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重庆八中高 2028 级高一(下)数学学科训练 4
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
1. 已知复数 ,则复数 的虚部为( )
A. B. -1 C. 1 D.
2. 已知单位向量 满足 ，则 在 上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3. 在复平面内,复数 的虚部为 3,复数 满足条件 ,则 的最小值为( )
A. 0 B. 4 C. 5 D. 6
4. 已知向量 ，则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度, 余弦距离是检测相似度的常用方法. 假设二维空间中有两个点 为坐标原点,定义余弦相似度为 (其中 为向量 的夹角),余弦距离为 . 已知 ,若 的余弦距离为 ,则 ( )
A. B. C. D.
6. 内角 的对边分别为 ,满足 ,且 ,则 为( )
A. B. c. D.
7. 已知 ,点 是四边形 内(含边界)的一点， 若 ，则 的最大值与最小值之差为( )
A. 12 B. 9
C. D.
8. 在锐角 中，内角 的对边分别为 ，且 的外接圆半径为 ， 若 的面积 ，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知复数 ，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 若 ,则 D. 若 ,则
10. 已知 为 所在平面内的一点,则下列结论正确的是( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则 为等腰三角形
C. 若 ,则点 的轨迹经过 的内心.
D. 若 ，则 为 的垂心
11. 在锐角 中，角 的对边分别为 ，且 . 则()
A. 的面积为 B.
C. 若 ,则
D. 的取值范围为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知复数 ，则复数 _____.
13. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸, 是中国古老的传统民间艺术. 图 1 是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花. 图 2 中正六边形 的边长为 4,圆 的圆心为该正六边形的中心，圆 的半径为 2, 为圆 的直径,点 在正六边形的边上运动，则 的取值范围为_____.
图 1
图 2
14. 已知平面向量 、 、 满足: 与 的夹角为锐角. ， ， ，且 的最小值为 ，向量 的最大值是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证
15. (本小题满分 13 分)
设 是实数，复数 ( 是虚数单位).
(1)若 在复平面内对应的点在第二象限，求 的取值范围；
(2)求 的最小值.
16. (本小题满分 15 分)
在 中,角 的对边分别为 ,
若 .
(1)求角 的大小；
(2)若 为 上一点，且 为 的角平分线， ，求 的最大值.
17. (本小题满分 15 分)
松江方塔, 又称兴圣教寺塔, 是上海地区现存最古老的砖木结构古塔之一, 承载着深厚的历史文化底蕴. 如图, 某同学在测量塔高 时, 选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点 和 . 测得 ,在点 测得塔顶 仰角为 ,已知 , ,且 米.
(1)求 ；
(2)求塔高 (结果保留整数).
18. (本小题满分 17 分)
“费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点. 对于每个给定的三角形, 都存在唯一的费马点,当 的三个内角均小于 时,使 的点 即为费马点. 已知 中,角 的对边分别为 ，点 是 的“费马点”.
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的周长；
(3)若 ， ，求实数 的值.
19. (本小题满分 17 分)
在 中，角 所对边分别为 .
(1)已知 ，求 ；
(2)若 是锐角三角形， 为(1)中所求， 为 的垂心，且 ， 求 的取值范围;
(3)若 ，令 ，试求 的最大值.
重庆八中高 2028 级高一(下)数学练习(4)
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C A B A C B C A AB ABD ACD
1.解: 由 ,故虚部为 1,故选: C.
2.解:由题意， ， ，则 在 上的投影向量为 ,故选: A.
3.解: 由复数 的虚部为 3,可知复数 对应的点在直线 上,又复数 满足条件
,即 ,得复数 表示的点在以 为圆心, 半径为 1 的圆上. 如图: 而 ,其几何意义为直线 上的点到圆 的点的距离. 当点 共线 之间 且 与直线 垂直时距离最小,可得最小值为 . 故选: .
4.解: 当 时,满足 ,即 , 解得 或 ，所以必要性不成立；当 时，向量 ， ，则 ， 即 ,故充分性成立; 所以 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件. 故选: .
5.解: 因为 ,所以 ,所以 ,故 ,所以 . 故选: .
6.解: ,又 ,
,整理得: , ， ， ，当且仅当 时等号成立,又 , 即 ,解得: ,故选: .
7.解: 如图,过点 作 交 于点 ,设 ,所以 , ,因为点 在四边形 内部,且 , ,所以 ,因为 三点共线,所以 , 所以 ,且 ,所以 , ,所以 , 所以当 时, ; 当 时, ,所以 的最大值与最小值之差为 . 故选: .
8.解: 由正弦定理得 ,所以 ,又三角形面积公式 ，可知 ，所以 ，又 ，所以 ，由正弦定理得 ,在锐角 中，有 ,因从而 . 故选: 从而 . 故选:
9.解: 对于 ,因为 ,选项 正确; 对于 ,设 , ,则 , ,所以 ,选项 正确; 对于 ,当 , ,则 ,但 ,选项 错误. 对于 时， ，但 ，选项 错误. 故选: .
10.解:A，过点 作 ，分别交 于点 ，则四边形 为平行四边形, ,因为 ,故 ,即 ,不妨设 ,故 ，因为 ， 为 的中点，所以 到 的距离为 到 的距离的 ,所以 ,则 ,
则 ， 正确: ， ，该向量为 ， 方向上的单位向量之和，位于
的平分线上,又 ,即 的角平分线与 垂直,则 为等腰三角形,
B 正确: ,过点 作 ,垂足为 ,设 的中点为 ,则
，则 ，则 三点共线，点 的轨迹经过 的重心, C 错误; D, ,则 ,则 ,同理可得 , ,则 为 的垂心, D 正确.
11.对于 ,由 ,所以 ,故 正确; 对于 ,由 ,可得 ,所以
,故 B 错误; 对于 ,又 ,所以 , 即 ,所以 ,即 ,所以 ,即 ,所以 ,由 为锐角知 ,故解得 ,故 C 正确; 对于 ,因为 ,所以 ,作 于 , 过 作 ,且 ，如图所以 点的轨迹为线段 (不包含端点及中点， 否则三角形为直角三角形, 不符合题意), 由图形可知 ,且 , 令 且 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，又当 时, ,当 或 时, ,所以 ,即 的取值范围为 ,故 D 正确.
12.根据题意,
13.解: 由题可知, ,所以 ；由图可知，当点 为正六边形各边的中点时， 取得最小值，即 ; 当点 位于正六边形 的某个顶点时, 取得最大值 4,所以 ,从而 . 故答案为: .
14. ,则 ,由 最小值为 , 且由二次函数分析可知,当 时, 取得最小值,所以 , 解得 ,又 与 的夹角为锐角,则 ,此时 ,所以 , 设 ,又 ,所以 ,因 ,故 .
15.解: (1) 已知 ,若 在复平面内对应的点在第二象限,则 ,解得 ,则 的取值范围是 :
( 2 )由 ，得 ，则 ，所以
，即 的最小值为 .
16.解: (1) 因为 ,由正弦定理得 ,即 ,所以 ,又 ,所以
(2)因为 ，因为 ，所以 ，即 ，所以 ，又 ， 即 ,所以 ,所以 ,设 ,则 , 则 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的最大值为 3
17.解: (1) 在 中,因为 ,所以 ,则 ,所以 , 所以 ,又 ,所以 ,则 ;
(2)在 中，因为 ，所以 米， 则 中, 米,所以塔高 为 47 米.
18.解: (1) 根据 ,结合正弦定理得 ,因为 中, ,所以 , 结合 ,化简得 ,可得 ,即 ,所以 , 可得 :
(2)设 ， ， ，可得 ， ,结合 ,可得 , 所以 ,
由 ,可得 ,
即 ,解得 ,由余弦定理得 ,即 ,可得则 ,解得 ,所以 的周长
(3)不妨设 ，则 . 由余弦定理得: ①,
②, ③,因为 ,所以 ,即 ,
则 ，由 ② ③， ，则 ，即 , 结合 ,可得 ,解得 ,所以 .
19.解:(1)因为 ,所以 ,由正弦定理,得 ,即 ,由余弦定理,得 ,因为 ,所以 ;
(2)延长 交 于 ，延长 交 于 ，设 ，所以 ， 在 Rt 中, ,在 中, ,所以 ,
在 Rt 中, ,同理可得在 Rt 中, ,所以 ，因为 ，所以 ，所以 ,所以 ,即 的取值范围为 ;
(3)由余弦定理，可得 ，所以 ，由 ，可得 ，所以 ,故 ，所以 ，当且仅当 时等号成立,即 时, .

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