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2025-2026学年广西南宁市第二中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合M={x|x∈Z}，N={x|1＜x≤4}，则M∩N=（　　）
A. {2，3，4} B. {1，2} C. {2} D. {x|1＜x＜3}
2.已知等比数列{an}，a2=3，则a1a3=（　　）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
3.在（x-1）8的二项展开式中，第4项的二项式系数是（　　）
A. B. C. D.
4.设x∈R，则“x=0”是“sinx=0”的（　　）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知单位向量满足，则向量与的夹角为（　　）
A. B. C. D.
6.如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（　　）
A. B. C. D.
7.已知△ABC的内角A，B，C成等差数列，其所对的边分别为a,b,c,且acosC+ccosA=4sinB，则b的值为（　　）
A. B. 2 C. 4 D.
8.设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），若P（ξ＞3）=0.15，则函数有极值点的概率为（　　）
A. 0.25 B. 0.35 C. 0.45 D. 0.55
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是（　　）
A. 一组样本数据通过计算得到线性回归方程为，若（，）=（1，1），则a=0.05
B. 有一组数1，2，3，5，这组数的第75百分位数是3
C. 随机变量X～B（n,p），若E（X）=60，D（X）=20，则n=180
D. 在α=0.01的独立性检验中，若χ2不小于α对应的临界值x0.01，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过0.01
10.已知双曲线C：，则下列结论正确的是（　　）
A. m的取值范围是（-2，-1）
B. C的焦距与m的取值有关
C. 存在实数m,使得点在C上
D. 若C的离心率不小于2，则m的取值范围为
11.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，，则（　　）
A. B. 数列{an}为递减数列
C. 任意n∈N*，Sn≤2 D. 任意n∈N*，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数f（x）=x5+a（x∈R）是奇函数，则实数a= .
13.若直线x-y+m=0被圆（x-1）2+（y-2）2=9截得的弦长为6，则m的值为 .
14.智能舞蹈机器人A在舞台上随音乐节奏移动，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，若机器人A从舞台中心正北方向2米的位置起步，则机器人A移动4秒恰好位于舞台中心的路径条数为 .（用数字作答）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数.
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）求使f（x）≥0成立的x的取值集合.
16.(本小题15分)
长时间玩手机可能影响视力，已知某校全体学生的近视率为40%，每天玩手机超过1小时的学生占全校人数的20%且这部分学生的近视率为50%.
（1）求该校每天玩手机不超过1小时的学生的近视率；
（2）从每天玩手机不超过1小时的学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，记抽到近视的人数为X，求X的分布列与数学期望.
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E、F、G分别是AA1、AB、BB1的中点.
（1）求证：C1G∥平面CEF；
（2）若底面△ABC是正三角形，，求平面CEF与平面BB1C1C所成角的余弦值.
18.(本小题17分)
已知椭圆C的焦距为2，C上的点到两个焦点的距离之和为4，直线l过C的右焦点F且与C交于A，B两点，过点A作直线x=4的垂线，垂足为D.
（1）求C的标准方程；
（2）证明：直线BD恒过定点.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ax2+（a-2）x-lnx.（其中a＞0）
（1）当a=1时，求f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若f（x）有两个零点，f′（x）为f（x）的导函数.
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）记f（x）较小的一个零点为x0，证明：x0f′（x0）＞-2.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】AD
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】0．
13.【答案】1．
14.【答案】16
15.【答案】
16.【答案】37.5% 分布列为：
X 0 1 2
P
期望为
17.【答案】证明：取A1B1的中点为T，连接TC1，TG，TF，
由直三棱柱ABC-A1B1C1可得四边形ABB1A1为矩形，而A1T=TB1，AF=FB，
则TF∥BB1，TF=BB1，而CC1∥BB1，CC1=BB1，
所以TF∥CC1，TF=CC1，
故四边形TC1CF为平行四边形，故C1T∥CF，
而C1T 平面CEF，CF 平面CEF，
故C1T∥平面CEF．
因为A1T=TB1，BG=GB1，故TG∥A1B，
同理EF∥A1B，故EF∥TG，
同理TG∥平面CEF，而TG∩TC1=T，TG，TC1 平面TC1G，
故平面TC1G∥平面CEF，而C1G 平面TC1G，
故C1G∥平面CEF
18.【答案】 由（1）可知椭圆C的右焦点F（1，0），
设直线l的方程为x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），则D（4，y1），
联立直线l与椭圆C的方程，
将x=my+1代入，得，
展开并整理得（3m2+4）y2+6my-9=0，
所以，．，
已知B（x2，y2），D（4，y1），可得直线BD的方程为，
令y=0，则，即x-4=，所以，
将x2=my2+1代入上式得：===，
将，代入上式得：，
由可得，代入上式得：==，
所以直线BD恒过定点，
当斜率为0时，直线l的方程为y=0，则A（-2，0），B（2，0），此时D（4，0），则直线BD的方程为y=0，也过点（），
所以直线BD恒过定点
19.【答案】y=0 （ⅰ）（0，1）；（ⅱ）证明：因为f（x）=ax2+（a-2）x-lnx，由f（1）=2a-2＜0，结合（ⅰ）知0＜x0＜1，
因为，
所以，
所以x0f′（x0）=（2x0+1）（ax0-1），要证x0f′（x0）＞-2，即证（2x0+1）（ax0-1）＞-2，即ax0（2x0+1）＞2x0-1，
当时，因为ax0（2x0+1）＞0，2x0-1≤0，不等式恒成立；当时，由f（x0）=0得ax0（x0+1）=lnx0+2x0，
即证（2x0+1）（lnx0+2x0）＞（2x0-1）（x0+1），
即证，
即证，
设，
则，
所以p（x）在上单调递增，
所以，故原不等式成立．
综上，x0f′（x0）＞-2
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