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2025-2026学年福建省厦门市外国语学校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.直线：和直线：互相平行,则a的值为( )
A. 或3 B. 或1 C. D.
2.函数的极值点为（　　）
A. 0 B. 1 C. 0或-1 D. -1
3.独立性检验中，若χ2小于临界值χ20.05，则下列结论正确的是（　　）
A. 两个变量一定相互独立 B. 两个变量一定不独立
C. 没有充分证据表明两个变量有关 D. 两个变量有关联的可能性为95%
4.已知双曲线的渐近线与以（2，0）为圆心，面积为π的圆相切，则双曲线的离心率为（　　）
A. B. C. D.
5.下列说法中正确的是（　　）
①设随机变量X服从二项分布则；
②已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2）且P（X＜4）=0.9，则P（0＜X＜2）=0.4；
③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点互不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则P（A|B）=；
④E（2X+3）=2E（X）+3，D（2X+3）=2D（X）+3.
A. ①②③ B. ②③④ C. ②③ D. ①③
6.已知A，B为样本空间中的两个随机事件，其中，则P（B）=（　　）
A. B. C. D.
7.已知椭圆的两个焦点为F1，F2，且|F1F2|=4.若P在椭圆C上，P，F1，F2三点不共线，且sin∠PF2F1=5sin∠PF1F2，则椭圆C的长轴长的取值范围是（　　）
A. （4，6] B. （4，6） C. （6，+∞） D. [6，+∞）
8.设，b=ln1.06，c=e0.06-1，则下列关系正确的是（　　）
A. a＞b＞c B. c＞b＞a C. b＞a＞c D. c＞a＞b
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.甲、乙、丙等五名学生和一位老师六人站成一排照相，则（　　）
A. 老师不排在两端的概率为
B. 学生甲、乙、丙两两互不相邻的概率为
C. 学生甲、乙、丙连排在一起的概率为
D. 老师不排在两端，学生甲、乙、丙三人中有且仅有两人相邻的概率为
10.若，则下列选项正确的是（　　）
A. 展开式中的二项式系数最大项为第3项和第4项
B. a1+a2+a3+a4+a5+a6=-728
C. a1+2a2+3a3+…+6a6=-12
D. 当x=5时，（3-2x）6除以9的余数为1
11.已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（　　）
A. 离心率的取值范围为
B. 当离心率为时，|QF1|的最大值为3
C. 存在点Q，使得
D. 当离心率不小于时，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线f（x）=xsinx在处的切线斜率为 .
13.一箱苹果共有12个苹果，其中有n（2＜n＜7）个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个.恰有2个烂果的概率为，则n= .
14.如图：在圆环上有8个定位点，两个质点分别从A，B两个定位点出发，在圆环上等可能地沿顺时针或逆时针的方向移动，它们运动规则相同，并且每次移动同时行动.规定：每个质点从所在的位置移动到相邻的定位点叫做1次移动.移动n次后，两质点位于同一定位点的概率为Pn，则Pn= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
为研究某种图书每册的成本费y（元）与印刷数x（册）的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值.
10.4 4.60 0.40 2000.08 -500.02 0.70 6.30
表中，.
（1）根据散点图判断：y=a+bx与哪一个更适宜作为每册成本费y（元）与印刷数x（册）的回归方程类型？（只要求给出判断，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）若每册书定价为10元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于78840元？（假设能够全部售出）
（附：对于一组数据（ω1，v1），（ω2，v2），…，（ωn，vn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，）
16.(本小题15分)
已知椭圆E：的离心率为，且过点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知点P（2，-1），斜率为的直线l与椭圆E交于A，B两点.当△PAB的面积最大时，求直线l的方程.
17.(本小题15分)
甲、乙两队进行乒乓球双打比赛，规定每局比赛必须决出胜负，采用五局三胜制，即先赢得三局比赛的队伍获胜.已知每局比赛甲队获胜的概率为p,且每局比赛的结果相互独立.
（1）设，记比赛结束时的场数为X，求X的分布、期望和方差；
（2）已知甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率为，求p的值.
18.(本小题15分)
已知抛物线C：y2=2px经过点A（1，2），B（x0，y0）是抛物线C上异于点A的动点，且x0≠1.
（1）求直线AB的斜率kAB（用y0表示）；
（2）设不经过点A的直线l与C交于M，N两点，且直线AM，AN的斜率之和为1.
①求证：直线l恒过定点Q；
②若向量，且，求△AMN的面积S的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=x2-1+aln（1+x），
（1）当a=-4时，讨论函数单调性；
（2）当a=2时，若对任意x∈（-1，+∞），不等式f（x）+x+2≤bex+lnb恒成立，求b的最小值；
（3）若f（x）存在两个不同的极值点x1，x2，x1＜x2，且f（x1）＜mx2，求实数m取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD
12.【答案】1
13.【答案】4．
14.【答案】．
15.【答案】 8761册
16.【答案】解：（1）因为椭圆E的离心率，
所以a=2b,则E：，
因为点在椭圆上，所以，解得b=1，a=2．
所以椭圆E的方程为．
（2）设直线l：，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，化简得x2-2mx+2m2-2=0，
Δ=4m2-4（2m2-2）=8-4m2＞0，解得．
由韦达定理得x1+x2=2m,，
则，
所以，
又因为，
所以S△PAB=|AB| dP-AB=|m| ==．
当m2=1时，即m=±1时，△PAB的面积取到最大值，
此时，直线l：或．

17.【答案】X的分布列为：
X 3 4 5
P
根据期望公式可得：，
根据方差公式可得： 或
18.【答案】 ①证明：设直线MN的方程为x=my+t，M（x1，y1），N（x2，y2）（y1，y2≠2），
因为M，N两点均在抛物线上，
所以，
联立，消去x并整理得y2-4my-4t=0，
此时Δ=（-4m）2-4（-4t）=16m2+16t＞0，
由韦达定理得y1+y2=4m，y1y2=-4t，
所以，
即4（y2+2）+4（y1+2）=（y2+2）（y1+2），
所以2（y1+y2）-y1y2+12=0，
此时2m+t+3=0，
所以直线MN的方程为x=my-2m-3，
即x+3=m（y-2），
则直线MN过定点，该点坐标为Q（-3，2）；②（0，12]
19.【答案】函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，在区间（-1，1）上单调递减
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