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数学试卷
考生须知:
1. 本卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟:
2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、试场号、座位号；
3. 所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4. 考试结束后，只需上交答题卷。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要 求的.
1. 已知集合 ，全集 ，则 ( )
A. B. {-2} C. {2} D.
2. 复数 的虚部为( )
A. B. c. D.
3. 对四组数据进行统计，获得以下散点图(如图)，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是( )
相关系数为
相关系数为
相关系数为 相关系数为
A. B.
C. D.
4. 已知向量 ，若 ，则 ( )
A. 1 B. -1 C. 16 D. -16
5. 已知函数 ，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小正周期为
C. 在 上单调递增 D. 的最小正零点为
6. 已知一个圆台的上下底面半径分别为3 和 6,球 与该圆台的上下底面和侧面都相切,则球 的表面积为( )
A. B. C. D.
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过点 的直线与 的右支交于点 , ，设双曲线的离心率为 ，则 ( )
A. B. C. D.
8. 若曲线 上存在至少两点到直线 的距离为 1,则实数 的取值范围为( )
A. B.
c. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选 对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某城市连续 6 天的最低温度(单位:°C)为0、2、5、5、6、6，则这组数据的( )
A. 极差为 6 B. 40% 分位数为 3.5 C. 平均数为 4 D. 方差为 5
10. 已知函数 ，则下列说法正确的是( )
A. 函数 的定义域为 或 B. 不等式 的解集为
C. 函数 的图象为轴对称图形 D. 函数 的图象为中心对称图形
11. 已知数列 的通项公式为 是其前 项的和. ,下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 二项式 的展开式中的常数项为_____.
13. 已知函数 的图象在 处的切线与直线 垂直，则 _____.
14. 设矩形 的周长为 24,把 沿 向 折叠, 折过去后交 于点 。 则 面积的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知公差不为零的等差数列 中， ，且 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式:
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
16. 如图,四棱锥 的底面是边长为 2 的菱形, , 是 的中点.
(1)证明: ；
(2)求直线 和平面 所成角的正弦值.
17. 已知函数 ,
(1)设 是 的导函数，求 的单调区间；
(2)设 是 的极小值点，求证: ；
(3)若 恒成立，求实数 的取值范围.
18. 已知椭圆 过点 ，离心率为 ， 是坐标原点，
(1)求 的方程；
(2)过 的右焦点 作直线 与椭圆交于 两点，以 为邻边作平行四边形 OAQB， (i) 求点 的轨迹方程并说明其形状;
(ii)过 的任意一条直线 与椭圆 交于 两点,与 的轨迹交于 两点,其中 在 轴上方,求 和 面积之和的范围.
19. 某景点周边文创店推出了一款单价 10 元的"幸运文创刮刮卡"，每购买一张即可参与抽奖，奖项设置如下 (未中奖则无奖金):
① 一等奖:奖金 40 元，中奖概率 5%；
② 二等奖:奖金 20 元，中奖概率 10%；
③ 三等奖:奖金 10 元，中奖概率 30%；
(1)小明初始有 20 元零花钱.
(i)若他购买 1 张刮刮卡，求抽奖后剩余金额的数学期望；
(ii) 小明想要购买一款定价 40 元的航模配件, 他打算通过反复购买刮刮卡的方式凑齐钱款, 求他最终能够凑齐钱款的概率.
(2)若小明初始有 元( 为正整数且 )，他采取的购买策略是:一旦当前总金额超过初始的 元就立刻停止购买. 设他最终能够成功挣到钱的概率为 ,求证: .
2026 年全国高考数学模拟卷
命题: 杭州第二中学
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，全集 ，则 ( )
A. B. {-2} C. {2} D.
答案:D
2. 复数 的虚部为( )
A. B. c. D.
答案: B
3. 对四组数据进行统计，获得以下散点图 (如图)，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是 ( )
相关系数为
相关系数为
相关系数为
相关系数为
A. B.
C. D.
答案: A
4. 已知向量 ,若 ,则 ( )
A. 1 B. -1 C. 16 D. -16
答案: A
5. 已知函数 ，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小正周期为
C. 在 上单调递增 D. 的最小正零点为
答案: C
6. 已知一个圆台的上下底面半径分别为3 和 6，球 与该圆台的上下底面和侧面都相切，则球 的表面积为 ( )
A. B. C. D.
答案: B
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过点 的直线与 的右支交于点 , ，设双曲线的离心率为 ，则 ( )
A. B. C. D.
答案: B
8. 若曲线 上存在至少两点到直线 的距离为 1 . 则实数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案:D
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某城市连续 6 天的最低温度(单位:℃)为 0.2，5，5，6，6 则这组数据的(★)
A. 极差为 6 B. 40% 分位数为 3.5 C. 平均数为 4 D. 方差为 5
答案: ACD
10. 已知函数 ，则下列说法正确的是( )
A. 函数 的定义域为 或 B. 不等式 的解集为
C. 函数 的图象为轴对称图形 D. 函数 的图象为中心对称图形
答案: ABC
11. 已知数列 的通项公式为 是其前 项的和. ,下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
答案: AD
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 二项式 的展开式中的常数项为_____.
答案: 15
13. 已知函数 的图象在 处的切线与直线 垂直，则 _____. 答案: -1
14. 设矩形 的周长为 24,把 沿 向 折叠， 折过去后交 于点 ,则 面积的最大值为_____.
答案:
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知公差不为零的等差数列 中, ,且 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
解: (1) ① -2 分 成等比数列,
化简得 ,
因为 ，所以 ②， -5 分
由①②可得， ， 7 分
所以数列的通项公式是 . -9 分
(2)由(1)得 11 分
16. 如图,四棱锥 的底面是边长为 2 的菱形, , 是 的中点.
(1)证明: ；
(2)求直线 和平面 所成角的正弦值.
解(1)连接 ，由题意 是等边三角形， 是 的中点，
所以 . 2 分
因为 ，所以 ，又因为 ，
所以 . 又 ，则 ，
所以 ， 5 分
且 平面 ，
所以CM 平面 ,而 平面 ,
所以 . 6 分
(2)以 为原点， 为 轴， 为 轴，过 作垂直于底面的直线为 轴，建立空间直角坐标系， 由( 1 )可知平面 平面 ,
于是 8 分
于是 ,设平面 的一个
法向量为 ,则
,则 ,令 得
于是可得一个法向量 , 11 分
又 ,设直线 和平面 所成角为 ,则
所以直线 和平面 所成角的正弦值为 . 15 分说明: 或转化为直线 和平面 所成角.
17. 已知函数 ,
(1)设 是 的导函数，求 的单调区间:
(2)设 是 的极小值点，求证: ；
(3)若 恒成立，求实数 的取值范围.
解: (1) 函数 的定义域为 ,
,
易得 在 单调递增,在 单调递减. 4 分
(2)由(1) ,
且当 时, ,当 时,
所以存在 ,使得 在 单调递减,在 单调递增,
其中 满足 ,即 ,于是
,
因为 ,所以 10 分
(3)由题意， 恒成立，即 ，
因为 ,所以 ,
设 ,则 ,
于是 在 单调递增,在 单调递减,
所以 ,
所以实数 的取值范围为 15 分
18. 已知椭圆 过点 ,离心率为 是坐标原点,
(1)求 的方程；
(2)过 的右焦点 作直线 与椭圆交于 两点，以 为邻边作平行四边形 ，
(i) 求点 的轨迹方程并说明其形状;
(ii) 过 的任意一条直线 与椭圆 交于 两点,与 的轨迹交于 两点,其中 在 轴上方,求 和 面积之和的范围.
解: (1) 已知椭圆 ,椭圆过点 ,代入方程得到
又离心率 ，所以 ，联立解得 ，
所以椭圆方程为: . 3 分
(2)(i)椭圆右焦点 ，设直线 .
由平行四边形性质 ,所以
联立 与椭圆方程 得到
由韦达定理:
消去参数 得到 点的轨迹方程为 8 分
其形状为焦点在 轴上，中心在 ，长轴长 2、短轴长 的一个椭圆(不包括原点).
(ii) 设直线方程为 ,和椭圆 联立得到
设 ,则:
和 联立得到
,即 ,设 ,则
设 ,则 ,
于是 在 单调递增,令 和 代入即得.
方法四: ,直接关于 求导
进一步判断可得函数 为偶函数，且在 单调递减，于是同理可得值域.
综上,所求面积和的范围为 . 17 分
19. 某景点周边文创店推出了一款单价 10 元的“幸运文创刮刮卡”，每购买一张即可参与抽奖，奖项设置如下 (未中奖则无奖金):
① 一等奖:奖金 40 元，中奖概率 5%；
② 二等奖:奖金 20 元，中奖概率 10%；
③ 三等奖:奖金 10 元，中奖概率 30%；
(1)小明初始有 20 元零花钱.
(i)若他购买 1 张刮刮卡，求抽奖后剩余金额的数学期望；
(ii) 小明想要购买一款定价 40 元的航模配件, 他打算通过反复购买刮刮卡的方式凑齐钱款, 求他最终能够凑齐钱款的概率.
(2)若小明初始有 元( 为正整数且 )，他采取的购买策略是:一旦当前总金额超过初始的 元就立刻停止购买. 设他最终能够成功挣到钱的概率为 ,求证: .
解: (1) (i) 小明初始有 20 元, 购买 1 张刮刮卡花费 10 元, 因此抽奖前已支出 10 元, 剩余 10 元, 假设抽奖后剩余金额为 :
中一等奖 (40 元): 剩余金额 元, ;
中二等奖 (20 元):剩余金额 元， ；
中三等奖 (10 元):剩余金额 元， :
未中奖: 剩余金额 元, .
元
所以购买后剩余金额的数学期望为 17 元. 4 分
(ii) 设 为当前持有 元时,最终能凑到 40 元的概率:
当 时,已经凑够钱款, ;
当 时,无法再购买刮刮卡,且金额不足 40 元, .
当持有 元时,购买 1 张刮刮卡花费 10 元,剩余 元,根据中奖结果分类讨论:
中一等奖 (概率 0.05): 总金额变为 ,成功:
中二等奖 (概率 0.1): 总金额变为 ;
中三等奖 (概率 0.3): 总金额变为 ;
未中奖 (概率 0.55): 总金额变为 .
于是 ,
即 ,由题意,只需考虑 的情况:
①当 时， ，代入公式:
,所以
②当 时，代入公式得到
③ 当 时， ，代入公式:
所以
将①和③的表达式代入②的表达式得到:
于是 即
所以 .
即小明最终能够成功凑到 40 元的概率为 .
(2)设 表示当前持有 元时最终能够成功挣到钱(即总金额超过初始 元)的概率:
当 时,已经挣到钱, ;
当 时,无法再购买刮刮卡,且金额不超过 ;
对于 的情况，由(1)(ii)，同理可得:
若 ,先考虑 为 10 的倍数的情形,
对 (*) 式从 取 10 到 累加，注意到 时， ，于是得到:
化简得:
因此 ,
所以
若 ,同理可得
若 ,同理有 ,所以
若 ,则 ,所以
所以对任意 为 10 的倍数的情形,都有
若 不是 10 的倍数,假设不超过 的最大的 10 的倍数为
综上,对任意 ,最终成功挣到钱的概率 ,证毕. 17 分
说明: 第 (2) 小题中,通过建立方程组,直接求出 时, 时, , 当然也可以.

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