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2025-2026学年广东省东莞市外国语学校八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数学中有许多精美的曲线，以下是“笛卡尔叶形线”“阿基米德螺线”“三叶玫瑰线”和“星形线”.其中一定不是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.地球是人与自然共同生存的家园，在这个家园中，还住着许多常常被人们忽略的微小生命.在冰岛海岸的黄铁矿粘液池中的古菌身上，科学家发现了基因片段，并提取出了最小的生命体，它的直径仅为0.000 000 2米.将数字0.000 000 2用科学记数法表示为（　　）
A. 2×10-7 B. 2×10-8 C. 2×10-9 D. 20×10-8
3.体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果∠1=120°，则∠2的度数是（　　）
A. 20° B. 30° C. 40° D. 120°
4.如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，AB=DE，BE=CF，添加下列条件后能证明△ABC≌△DEF的是（　　）
A. AB∥DE
B. ∠A=∠D
C. AC∥DF
D. ∠ACB=∠F
5.下列运算正确的是（　　）
A. （n3）3=n6 B. （-2a）2=-4a2 C. x8÷x2=x4 D. m2m=m3
6.分式与的最简公分母是（　　）
A. 2a2b2c2 B. 2a2b2c C. a2b2 D. 2a2b
7.如图，将一个含45°角的三角尺的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上.若三角尺的直角边与纸带的边沿所成的夹角为30°，则三角尺的直角边的长为（　　）
A. 3cm B. 6cm C. 8cm D. 9cm
8.如图，△ABC≌△DEF，DF和AC，FE和CB是对应边．若∠A=100°，∠F=47°，则∠DEF等于（　　）
A. 100°
B. 53°
C. 47°
D. 33°
9.若，则a,b,c之间的大小关系是（　　）
A. b＜a＜c B. a＜b＜c C. c＜b＜a D. b＜c＜a
10.如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点F，若∠BAC=140°，则∠EAF的度数为（　　）
A. 95° B. 100° C. 105° D. 110°
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围后为 .
12.因式分解：ab2-4a= ．
13.一个等腰三角形，有两边长分别为5cm和2cm,则其周长为 cm.
14.如图，BD是△ABC的角平分线，AB=6，BC=4.过点D作DE⊥AB，垂足为E，若DE=2，则△ABC的面积为 .
15.将△ABC按如图所示的方式折叠，点A的对应点是点A′，点B的对应点是点B′，DE为折痕.若∠A+∠B=135°，则∠1+∠2的度数为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题：
解：x（x+2y）-（x+1）2+2x
=（x2+2xy）-（x2+1）+2x①
=x2+2xy-x2-1+2x②
=2xy+2x-1③
（1）小颖的化简过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______.
（2）写出此题正确的化简过程.
17.(本小题7分)
先化简，再求值：，其中x=3.
18.(本小题7分)
如图.在平面直角坐标系中，A（0，1），B（-3，2），C（-1，4）.
（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△AB1C1，并写出B1和C1的坐标.
（2）在x轴上作出一点P，使PA+PB最小.（保留作图痕迹，不要求写作法）
19.(本小题9分)
如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D、E分别为AB、AC上的点，且满足AD=AE.
（1）求证：∠ABE=∠ACD；
（2）连接AO，试判断AO与BC的位置关系，并证明.
20.(本小题9分)
如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m,宽为n的全等小长方形，且m＞n.（以上长度单位：cm）
（1）观察图形.根据面积相等，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为______；
（2）若每块小长方形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为88cm2，求大长方形纸板的周长.
21.(本小题9分)
某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°），现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上.如图所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2=AA1.
（1）小棒能无限摆下去吗？答：______.（填“能”或“不能”）
（2）若小棒AA1⊥A1A2，则θ=______°；
（3）若已经摆放了3根小棒，求θ3的大小（用含θ的式子表示）；
（4）若只能摆放4根小棒，求θ的范围.
22.(本小题13分)
甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件.
（1）求这种商品的单价；
（2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元/件，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是______元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是______元/件；
（3）生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，建议按相同______加油更合算（填“金额”或“油量”）.
（4）用分式的知识说明（3）的理由：甲、乙两人同时去同一家加油站加两次95号汽油，两次的汽油价格有变化，第一次x元/升，第二次y元/升，且x≠y.两人的加油方式也不同，其中甲每次总是加a升的油，乙每次总是加汽油b元.（请你继续完成上述说理过程）
23.(本小题14分)
综合与实践：八年级某学习小组围绕“等边三角形”开展主题学习活动.
问题情境：等边△ABC中，O是BC的中点，D是射线CB上一点（不与点C、B重合），连接AD，作等边△ADE（点E和点C在AD边的同侧），连接EO并延长交直线AB于点F.
【特例分析】
（1）如图①，当点D与点O重合时，发现“BD=BF”，请证明；
【拓展探究】
（2）当点D在线段BO上（不与端点重合），在图②中补全图形，并证明BD=BF；
【推广应用】
（3）当点D在射线CB上运动时，请直接写出线段AB，BF，OD之间的数量关系.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】x≠2．
12.【答案】a（b+2）（b-2）
13.【答案】12．
14.【答案】10
15.【答案】90°
16.【答案】①;完全平方公式运用错误 2 xy-1
17.【答案】解：
=
=
=
=x-3，
当x=3时，
原式=3-3=0．
18.【答案】，B1（3，2），C1（1，4）
19.【答案】证明见解答；
AO⊥BC，证明见解答
20.【答案】（2m+n）（m+2n） 48 cm
21.【答案】不能 45 θ3=4θ 18°≤θ＜22.5°
22.【答案】60元/件 48;50 金额 按相同金额加油更合算
23.【答案】（1）证明：如图1，∵等边△ABC中，点O是BC的中点，
∴∠ABC=60°，∠ADB=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∴∠BDF=180°-90°-60°=30°，
∴∠F=∠ABC-∠BDF=30°，
∴∠F=∠BDF，
∴BD=BF；
（2）证明：如图2，连接EC，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE=60°，
∴∠BCE=120°，
∴∠FBC=∠BCE，
∵点O是BC的中点，
∴BO=CO，
又∵∠BOF=∠COE，
∴△BOF≌△COE（AAS），
∴BF=CE，
∴BD=BF；
（3）解：分三种情况：
①当点D在线段OC上时，如图3，连接CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，
∵O是BC的中点，
∴AB=2OB，
由（2）同理知：BD=CE=BF，
∵OB=BD-OD，
∴OB=BF-OD，
∴AB=2（BF-OD）；
②当点D在线段OB上时，如图2，
由①知：AB=2BO，
由（2）知：BF=BD，
∵OB=BD+OD，
∴OB=BF+OD，
∴AB=2（BF+OD）；
②当点D在线段CB的延长线上时，如图4，连接CE，
由①知：AB=2BO，
由（2）知：BF=BD，
∵OB=OD-BD，
∴OB=OD-BF，
∴AB=2（OD-BF）．
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