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四川泸州市泸县普通高中共同体2025-2026学年高一下学期期中素养评价数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. 3 B. C. D.
3.下列是奇函数，且在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
4.设为实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
6.将函数的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
7.在边长为3的等边三角形中，点E为上靠近点B的三等分点，则（ ）
A. B. C. D. 3
8.如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则 （ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数（为虚数单位），则（ ）
A. 的虚部为2 B. C. D.
10.已知平面直角坐标系中三个点，，，则（ ）
A.
B. 在上的投影向量为
C. 是锐角三角形
D. 以A，B，C为顶点的所有平行四边形的面积均为8
11.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. .
13.已知函数（，，）的部分图象如图所示，则
14.已知线段AB=4,O为平面上动点,若对mR,|+m|3恒成立则当取最小值时,AOB=
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量，，满足，，且与的夹角为．
(1)求及；
(2)若，求实数的值．
16.(本小题15分)
在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.
(1)求角B；
(2)若，，求边c和的面积.
17.(本小题15分)
已知函数．
(1)求函数的最小正周期与单调递增区间；
(2)若方程在上的解为，，求．
18.(本小题17分)
在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，点D在边上，且，
(1)若，，求；
(2)若，求；
(3)求的取值范围．
19.(本小题17分)
利普希茨连续条件（Lipschitz continuity）是一个关于函数光滑性的重要概念，该条件以德国数学家鲁道夫 利普希茨的名字命名．若函数的定义域为，且，若存在常数，使得内任意，都有，则称在区间上是“－利普希茨条件函数”．
(1)判断函数在上是否为“2－利普希茨条件函数”，并说明理由；
(2)若函数在上是“－利普希茨条件函数”，求的最小值；
(3)已知任意恒成立．证明：函数是“2026－利普希茨条件函数”．
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】ACD
10.【答案】AD
11.【答案】ABD
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由题意得，
所以，
所以．
（2）法一：若，则，
所以，
即，解得．
法二：如图：，，，则，
则以，为邻边的平行四边形为菱形，即，
又，，
则，
又，则，即.

16.【答案】解：（1）已知 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
化简可得 .
又 ，故
（2） ，
由正弦定理 ，
代入 ， ， ：
所以 .
因为 ，
所以 .

17.【答案】解：（1）由
，
则函数的最小正周期为．
令，解得，
所以函数的单调递增区间为
（2）法一：令，即，
令，则由，得．
因为有两解，则这两解与关于对称，所以，
即，则，所以，
则．
法二：同法一可得，则，
即
．

18.【答案】解：（1）法一：，
则
．
法二：过点D作的平行线交于点H，
在中，，，
由余弦定理：
法三：在中，由余弦定理：
又，则，
则.
法四：因为，则平分角C，
由，
即.
（2）法一：因为，则与相似，
则，即，所以，
则，，则．
法二：设，因为，则
在中，由正弦定理知①
在中，由正弦定理知②
，，则有
又，．
（3），平方得．
即，又
令，则，.
法一：
令，则，
，
．
的取值范围为
法二：令，则方程有正根．
，
①若，方程没有正根，不符合题意；
②若，且，得：或（此时方程只有一个负根，故舍去）
③若，且，得：，
ⅰ 若方程有一个根为0，此时，方程有正根，符合题意；
ⅱ 若方程有两个正根，则，得或，
ⅲ 若方程有1个正根，一个负根，，得，
综上：，
的取值范围为.

19.【答案】解：（1）已知且，则.
因为，，所以，
则0，即，
所以存在常数，使得在内任意，(，都有，
故函数在上是“利普希茨条件函数”.
（2）已知且，
则.
因为，所以，则，那么，
所以，即.
因为函数在上是“利普希茨条件函数”，
所以，则的最小值为.
（3）要证明是“2026－利普希茨条件函数”．
只需证在任意区间，存在常数，
使得内任意，都有.
因为
，
且即只需恒成立即可.
因为时，，所以当时，，
当时，，即对，都有.
不妨设，则，
所以恒成立，
故存在常数，使得在内任意，，都有，
即函数是“利普希茨条件函数”.

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