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2025-2026 学年高一(下)期中学业水平检测 数 学
本试卷分为第 1 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 满分 150 分，考试时间 120 分钟，第 I 卷和第 II 卷都答在答题卷上.
第 1 卷 (选择题 共 58 分)
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的.
1. 已知复数 满足 ( 是虚数单位)，则 的虚部为
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
2. 已知 为坐标原点， ， ，则 的重心坐标为
A. B. C. D.
3. 设 为非零向量，则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 如图，在 中， ， ，设 ， ，则
A.
B.
C.
D.
5. 在 中, 分别为内角 的对边,面积为 ,若 ,则
A. B. C. 2 D. 4
6. 已知 中, ,则 在 上的投影向量为
A. B. C. D.
7. 在 中, 分别为内角 的对边,若 ,则 的形状一定是
A. 等腰三角形 B 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
8. 已知点 在线段 上 (不含端点), 是直线 外一点，且 ，则 的最 - 小值是
A. 4 B. c. D. 2
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得 6 分, 有选错的得 0 分, 部分选对的得部分分.
9. 设 为复数,则下列结论中正确的是
A. 若 ，则 B. 若 ，则 是实数
C. 若 为纯虚数，则 也为纯虚数 D.
10. 已知向量 满足: ， ，则
A.
B. 与 夹角的余弦值为
C. 在 上的投影向量坐标为 D. 的最小值为 1
11. 已知 的内切圆半径为 ，外接圆半径为 ，外接圆圆心 满足 ， 为 的外接圆上一动点，且 ，则
A. 为等腰三角形 B.
C. D. 的取值范围为
三、填空题:本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分. 各题答案必须填写在答题卡上相应位置(只填结果，不 写过程).
12. 已知向量 ，且 ，则实数 _____.
13. 若向量 满足: ，则 与 的夹角为_____.
14. 在锐角 中, 分别为内角 的对边,且 ,若 存在最小值,则实数 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 个小题，共 77 分. 各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程).
15. (13分)
已知复数 ( 是虚数单位， )，且 为纯虚数.
(1)求复数 ；
(2)若复数 在复平面内对应的点位于第二象限,求实数 的取值范围.
16. (15 分)
在锐角 中, 分别为内角 的对边, .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 的面积为 ，点 满足 ，求线段 的长.
17. (15 分)
在等腰梯形 中， ， ， ， 是 的中点，点 满足 (其中 ).
(1)若 ，且 ，求 的值；
(2)求 的取值范围.
18. (17 分)
在 中, 为 的中点.
(1)求 的取值范围；
(2)若 ， 为 的中点， 为平面上一动点，满足 .
(i) 求证: 为定值;
(ii) 求 的最大值.
19. (17 分)
在 中,已知 的面积 满足: .
(1)求 的值；
(2)如图所示， 为线段 上一点，延长 至点 ，使得 ，记 .
(i) 用含 的式子分别表示 与 的面积;
(ii) 若 ,求实数 的最大值.
2025-2026 学年高一(下)期中学业水平检测 数学答案
一、单项选择题:
1. A
由 ,得 ,故选 A.
2. C
由重心坐标公式可得坐标 ,即 ,故选 .
3. B
由 “ ” 只能得到 “ ”，不满足充分性；由 “ ” 可以得到 “ ” ，满足必要性, 故选 B.
4. D
,故选 D.
5. C
由 ,可得 ,
由余弦定理 ,则 ,故选 C.
6. A
由 可知 为等腰三角形,且 ,则 在 上的投影向量为 ,故选 A.
7. B
,
首先正切化为正余弦比值,即 ,
然后将边化为正弦值，即 ，
两边约去 同时去分母,
可得 ,即 ,
利用辅助角公式,
可得 ,即 , 则 或者 或者 (舍),故选 B.
8. C
由 三点共线, ,
则 ,且 ,
观察分母与条件等式之间关系,构造 ,
有 ,
当 ,即 时, 时取得等号,
所以 的最小值为 ,故选 C.
二、多项选择题:
9.
选项 A: 举反例 ，故不成立;
选项 B: 设 ,则 ,成立; 选项 C: 可设 ,则 为纯虚数,成立;
选项 D:由复数减法的几何意义可判断成立；故选 BCD.
10. AD
选项A: 由 ,知 ,
平方可得 ,则 成立;
选项 B: ，故不成立；
选项 C: 在 上的投影向量为 ，故不成立； 选项 D:由几何意义可知 故成立；故选 AD.
11. ACD
设 中点为 ，由 ，
可得 ，即 ，
选项 A: 外心 在 上， 为中垂线,
所以 ， 为等腰三角形，故成立；
选项 B:可设 ，由 ，可知 ，由 ，可得 ， 所以 ,而 ,故不成立;
选项 C:利用选项 B 的运算结果，由等面积法，可得内切圆半径
,则 ,故成立;
选项 D: 由 ,得 ,
即 ,代入 ,即 ,
可得 ，由等和线知识观察可知系数和
，则 的取值范围为 ，故成立；故选 ACD.
三、填空题:
12.
因为 ,所以 ,即 .
13.
记 与 所成角为 ,因为 ,
所以 ,
解得 ，所以 .
14.
由正弦定理可知:
,
故 或 (舍去),
所以
,
且由 ,可得 ,
当 时, 存在最小值,故有 .
四、解答题:
15. ( 1 )因为 为纯虚数,
所以 且 ,所以 ; .6 分
(2)因为复数 ，
且在复平面内对应的点在第二象限,所以 ,
故实数 的取值范围是 . .13 分
16. ( 1 )在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，解得 或 (舍)； .6 分
(2)由 ，
得 ,所以 或 ,
又因为点 满足 ，所以 ，
或 ,
得 或 . .15 分
17. ( 1 )因为 ，所以点 为 的中点，有 ，
又 ,所以 .
所以 ,得 : .7 分
(2)以 为坐标原点，直线 为 轴，过点 且垂直于 的直线为 轴建立如图所示直角坐标系，由条件可得 .
所以 ,
所以
,
因为 ，所以 单调递增，
所以
18. ( 1 )设 ，
则
5 分
(2)(i)取 中点 ，
因为 ，
所以 ,即 三点共线,且 为 中点,
因为 ,所以 ,
故 在以 为直径的圆上,
所以 ,
则
为定值; .11 分
(ii) 由 (i) 可知: ,
设 . 则 ,
由 ,可知 ,
设 . 由 ,有 ,
所以
,
令 ,则 ,
① 当 时， ，② 当 时， ，
因为 ,所以 ,
所以 ,
综上所述， ，即 ，
所以 的最大值为 10 ，
当且仅当 ,即 时等号成立,此时 . 17 分
19. ( 1 )因为 ，
所以 ，即 ，
得 ，所以 ，而 ，
在 中，由正弦定理可知， ，
所以 ，即 ； .4 分
(2)(i)记 ， 面积分别为 、 ，设 ，
在 中，由余弦定理可知: ，
即 ①，则 ，
在 中，由正弦定理可知: ，即 ②，
由①②可知,
; .11 分
(ii) 记 面积为 ,则 ,
令 ,则由 ,得 ,
而 在 上单调递增,故 ,
所以 的最大值为 ,当且仅当 ,即 时等号成立. .17 分

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