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2025-2026学年辽宁省沈阳市第120中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合A={-1，0，2，3，4}，B={x|lnx≤1}，则A∩B=（　　）
A. （0，e] B. {-1，0，2} C. {2} D. {2，3}
2.已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（3）=（　　）
A. 1 B. 2 C. -2 D. 4
3.在数列{an}中，a1=2，a2=5，an+2+an=an+1（n∈N+），则a5=（　　）
A. 3 B. -2 C. -5 D. -3
4.不等式≥1的解集是（　　）
A. [，2] B. （-∞，]∪（2，+∞）
C. [，2） D. （-∞，2）
5.已知a＞0，函数f（x）=（x-a）lnx在区间（1，e）上不单调，则a的取值范围是（　　）
A. 0＜a＜1 B. a＞e C. a＞4 D. 1＜a＜2e
6.已知Sn和Tn分别是数列{an}和{bn}的前n项和，且满足Sn=1-，bn=-4n+5，若对 n∈N*，使得5Tn-3Sn≤a（a+2）成立，则实数a的取值范围是（　　）
A. a≤-4或a≥2 B. a≤-1或a≥3 C. a≤-2或a≥4 D. a≤-3或a≥1
7.已知函数，若方程有三个根，则实数k的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
8.已知函数f（x），g（x）的定义域为R，f′（x）为f（x）的导函数，，f（x）=f（1-x），f′（x）=f′（-1-x）.若，则（　　）
A. 2026 B. 1013 C. 1 D. -1
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S6＜S7，且S7＞S8，则（　　）
A. 在数列{an}中，a1最大 B. 在数列{an}中，a3或a4最大
C. S3=S10 D. 当n≥8时，an＜0
10.已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（　　）
A. 函数f（x）存在两个不同的零点
B. 函数f（x）既存在极大值又存在极小值
C. 当-e＜k≤0时，方程f（x）=k有且只有两个实根
D. 若x∈[t,+∞）时，f（x）max=，则t的最小值为2
11.已知函数f（x）=xx（x＞0），则下列说法中正确的有（　　）
A. lnf（x）=xlnx
B. y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：x-y=0
C. 若函数g（x）=ln（af（x））， x∈（0，+∞）使得g（x）≤0成立，则0＜a≤ee
D. 若函数h（x）=lnf（x）-x-m有两个零点x1，x2，则x1+x2＜e
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=15，a2+a4+a6=9，则a10= .
13.已知函数f（x）的定义域为R，f（0）=0，若对任意x∈R，都有f（x）＞-1+f′（x），则不等式f（x）＜-1+ex的解集为 .
14.若不等式对任意x∈[2e+1，+∞）恒成立，则正实数t的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=+lnx-1，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线平行于直线y=-x+1，求实数a的值；
（2）讨论函数y=f（x）的单调区间．
16.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=5且an+1=2Sn-4n+5.
（1）求证：数列{an-2}为等比数列；
（2）若对一切n∈N*不等式λ（an-2）＞n2-3n均成立，求实数λ的取值范围.
17.(本小题15分)
已知函数.
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）若函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；
（3）若函数g（x）≤0在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围.
18.(本小题17分)
已知数列{an}是等差数列，an+1-an=1，其前5项和为15；数列{bn}是等比数列，且b1=2，4b2，2b3，b4成等差数列.
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn=an bn+，求数列的前n项和Tn；
（3）若将数列{an}中的所有项按原顺序依次插入数列{bn}中，组成一个新数列：b1，a1，b2，a2，a3，b3，a4，a5，a6，a7，b4，…，bk与bk+1之间插入2k-1项{an}中的项，该新数列记作数列{dn}，求数列{dn}的前211项的和P211.
19.(本小题17分)
意大利画家达 芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质.（已知
（1）证明：①倍元关系：sh（2x）=2sh（x）ch（x）；②平方关系：ch2（x）-sh2（x）=1；
（2）对任意x≥0，恒有sh（x）≥ax成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】AD
10.【答案】ABC
11.【答案】ABD
12.【答案】-9
13.【答案】（0，+∞）
14.【答案】
15.【答案】解：（1）∵，
∴，
∵曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线平行于直线y=-x+1，
∴k=f′（1）=-a+1=-1，
∴a=2．
（2）∵=（x＞0），
∴当a≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
当a＞0时，令f′（x）＞0 x＞a，
f′（x）＜0 0＜x＜a，
综上，当a≤0时，函数y=f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，函数y=f（x）在（a，+∞）上单调递增，在（0，a）上单调递减．
16.【答案】因为an+1=2Sn-4n+5，
所以an=2Sn-1-4（n-1）+5，n≥2，
两式相减可得，an+1-an=2an-4，即an+1=3an-4，n≥2，
又a1=5，a2=2×5-4+5=11，符合上式，
故an+1=3an-4，n≥1，
则an+1-2=3（an-2），
数列{an-2}是以3为首项，以3为公比的等比数列 {λ|}
17.【答案】1
18.【答案】an=n，bn=2n Tn=（n-1） 2n+1+2+ 21216
19.【答案】证明见解析；
（-∞，1]；
证明见解析．
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