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2025-2026学年辽宁省沈阳市和平区回民中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.命题“ x∈R，x2+x+1＞0”的否定为（　　）
A. x∈R，x2+x+1≤0 B. x∈R，x2+x+1≤0
C. x∈R，x2+x+1＜0 D. x∈R，x2+x+1＞0
2.命题“”的一个充分不必要条件是（　　）
A. -1＜x＜2 B. C. D.
3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，且S2=3a1，则公比q=（　　）
A. B. C. 2 D. 3
4.函数f（x）=（x-1）ex的图象大致为（　　）
A.
B.
C.
D.
5.已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则=（　　）
A. B. C. D.
6.已知数列{an}的首项a1=1，且满足，则a10的值为（　　）
A. 1025 B. 1023 C. -1025 D. -1023
7.已知正数数列{an}是公比不等于1的等比数列，且a1a2026=1，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则f（a1）+f（a2）+…+f（a2026）=（　　）
A. 2025 B. 4050 C. 2026 D. 4052
8.记函数f（x）的导函数为f′（x），已知f（2）=1，且 x∈R，f′（x）＜f（x），若关于x的不等式f（ax+1）＜eax-1在x∈[1，2]上有解，则a的取值范围为（　　）
A. （-∞，1） B. C. （1，+∞） D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题中，正确的是（　　）
A. 方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度
B. 若随机变量η服从二项分布B（4，），则
C. 某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变
D. 若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ＜2）=0.84，则P（0＜ξ＜2）=0.68
10.下列说法不正确的是（　　）
A. 若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2
B. 集合A={-2，1}，B={x|ax=2}，若A∩B=B，则实数a的取值集合为{-1，2}
C. 的最小值为2
D. “m＜0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负根”的充要条件
11.大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用.已知大衍数列{an}满足a1=0，，则正确的有（　　）
A. a5=12 B. a2n+1=a2n-1+4n
C. D. 数列{（-1）nan}的前20项和为120
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等差数列{an}中，若a2+am-1=130，且前m项和Sm=260，则m= .
13.已知，P（|A）=0.8，则P（AB）= .
14.已知函数，若 x1∈[1，e]， x2∈（0，1]使得f（x1）＞g（x2）成立，则实数a的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知首项为1的正项数列{an}满足.
（1）求a2；
（2）求{an}的通项公式；
（3）求数列的前n项和Sn.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=x2+alnx.
（1）当a=-2，求函数f（x）的极值；
（2）若函数在[2，4]上是单调增函数，求实数a的取值范围.
17.(本小题15分)
为研究高中生每周自主整理错题时长与数学学科成绩的关联性，某高中数学教研组从本校高二年级随机抽取了100名学生进行调查，统计其每周整理错题时长（单位：小时）及期末数学成绩，按照“整理错题时长≥2小时”和“整理错题时长＜2小时”将学生分为时长充足组和时长不足组，再按照数学成绩是否不低于120分（满分150分）分为成绩优秀和成绩一般，得到如下列联表：
成绩优秀 成绩一般 合计
时长充足组 30 10 40
时长不足组 20 40 60
合计 50 50 100
同时，从样本中随机选取6名学生，记录其每周整理错题时长（记为变量x,单位：小时）与对应数学成绩（记为变量y,单位：分），得到如下数据：
学生编号 1 2 3 4 5 6
x 0 1 2 2 3 4
y 91 105 116 119 125 140
（1）根据表中数据，依据α=0.001的独立性检验，能否认为高中生数学成绩与每周整理错题时长充足与否有关联？并解释所得结论的实际含义；
（2）请你结合第（1）问得出的独立性检验结论，根据选取的6组数据，建立y关于x的经验回归方程，并预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为多少分？该结果是否一定与实际情况相符合，原因是什么？
参考数据与公式：，n=a+b+c+d.
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
18.(本小题17分)
已知数列{an}的首项a1=1，{an}的前n项和为Sn，且.
（1）证明数列{an+1}是等比数列；
（2），求函数f（x）在点x=1处的导数f′（1）.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=lnx-xex-2+x-ln2.
（1）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程.
（2）设f（x）的导函数为f′（x），证明：f′（x）存在唯一零点.
（3）求f（x）的最大值.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】ABD
10.【答案】ABC
11.【答案】AB
12.【答案】4
13.【答案】0.08．
14.【答案】（e，+∞）．
15.【答案】（1）当n=1时，有-=a2，又a1=1，
所以a2-4+4=0，解得a2=4；
（2）由-=1，得{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，
所以=1+n-1=n,即an=n2；
（3）由===-，
所以Sn=1-+-+...+-=1-=．
16.【答案】极小值是1，无极大值；
[-7，+∞）
17.【答案】认为高中生数学成绩与每周自主整理错题时长有关，答案见解析 ，145.5分，该结果与实际得分不一定相符合，原因如下：
把每周整理错题时长为4.5小时的学生数学成绩作为一个子总体，
数学成绩为145.5分是这个子总体的均值的估计值，影响数学成绩还有其他的因素（言之合理即可）
18.【答案】因为，
所以Sn=2Sn-1+n（n≥2），
所以an+1=2an+1（n≥2） an+1+1=2（an+1）（n≥2），
又a1+1=2，S2=2S1+2，即a2+1=2（a1+1），
所以数列{an+1}是公比和首项均为2的等比数列 f′（1）=（n-1）2n+1+2
19.【答案】（1）3x+2y-6=0 （2）证明：由（1），其定义域为（0，+∞），
设，
则，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，
由，
，
根据零点存在性定理可知g（x）在（1，2）上存在唯一零点，
即f′（x）存在唯一零点 （3）1-ln2
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