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(在此卷上答题无效) 2026 届高三最后一卷 数 学
(考试时间:120 分钟 清分:150 分)
注意事项:
1. 答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 务必擦净后再选涂其它答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分；在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
1. 集合 ，集合 ，则 ( )
A. B. c. D.
2. 已知复数 满足 (其中 为虚数单位)，则 的虚部为( )
A. 1 B. 2 C. D.
3. 平面向量 满足 ，且向量 ， 的夹角为 ，则 ( )
A. 1 B. C. D. 2
4. 记 为等比数列 的前 项和,若 ,则 ( )
A. 4 B. 2 C. 8 D. -8
5. 已知 是椭圆 的左右焦点,点 在椭圆上, 为等腰三角形, ,则椭圆 的离心率为 ( )
A. B. C. D.
6. 将函数 的图象向右平移 个单位长度,得到函数 的图象,则 图象的对称中心的坐标是( )
A. B. C. D.
7. 在三棱锥 中， ， ，二面角 的大小为 ， 则三棱锥 的外接球表面积为( )
A. B. C. D.
8. 已知 ，则下列大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是( )
A. 若随机变量 ,则
B. 若事件 相互独立,则
C. 若样本数据 的方差为 2,则数据 的方差为 8
D. 用相关指数 刻画回归效果， 越接近 1，说明回归模型的拟合效果越好 10. 已知 ,其中 最大值为记为 ,则下列正确的是 ( )
A. 存在 ，使得函数 为奇函数
B. 任意 ,都有
C. 任意 至少有一个不小于-1
D. 任意 ，且 ，则
11. 如图,抛物线 ,过点 向抛物线 作两条切线 ,切点分别为 . 切线 分别交 轴于 设 ,则下列说法正确的有( )
A. 过点 的切线方程为
B. 当点 在准线上时, 的最小值为 8
C. 当点 在准线上时,
D. 对任意点 均有
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知函数 的图象在 处的切线与直线 垂直，则 _____.
13. 一个质地均匀的正四面体骰子, 其每面分别标有数字 1, 2, 3, 4, 记录每次抛掷向下这个面的点数, 一旦连续两次抛掷的点数之和为质数，则停止抛骰子. 已知第一次抛出的点数为 1，则以数字 1 结束的概率是_____.
14. 设数列 ，满足 ， ，记 ，则 的整数部分是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)在 中，三角 所对的边分别为 ，其内切圆与外接圆半径分别为 . 已知 且 ，求:
(1)求 的值；
(2)求 的最大值.
16.(15分)底面 为正方形，侧面 垂直于底面 且 为正三角形， ， .
(1)若H为DE中点，求证:DE⊥平面 ；
(2)求平面 ADE 与平面 BCF 所成二面角的平面角大小.
17. (15 分) 已知函数 ,其中 .
(1)讨论 的单调性;
(2)若 有三个零点 ,且 ，求实数 的取值范围.
18.(17分)已知双曲线 上任意一点 ，则过点 的切线方程为 . 已知焦点在 轴上的双曲线 的离心率为 ，且过点 .
(1)求双曲线 的方程；
( 2 )过双曲线上点 的直线 为双曲线 的切线， 分别与直线 ， 交于 ， 两点，记直线 的斜率分别为 .
(i) 求证: ;
(ii) 若 ，求 的值.
19.(17分)将 个不同的数 的任意一个排列 ，记为数列 .
(1) ，有 ，求 的所有元素之和；
(2)将正整数 n 拆分成若干个 2 的非负整数次幂(2^2^k^2=2、2^2^k……)之和，拆分所得的各项之间不考虑顺序，不同的拆分方式的数量记为 .例如:2 可以拆分为 (1 种方式)，也可以拆分为 (另 1 种方式),共 2 种拆分方式,故 ; 3 可以拆分为 (1 种方式),也可以拆分为 (另 1 种方式),共 2 种拆分方式,故 .
(i) 求 ;
(ii) 求证: .
2026 届高三最后一卷 数学
参考答案 提示及评分细则
一. 单项选择题:
1.答案: C.
2.答案: A.因为 ,即 可得 ,所以 ,选 A.
3. 答案: A.解: 因为 ,且向量 的夹角为 ,所以 , 得 则 ,解得 (负值舍).
4. 答案: B.解: 设等比数列的公比为 ,易知 ,由题意 及 ,解得 ,由 , 时, .
5. 答案: B.解: 由题意知 ,由 为等腰三角形,且 ,得 过 作 垂直 轴于 ,如图所示,
则在 中, ,故 ,
,所以 ,即 ,代入直线 的方程 , 得 ,即 ,所以所求的椭圆离心率为 .
6. 答案: B.解: 由题意可得 令 ,得 ,此时 所以 图象的对称中心是 ,答案为 B.
7.答案: D.
解: 取 中点 ,连接 , 为二面角 的平面角, 为等边三角形, 。设 的外心为 的外心为 中, 为等边三角形, , ,过 作平面 的垂线,过 作平面 的垂线,交点为球心 ,由二面角 计算得 ,所以表面积为 ,选 D.
8.答案: A.
解: 要证明 ,需证 。因为 ,得证 .
构造函数 。求导得 ,故 在 单调递增. 因此 ,即 。令 ,得 ,得证 b > c. 由 ,得 ,故 . 综上, ,答案 .
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9.答案:ACD.
解: 对于 ,因随机变量 ,则 ,由正态曲线的对称性可得 ,故 正确;
对于 ,由事件 相互独立可知 ,对于随机事件 ,都有 ,故仅当 互斥时,才有 , 故结论不成立, 即 B 错误;
对于 ,由题意, ,对于数据 ,其均值为 ,其方差为 ,故 C 正确;
对于 ,相关指数 越接近 1,值越大,残差平方和接近 0,值越小,则该回归模型的拟合效果越好,故 D 正确.
10.答案: BC.
解: 易知 错误;
, ; 令 ,则 ,所以 或者 ,
所以 ,选项 B 正确;
设 ,即 矛盾,选项 C 正确;
当 时, ,即 ,此时 ,选项 D 错误
11.答案: ABD.
解: A 显然正确;
对于 B，设 ， 过点 ，所以 ，同理， ，
,联立 , ,
,
,选项 B 正确;
对于 ,易知, ,故 错;
对于 ,又 ，所以 ，D 正确.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.答案: -3.
13. 答案: .
解析: 设第一次抛出的点数为 ,最终以数字 1 结束的概率记为 ,
故: ,得 .
14. 答案: 1 .
解析: ,知 .
由 ,知数列 单调递增
由 ,知 ,
得 ,所以
,
由数列 单调递增, ,得 ,得到 ,
则 的整数部分为 1 .
15. 解析:(1)由正弦定理得: . 所以由 可得:
,又由
则 ,得到 ,则 . -6 分
( 2 )由 ，得 ，得 . 而内切圆半径:
其中 时等号成立. -13 分
16.解析:
(1)取 中点 点，连接 ，由 为正三角形，得到 1
又侧面 EAD 垂直于底面 ABCD, AD = 平面 EAD ∩ 平同 ABCD
所以 平面 ,如图建立空间直角坐标系. -2 分
于是
所以
由 得到 平面 . -7 分
(2)利用 得到
在平面 中, ,设平面
的一个法向量为
则 得到:
不妨设 ,则 -10 分
又由平面 与平面 垂直, 平面 平面 ,
则 平面 ,则 为平面 的一个法向量,
所以 ,
所以平面 ADE 与平面 BCF 所成角的余弦值为 . -15 分
17. 解析:(1) 的定义域为 ， ， -2 分
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时,令 ,不妨记 ;
所以 在 上单调递增,在 上递减,在 上递增;
综上所述:
当 时, 在 上单调递增;
当 时, 在 上单调递增,在 上递减,在 上递增; -7 分
(2)设 有三个零点 ,而 .
当 且 时,由 ,得到: ;
故 ,又因为 ,故 满足
所以 ,即 在 有两个不同的实数根
所以 ,得到 .
所以 在 上单增,在 上单减,在 上单增; -10 分
取 ,所以 ,
由 设 ,所以 在 上递减,故 ,故 在 上递减.
故 ,故
而 ,
取 时, ,
故由根的存性定理可知,当 时,必存在三个不同实数, ,使得 . 故 . -15 分
18.答案: (1) -4 分
(2) (i) 设 ,则 的方程: ,
-9 分
(ii) 由 ,故 -12 分
因为
又因为 ,代入 ,求得 . -17 分
19.解析:
(1)解法一:当 时， ，
故所有项的和为 28 .
解法二: 共有 种情况,而 出现的次数均为 个,故所有项之和为
-4 分
( 2 )① 解法一:可直接拆分:
,
,
故
解法二: 可以用第②结论来求 . - - 34 -9 分
②先证明: ,
任意整均可拆分成 2 的非负整数次幂,而 2 的幂只有 1 为奇数,要得到奇数 ,必顺用奇数个 1,把任意拆分里的 1 个 1 去掉，便可得 么 的一个拆分，反过来 的任意一个拆分加个 1，便得到 的一个拆分,所以 . -12 分
再证: .
对 的拆分项进行分类,其两类:
1 类为至少含有两个 1 的拆分项, 2 类至多含 1 个 1 的拆分项,
第 1 类至少含有两个 1 的拆分项,将两个 1 去掉,与 2n-2 的拆分项是一一对应的,故这类拆分的数量为 . 2 类 2 类至多含 1 个 1 的拆分项,而总和为偶数,故 1 的个数只能是 0 个,于是 的拆分项,只需考查 n 的拆分即可,设 ,这里 都是 2 的幂的形式. 所以 )，两边同除 2 得到 的拆分，于是 的拆分项，与 的折分项是一一对应的.故此类拆分数为 . 综上可得: . -17 分

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