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北京市某重点校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
2.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（ ）
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
5.函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A.
B. 点是函数的图象的对称中心
C. 函数在区间上是增函数
D. 将函数的图象向右个单位后所得的函数为偶函数，则的最小值为
7.已知非零向量，满足，，且对，恒成立，则（ ）
A. 2 B. C. 3 D. 0
8.DeepSeek是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：，）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
9.函数的部分图象如图所示，直线经过函数图象的最高点和最低点，则的值是（ ）
A. B. C. D.
10.已知点为三角形所在平面内一点，满足，（其中）以下说法错误的是（ ）
A. 若直线过边的中点，则
B. 当时，与的面积之比为
C. 若，且，则
D. 若，且，，则，满足
二、填空题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
11.已知向量，，若，则的值为 ；若，则的值为 ．
12.已知向量，，且与夹角为钝角，则的取值范围为 ．
13.已知α，β∈[0，2π]，且cosα=cosβ，sinα≠sinβ，写出满足条件的一组α，β的值α= ，β= .
14.窗花是中国传统民间工艺，承载着吉祥寓意与文化内涵.图1为一张手工制作的扇环形窗花，可视为图2扇形截去扇形所剩余部分.已知，，.则此扇环形窗花的面积为 .
15.已知函数，定义域为 ，的单调增区间为 ．
16.已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是 .
17.设函数f（x）=sin（ωx+）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是 ．
18.已知函数，过点，直线为其中一条对称轴，且在上单调，则ω的最大值为 .
19.设，．若对任意，存在使得函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是 ．
20.如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处．转轮的半径为10米，转轮的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟．当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟时距离地面的竖直高度为米．给出下列四个结论：①；②的最大值是35；③在竖直方向上的速度低于40米/分；④存在，使得时，到的距离等于15米．其中所有正确结论的序号为 ．
三、解答题：本题共6小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点．
(1)求
(2)求的值．
(3)若，求的值．
22.(本小题8分)
以下茎叶图记录了甲、乙两组同学中每位同学的植树棵数，其中乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用a表示．
(1)如果甲组同学植树棵数的平均数大于乙组同学植树棵数的平均数，求图中a的所有可能取值；
(2)如果，现分别从甲、乙两组中各随机抽取一名同学，求这两名同学的植树总棵数不小于20的概率；
(3)记上图中甲组同学的植树棵数的方差为．变化一：把图中甲组中每一个数据都变为原来的2倍，记得到的这组新的数据方差为，变化二：把图中甲组中每一个数据都增加2，记得到的这组新的数据方差为，试比较，，的大小．（结论不要求证明）
（注：，）
23.(本小题8分)
已知函数是奇函数．
(1)求实数的值；
(2)设，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由．
24.(本小题8分)
条件①对任意的，都满足；条件②最小正周期为；条件③在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答．已知（，），若________，则，唯一确定．
(1)求的解析式；
(2)设函数，，
①求函数的值域；
②若存在，关于的不等式成立，求实数的取值范围．
25.(本小题9分)
已知函数，定义域为．
(1)已知方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．函数，，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．
26.(本小题9分)
记表示有穷集合的元素个数．已知是正整数，集合．若集合序列满足下列三个性质，则称是“平衡序列”：
①，其中；
② ，其中；
③对于中的任意两个不同元素，都存在唯一的，使得．
(1)设，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明）
(2)已知且集合序列是“平衡序列”，对于，定义：证明：
（i）当时，；
（ii）．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】1 ；
12.【答案】
13.【答案】
（答案不唯一）

14.【答案】
15.【答案】 ； ； ； ； ； ；
16.【答案】[0，1]
17.【答案】（，]
18.【答案】5
19.【答案】
20.【答案】①③
21.【答案】解：（1）已知角的终边过定点，所以,
.
（2）角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点，则，
所以．
所以
（3）因为，
所以
所以．

22.【答案】解：（1）依题意有，解得，
又，所以a的所有可能取值构成的集合为.
（2）记甲组四名同学分别为，他们植树的棵数依次为，
乙组五名同学分别为，他们植树的棵数依次为，
分别从甲、乙两组中各随机抽取一名同学，所有可能的结果有20个，
即
，
用事件C表示“选出的两名同学的植树总棵数不小于20”，则事件C中的结果有10个，
它们是，
故所求概率.
（3）甲组同学的植树棵数的方差为，
把甲组中每一个数据都变为原来的2倍，则这组新的数据方差，
把甲组中每一个数据都增加2，这组新的数据方差，
所以.

23.【答案】解：（1）因为，可得，即，解得；
当时，，，
故是奇函数，满足题意，
故.
（2）当，可得，则，
因为在区间为单调递增函数，
所以函数在区间为单调递增函数，
，则在上恒成立，
又因为函数和在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
因为，
，
所以，根据零点的存在性定理，
可得在区间上有一个零点，
因为函数在上单调递增，
所以函数在上有一个零点.

24.【答案】解：（1）（1）若选择①②：
由条件②函数最小正周期为，得，所以.
所以.
由条件①对任意的，都在，
得函数的图象关于对称.
即，.
由，所以或.
即不能唯一确定，不合题意；
若选①③：
由条件①对任意的，都在，
得函数的图象关于对称.
由条件③在上为增函数，在处取得最大值，
且，即.
此时不能唯一确定，不合题意；
若选②③，由条件②函数最小正周期为，得，所以.
所以.
由条件③在上为增函数，且，
得函数在处取得最大值，且在处取得最小值，
所以.
由，得，唯一确定.
此时，.
（2）①由（1）得．
由，得．
令，则．
因为在上单调递增，在上单调递减，
且，
所以，即，
所以，即函数的值域为．
②因为存在，
所以由关于的不等式成立，
得到．
令，得，
由解析式可知：在上是增函数，
所以的最小值在处取得最小值，即最小值为，
所以的取值范围是．

25.【答案】解：（1）由
，
由，即，则，
令，，则，
则，在上有两个不同的实数解，即与有两个不同的交点；如图
由，解得，即实数a的取值范围；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度
得
函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
得
当，则，可得，
从而；
当，则，可得，
从而，
当，，
当，，
由对任意的，总存在，使得成立，
则或
解得或，
实数m的取值范围为．

26.【答案】（1）是平衡的，不是平衡的．
理由：，
，，满足，
显然 ，且对于中的任意两个不同元素，，
都存在唯一的，使得．
故是平衡的，
，
并不是的子集，故不是平衡的．
（2）（i）当时，对于中的每个元素，考虑．
由③知存在唯一的，满足，则．
将每一个对应到，
若，就有，否则且与③矛盾．
所以．
（ii）对中所有元素的总个数算两次（重复出现的计多次），
一方面总个数就是，
另一方面，按照每个元素出现的次数计算，这个总个数也是，
所以．（＊）
不妨设中最小的（之一）为，
且，由②③知．
再不妨设．
由（i）的证明方法可证：当时，，
由③知，
所以，
又因为，所以都不大于，
全部相加得，
由的最小性知，
结合（＊）可得
，
所以．

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