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数学模拟练习
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知集合 ,则下列说法正确的是
A. B. C. D.
2. 已知 是空间中三个不同的平面, 是空间中三条不同的直线,则下列说法正确的是
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
3. 图中是抛物形拱桥，当水面在 时，拱顶部离水面 ，水面宽 ，水面下降 后，水面的宽约为 (其中 ,精确到 )
A. B. C. D.
第 3 题图
某函数的图像如图所示, 则该函数解析式可能为
第 4 题图
A. B. C. D.
5. 若圆锥的内切球与外接球的球心重合, 且内切球的半径为 1 , 则圆锥的体积为
A. B. C. D.
6. 在 中,角 为三个内角,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知双曲线 的左右焦点分别为 ,直线 与双曲线的右支交于点 且 , 的中点记为 ,且 ,则双曲线 的离心率为
A. 3 B. C. D.
8. 已知函数 ,在区间 上恒有 ,求 的取值范围
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是
A. 独立性检验方法不适用于普查数据
B. 数据1,2,2,3,3,4,4,5,8,9的上四分位数是 8
C. 如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非 0 的直线上,则
D. 已知父亲身高为 ，儿子身高的观测值为 ，儿子身高预测值为 ，则儿子身高的残差为
10. 已知平面内的三个非零向量 满足 ,且 ,则下列说法正确的是
A. B.
C. 的最小值为 1 D. 的最大值为 3
11. 已知无穷数列 前 项和为 ,若存在 ,当 时, ,则称 为“绝对数列”. 则下列选项正确的是
A. 已知数列 ,则数列 为“绝对数列”
B. 若数列 和 均为“绝对数列”，则 为“绝对数列”
C. 若等比数列 为“绝对数列”,则公比为 -1
D. 存在两个公差均不为 0 的等差数列 和 ，使得数列 和 均为“绝对数列”
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 复数 ，则 _____.
13. 已知实数 满足 ，且 ，则 的最小值为_____.
14. 甲有 2 个白球和 1 个黑球, 乙有 3 个白球, 甲乙两人每次交换 1 个球, 经过 5 次交换后，黑球仍然在甲手中的概率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知锐角 三个内角 的对边分别是 ,若 .
(1)求 的大小；
(2)若 平分 交 于点 ，求 的取值范围.
16. 如图,已知平行四边形 是线段 上的点,且 为线段 中点,现将 沿 翻折至 ,使得 .
(1)若点 在线段 上，且 ，证明: 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. 设数列 的前 项和为 ,当 时满足 .
(1)求 ；
(2)令 ，记 为 的前 项和，当 为何值时， 取最小值.
18. 在平面直角坐标系 中,抛物线 上点 处的切线与双曲线 相交于不同的两点 .
(1)若 为 中点，求实数 的值；
(2)若 ，且在 轴上存在点 ，使得 为正三角形，求实数 的值:
(3)若 ，求 面积的最小值.
19. 在平面直角坐标系 中,曲线 与 交于点 .
(1)当 时，求曲线 在 的切线方程；
(2)若直线 与 相切于点 ,求 的值；
(2)若直线 与 交于另一点 ，且 ，求 的取值范围.
数学模拟练习解析
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知集合 ,则下列说法正确的是
A. B. C. D.
【答案】D
,故 ,
.
故选择: D
2. 已知 是空间中三个不同的平面, 是空间中三条不同的直线,则下列说法正确的是
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
【答案】C
A 项: 取 两两垂直,故 A 错;
B 项: 开门模型 B 错;
C 项: 即 与 的法向量平行,故 ,故C正确;
D 项: 取 即可,故D错.
故选择: C
3. 图中是抛物形拱桥，当水面在 时，拱顶部离水面 ，水面宽 ，水面下降 后，水面的宽约为(其中 ,精确到 )
A. B. C. D.
【答案】B
如图建系,即抛物线 过 ,知 ,故 ,在 中,令 ,水面宽 .
故选择: B
4. 某函数的图像如图所示, 则该函数解析式可能为
A. B. C. D.
【答案】B
考虑 有 2 个零点,排除 AC,考虑 时 ,排除 D.
故选择: B
5. 若圆锥的内切球与外接球的球心重合, 且内切球的半径为 1 , 则圆锥的体积为
A. B. C. D.
【答案】C
考虑主视图, 即等腰三角形的内切圆与外接圆圆心重合, 故圆锥轴载面为正三角形, 内切圆半径为 1,则边长为 ,高为 3,所以 .
故选择:
6. 在 中,角 为三个内角,则 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
考虑 为 到 的斜率, ,知 在 与 上均递增, 得大致图象,故为充要条件.
故选择:
7. 已知双曲线 的左右焦点分别为 ,直线 与双曲线的右支交于点 且 , 的中点记为 ,且 ,则双曲线 的离心率为
A. 3 B. C. D.
【答案】D
,故 ①,
,
,
故 ,
解得 ,所以 .
故选择:
8. 已知函数 ,在区间 上恒有 ,求 的取值范围
A. B. C. D.
【答案】A
,而 ,故 .
即 时,左 右,
只需 时,
(熟知 在 时最小值为 ), 取等,故 .
故选择: A
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是
A. 独立性检验方法不适用于普查数据
B. 数据1,2,2,3,3,4,4,5,8,9的上四分位数是 8
C. 如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非 0 的直线上,则
D. 已知父亲身高为 ，儿子身高的观测值为 ，儿子身高预测值为 ，则儿子身高的残差为
【答案】ACD
A 项: 在普查中, 已掌握了总体的全部信息, 变量之间的关系是确定的, 无需进行假设检验, A 正确;
B 项: 10 个数据 ,取第 8 位即 5 是上四分位数, B 错;
C 项: 此时线性关系完美,预测值与观测值完全一致, 对;
D 项: 残差=观测值-预测值=3, D 对.
故选择:ACD
10. 已知平面内的三个非零向量 、 、 满足 ，且 ，则下列说法正确的是
A. B.
C. 的最小值为 1 D. 的最大值为 3
【答案】ABD
条件即 ,故 A 正确; 从 ,故 ，
正三角形 中， ， 轨迹为圆.
对 B: 即 ,故 B 正确;
对 ,即 ,由极化恒等式, 为 中点, ,故 ,故 D 正确.
故选择: ABD
11. 已知无穷数列 前 项和为 ,若存在 ,当 时, ,则称 为 “绝对数列”. 则下列选项正确的是
A. 已知数列 ,则数列 为 “绝对数列”
B. 若数列 和 均为 “绝对数列”,则 为 “绝对数列”
C. 若等比数列 为 “绝对数列”,则公比为-1
D. 存在两个公差均不为 0 的等差数列 和 ,使得数列 和 均为 “绝对数列” 【答案】AD
A 项: 对称轴为 2,于是取 ,故 A 对;
B 项: 由 取 再取 满足条件, 不为绝对数列,故 B 错;
C 项: 考虑 或-2,
时, 满足条件,故C错;
D 项: 取 ,验 与 : 前 项和 对称轴 满足,
验 ,
验 ,序列为 41014,前 项和 满足.
故选择: AD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 复数 ，则 _____.
【答案】
性质 .
故答案为:
13. 已知实数 满足 ,且 ,则 的最小值为_____.
【答案】7
,
解得 取等.
故答案为: 7
14. 甲有 2 个白球和 1 个黑球, 乙有 3 个白球, 甲乙两人每次交换 1 个球, 经过 5 次交换后, 黑球仍然在甲手中的概率为_____.
【答案】
记 次交换后黑球仍在甲手中的概率为 ,则 ,
,故 .
故答案为:
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知锐角 三个内角 的对边分别是 ,若 .
(1)求 的大小；
(2)若 平分 交 于点 ，求 的取值范围.
(1)由射影定理: ,
故 ,
由正弦定理 ,
故 ,
钝角三角形 ，故 ，于是 .
(2)
由角平分线定理 .
16. 如图，已知平行四边形 ， ， 是线段 上的点，且 ， 为线段 中点,现将 沿 翻折至 ,使得 .
(1)若点 在线段 上，且 ，证明: 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
(1)由题意 ，故取 ，则 ，
又 ，于是四边形 为平行四边形，所以 ，
面 面 ,所以 面 ,
,故 面 面 ,所以 面 ,
又 ,所以面 面 面 ,所以 面 .
(2) ，由余弦定理 ，
于是 ,由折叠知 ,所以 面 ,
面 ,故面 面 ,
又 为正三角形,作 ,
则 面 当 中点， ，
即
代入 ， ，解得 ， ，
设所成角为 ,则 .
17. 设数列 的前 项和为 ,当 时满足 .
(1)求 ；
(2)令 ，记 为 的前 项和，当 为何值时， 取最小值.
(1) ,
叠加得 ,
令 ,即 ,故 .
,检验 时 也成立.
(2) ，显然 递增，
而 ,
故 时, 时, ,于是 时, 最小.
18. 在平面直角坐标系 中,抛物线 上点 处的切线与双曲线 相交于不同的两点 .
(1)若 为 中点，求实数 的值；
(2)若 ，且在 轴上存在点 ，使得 为正三角形，求实数 的值:
(3)若 ，求 面积的最小值.
(1) 上 处切线方程: ,即 ,
与 联立得 ,解得 或 ,
时, 与 无交点,故 .
(2)设 ，在(1)中 ，
中点 ,
由 ,即 ,
化简得 ,
故 ,所以 .
(3) ,
在 (2) 中 ,
,令 ,
,当 时取等.
19. 在平面直角坐标系 中,曲线 与 交于点 .
(1)当 时，求曲线 在 的切线方程；
(2)若直线 与 相切于点 ，求 的值；
(2)若直线 与 交于另一点 ，且 ，求 的取值范围.
(1) .
(2)设 ，
在 上， ①，
在 上， ②，
在 上, ③,
由①② 即 ，于是 ，
再由③ .
(3)设 ，
,故 ,
由 ,则 ,
记 ,则 ,
单调递减, ,
所以 单调递减, 时 ,
所以 ,
又 ,
在 单调递增, ,
故 .

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