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北京市第十四中学2025-2026学年第二学期期中检测高一数学测试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知角θ的终边经过点，则cosθ的值为（　　）
A. B. C. D.
2.下列各式的值等于的是（ ）
A. B. C. D.
3.设的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则等于（ ）
A. 30° B. 60° C. 60°或120° D. 30°或150°
4.已知平面向量与的夹角为，则（ ）
A. B. C. 4 D. 12
5.下列函数中，最小正周期为π且是奇函数的是（　　）
A. y=sinx B. y=|cosx| C. y=tan2x D. y=sin2x
6.在中，角A，B，C的对边分别为，若，则的形状为（）
A. 正三角形 B. 等腰三角形或直角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
7.将函数的图象向左平移个单位得到的图象，则“”是“是奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数，下列结论中：①函数恒满足；②直线是函数图象的一条对称轴；③点是函数图象的一个对称中心；④该函数在区间上单调递减.所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①③④
9.蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度.蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示.设P为图中7个正六边形（边长为1）内部或边界上点，A，B为两个固定顶点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10.设函数在区间上是单调函数，，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知扇形的圆心角为120°，扇形的面积为，则该扇形所在圆的半径为 ．
12.已知α是第四象限角，且，则cosα= ，= .
13.如图，边长为2的正方形ABCD中，点满足，则 ；若点H是线段AP上的动点，则的取值范围是 ．
14.已知函数的部分图象如图所示，则 ，若，则 ．
15.已知函数（其中）．给出下列四个结论：
①若，则是函数的一个零点；
②若，函数的最小值是；
③若，函数图象关于直线对称；
④若，函数图象可由图象向右平移个单位长度得到．其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知向量.
(1)求；
(2)求向量的夹角的余弦值；
(3)若与垂直，求实数的值.
17.(本小题12分)
在中，，，．
(1)求的面积；
(2)求及的值．
18.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，锐角，均以为始边，终边分别与单位圆交于点，，已知点的纵坐标为，点的横坐标为．
(1)求和的值；
(2)求的值；
(3)将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标．
19.(本小题12分)
设函数.
(1)求的最小正周期，单调增区间，对称中心；
(2)当时，求函数的最大值和最小值；
(3)若函数在上有两个零点，请直接写出的取值范围.
20.(本小题14分)
在条件①：对任意的，都有；条件②：最小正周期为；条件③：在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答.已知，若____________，则唯一确定.
(1)求的解析式；
(2)设函数，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
21.(本小题15分)
对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量.特别地，称为零向量.
设，，，定义加法和数乘：
，.
对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关.否则，称为线性无关.
（1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.
①，；
②，，.
（2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由.
（3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明：
①如果存在等式（，，2，3，…，m），则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式，（，，，2，3，…，m）同时成立，其中，则.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】

13.【答案】 ； ； ； ； [1，2]
14.【答案】 ； ； ； ； ； ； 0
15.【答案】①②③
16.【答案】解：（1）因为，所以.
（2）.
（3），.
因为与垂直，所以，得出.

17.【答案】解：（1）因为在 中， ， ，
结合平方关系 ，可知 ，
从而由三角形面积公式，可知 的面积为 .
（2）因为在 中， ， ， ，
所以由余弦定理有 ，
又 ，所以解得 ，
由（1）可知 ，
所以由正弦定理有 ，即 ，
解得 .

18.【答案】（1）由锐角，，得点，都在第一象限，而点的纵坐标为，点的横坐标为，
所以，
则点的横坐标为，点的纵坐标为，
因此；
，
．
（2）由（1）知，．
（3）依题意，点在角的终边上，且，由（1）知，
则点的横坐标为，
点的纵坐标为，
所以点的坐标为．

19.【答案】（1）
，
则最小正周期，
令，得，
则的单调递增区间为，
令，得，
则的对称中心为.
（2），则，则，
则，
故当，即时，取最小值；
当，即时，取最大值.
（3）函数在上有两个零点，则在上有两个根，
又，则，
结合正弦函数图象可得，，得，
则取值范围为

20.【答案】解：（1）选择②③：
由函数最小正周期为，可得，可得，即，
又由，可得，
因为函数在为单调递增函数，则满足，
解得，结合，
所以，所以；
若选择①②：
由函数最小正周期为，可得，可得，即，
又由对任意的，都有，可得关于对称，
所以，即，
因为，可得或，由于不唯一，所以不能选①②
若选择①③：
由对任意的，都有，可得关于对称.
所以，即，
又由函数在为单调增函数，可得，解得，
又由，可得，
因为函数在为增函数，则满足，
解得，所以，即，即
综上知，所以无法确定，则无法确定，所以不能选①③.
（2）由，
因为，可得，所以，即，
又由对任意的，不等式恒成立，
即不等式恒成立，即恒成立，
令，即恒成立，
令，因为在上为单调递增函数，
则，所以，
即实数的取值范围为.

21.【答案】（1）解：对于①，，,
当时，
所以线性相关；
对于②，当时,，
所以线性相关；
（2）解：设，
则，
因为向量，，线性无关，所以，解得k1=k2=k3=0，
所以向量，，线性无关，
（3）证明：① ，如果某个ki=0，i=1，2， ，m，
则，
因为任意m-1个都线性无关，所以k1，k2， ki-1，ki+1， ，km都等于0，
所以这些系数k1，k2， ，km或者全为零，或者全不为零，
②因为l1≠0，根据前面结论,l1，l2， ，lm全不为零，
所以由可得，
代入可得，
所以，
根据①中结论,目前的系数全为0,
所以， ，，
所以．
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