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2025-2026学年新疆和田地区墨玉县高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知函数f（x）=x2，则=（　　）
A. 4 B. 2 C. 1 D. 0
2.4幅不同的国画和2幅不同的油画排成一列，2幅油画不相邻，则不同的排法种数为（　　）
A. 240 B. 360 C. 480 D. 720
3.一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为（　　）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 24
4.（x-1）6的展开式中x2的系数为（　　）
A. -20 B. -15 C. 15 D. 20
5.已知离散型随机变量X的分布列如表，则X的数学期望E（X）等于（　　）
X 0 1 2
P 0.2 a 0.5
A. 0.3 B. 0.8 C. 1.2 D. 1.3
6.袋中装有形状和大小完全相同的4个黑球，3个白球，从中不放回地依次随机摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是（　　）
A. B. C. D.
7.随机变量X服从两点分布，若，则 （　　）
A. B. C. D.
8.已知函数f（x）=lnx-ax2，a∈R，则下列结论正确的是（　　）
A. f（x）一定有极大值
B. 当a＞0时，f（x）有极小值
C. 当a＜0时，f（x）可能无零点
D. 若f（x）在区间（0，1）上单调递增，则
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列求导运算正确的有（　　）
A. B. （xlnx）'=lnx+1
C. D.
10.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（　　）
A. 课程“射”“御”排在前两周，共有24种排法
B. 某学生从中选5门，共有6种选法
C. 课程“礼”“书”“数”排在后三周，共有36种排法
D. 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
11.下列说法正确的是（　　）
A. 设随机变量X服从二项分布，则
B. 若，则
C. 甲、乙、丙三人均准备在3个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1个景点未被选择的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是
D. E（2X+3）=2E（X）+3，D（2X+3）=2D（X）+3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f（x）=ax2+3x-2在点（2，f（2））处的切线斜率为7，则实数a的值为 .
13.已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）=0.36，则P（X＞2.5）=______．
14.某中学对“秋假”期间申请留校的学生实行免费托管，现要从5名教师中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），同一人不能连续值班2天，则可能的安排方法有 种.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
从5名男生和4名女生中选出4人去参加数学竞赛．
（1）如果选出的4人中男生、女生各2人，那么有多少种选法？
（2）如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，那么有多少种选法？
（3）如果被选出的4人是甲、乙、丙、丁，将这4人派往2个考点，每个考点至少1人，那么有多少种派送方式？
16.(本小题15分)
已知的展开式中共有7项.
（1）求n的值；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求的展开式中含x2的项的系数.
17.(本小题15分)
某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占40%，合格率为95%；乙品牌的占30%，合格率为90%；丙品牌的占30%，合格率为90%，在该商店随机买一台机器人.
（1）求该机器人是甲品牌合格品的概率；
（2）求该机器人是合格品的概率.
18.(本小题17分)
袋中有大小、质地都相同的6个球，其中有4个黑球，2个白球.
（1）若从袋中任取3球，
（i）其中有白球的概率；
（ii）设3个球中黑球的个数为X，求X的分布列、期望和方差
（2）若从袋中有放回的抽取2次，每次取1球，取到黑球的个数为Y，求Y的分布列
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-1处取得极值2，且f（1）=2.
（1）求实数a,b,c的值；
（2）若函数y=f（x）+m在区间[-2，2]上有三个零点，求实数m的取值范围；
（3）证明：若函数g（x）=f（x）-x3在区间[t,t+2]上不单调，则t∈（-，）.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】BCD
10.【答案】BCD
11.【答案】ABC
12.【答案】1
13.【答案】0.14
14.【答案】80
15.【答案】解：（1）从5名男生中选2名，4名女生中选2人，属于组合问题，=60，故有60种选法；
（2）若小王和小红均未入选，则有=35种选法，故男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，则有-=126-35=91种选法；
（3）若2个考点派送人数均为2人，则有=6种派送方式，
若1个考点派送1人，另1个考点派送3人，则有=8种派送方式，故一共有8+6=14种派送方式．
16.【答案】n=6；
-160；
-40．
17.【答案】0.38；
0.92．
18.【答案】（i）；（ii）X的分布列为：
X 1 2 3
P
期望为2，方差为 Y的分布列为：
Y 0 1 2
P

19.【答案】解：（1）求导得f′（x）=3x2+2ax+b,
因为函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-1处取得极值，且f（1）=2，
所以，
解得a=1，b=-1，c=1．
（2）若函数y=f（x）+m在区间[-2，2]上有三个零点，
则y=f（x）与y=-m在区间[-2，2]上有三个交点，
由（1）知f（x）=x3+x2-x+1，x∈[-2，2]，
f′（x）=3x2+2x-1=（3x-1）（x+1），
令f′（x）=0得x=-1或，
所以在（-2，-1）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（-1，）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（，2）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）极大值=f（-1）=2，f（x）极小值=f（）=（）3+（）2-+1=，
又f（-2）=-1，f（2）=11，
作出函数f（x）在[-2，2]上的图象：
所以＜m＜2，
所以m的取值范围为（，2）．
（3）证明：由（1）知f（x）=x3+x2-x+1，
则g（x）=f（x）-x3=x2-x+1，为开口向上，对称轴为x=-=的二次函数，
若函数g（x）=f（x）-x3在区间[t,t+2]上单调，则t≥或t+2≤，
所以t≥或t≤-，
若函数g（x）在区间[t,t+2]上不单调性，则-≤t≤，
所以t的取值范围为（-，）．
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