设两水滴之间的时间间隔为Δt，则第2滴水下落时间t时两滴水的距离Δh＝g(t＋Δt)2－gt2＝gΔt·t＋gΔt2，则随时间t的增加1、2两水滴在下落过程中距离越来越大，A项错误，B项正确；1、2两水滴之间的速度差Δv＝g(t＋Δt)－gt＝gΔt，保持不变，C项错误；以水滴3为参考系，因水滴的加速度均相同，可知水滴1做匀速直线运动，D项错误。]
4．B　[根据h＝gt2可知，在前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移大小之比是1∶4∶9，故A错误；在相邻两个1 s内的位移之差都是Δh＝gT2＝10 m，故B正确；在第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移大小之比为1∶3∶5，所以平均速度大小之比为1∶3∶5，故C错误；由v＝gt可知，在1 s末、2 s末、3 s末的速度大小之比是1∶2∶3，故D错误。]
5．B　[根据位移与时间的关系式h＝gt2，代入数据解得运动员在空中运动的时间t＝1 s，故B正确，A错误；运动员入水时速度大小v＝gt＝10 m/s，故C、D错误。故选B。]
6．D　[根据位移—时间公式，可得羽毛球上升的最大高度为h＝＝9 m，故A、B错误；羽毛球上升的加速度大小为a＝＝ m/s2＝12.5 m/s2，设经时间t，速度变为v＝5 m/s，根据速度—时间公式有v＝v0－at，代入数据解得t＝0.8 s，故C错误，D正确。故选D。]
7．解析：由自由落体运动知识可知，x＝gt2，则t＝。根据最长反应时间为0.4 s，可得直尺的最小长度为80 cm。由于自由落体运动是匀变速直线运动，所以相等时间内位移不相等，即直尺上对应的长度不相等。
答案：　80　不相等
8．C　[由逆向思维和初速度为0的匀加速直线运动比例式可知＝＝2＋，即3<<4，故C正确。]
9．A　[根据竖直上抛运动的对称性可知向上抛出的小球落回到出发点时的速度大小也是v，之后的运动与竖直下抛的小球运动情况相同，因此上抛的小球比下抛的小球多运动的时间为t＝＝，A正确。]
10．解析：(1)由静止释放P球后，Q球做自由落体运动，则
H－L＝gt2
解得H＝54.45 m。
(2)由静止释放P球后，P球做自由落体运动，则
H＝g(t＋Δt)2
解得Δt＝0.1 s。
(3)P球从释放到刚落地的过程中的平均速度大小＝
解得＝16.5 m/s。
答案：(1)54.45 m　(2)0.1 s　(3)16.5 m/s
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