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2025-2026学年上海市黄浦区格致中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共14分。
1.两条异面直线所成角的范围是（　　）
A. B. C. D.
2.已知A、B为两个随机事件，则“A、B为互斥事件”是“A、B为对立事件”的（　　）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
3.设a＞0，b＞0，点M（x0，y0），O是坐标原点，|OM|=a,F是双曲线的左焦点，若直线l：经过点F，且与双曲线Γ的右支在第一象限内交于P点，则双曲线Γ的离心率的一个可能的值是（　　）
A. B. C. D.
4.椭圆具有如下光学性质：如图，F1（-c,0），F2（c,0）分别是椭圆的左、右焦点，从点F1发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点F2，有以下两个命题：
①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为M（t,0），则；
②若从F1发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到F1所经过的路程为8c,则该椭圆的离心率为，
则以下说法正确的是（　　）
A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题
C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题
二、填空题：本题共12小题，共42分。
5.已知事件A发生的概率P（A）=0.2，事件B发生的概率P（B）=0.5，若事件A与B独立，则= .
6.在平面直角坐标系中，点（1，2）到直线4x-3y+5=0的距离为 .
7.设圆C方程为x2+y2+4x-6y+10=0，则圆C的半径为 .
8.若一个球的体积是π，则这个球的表面积是 .
9.把点的极坐标化为直角坐标是 .
10.若正整数n满足，则n= .
11.设，则a1+a2+…+a10为 .
12.直线l：y=x+1与圆C：x2+y2-4x-2y=0相交所得的弦长为 .
13.设M（x,y）为抛物线y2=4x上任意一点，若x+2y+m的最小值为1，则m的值为 .
14.在△ABC中，AB=3，AC=5，BC=4，点A在以B、C为焦点的双曲线上，则该双曲线的两条渐近线的夹角大小为 .
15.如图，已知圆柱的一个截面边界是椭圆，其中Γ的长轴AC为该圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱底面直径的长.将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆Γ在展开图中恰好为一个周期的三角函数图像.若该段曲线是函数y=1-的图像的一部分，则椭圆Γ的离心率为 .
16.设向量，，记，若点A1、A2、A3为圆C：x2+y2+4x-2y=0上任意三点，且满足A1A2⊥A2A3，则的取值范围是______.
三、解答题：本题共4小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题11分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AC=2，BC=1，.
（1）证明：BC⊥PB；
（2）在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥——鳖臑，其四个面均为直角三角形，本题图中三棱锥P-ABC即为一个鳖臑，请计算它的体积和表面积.
18.(本小题11分)
第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于11月5日至10日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的200名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为[15，25），[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75].把年龄落在区间[15，35）内的人称为“青年人”，把年龄落在区间[35，65）内的人称为“中年人”，把年龄落在[65，75]内的人称为“老年人”.
（1）求所抽取的“青年人”的人数；
（2）以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名参会者做进一步访谈，发现其中男性共6人，这6人中有2人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的10名参会者中任选2人.
设事件A：2人均为“中年人”，事件B：2人中至少有1人为男性，判断事件A与事件B是否独立，并说明理由.
19.(本小题11分)
如图1的封闭图形的边缘由抛物线Γ和垂直于抛物线对称轴的线段AB组成.已知AB=4，抛物线的顶点到线段AB所在直线的距离为2.
（1）如图2，已建立适当的直角坐标系，请写出该部分抛物线的方程（注意x的范围）：在该封闭图形上截取一个矩形CDEF，其中点C、D在线段AB上，点E、F在抛物线Γ上.求以矩形CDEF为侧面，CF为母线的圆柱的体积最大值；
（2）过抛物线焦点作相互垂直的两条直线l1，l2，l1交抛物线于M、N两点，l2交抛物线于P、Q两点，求证：为定值，并求出该定值.
20.(本小题11分)
如图，椭圆C1：与双曲线C2：在第一象限的公共点为A（xA，yA）.曲线Γ由两段曲线组成：当x≤xA时，曲线Γ与椭圆C1重合，当x＞xA时，曲线Γ与双曲线C2重合.
（1）已知A（2，1），求b的值，并写出椭圆C1和双曲线C2的离心率e1，e2；
（2）已知，直线l过点D（2，0）与曲线Γ交于E、F两点，若，求直线l的方程；
（3）已知，过点P（0，1）且斜率为k（k≥1）的直线m与曲线Γ交于M，N两点，若S△AMN=λtan∠MAN，求实数λ的最大值.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】0.1
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】4π
9.【答案】．
10.【答案】1或3．
11.【答案】0
12.【答案】2
13.【答案】5
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】[0，16]
17.【答案】∵PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，∴PA⊥BC，
在△ABC中，，BC=1，AC=2，
∵AB2+BC2=AC2，∴BC⊥AB，
又PA∩AB=A，PA，AB 平面PAB，∴BC⊥平面PAB，
∵PB 平面PAB，故BC⊥PB，得证 ；
18.【答案】80 不独立
19.【答案】
20.【答案】，， x=2
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