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2026 年普通高校招生考试冲刺压轴卷(六) 数 学
(试卷满分:150 分，考试时间:120 分钟)
注意事项:
1. 答卷前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm 的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 请将答题卡上交。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的.
1. 已知集合 ，集合 ，则
A. B. C. D.
2. 已知复数 ,则
A. B. C. 1 D. 2
3. 已知 ,则向量 的夹角为
A. B. C. D.
4. 已知函数 在 上单调递减,则 的取值范围是
A. B. C. D.
5. 若 ,则
A. 1 B. -1 C. 6078 D. -6078
6. 已知 ,则
A. B. C. D.
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 为顶点在坐标原点,焦点为 的抛物线,过 作 的一条渐近线的垂线交 于点 ,且 ,设双曲线 的离心率为 ,则
A. B. 2
C. D. 3
8. 已知数列 的前 项的和为 ,且满足 1,若 ,则
A. 1 B. C. 6 D. -6
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 如图,已知圆锥 的轴截面是边长为 2 的等边三角形,则下列说法正确的是
A. 圆锥的体积为
B. 圆锥的侧面展开图是圆心角为 的扇形
C. 圆锥的表面积为
D. 圆锥的外接球的表面积为
10. 已知函数 ,且函数图象经过点 ,则下列选项中正确的是
A. 函数 是奇函数
B. 函数 在区间 上单调递减
C.
D. 存在常数 ，使得对任意实数 ，都有
11. 已知抛物线 的焦点为 是 上不同的三个点, 的中点为 为坐标原点,直线 是 的准线,且 与 轴的交点为 ,则下列说法正确的有
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若点 的纵坐标为 2,则直线 的倾斜角为
D. 若 是 的重心,则点 的纵坐标不可能大于
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 在数列 中，已知 ，且数列 是等差数列，则 _____.
13. 某科技公司为提升员工的编程技能，举办了一场“算法挑战赛”，若甲、乙、丙三名员工进人决赛，他们获一等奖的概率分别为 ， ， ，且获奖相互独立，则至少两人获一等奖的概率为_____.
14. 已知函数 的定义域为 ； 的极小值大于 0，则 的取值范围为_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素. 小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展. 将 2020 ~2024 年记为年份代码 1~5，我国小麦产量如下表所示.
年份代码 1 2 3 4 5
产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0
现规定 表示年份代码 表示年份代码为 的产量,经计算得 206.8, .
(1)求样本 的相关系数 ；(精确到 0.01)
(2)现从这 5 年中随机抽取 3 年，记这 3 年中小麦产量大于 13.6 千万吨的年数为 ,求 的分布列与数学期望.
附:相关系数 .
16.(本小题满分 15 分)
如图，在 中，角 所对的边分别是 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 是边 的中点， ， ，求 的面积;
17. (本小题满分 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 底面 ，且 ， 是 的中点，平面 与线段 交于点 .
(1)求证: ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 ，直线 过坐标原点且与 的图象相切.
(1)证明: 的图象(除了切点)始终都在直线 的上方；
(2)已知 ,当 时， 恒成立，求 的取值范围.
19. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 分别是椭圆 的左、右焦点, 是椭圆 上一点, 的最大值为 3，最小值为 1 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点 作直线 交椭圆于 ， 两点,求 面积的最大值；
(3)若 是椭圆 上不同于顶点的动点,且 和 的斜率都存在,椭圆 的左、右顶点分别为 ，直线 交椭圆于另一点 直线 交椭圆于另一点 . 若直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，判断 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
2026 年普通高校招生考试冲刺压轴卷(六) 数学 参考答案、提示及评分细则
1.【答案】A
,故 ,故选 A.
2.【答案】B
,故选 B.
3.【答案】C
由 ,解得 ,即 的夹角是 ,故选 C.
4.【答案】D
设 需要在 上单调递减,故 ,解得 , 故选 D.
5.【答案】D
由 ,两边同时求导得 ,令 ,则 ,故选 D.
6.【答案】C
因为 ,所以 ,所以 . 故选 C.
7.【答案】C
设 与渐近线交于点 ,由 ,可知 是 的中点,不妨设 所在直线的方程为 ,联立 可得 ,由 及中点坐标公式得, ,由题意得抛物线 的方程为 ,将 点坐标代入可得 , 整理得 ,解得 ,故选 C.
8.【答案】D
因为 ,所以 ; 令 ,则 ,因为 ,即 ,所以 , ,所以数列 是以 6 为周期的数列,且当 时, ,因为 ,所以 -2021,解得 ,所以 ,故选 D.
9.【答案】AC
由题意得,圆锥的底面半径为 1,高为 ,则圆锥的体积为 ,故 正确;
圆锥的底面周长为 ,即侧面展开图的弧长为 ,设圆心角为 ,则 ,故 B 错误; 圆锥的表面积为 ,故 C 正确;
圆锥的外接球的直径为轴截面的外接圆的直径 ,则外接球的表面积为 ,故 错误,故选 AC.
10.【答案】BD
由 ,得到 ,因为 ,所以得 ,则 ,
对于选项 ,因为 ,所以 不是奇函数,故 错误;
对于选项 ,当 时, ,结合正弦函数图象性质可得函数 在区间 上单调递减; 所以 正确;
对于选项 ,周期 ,且 ,易知 ,所以 ；即 错误；
对于选项 ,根据题意可得 ,因此存在常数 ,对于任意实数 ,使 ,所以 D 正确. 故选 BD.
11.【答案】
对于 : 因为抛物线 的焦点 ,所以 ,若 ,则 ,即 , A 正确;
对于 B: 若 ,则 三点共线,设 ,代入抛物线方程得 ,所以 ,又 ,所以 ,所以 ,所以 ,即 关于 轴对称,则 正确;
对于 : 若点 的纵坐标为 2,即 ,则 ,所以直线 的斜率 ,所以直线 的倾斜角为 错误;
对于 : 若 是 的重心,则 ,即 ①,又 是 中点,其纵坐标为 . 由重心横坐标公式 ,且 ,可得 ②, 将①代入②得 ③，因为 是 上不同的点，所以 ④，将②③代入④ 得到 ，所以 ，D 正确；故选 ABD.
12.【答案】2
设 ,数列 是等差数列,公差为 ,则 ,得 ,则 ,则 .
13.【答案】
设事件甲、乙、丙获奖分别为 ,至少两位同学获奖有如下情况: 甲、乙获奖丙未获奖,甲、 丙获奖乙未获奖,乙、丙获奖甲未获奖,甲、乙、丙三人均获奖,则 .
14.【答案】
. 因为 的极小值大于 0, 所以 存在两个不同的根 ,设 ,当 或 时, , 则 在 上单调递增,当 时, ,则 在 上单调递减,则 为极大值, 为极小值,又极小值大于 0,所以极大值 ,所以 只有一个零点,又 ,显然 是 的零点,所以方程 无实数根,即 ,即 ,因为 ,若 ,因为 在 上单调递增,结合 ,可得 ,与条件矛盾,所以 ,又 3,所以 ,即 的极大值点与极小值点均大于 0,且方程 的 2 个实数根均大于 0,所以 ,解得 ,综上可得: ,故 的取值范围为 , .
15.【答案】(1)0.92(2) 的分布列见解析，
(1) , 2 分
故样本相关系数 3 分 6 分
(2) 的取值可以为1,2,3， 7 分
8 分
9 分
10 分
于是 的分布列为
1 2 3
11 分故 . 13 分
16.【答案】
,由正弦定理,得 , 1 分
又 , 3 分
则有 , 4 分
即 ,又 ,故 , 5 分
则 ,即 ,又 ,则 ; 7 分
(2)由 是 的中点,则 , 8 分
则 . 10 分
即 ,则 , 12 分
解得 或 (负值,舍去), 13 分
则 . 15 分
17.【答案】(1)详见解析(2)
(1)在矩形 中， ，
又 平面 平面 ,所以 平面 , 2 分
又因为 平面 ,且平面 平面 ,所以 ; 4 分
(2)由(1)可知 ，又 ，所以 ， 5 分
又因为 是 的中点,所以 是 的中点, 6 分
因为 平面 平面 ,
所以 , 7 分
因为 ,即 ,故 . 8 分
又在矩形 中, ,所以 两两垂直.
如图以 为坐标原点,以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系 , 9 分
则 ,
所以 , 10 分设平面 的一个法向量为 .
由 ,得 ,
令 ,得 , 12 分
设直线 与平面 所成角为 ,
则 , 14 分
故直线 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分
18.【答案】(1)详见解析 (2)
(1) 设 ,切点为 ,则有 , 2 分
解得 ,故 的方程为 , 3 分
令 , 4 分
故 的最小值为 , 5 分
所以 恒成立,即 , 6 分
所以 的图象 (除了切点) 始终都在直线 的上方; 7 分
(2)由题意 ，解得 或 ，
设 ,则 为开口向上,对称轴为 的二次函数, 8 分
由(1)知 , 9 分
所以 的最小值为 ,故只需考虑证 即可,
即证 即可, 10 分
11 分
令 ,
12 分
当 时, 在 上单调递增, , 13 分
当 时, ,故 , 14 分
即当 时, 在 上单调递增, , 15 分
所以 在 上单调递增,所以 ,即 ,证毕. 16 分
综上所述: 或 . 17 分
19.【答案】(1) 定值为
(1) 由题意可知, 的最大值为 ,最小值为 ,即 , 1 分得 , 2 分
所以椭圆 的标准方程为 ; 3 分
(2)易知直线 与 轴不重合,设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
由韦达定理可得 , 4 分
所以 , 5 分所以三角形的面积为 , 6 分
令 ,则函数 在 上为增函数, 7 分
故当 时,即当 时, 取最大值,且 ; 8 分
(3)由 ，得 ，其中 ， ， ，
则 , 9 分
设 ,直线 的方程为 ,直线 的方程为 ,
联立 ,得 ,
由韦达定理,得 , 10 分
所以
, 11 分
则 , 12 分
同理,联立 ,得 ,
所以
13 分
则 ; 14 分
则 15 分
故 , 16 分
故 为定值 . 17 分

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