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2025-2026学年吉林省长春市第五中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数，则z的虚部为（　　）
A. B. 2i C. 2 D.
2.已知，，且A，B，C三点共线，则x等于（　　）
A. 1或 B. -1 C. 或 D.
3.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表.则下列说法中一定错误的是（　　）
A. 丁险种参保人数超过五成 B. 41岁以上参保人数超过总参保人数的五成
C. 18-29周岁人群参保的总费用最少 D. 人均参保费用不超过5000元
4.已知平面上不共线的四点O，A，B，C，满足，则在上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
5.已知平面向量，，且，则=（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6.在△ABC中，（a+c）（sinA-sinC）=b（sinA-sinB），则∠C=（　　）
A. B. C. D.
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是（　　）
A. 若，则△ABC的外接圆的面积为16π
B. 若cosB＞cosC，则B＞C
C. 若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC为钝角三角形
D. 若，则△ABC为等腰直角三角形
8.已知△ABC是边长为1的正三角形，，P是BN上一点且，则=（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法中正确的是（　　）
A. 样本的方差，则这组样本数据总和等于60
B. 若样本数据x1，x2， ，x10标准差为8，则数据2x1-1，2x2-1， ，2x10-1的标准差为32
C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
D. 若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小
10.在△ABC中，AC=5，BC=4，，则（　　）
A. B. △ABC的面积为6 C. D.
11.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图像如图，下列结论正确的有（　　）
A. 是函数f（x）的一条对称轴
B. 函数为奇函数
C. 函数f（x）在为增函数
D. 函数f（x）在区间（0，10π）上有20个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A=“向上的点数是偶数”，事件B=“向上的点数超过4”，则概率P（A∪B）= ______.
13.在对某中学高一年级学生身高（单位：cm）调查中，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为174和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为164和30，根据这些数据计算出总样本的平均数为 ，方差为 .
14.已知梯形ABCD中，∠BAD=90°，AB∥CD，AB=3，，DC=1，若，，λ∈[0，1]，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1=2-i,z2=a+4i（a∈R），且是纯虚数.
（1）求z2；
（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.
16.(本小题15分)
某学校组织学生参加交通安全和环境保护知识宣讲活动.已知该校高一某班全体学生参与上述活动的情况如下表所示：
参加交通安全知识宣讲 未参加交通安全知识宣讲
参加环境保护知识宣讲 6人 4人
未参加环境保护知识宣讲 5人 30人
（1）从该班随机选取1名学生，试估计该学生至少参加一项活动的概率；
（2）已知既参加交通安全知识宣讲又参加环境保护知识宣讲的6名学生中，有4名男生和2名女生.现从这6名学生中随机选取2人作为主讲人，求选取的2人中恰有1名男生和1名女生的概率.
17.(本小题15分)
“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子 离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具.有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm,较短边为5cm,如图所示，将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点A，B，C都在圆周上，角A，B，C的对边分别为a,b,c,满足.
（1）求sinC；
（2）若△ABC的面积为8cm2，且a＞c,求△ABC的周长.
18.(本小题17分)
2025年吉林市马拉松赛将于5月18日7：30正式开赛.为积极参与马拉松比赛，吉林市某中学决定从3000名学生随机抽取100名学生进行体能检测，这100名学生进行了15公里的马拉松比赛，比赛成绩（分钟）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100].
（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生比赛成绩的平均数；
（3）根据频率分布直方图，估计这100名学生比赛成绩的第80百分位数；
（4）根据样本频率分布直方图，估计该校3000名学生中约有多少名学生能在80分钟内完成15公里马拉松比赛？
19.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求B的大小；
（2）若△ABC为锐角三角形且，求△ABC面积的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】AD
10.【答案】BC
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】168
46.8

14.【答案】
15.【答案】z2=2+4i （1，6）
16.【答案】；
．
17.【答案】解：（1）设△ABC的外接圆半径为R，则（cm），
由正弦定理，可得；
（2）∵a＞c,则A＞C，
故C为锐角，
∴，
由面积公式，即，可得ab=20，
由余弦定理，即，
可得（a+b）2=144，解得a+b=12（cm），
故△ABC的周长为（cm）．
18.【答案】0.005； 73； 82.5； 2250．
19.【答案】
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