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福建泉州市四校（泉州外国语、南安华侨、石狮八中、城东中学）2025-2026学年高二下学期期中联考数
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若，则（ ）
A. 0 B. 2 C. －2 D. －4
2.某公司生产的甲、乙、丙三种规格的产品分别有300件,200件,100件,其中甲、乙、丙三种产品的合格率分别为,,,则从所有产品中任取一件,是合格品的概率为（）
A. B. C. D.
3.设，是一个随机实验中的两个事件，若，，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知，则（ ）．
A. B. C. D.
5.某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（）种不同的放置方式．
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
6.盒中有10个玩具，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取2个，在至少一个玩具是坏的条件下，另一个是好的的概率是（）
A. B. C. D.
7.若函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 的解集为
B. 函数有2个极值点
C. 函数的单调递增区间为
D. 是函数的极小值点
8.某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月（30天）下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有（　　）
A. 1张 B. 2张 C. 3张 D. 4张
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列各式正确的是（ ）
A. 已知，则的取值为6或7
B.
C. 将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有70种不同放法
D. 的展开式中的系数为
10.下列说法正确的是（）
A. 掷一枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现奇数点”，事件N＝“出现3点或4点”，则M和N相互独立
B. 已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X＜4)＝0.9，则P(0＜X＜2)＝0.4
C. 甲、乙、丙三人均准备在3个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1个景点未被选择的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是
D. E(2X+3)＝2E(X)+3，D(2X+3)＝2D(X)+3
11.已知函数，使得有三个零点，且，则下列说法正确的是（ ）
A. a的取值范围为
B.
C. 若，则
D. 函数在三个零点处的切线斜率的倒数之和为0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.6名学生参加数学竞赛，决出第1名到第6名的名次（没有同分或者并列的情况）．甲、乙两名参赛者去询问成绩，老师对甲说：“你和乙既不是第1名，也不是第6名”，对乙说：“你和甲的名次相邻”．从这个回答分析，6人的名次排列共可能有 不同的情况．（用数字作答）
13.已知函数在处取得极大值，则实数的值为 .
14.2026年春节，甲，乙等5个人在一个微信群里发红包（每次发的红包只有1个人能抢到）．甲先发了一个红包，规定抢到红包的人必须立即再发一个新红包，且自己不能领，群里另外4个人等可能地领到．记第n次发出红包的人是乙的概率为．则 ， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在①第5项的系数与第3项的系数之比是，②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答．
问题：已知在的展开式中，__________．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中含的项．
16.(本小题15分)
已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
17.(本小题15分)
2026年春节期间，某超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过500元（含500元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立．
方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球3个，黑球5个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球．其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则消费金额打五折；若摸出1个红球，2个黑球，则消费金额打八折；其余情况不打折．
方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球4个，黑球6个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减100元．
（1）若甲、乙两位顾客均分别消费了500元，且均选择抽奖方案一，试求甲顾客享受免单优惠且乙顾客消费金额打八折的概率；
（ 2）若某顾客消费恰好满800元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
18.(本小题17分)
已知函数，.
(1)若，求的极值；
(2)讨论的单调性；
(3)若，且满足，证明：
19.(本小题17分)
某省年开始将全面实施新高考方案．在门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为,,,,共个等级，各等级人数所占比例分别为、、、和，并按给定的公式进行转换赋分．
该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．
（1）某校生物学科获得等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：
原始分 91 90 89 88 87 85 83 82
转换分 100 99 97 95 94 91 88 86
人数 1 1 2 1 2 1 1 1
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于分的人数为，求的分布列和数学期望；
（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分服从正态分布．若，令，则，请解决下列问题：
①若以此次高一学生生物学科原始分等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）
②现随机抽取了该省名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求取得最大值时的值．
附：若，则,.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】ABC
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】2
14.【答案】 ； ； ； ； ； ；
15.【答案】解：(1)若选①，第5项的系数与第3项的系数之比是，则，求得，
当二项式系数 最大时，，即第六项的二项式系数最大，此项为．
若选②，第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55，则，
，当二项式系数 最大时，，即第六项的二项式系数最大，此项为．
若选③， ，，当二项式系数 最大时，，即第六项的二项式系数最大，此项为．
(2)该二项式的通项公式为，
令，求得，故展开式中含的项为．
16.【答案】解：（1）当时，，得，
，则，
所以切线方程为：，即；
（2）解法一：，
当时，因为，所以，，所以，
则在上单调递增，成立，符合题意；
当时，，
所以在上单调递增，所以成立，符合题意；
当时，在区间上，；在区间，，
所以在上单调递减，上单调递增，
所以在区间上有，不符合题意，
综上所述，的取值范围是．
解法二：当时，恒成立，等价于“当时，恒成立”，即在上恒成立，
当时，，所以，
当时，，所以恒成立，
设，则，
因为，所以，所以在区间上单调递增，
所以，所以，
综上所述，的取值范围是.

17.【答案】解：(1) 选择方案一，若享受到免单优惠, 则需摸出2个红球和1个白球,
选择方案一若消费金额打八折,则需摸出1个红球和2个黑球,
设甲顾客享受到免单优惠为事件A,则P(A)===,
设乙顾客消费金额打八折为事件B,则P(B)===,
所以甲顾客享受免单优惠且乙顾客消费金额打八折的概率为：
P(AB)=P(A)P(B)==.
(2) 若选择方案一, 设实际付款金额为X, 则X的可能取值为0, 400, 640, 800.
P(X=0)===,P(X=400)===,
P(X=640)===,P(X=800)=1---=,
所以E(X)=0+400+640+800=(元).
若选择方案二,设摸到红球的个数为Y,付款金额为Z,则Z=800-100Y.
由题意知, (3,),故E(Y)=3=.
所以E(Z)=E(800-100Y)=800-100E(Y)=800-100=680(元).
因为E(X)>E(Z),所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.
18.【答案】（1）的定义域为，
当 时，，
令，解得 ,
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减．
所以在时取得极大值为，无极小值．
（2）因为,
当时，在上恒成立，此时在上单调递增,
当时，
若时，，则在上单调递增；
若时，，则在上单调递减；
综上可知：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（3） 由题意，若记，那么，是两根，，
可转化为，是两根，
令，，
令，，解，；
，，所以在上单调递增，在上单调递减，
不妨设，要证，即证，只需证，
只需证，
令，，
当时，，，
∴此时，在上单调递增，
所以，即式得证，故命题得证．

19.【答案】【详解】（1）随机变量的所有可能的取值为.
由题意可得：，，
，，
随机变量的分布列为
数学期望．
（2）①设该划线分为，由得，
令，则，
由题意，，即，
，P(1.04)0.85，，
，，取．
②由①讨论及参考数据得
，
即每个学生生物统考成绩不低于分的事件概率约为，
，．
由
即
解得，
，，
当时，取得最大值．

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