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2025-2026学年吉林省长春市第二实验中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.的二项展开式中的常数项为（　　）
A. -20 B. 20 C. -15 D. 15
2.已知某校4000名学生的体能测试得分X（单位：分）服从正态分布X～N（80，σ2）（σ＞0），若P（X＜65）=0.1，P（X≥85）=0.4，则得分在区间（75，95]内的人数约为（　　）
A. 1500 B. 1800 C. 2000 D. 2600
3.如图，要让电路从A处到B处只有一条支路接通，则不同的路径有（　　）
A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 9种
4.随机变量X的分布列如表所示，若，则D（X）等于（　　）
X -1 0 1
P a b
A. 1 B. C. D.
5.长时间玩手机会影响视力.据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为.现从该校随机调查一名学生，他近视的概率大约是（　　）
A. B. C. D.
6.（x-2y+3）5的展开式中xy3的系数为（　　）
A. 480 B. 160 C. -160 D. -480
7.若f'（x0）=2，则=（　　）
A. B. 2 C. -2 D. 0
8.已知函数，当时，f（msinθ+1）+f（1-m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A. （-1，1） B. （-1，0） C. （0，1） D. （-∞，1）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列结论正确的是（　　）
A. 一组样本数据通过计算得到线性回归方程为y=0.95x+a,若，则a=0.05
B. 一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5
C. 已知随机变量，若ξ=2η+1，则
D. 在2×2列联表中，若每个数据a,b,c,d均变成原来的2倍，则χ2不变（，其中n=a+b+c+d）
10.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（　　）
A. 第10行的第7个数、第10行的第8个数之和等于第11行的第8个数
B. 第2023行中第1012个数和第1013个数相等
C. 第34行中第15个数与第16个数之比为2：3
D. 记“杨辉三角”第n行的第i个数为ai，则
11.已知定义在R上的函数f（x）＞0，函数f（x）的导函数为f′（x），且f′（x）+af（x）＞0，则（　　）
A. 当a=1时，ef（2）＞f（1） B. 当a=-1时，f（2）＞ef（1）
C. 当a=2时，2+lnf（2）＜lnf（1） D. 当a＜0时，f（x）在R上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若x1，x2，…，xn的方差为4，则2（x1-2），2（x2-2），…，2（xn-2）的方差为 .
13.某实验中学第一党支部拟选5名党员到A、B、C三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有 种.
14.在某次“一带一路”知识竞赛中，主办方为所有参赛者设计了一个抽奖活动：在抽奖箱中放置3个黑球和7个黄球（除颜色外完全相同），采用不放回摸球的方式，每位参赛者摸3次球，每次摸1个球，第k（k=1，2，3）次摸球，若摸到黑球，则得50k元奖金，若摸到黄球，则没有奖金.现甲参加了这次竞赛，记他获得的奖金为X元，则E（X）= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=aex-x-2.
（1）若f（x）在[0，1]上单调递增，求a的取值范围；
（2）若关于x的不等式f（x）＜x-1有解，求a的取值范围.
16.(本小题15分)
已知f（x）=（2x-3）n（n≥3，n∈N*），其展开式中的第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列.
（1）求展开式中奇数次项的系数的和；
（2）若，求a1+2a2+…+nan.
17.(本小题15分)
甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响.
（1）求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率；
（2）设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为X，求X的分布列.
18.(本小题17分)
芯片产业对于国家的科技安全与经济发展具有不可估量的战略意义，近些年来，国家和企业纷纷加大对芯片的投入力度.国内某芯片公司为制订下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x（单位：亿元，下同）对年销售额y（单位：亿元，下同）的影响，该公司收集了最近10年的年研发资金投入量xi和年销售额yi（i=1，2， ，10）的数据：已知第1年的研发资金投入量x1为2亿元，每年的年研发资金投入量比上一年增长4亿元，随着年研发资金投入量的增长，公司的年销售额也在增长.公司对数据进行了初步处理，得到如下数据（其中ui=，i=1，2，…10）；
，，.
公司甲、乙两个研究团队用年研发资金投入量x为解释变量，年销售额y为响应变量建立经验回归方程.已知甲研究团队用函数模型①（a,b为常数，e为随机误差）得到的经验回归方程为=2.2x-12.乙研究团队用函数模型②（α，β为常数，e为随机误差）.
（1）求乙研究团队建立的一元非线性经验回归方程；
（2）现已知第11年公司投入研发资金40亿元，公司的年销售收入为91亿元.根据以上信息，请你对这两个团队的模型优劣进行比较，并说明理由；
（3）研究发现，这两个模型均满足：对于每一个解释变量t,得到响应变量为u,且年研发资金投入为t亿元时，年销售额y服从正态分布N（u,7.7952），公司为了保证有97.725%的把握获得年销售额100亿，请你根据你得到的较好模型，问公司预计至少需要投入研发资金约为多少亿元？（保留到0.01）
参考公式与数据：
①成对数据（xi，yi）（i=1，2， ，n）的经验回归直线方程为，其系数为=，.②参考数据：假设X～N（μ，σ2），则P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）=0.9973.
③.
④，，，.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ex-a（a∈R）.
（1）若函数f（x）过原点（0，0）的切线为y=ex,求实数a的值；
（2）若函数f（x）的图象与⊙O：x2+y2=r2（r＞0）相交于两个不同点A，B，记直线AB的斜率为k.
（i）当时，求实数a取值范围；
（ii）当时，证明：.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】AB
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】16．
13.【答案】150
14.【答案】90
15.【答案】[1，+∞）
16.【答案】39062 14
17.【答案】 X的分布列为：
X 2 3 4
P

18.【答案】；
乙团队的模型更优；
44.68（亿元）．
19.【答案】a=0 （i）（-1，+∞）；（ii）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设x1＜x2，
则，即0＜y1＜y2，∴k＞0，
令，，
则，θ2是方程两个根．
又∵，
欲证，只需证
，
设，
则，
∴当时，h′（x）＜0；当时，h′（x）＞0；∴h（x）在递减，递增，
设，
下面证明，
，
=
=，
设，，则，
=，
故φ′（x）＞0．
∴φ（x）在递增，∴，
∴φ（θ2）＞0，，
又∵h（x）在递减，，故
第1页，共1页

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