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2025-2026学年北京市海淀区中关村中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共12小题，共48分。
1.若，点A的坐标为（-2，-1），则点B的坐标为（　　）
A. （5，5） B. （-5，-5） C. （1，3） D. （-5，5）
2.若一扇形的弧长为2π，圆心角为，则该扇形所在圆的半径为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.下列说法正确的是（　　）
A. 若a＞b,则ac2＞bc2 B. 若a＞b＞c,则a-c＜b-c
C. 若a＞b,则 D. 若a＞b＞c＞0，则
4.某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于80分的人数为（　　）
A. 60 B. 90 C. 120 D. 150
5.要得到的图象只需将y=3sin3x的图象（　　）
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
6.已知向量，，则“x=3”是“∥”的（　　）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知sinα，cosα是关于x的一元二次方程3x2-x-m=0的两根，则m=（　　）
A. B. C. D.
8.已知函数f（x）=4x-a 2x+4，若f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A. [-4，4] B. （-∞，4] C. （-∞，2] D. [-2，2]
9.已知函数的部分图象如图所示，则该函数图象的一条对称轴是（　　）
A.
B.
C.
D.
10.在△ABC中，O是△ABC的重心，点P满足，则△ABP的面积与△ABC的面积之比是（　　）
A. B. C. D.
11.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由关系式h（t）=Asin（ωt+φ）确定，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（　　）
A.
B. t=9秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2
C. 当0＜t＜t0时，若小球有且只有三次到达最高点，则t0∈[5，7]
D. 当0＜t1＜t2＜2时，若t1，t2时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则
12.对于非零向量，，定义运算“*”：*=|| ||sinθ，其中θ为m,n的夹角，有两两不共线的三个向量、、，下列结论正确的是（　　）
A. 若*=*，则= B. （*）=（*）
C. *=（-）* D. （+）*=*+*
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.已知，则tanα= .
14.向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ-μ= .
15.已知向量，，若，共线，且||=1，则向量的坐标可以是 .（写出一个即可）
16.为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即，其中S（A），S（B）为事件A，B对应区域的面积，U表示样本空间.如图中，事件A与事件B相互独立的是 .
17.以原点O及点为顶点作一个等边△AOB，则向量的坐标为 .
18.若常数m使方程sinx=m在区间上恰有三个解x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），且=x1 x3，则实数m的值为 .
19.函数，则不等式f（x+1）+f（2-2x）＜0的解集为 .
20.已知函数f（x）=|cos2x|+1.给出下列四个结论：
①f（x）的最小正周期是；
②f（x）的一条对称轴方程为；
③存在实数a,使得对任意m∈R，都存在且x1≠x2，满足；
④若函数g（x）=f（x）+b（b∈R）在区间上有5个零点，从小到大依次记为x1，x2，x3，x4，x5，则x1+2（x2+x3+x4）+x5=5π.
其中所有正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本题共5小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
已知角α的终边经过点，且α为第二象限角.
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若，求的值.
22.(本小题11分)
已知函数.
（Ⅰ）求出函数f（x）的周期和图象的对称中心；
（Ⅱ）若，求f（x）的取值范围；
（Ⅲ）求函数的单调递增区间.
23.(本小题13分)
已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+b,（ω＞0，|φ|＜）.用五点法画f（x）在区间上的图象时，取点列表如下
x
f（x）
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在区间上的最大值为，求m的最小值；
（Ⅲ）已知g（x）=x2+ax-1，若， x2∈[1，+∞），使得f（x1）+g（x2）≤0恒成立，求a的取值范围.
24.(本小题15分)
在研究行星围绕恒星转动时（假设行星做匀速圆周运动），可以采用数学方法研究其运动状态.设恒星位置为O，某一时刻（设为初始时刻，即t=0）行星A所在位置为A0.以O为原点，为x轴正方向，为单位长度建立平面直角坐标系，如图所示.将行星A公转半周所用的时间记作1个时间单位.将t时刻该行星的位置坐标记作A（t）.
（Ⅰ）写出A（t）的表达式；
（Ⅱ）已知另有一行星B也围绕该恒星匀速转动，且公转半径与行星A不同，将其位置坐标记作B（t）.
（i）若行星B的初始时刻也在x轴正半轴上，已知两行星分别与恒星连成的线段在相等时间内扫过的面积相同，且两行星距离最大值为3.求行星B的公转半径，以及使得两行星距离最远时的时刻t的取值集合；
（ⅱ）若行星B的公转半径为2，且两行星的距离恒为.求B（t）的表达式，并证明以行星A作为参照物时，行星B做匀速圆周运动.
（参考公式：cosxcosy+sinxsiny=cos（x-y））
25.(本小题15分)
如下所示，三行三列的数表A中，第i行第j列的数记作aij，i,j∈{1，2，3}，aij∈R.若存在一组不全为零的实数（x,y,z）使得 i∈{1，2，3}均有xai1+yai2+zai3=0，则称数表A是“L关联”的；若存在一组不全为零的实数（x,y,z）使得 i∈{1，2，3}均有xa1i+ya2i+za3i=0，则称数表A是“R关联”的.
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
（Ⅰ）若对 i,j∈{1，2，3}均有aij=ij-2i,请写出这个数表；判断其是否是“R关联”的，并说明理由；
（Ⅱ）若a11=a12=a13=0，求证该数表一定是“L关联”的；
（Ⅲ）求证数表A是“L关联”的当且仅当其是“R关联”的.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】B
12.【答案】C
13.【答案】或．
14.【答案】1．
15.【答案】（答案不唯一）．
16.【答案】②③．
17.【答案】（-4，0）或（2，2）．
18.【答案】．
19.【答案】{x|x＞3}．
20.【答案】②④．
21.【答案】-1
22.【答案】函数的最小正周期π；函数的对称中心（-+，0），k∈Z [-1，2] [-+kπ，+kπ]，k∈Z
23.【答案】
24.【答案】（I）A（t）=（cosπt，sinπt）；
（Ⅱ）（i）行星B的公转半径为2，距离最远时的时刻t的取值集合为}；
（ii），2sin（πt±））．
以行星A为参照物，行星B的相对位置为：=B（t）-A（t）=（2cos（πt±）-cosπt，2sin（πt±）-sinπt ），
化简得=（-sinπt，cosπt）或=（sinπt，-cosπt）．
其模长||=为常数，且角速度为π，
故行星B做匀速圆周运动．
25.【答案】（I）a11=-1，a12=0，a13=1；a21=-2，a22=0，a23=2；a31=-3，a32=0，a33=3．该数表是“R关联”的．
（II）由题意，若a11=a12=a13=0，
取x=y=z=1，i=1，可得xai1+yai2+zai3=0，
因此，该数表一定是“L关联”的；
（III）若数表A是“R关联”的，则一定存在一组不全为零的实数（x2，y2，z2）使得 i∈{1，2，3}均有x2a1i+y2a2i+z2a3i=0，假设z2≠0，
⑥×a12-⑦×a11，得（a21a12-a11a22）y2+（a31a12-a11a32）z2=0⑨，
⑥×a13-⑧×a11，得（a21a13-a11a23）y2+（a31a13-a11a33）z2=0⑩，
⑨×（a21a13-a11a23）-③×（a21a12-a11a22），得（a31a12-a11a32）（a21a13-a11a23）-（a21a12-a11a22）（a31a13-a11a33）=0（*），
所以数表A是“R关联”的（*）成立．
若数表A是“L关联”的，则一定存在一组不全为零的实数（x1，y1，z1）使得 i∈{1，2，3}均有x1ai1+y1ai2+z1ai3=0，
假设z1≠0，，
①×a21-②×a11，得（a21a12-a11a22）y1+（a13a21-a11a23）z1=0④，
①×a31-③×a11，得（a31a12-a11a32）y1+（a13a31-a11a33）z1=0⑤，
④×（a31a12-a11a32）-⑤×（a21a12-a11a22），得（a31a12-a11a32）（a13a21-a11a23）-（a21a12-a11a22）（a13a31-a11a33）=0（*）
所以数表A是“L关联”的 （*）成立；
综上所述，“数表A是“L关联”的”与“数表A是“R关联”的”的充要条件相同，
所以数表A是“L关联”的，当且仅当其是“R关联”的．
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