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2026年中考数学二轮复习：二次根式
一．选择题（共10小题）
1．下列二次根式中，化为最简二次根式后能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知n是正整数，是整数，则n的最小值是（　　）
A．0 B．1 C．3 D．27
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C．a3 （﹣a）2＝a4 D．（﹣a2）3＝a6
4．下列各式计算正确的是（　　）
A． B．﹣（x﹣1）＝﹣x+1
C．2x﹣x＝1 D．（x+1）2＝x2+1
5．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．计算等于（　　）
A．3 B．4 C．7 D．8
7．下列计算正确的是（　　）
A．a3 4a2＝4a6 B．
C．x2+x3＝2x6 D．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6
8．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C．（﹣a）3 a2＝a5 D．（﹣a3）2＝a6
9．使得式子有意义的x的取值范围是（　　）
A．，且x≠1 B．
C．，且x≠﹣1 D．，且x≠1
10．若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（　　）
A．3或﹣5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
二．填空题（共5小题）
11．已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|b﹣a|　 　 ．
12．计算的结果是　 　 ．
13．请写出一个使在实数范围内有意义的x的值：　 　 ．
14．计算：的结果为　 　 ．
15．如图，将矩形ABCD的长边AD增加，宽边AB增加，得到一个面积为147的正方形AEFG．则原矩形ABCD的面积是　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．如图，长方形ABCD内有两个相邻的大小不同的正方形，面积为13的正方形EFGH，面积为16的正方形MNCD，其中E点和F点都在边AB上，H点和G点都在边MN上．
（1）小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？与哪个整数比较接近？（直接写结果）
（2）求图中阴影部分的面积；
（3）若小正方形边长的整数部分为x，小数部分为y，求的值．
17．计算：
（1）24；
（2）．
18．若x，y是实数，且，求（6x）﹣（4y）的值．
19．小鹏在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值时，他是这样分析与解决的：
，
∴（a﹣2）2＝a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小鹏的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：；
（2）若，
①求3a2﹣12a+1的值；
②求2a3﹣10a2+6a+3的值．
20．观察下列等式，解答问题：
第1个等式：2；
第2个等式：3；
第3个等式：4；…
（1）请直接写出第6个等式　 　 （不用化简）；
（2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明；
（3）请利用（2）的结论计算：．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．下列二次根式中，化为最简二次根式后能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
同类二次根式；最简二次根式．
二次根式；运算能力．
【答案】D
根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．即可解答．
【解答】解：因为2，2，2，2，
所以化为最简二次根式后能与合并的是．
故选：D．
本题考查了同类二次根式和最简二次根式，解决本题的关键是掌握同类二次根式的定义．
2．已知n是正整数，是整数，则n的最小值是（　　）
A．0 B．1 C．3 D．27
二次根式的定义．
二次根式；运算能力．
【答案】C
先将化简，再根据结果为整数的条件确定n的最小值．
【解答】解：根据题意可知，3，
又∵是整数，n是正整数，
∴必须是整数，即3n为完全平方数，
∴n最小为3时，3n＝9是完全平方数，
∴n的最小值是3．
故选：C．
本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是关键．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C．a3 （﹣a）2＝a4 D．（﹣a2）3＝a6
二次根式的性质与化简；立方根；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
二次根式；推理能力．
【答案】B
分别根据二次根式的性质与化简，立方根的定义，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则逐一计算即可．
【解答】解；A、a，原计算错误，不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、a3 （﹣a）2＝a3 a2＝a3+2＝a5≠a4，原计算错误，不符合题意；
D、（﹣a2）3＝﹣a6≠a6，原计算错误，不符合题意．
故选：B．
本题考查的是二次根式的性质与化简，立方根的定义，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键．
4．下列各式计算正确的是（　　）
A． B．﹣（x﹣1）＝﹣x+1
C．2x﹣x＝1 D．（x+1）2＝x2+1
二次根式的性质与化简；整式的加减；完全平方公式．
二次根式；运算能力．
【答案】B
运用最基本的运算知识即可解决．
【解答】解：根据二次根式的性质、整式的加减运算法则、完全平方公式逐项分析判断如下：
A、，原计算错误，不符合题意；
B、﹣（x﹣1）＝﹣x+1，原计算正确，符合题意；
C、2x﹣x＝x，原计算错误，不符合题意；
D、（x+1）2＝x2+2x+1．原计算错误，不符合题意；
故选：B．
本题考查了二次根式的性质、整式的加减运算法则、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是关键．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二次根式的混合运算．
计算题．
【答案】D
根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的性质对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝2，所以B选项错误；
C、原式＝2，所以C选项错误；
D、原式2，所以D选项正确．
故选：D．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
6．计算等于（　　）
A．3 B．4 C．7 D．8
二次根式的混合运算；平方差公式．
二次根式；运算能力．
【答案】C
利用平方差公式进行计算即可．
【解答】解：原式
＝10﹣3
＝7．
故选：C．
本题考查的是二次根式的混合运算，平方差公式，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
7．下列计算正确的是（　　）
A．a3 4a2＝4a6 B．
C．x2+x3＝2x6 D．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6
二次根式的乘除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．
二次根式；运算能力．
【答案】D
根据二次根式的乘除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式的运算法则进行判断．
【解答】解：A、a3 4a2＝4a3+2＝4a5≠4a6，选项计算错误，不符合题意；
B、，而、无意义，选项计算错误，不符合题意；
C、x2与x3不是同类项，不能合并，选项计算错误，不符合题意；
D、（﹣2ab2）3＝（﹣2）3a3 （b2）3＝﹣8a3b6，选项计算正确，符合题意．
故选：D．
本题考查了二次根式的乘除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，掌握相应的运算法则是关键．
8．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C．（﹣a）3 a2＝a5 D．（﹣a3）2＝a6
二次根式的性质与化简；立方根；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
二次根式；运算能力．
【答案】D
根据二次根式有意义的条件，立方根的性质，幂的运算法则，逐个计算各选项，即可判断正误．
【解答】解：A、∵a2≥0，且二次根式中被开方数非负，﹣a2≥0，
∴a2＝0，
∴a＝0，
结论仅当a＝0成立，对任意非零a不成立，选项计算错误，不符合题意；
B、（a≠0时），选项计算错误，不符合题意；
C、（﹣a）3 a2＝﹣a3 a2＝﹣a3+2＝﹣a5≠a5，选项计算错误，不符合题意；
D、（﹣a3）2＝（﹣1）2 （a3）2＝1 a3×2＝a6，选项计算正确，符合题意．
故选：D．
本题考查了二次根式的性质与化简，立方根，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握相应的运算法则是关键．
9．使得式子有意义的x的取值范围是（　　）
A．，且x≠1 B．
C．，且x≠﹣1 D．，且x≠1
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
二次根式；运算能力．
【答案】D
要使含二次根式的分式有意义，需同时满足两个条件：二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，列出不等式组求解即可得到x的取值范围．
【解答】解：根据题意可知，，
解不等式2x+1≥0，移项得2x≥﹣1，系数化为1得，
解不等式x﹣1≠0，得x≠1，
∴x的取值范围是，且x≠1．
故选：D．
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是关键．
10．若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（　　）
A．3或﹣5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
同类二次根式；最简二次根式．
计算题；运算能力．
【答案】B
因为最简二次根式与是同类二次根式，所以它们的被开方数相等，即：a2+3a＝a+15，因式分解，求出a即可．
【解答】解：因为最简二次根式与是同类二次根式，
所以a2+3a＝a+15，
即a2+2a﹣15＝0，
即（a﹣3）（a+5）＝0，
所以a﹣3＝0或a+5＝0，
得：a＝3或a＝﹣5．
当a＝3时，不是最简二次根式，故舍去．
故选：B．
本题考查了同类二次根式、最简二次根式，解决本题的关键正确理解最简二次根式．
二．填空题（共5小题）
11．已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|b﹣a|　2b﹣2a ．
二次根式的性质与化简；实数与数轴．
二次根式；运算能力．
【答案】2b﹣2a．
先由图得a＜0＜b，则b﹣a＞0，a﹣b＜0，再根据绝对值和算术平方根的性质化简即可求解．
【解答】解：根据题意可知，a＜0＜b，
∴b﹣a＞0，a﹣b＜0，
∴原式＝b﹣a+b﹣a＝2b﹣2a．
故答案为：2b﹣2a．
本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握二次根式的性质与化简的方法是关键．
12．计算的结果是　　 ．
二次根式的混合运算；分母有理化．
二次根式；运算能力．
【答案】．
利用二次根式的乘除法则计算即可．
【解答】解：原式＝2
，
故答案为：．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
13．请写出一个使在实数范围内有意义的x的值：　1（答案不唯一）　 ．
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
二次根式；运算能力．
【答案】1（答案不唯一）．
二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数是非负的；分式有意义的条件：分式的分母不能为0，据此解答即可．
【解答】解：根据题意可知，x≥0且x﹣2≠0，
即x≥0且x≠2，
∴写出一个使在实数范围内有意义的x的值是1（答案不唯一）．
故答案为：1（答案不唯一）．
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是关键．
14．计算：的结果为　　 ．
二次根式的混合运算．
二次根式；运算能力．
【答案】．
将原式变形为，再利用平方差公式计算即可．
【解答】解：
．
故答案为：2．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
15．如图，将矩形ABCD的长边AD增加，宽边AB增加，得到一个面积为147的正方形AEFG．则原矩形ABCD的面积是　18　 ．
二次根式的应用．
二次根式；运算能力；应用意识．
【答案】18．
求出正方形AEFG的边长为7，再求出AD、AB的长，即可解决问题．
【解答】解：由题意可知，正方形AEFG的边长为7，
∴AD＝76，AB＝76，
∴原矩形ABCD的面积＝AD AB＝618，
故答案为：18．
本题主要考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．如图，长方形ABCD内有两个相邻的大小不同的正方形，面积为13的正方形EFGH，面积为16的正方形MNCD，其中E点和F点都在边AB上，H点和G点都在边MN上．
（1）小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？与哪个整数比较接近？（直接写结果）
（2）求图中阴影部分的面积；
（3）若小正方形边长的整数部分为x，小数部分为y，求的值．
二次根式的化简求值；估算无理数的大小．
二次根式；运算能力．
【答案】（1）小正方形的边长在整数3与4之间，与整数4比较接近；
（2）413；
（3）﹣27．
（1）利用9＜13＜16得到34，从而可判断小正方形的边长在哪两个连续的整数之间，与哪个整数比较接近；
（2）先确定正方形MNCD的边长为4，然后利用图中阴影部分的面积＝S矩形ABNM﹣S正方形EFGH进行计算；
（3）先利用34得到x＝3，y3，然后把它们分别代入所求的代数式值进行乘方运算即可．
【解答】解：（1）∵正方形EFGH的面积为13，
∴正方形EFGH的边长，
∵9＜13＜16，
∴34，
∴小正方形的边长在整数3与4之间，与整数4比较接近；
（2）∵正方形MNCD的面积为16，
∴正方形MNCD的边长为4，
∴图中阴影部分的面积＝S矩形ABNM﹣S正方形EFGH＝413；
（3）∵34，
∴小正方形边长的整数部分为3，小数部分为3，
即x＝3，y3，
∴（3）3＝（﹣3）3＝﹣27．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了无理数的估算．
17．计算：
（1）24；
（2）．
二次根式的混合运算；平方差公式；分母有理化．
二次根式；运算能力．
【答案】（1）3；
（2）6．
（1）利用二次根式的乘除法则计算后再算加减即可；
（2）利用二次根式的乘除法则，平方差公式计算后再算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝24
3；
（2）原式2﹣3
＝3+4+2﹣3
＝6．
本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．若x，y是实数，且，求（6x）﹣（4y）的值．
二次根式的化简求值；二次根式有意义的条件．
二次根式；运算能力．
【答案】﹣2．
根据二次根式有意义的条件求得x，y的值，然后将原式化简后代入数值计算即可．
【解答】解：若x，y是实数，且，
∵6x﹣1≥0，1﹣6x≥0，
∴6x﹣1＝0，
解得：x，
则y＝0+0+48＝48，
原式＝（6x）﹣（4y）
＝6346
＝﹣2．
本题考查二次根式的化简求值，二次根式有意义的条件，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
19．小鹏在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值时，他是这样分析与解决的：
，
∴（a﹣2）2＝a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小鹏的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：；
（2）若，
①求3a2﹣12a+1的值；
②求2a3﹣10a2+6a+3的值．
二次根式的化简求值；平方差公式；分母有理化．
二次根式；运算能力．
【答案】（1）1；
（2）①4；
②1．
（1）先分母有理化，再算加减法即可；
（2）①仿照例题解答即可；
②将所求式子变形，再计算即可．
【解答】解：（1）
1
1；
（2）①∵a2，
∴（a﹣2）2＝a2﹣4a+4＝5，
∴a2﹣4a＝1，
∴3a2﹣12a+1＝3（a2﹣4a）+1＝3×1+1＝4；
②由①知，a2﹣4a＝1，
∴2a3﹣10a2+6a+3
＝2a（a2﹣4a）﹣2（a2﹣4a）﹣2a+3
＝2a×1﹣2×1﹣2a+3
＝2a﹣2﹣2a+3
＝1．
本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．观察下列等式，解答问题：
第1个等式：2；
第2个等式：3；
第3个等式：4；…
（1）请直接写出第6个等式　　 （不用化简）；
（2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明；
（3）请利用（2）的结论计算：．
二次根式的混合运算；规律型：数字的变化类．
二次根式；运算能力．
【答案】（1）；
（2）第n个等式：，
证明：∵n为正整数，
∴
，
∴；
（3）2026．
（1）观察已知条件中的等式，找出等式中数字的变化规律，写出答案即可；
（2）根据（1）中发现的规律，用含n的式子表示第n个等式，然后通过对左边进行化简证明等式成立即可；
（3）利用（2）中得出的规律对所求式子进行化简，然后计算即可．
【解答】解：（1）∵第1个等式：2；
第2个等式：3；
第3个等式：4；
第4个等式：；
第5个等式：；
第6个等式：；
故答案为：；
（2）∵第1个等式：2；
第2个等式：3；
第3个等式：4；
…，
∴第n个等式：，
证明：∵n为正整数，
∴
，
∴；
（3）
＝1011+1015
＝2026．
本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是根据已知等式，找出等式中数字的变化规律．

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