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2026年中考数学二轮复习：因式分解
一．选择题（共10小题）
1．在括号内填一个单项式，使多项式4x2﹣y2+x+（　　）化简后能分解因式，在单项式①﹣x；②y2；③﹣4x2中，符合要求的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．a2﹣16b2＝（a+4b）（a﹣4b）
B．m（mn﹣1）＝m2n﹣m
C．y2﹣2y﹣1＝y（y﹣2）
D．﹣12x3y＝﹣3x2 4y
3．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+1）+1
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）
4．把多项式2m2+8mn分解因式，应提取的公因式是（　　）
A．2 B．m C．2m D．2n
5．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x﹣b），则a+b的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
6．下列多项式，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．x2+xy+y2 B．x2﹣1 C．x2﹣2x D．x2+1
7．如果a﹣b＝2，ab＝3，那么a2b﹣ab2的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．5 D．6
8．若a，b，c满足，则分解因式ax2+bx+c等于（　　）
A．（x+2）（x﹣1） B．（ax﹣2）（x+1）
C．a（x﹣2）（x+1） D．（x﹣2）（x+1）
9．把多项式6a3b2﹣3a2b2﹣12a2b3因式分解时，应提取的公因式是（　　）
A．3a2b B．3ab2 C．3a3b3 D．3a2b2
10．若将多项式2x2+mx﹣12因式分解得（x+4）（2x+n），则mn的值为（　　）
A．12 B．﹣12 C．15 D．﹣15
二．填空题（共5小题）
11．已知a﹣b＝4，，求a2b﹣ab2＝　 　 ．
12．在实数范围内分解因式：a4﹣9＝　 　 ．
13．分解因式：4x3y﹣4xy＝　 　 ．
14．分解因式2m4﹣4m2+2＝　 　 ．
15．若多项式4+mx+x2可以用完全平方公式进行因式分解，那么m＝　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．按要求完成：
（1）将3x2+12xy+12y2因式分解；
（2）当时，求3x2+12xy+12y2的值．
17．因式分解：
（1）2x2﹣12x+18．
（2）a2（x﹣y）﹣16b2（x﹣y）．
18．我们已经学习了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．请利用完全平方公式，解答下列问题．
（1）计算：992＝　 　 ．
（2）若x满足x2﹣3x+1＝0（x≠0），求代数式的值．
（3）如图，正方体的每一个面上都有一个正整数，且相对的两个面上两数之和都相等，标有数13，9，3的面的对面的数分别为a，b，c．求代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值．
19．因为x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），这说明多项式x2+2x﹣3有一个因式为x﹣1，我们把x＝1代入此多项式发现x＝1能使多项式x2+2x﹣3的值为0．利用上述阅读材料求解：
（1）若x﹣4是多项式x2+kx+8的一个因式，求k的值；
（2）若（x+2）和（x﹣3）是多项式x3+mx2﹣6x+n的两个因式，试求m，n的值．
20．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式求最值与因式分解，例如．
∵（x+2）2≥0，∴当（x+2）2＝0时，原式有最小值，最小值为﹣9．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）利用配方法分解因式：x2+2x﹣8；
（2）求多项式x2+4x﹣2022的最小值；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．
2026年中考数学二轮复习：因式分解
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．在括号内填一个单项式，使多项式4x2﹣y2+x+（　　）化简后能分解因式，在单项式①﹣x；②y2；③﹣4x2中，符合要求的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
因式分解的意义；单项式．
整式；运算能力．
【答案】C
分别将三个单项式代入原多项式，化简后用初中因式分解方法判断是否能分解，统计符合要求的个数即可．
【解答】解：①、4x2﹣y2+x+（﹣x）＝4x2﹣y2＝（2x﹣y）（2x+y），能进行因式分解，符合题意；
②、4x2﹣y2+x+y2＝4x2+x＝x（4x+1），能进行因式分解，符合题意；
③、4x2﹣y2+x+（﹣4x2）＝﹣y2+x，不能进行因式分解，不符合题意．
故选：C．
本题考查了因式分解的意义，单项式，掌握相应的定义是关键．
2．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．a2﹣16b2＝（a+4b）（a﹣4b）
B．m（mn﹣1）＝m2n﹣m
C．y2﹣2y﹣1＝y（y﹣2）
D．﹣12x3y＝﹣3x2 4y
因式分解的意义．
整式；运算能力．
【答案】A
根据因式分解的定义，即把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，逐一判断选项即可得到答案．
【解答】解：根据因式分解定义逐项分析判断如下：
选项B是整式的乘法运算，不是因式分解，不符合要求；
选项C，右边展开为y2﹣2y，与左边y2﹣2y﹣1 不相等，不符合要求；
选项D，左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解的定义，不符合要求；
选项A，左边是多项式a2﹣16b2，右边是两个整式的乘积，且左右两边相等，符合因式分解的定义．
故选：A．
本题考查了因式分解的定义，熟练掌握该知识点是关键．
3．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+1）+1
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）
因式分解的意义．
整式；运算能力．
【答案】D
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
【解答】解：A．是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意；
B．右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意；
C．是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意；
D．符合因式分解的定义，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
本题考查了因式分解的意义，关键是熟练掌握定义，区别开整式的乘除运算．
4．把多项式2m2+8mn分解因式，应提取的公因式是（　　）
A．2 B．m C．2m D．2n
因式分解﹣提公因式法．
整式；运算能力．
【答案】C
确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂，据此找到答案即可．
【解答】解：根据确定公因式的方法可知：
系数2和8的最大公因数为2，变量m2和mn都含有m，
∴公因式为2m．
故选：C．
本题考查了提取公因式法因式分解，熟练掌握该知识点是关键．
5．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x﹣b），则a+b的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
因式分解﹣十字相乘法等．
整式；运算能力．
【答案】B
根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把（x﹣2）（x﹣b）利用多项式乘法法则展开即可求解．
【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣b）＝x2﹣bx﹣2x+2b＝x2﹣（b+2）x+2b＝x2﹣ax﹣1，
∴b+2＝a，2b＝﹣1，
∴b＝﹣0.5，a＝1.5，
∴a+b＝1．
故选：B．
本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．
6．下列多项式，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．x2+xy+y2 B．x2﹣1 C．x2﹣2x D．x2+1
因式分解﹣运用公式法．
因式分解；运算能力．
【答案】B
根据平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）分解因式即可．
【解答】解：A、x2+xy+y2，三项，不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
B、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），能用平方差公式分解因式，故此选项符合题意；
C、x2﹣2x＝x（x﹣2），不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
D、x2+1不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
故选：B．
本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
7．如果a﹣b＝2，ab＝3，那么a2b﹣ab2的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．5 D．6
因式分解的应用．
因式分解；应用意识．
【答案】D
运用提公因式法分解因式，然后将a﹣b＝2，ab＝3代入计算即可．
【解答】解：因为a﹣b＝2，ab＝3，
所以a2b﹣ab2的
＝ab（a﹣b）
＝3×2
＝6．
答：a2b﹣ab2的值是6．
故选：D．
本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用提公因式法分解因式．
8．若a，b，c满足，则分解因式ax2+bx+c等于（　　）
A．（x+2）（x﹣1） B．（ax﹣2）（x+1）
C．a（x﹣2）（x+1） D．（x﹣2）（x+1）
因式分解﹣十字相乘法等．
计算题；运算能力．
【答案】C
解方程组求b、c：通过方程组，消去c得b＝﹣a，代入得c＝﹣2a，代入因式分解：将b＝﹣a、c＝﹣2a代入ax2+bx+c，得ax2﹣ax﹣2a，提取公因式a后分解二次式，结果为a（x﹣2）（x+1）．
【解答】解：方程组，
用①式减去②式消去c：（4a+2b+c）﹣（a﹣b+c）＝0，
3a+3b＝0，
化简得b＝﹣a，
将b＝﹣a代入②式：a﹣（﹣a）+c＝0，即2a+c＝0，解得c＝﹣2a，
将b＝﹣a，c＝﹣2a代入ax2+bx+c，得：
ax2+bx+c
＝ax2﹣ax﹣2a
＝a（x2﹣x﹣2）
＝a（x﹣2）（x+1）．
故选：C．
本题考查了因式分解，解决本题的关键是通过解方程组得到b、c与a的关系，代入二次三项式后提取公因式并分解二次式．
9．把多项式6a3b2﹣3a2b2﹣12a2b3因式分解时，应提取的公因式是（　　）
A．3a2b B．3ab2 C．3a3b3 D．3a2b2
因式分解﹣提公因式法．
整式；运算能力．
【答案】D
根据题意，公因式应该是3a2b2，解答即可．
【解答】解：∵6a3b2﹣3a2b2﹣12a2b3＝3a2b2（2a﹣1﹣4b），
∴多项式6a3b2﹣3a2b2﹣12a2b3因式分解时，应提取的公因式是3a2b2．
故选：D．
本题主要考查了因式分解，熟知利用提公因式法因式分解是解题的关键．
10．若将多项式2x2+mx﹣12因式分解得（x+4）（2x+n），则mn的值为（　　）
A．12 B．﹣12 C．15 D．﹣15
因式分解﹣十字相乘法等．
整式；运算能力．
【答案】D
先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出m和n的值，再计算mn．
【解答】解：原式＝2x2+nx+8x+4n＝2x2+（n+8）x+4n，
∵2x2+mx﹣12＝2x2+（n+8）x+4n，
∴，解得，
∴mn＝5×（﹣3）＝﹣15．
故选：D．
本题考查了因式分解，熟练掌握该知识点是关键．
二．填空题（共5小题）
11．已知a﹣b＝4，，求a2b﹣ab2＝　﹣16　 ．
因式分解的应用；分式的化简求值．
整式；运算能力．
【答案】﹣16．
根据分式的化简后再代入求值即可．
【解答】解：由条件可知即ab＝b﹣a，
∵a﹣b＝4，
∴ab＝﹣4，
∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝﹣4×4＝﹣16，
故答案为：﹣16．
本题考查了因式分解的应用，熟练掌握该知识点是关键．
12．在实数范围内分解因式：a4﹣9＝　（a2+3）（a）（a）　 ．
实数范围内分解因式．
计算题；整式；运算能力．
【答案】（a2+3）（a）（a）．
利用平方差公式分解．
【解答】解：a4﹣9
＝（a2+3）（a2﹣3）
＝（a2+3）（a）（a）．
故答案为：
本题考查了整式的因式分解，掌握平方差公式是解决本题的关键．
13．分解因式：4x3y﹣4xy＝　4xy（x+1）（x﹣1）　 ．
提公因式法与公式法的综合运用．
整式；运算能力．
【答案】4xy（x+1）（x﹣1）．
先提取公因式，再利用平方差公式进行分解．
【解答】解：先提取公因式，再利用平方差公式得，原式＝4xy（x2﹣1）＝4xy（x+1）（x﹣1），
故答案为：4xy（x+1）（x﹣1）．
本题考查的是因式分解，熟练掌握因式分解的提公因式法和公式法是解题的关键．
14．分解因式2m4﹣4m2+2＝　2（m+1）2（m﹣1）2 ．
提公因式法与公式法的综合运用．
因式分解；运算能力．
【答案】2（m+1）2（m﹣1）2．
先提公因式，再利用完全平方公式、平方差公式分解因式即可．
【解答】解：2m4﹣4m2+2
＝2（m4﹣2m2+1）
＝2（m2﹣1）2
＝2（m+1）2（m﹣1）2，
故答案为：2（m+1）2（m﹣1）2．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．
15．若多项式4+mx+x2可以用完全平方公式进行因式分解，那么m＝　±4　 ．
因式分解﹣运用公式法．
因式分解；运算能力．
【答案】±4．
根据完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：4+mx+x2＝（2±x）2＝4±4x+x2，
所以m＝±4，
故答案为：±4．
本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．按要求完成：
（1）将3x2+12xy+12y2因式分解；
（2）当时，求3x2+12xy+12y2的值．
提公因式法与公式法的综合运用．
整式；运算能力．
【答案】（1）3（x+2y）2；
（2）12．
（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（2）利用（1）的结论进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）3x2+12xy+12y2
＝3（x2+4xy+4y2）
＝3（x+2y）2；
（2）当时，
3x2+12xy+12y2
＝3（x+2y）2
＝3×[5+2×（）]2
＝3×22
＝3×4
＝12．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．因式分解：
（1）2x2﹣12x+18．
（2）a2（x﹣y）﹣16b2（x﹣y）．
提公因式法与公式法的综合运用．
因式分解；运算能力．
【答案】（1）2（x﹣3）2；
（2）（x﹣y）（a﹣4b）（a+4b）．
（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）2x2﹣12x+18
＝2（x2﹣6x+9）
＝2（x﹣3）2；
（2）a2（x﹣y）﹣16b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣16b2）
＝（x﹣y）（a﹣4b）（a+4b）．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．
18．我们已经学习了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．请利用完全平方公式，解答下列问题．
（1）计算：992＝　9801　 ．
（2）若x满足x2﹣3x+1＝0（x≠0），求代数式的值．
（3）如图，正方体的每一个面上都有一个正整数，且相对的两个面上两数之和都相等，标有数13，9，3的面的对面的数分别为a，b，c．求代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值．
因式分解的应用；分式的加减法；专题：正方体相对两个面上的文字．
计算题；运算能力．
【答案】（1）9801；
（2）7；
（3）76．
（1）将99写成100﹣1，利用完全平方公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2计算；
（2）方程x2﹣3x+1＝0两边除以x，得；利用，变形得，代入计算；
（3）由正方体相对面和相等，得13+a＝9+b＝3+c，设和为k，表示出a＝k﹣13，b＝k﹣9，c＝k﹣3；计算a﹣b＝﹣4，b﹣c＝﹣6，a﹣c＝﹣10；利用公式，代入计算．
【解答】解：（1）992
＝（100﹣1）2
＝1002﹣2×100×1+12
＝10000﹣200+1
＝9801；
（2）因为x2﹣3x+1＝0（x≠0），
（x2﹣3x+1）÷x＝0÷x，
即x﹣30，
所以，
所以，
所以，
所以；
（3）因为数13，9，3的面的对面的数分别为a，b，c，
且相对的两个面上两数之和都相等，
所以a+13＝b+9＝c+3，
所以a﹣b＝﹣4，b﹣c＝﹣6，c﹣a＝10，
所以a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca
＝76．
本题考查了因式分解的应用、分式的加减法、专题：正方体相对两个面上的文字，解决本题的关键是熟练运用安全平方公式．
19．因为x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），这说明多项式x2+2x﹣3有一个因式为x﹣1，我们把x＝1代入此多项式发现x＝1能使多项式x2+2x﹣3的值为0．利用上述阅读材料求解：
（1）若x﹣4是多项式x2+kx+8的一个因式，求k的值；
（2）若（x+2）和（x﹣3）是多项式x3+mx2﹣6x+n的两个因式，试求m，n的值．
因式分解的应用．
整式；运算能力．
【答案】（1）k＝﹣6；
（2）．
（1）由题意易得x＝4时，x2+kx+8＝0，将其代入解得k的值即可；
（2）由题意易得x＝﹣2或x＝3时，x3+mx2﹣6x+n＝0，将其代入得到方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）由题意，当x＝4时，x2+kx+8＝0，
则16+4k+8＝0，
解得：k＝﹣6；
（2）由题意，当x＝﹣2或x＝3时，x3+mx2﹣6x+n＝0，
则，
解得：．
本题考查因式分解的应用，理解题意并列得正确的方程或方程组是解题的关键．
20．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式求最值与因式分解，例如．
∵（x+2）2≥0，∴当（x+2）2＝0时，原式有最小值，最小值为﹣9．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）利用配方法分解因式：x2+2x﹣8；
（2）求多项式x2+4x﹣2022的最小值；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．
因式分解的应用；非负数的性质：偶次方．
因式分解；应用意识．
【答案】（1）（x+4）（x﹣2）；
（2）﹣2026；
（3）12．
（1）配方法分解因式，将原式凑成完全平方差形式：x2+2x﹣8＝（x2+2x+1）﹣9＝（x+1）2﹣32，再用平方差公式分解为（x+4）（x﹣2）．
（2）求多项式最小值，通过配方转化为平方加常数：x2+4x﹣2022＝（x2+4x+4）﹣2026＝（x+2）2﹣2026，利用平方非负性，得最小值为﹣2026；
（3）求三角形周长移项后配方：a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0，即（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，由非负性得a＝3、b＝4、c＝5，周长为3+4+5＝12．
【解答】解：（1）x2+2x﹣8
＝x2+2x+1﹣9
＝（x+1）2﹣9
＝（x+1+3）（x+1﹣3）
＝（x+4）（x﹣2）；
（2）x2+4x﹣2022
＝（x2+4x+4）﹣2026
＝（x+2）2﹣2026，
因为（x+2）2≥0，
所以（x+2）2﹣2026≥﹣2026，
当x＝﹣2时，多项式取得最小值﹣2026．
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，
即a2+b2+c2+50﹣6a﹣8b﹣10c＝0，
即（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
因为平方数具有非负性，
所以a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，
解得a＝3，b＝4，c＝5，
△ABC的周长为3+4+5＝12．
本题考查因式分解法的应用、非负数的性质，解决本题的关键是熟练应用因式分解、求多项式最小值及利用非负性的知识求三角形边长．

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